MECÁNICA CLÁSICA

La mecánica continua es una rama de la mecánica que se ocupa del comportamiento mecánico de los materiales modelados como una masa continua en lugar de como partículas discretas. El matemático francés Augustin-Louis Cauchy fue el primero en formular tales modelos en el siglo XIX.

Explicación [ editar ]

Parte de una serie de artículos sobre
Mecanica clasica
$${\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}}} Segunda ley del movimiento
Historia Línea de tiempo
Ramas[esconder] Aplicado Celestial Continuo Dinámica Cinemática Cinética Estatica Estadístico
Fundamentos[espectáculo]
Formulaciones[espectáculo]
Temas centrales[espectáculo]
Rotación[espectáculo]
Científicos[espectáculo]
v t mi

Modelar un objeto como un continuo supone que la sustancia del objeto llena completamente el espacio que ocupa. Modelar objetos de esta manera ignora el hecho de que la materia está hecha de átomos , y por lo tanto no es continua; sin embargo, en escalas de longitud mucho mayores que las distancias interatómicas, tales modelos son altamente precisos. Las leyes físicas fundamentales, como la conservación de la masa , la conservación del impulso y la conservación de la energía, pueden aplicarse a dichos modelos para derivar ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de dichos objetos, y se agrega información sobre el material particular estudiado a través de relaciones constitutivas..

La mecánica de continuo se ocupa de las propiedades físicas de sólidos y fluidos que son independientes de cualquier sistema de coordenadas particular en el que se observan. Estas propiedades físicas se representan mediante tensores , que son objetos matemáticos que tienen la propiedad requerida de ser independientes del sistema de coordenadas. Estos tensores pueden expresarse en sistemas de coordenadas para la conveniencia computacional.

Concepto de un continuo [ editar ]

Los materiales, como sólidos, líquidos y gases, están compuestos de moléculas separadas por el espacio. En una escala microscópica, los materiales tienen grietas y discontinuidades. Sin embargo, ciertos fenómenos físicos pueden modelarse asumiendo que los materiales existen como un continuo, lo que significa que la materia en el cuerpo se distribuye continuamente y llena toda la región del espacio que ocupa . Un continuo es un cuerpo que puede subdividirse continuamente en elementos infinitesimales con propiedades que son las del material a granel.

La validez de la hipótesis de continuidad puede verificarse mediante un análisis teórico, en el que se identifique cierta periodicidad clara o exista homogeneidad estadística y ergodicidad de la microestructura . Más específicamente, la hipótesis / suposición de continuidad se basa en los conceptos de un volumen elemental representativo y la separación de escalas basadas en la condición de Hill-Mandel . Esta condición proporciona un vínculo entre el punto de vista de un experimentalista y el de un teórico sobre ecuaciones constitutivas (campos elásticos / inelásticos o lineales lineales y no lineales), así como una forma de promediado espacial y estadístico de la microestructura. ^[1]

Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de resolución más fina que la del tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que, a su vez, conduce a campos continuos aleatorios. Estos últimos proporcionan una base micromecánica para los elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua a la mecánica estadística . La RVE puede evaluarse solo de forma limitada mediante pruebas experimentales: cuando la respuesta constitutiva se vuelve espacialmente homogénea.

Específicamente para fluidos , el número de Knudsen se usa para evaluar hasta qué punto se puede hacer la aproximación de continuidad.

El tráfico de coches como un ejemplo de introducción [ editar ]

Considere el tráfico de automóviles en una autopista, con solo un carril para simplificar. Sorprendentemente, y en un tributo a su eficacia, la mecánica continua modela efectivamente el movimiento de los automóviles a través de una ecuación diferencial parcial (PDE) para la densidad de los automóviles. La familiaridad de esta situación nos permite comprender un poco de la dicotomía discreto-continuo que subyace en el modelado continuo en general.

Para comenzar el modelado define que: $${\ displaystyle x} medir la distancia (en km) a lo largo de la carretera; $${\ displaystyle t} es tiempo (en minutos); $${\ displaystyle \ rho (x, t)}es la densidad de automóviles en la carretera (en automóviles / km en el carril); y$${\ displaystyle u (x, t)}es la velocidad de flujo ( velocidad promedio) de la posición "at" de esos autos$${\ displaystyle x}.

La conservación deriva una PDE ( ecuación diferencial parcial ) [ editar ]

Los coches no aparecen y desaparecen. Considere cualquier grupo de autos: del auto en particular en la parte posterior del grupo ubicado en$${\ displaystyle x = a (t)} al coche particular en el frente ubicado en $${\ displaystyle x = b (t)}. El número total de coches en este grupo.$${\ displaystyle N = \ int _ {a (t)} ^ {b (t)} \ rho (x, t) \, dx}. Dado que los autos se conservan (si hay adelantamientos, entonces el 'auto en la parte delantera / trasera' puede convertirse en un auto diferente)$${\ displaystyle dN / dt = 0}. Pero a través de la regla integral de Leibniz.

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {dN} {dt}} & = & {\ frac {d} {dt}} \ int _ {a (t)} ^ {b (t) } \ rho (x, t) \, dx \\ & = & \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \, dx + \ rho (b, t ) {\ frac {db} {dt}} - \ rho (a, t) {\ frac {da} {dt}} \\ & = & \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial \ rho} {\ partial t}} \, dx + \ rho (b, t) u (b, t) - \ rho (a, t) u (a, t) \\ & = & \ int _ {a} ^ {b} \ left [{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ rho u) \ right] dx \ end {array} }}

Esta integral es cero para todos los grupos, es decir, para todos los intervalos. $${\ displaystyle [a, b]}. La única forma en que una integral puede ser cero para todos los intervalos es si el entero es cero para todos$${\ displaystyle x}. En consecuencia, la conservación deriva la PDE de conservación no lineal de primer orden.

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ rho u) = 0}

Para todas las posiciones en la carretera.

Esta PDE de conservación se aplica no solo al tráfico de automóviles, sino también a fluidos, sólidos, multitudes, animales, plantas, incendios forestales, comerciantes financieros, etc.

La observación cierra el problema [ editar ]

La PDE anterior es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se necesita otra ecuación para formar un problema bien planteado . Una ecuación adicional de este tipo suele ser necesaria en la mecánica de continuidad y generalmente proviene de experimentos. Para el tráfico de automóviles, está bien establecido que los automóviles generalmente viajan a una velocidad que depende de la densidad,$${\ displaystyle u = V (\ rho)} para alguna función determinada experimentalmente $${\ displaystyle V}Esa es una función decreciente de la densidad. Por ejemplo, los experimentos en el túnel Lincoln encontraron que un buen ajuste (excepto en baja densidad) se obtiene al$${\ displaystyle u = V (\ rho) = 27.5 \ ln (142 / \ rho)}(km / h para densidad en coches / km). ^[2]

Así, el modelo continuo continuo para el tráfico de automóviles es el PDE.

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} [\ rho V (\ rho)] = 0}

para la densidad del coche $${\ displaystyle \ rho (x, t)} en la autopista.

Áreas principales [ editar ]

Mecánica continua.  El estudio de la física de materiales continuos.	Mecánica sólida  El estudio de la física de materiales continuos con una forma de descanso definida.	Elasticidad  Describe los materiales que vuelven a su forma de descanso después deeliminar las tensiones aplicadas .
		Plasticidad  Describe materiales que se deforman permanentemente después de una tensión aplicada suficiente.	Reología  El estudio de materiales con características tanto sólidas como fluidas.
	Mecánica de fluidos  El estudio de la física de materiales continuos que se deforman cuando se someten a una fuerza.	Los fluidos no newtonianos no sufren tasas de deformación proporcionales al esfuerzo de cizallamiento aplicado.
		Los fluidos newtonianos sufren tasas de deformación proporcionales al esfuerzo de cizallamiento aplicado.

Un área adicional de la mecánica continua comprende las espumas elastoméricas, que muestran una curiosa relación de tensión-deformación hiperbólica. El elastómero es un verdadero continuo, pero una distribución homogénea de huecos le confiere propiedades inusuales. ^[3]

Formulación de modelos [ editar ]

Figura 1. Configuración de un cuerpo continuo.

Los modelos de mecánica continuada comienzan asignando una región en el espacio euclidiano tridimensional al cuerpo material$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}siendo modelado Los puntos dentro de esta región se llaman partículas o puntos materiales. Las diferentes configuraciones o estados del cuerpo corresponden a diferentes regiones en el espacio euclidiano. La región correspondiente a la configuración del cuerpo en el momento.$${\ displaystyle \ t} está etiquetado $${\ displaystyle \ \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}.

Una partícula particular dentro del cuerpo en una configuración particular se caracteriza por un vector de posición 

$${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} x_ {i} \ mathbf {e} _ {i},}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}son los vectores de coordenadas en algunos marcos de referencia elegidos para el problema (Ver figura 1). Este vector puede ser expresado en función de la posición de la partícula.$${\ displaystyle \ mathbf {X}}en alguna configuración de referencia , por ejemplo, la configuración en el momento inicial, de modo que

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ kappa _ {t} (\ mathbf {X}).}

Esta función debe tener varias propiedades para que el modelo tenga sentido físico. $${\ displaystyle \ kappa _ {t} (\ cdot)} necesita ser:

• continua en el tiempo, de modo que el cuerpo cambia de una manera que es realista,
• Invertible globalmente en todo momento, para que el cuerpo no pueda intersecarse,
• La conservación de la orientación , ya que las transformaciones que producen reflejos del espejo no son posibles en la naturaleza.

Para la formulación matemática del modelo, $${\ displaystyle \ \ kappa _ {t} (\ cdot)}también se supone que es dos veces continuamente diferenciable , de modo que se pueden formular ecuaciones diferenciales que describen el movimiento.

Fuerzas en un continuo [ editar ]

Ver también: tensión (mecánica) y tensor de tensión Cauchy.

La mecánica continua trata con cuerpos deformables, a diferencia de los cuerpos rígidos . Un sólido es un cuerpo deformable que posee resistencia al corte, sc. un sólido puede soportar fuerzas de corte (fuerzas paralelas a la superficie del material sobre la que actúan). Los fluidos, por otro lado, no sostienen las fuerzas de corte. Para el estudio del comportamiento mecánico de sólidos y fluidos, se supone que estos son cuerpos continuos, lo que significa que la materia ocupa toda la región del espacio que ocupa, a pesar de que la materia está hecha de átomos, tiene vacíos y es discreta. Por lo tanto, cuando la mecánica continua se refiere a un punto o partícula en un cuerpo continuo, no describe un punto en el espacio interatómico o una partícula atómica, sino una parte idealizada del cuerpo que ocupa ese punto.

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se suponen de dos tipos: fuerzas de superficie$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {C}} y fuerzas del cuerpo $${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {B}}. ^[4] Así, la fuerza total.$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}} Aplicado a un cuerpo o a una porción del cuerpo puede expresarse como:

$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ mathbf {F} _ {B} + \ mathbf {F} _ {C}}

Las fuerzas de la superficie o las fuerzas de contacto , expresadas como fuerza por unidad de área, pueden actuar sobre la superficie delimitada del cuerpo, como resultado del contacto mecánico con otros cuerpos, o sobre superficies internas imaginarias que unen partes del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre las partes del cuerpo a cada lado de la superficie ( principio de estrés de Euler-Cauchy ). Cuando un cuerpo es accionado por fuerzas de contacto externas, las fuerzas de contacto internas se transmiten de un punto a otro dentro del cuerpo para equilibrar su acción, de acuerdo con la tercera ley de movimiento de Newton de la conservación del momento lineal y el momento angular (para los cuerpos continuos estas leyes son llamados losEcuaciones de movimiento de euler ). Las fuerzas internas de contacto están relacionadas con la deformacióndel cuerpo a través de ecuaciones constitutivas . Las fuerzas internas de contacto pueden describirse matemáticamente por la forma en que se relacionan con el movimiento del cuerpo, independientemente de la composición material del cuerpo. ^[5]

Se supone que la distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo es continua. Por lo tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción Cauchy ^[4] $${\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {n}, \ mathbf {x}, t)} que representa esta distribución en una configuración particular del cuerpo en un momento dado $${\ displaystyle t \, \!}. No es un campo vectorial porque no solo depende de la posición.$${\ displaystyle \ mathbf {x}} de un punto material particular, pero también en la orientación local del elemento de superficie como lo define su vector normal $${\ displaystyle \ mathbf {n}}. ^[6]

Cualquier área diferencial $${\ displaystyle dS \, \!} con vector normal $${\ displaystyle \ mathbf {n}} de un área superficial interna dada $${\ displaystyle S \, \!}Al delimitar una parte del cuerpo, experimenta una fuerza de contacto. $${\ displaystyle d \ mathbf {F} _ {C} \, \!} derivado del contacto entre ambas partes del cuerpo en cada lado de $${\ displaystyle S \, \!}, y esta dado por

$${\ displaystyle d \ mathbf {F} _ {C} = \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})} \, dS}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})}}es la tracción superficial , ^[7] también llamado vector de tensión , ^[8] tracción , ^[9] o vector de tracción . ^[10] El vector de estrés es un vector indiferente al cuadro (ver el principio de estrés de Euler-Cauchy ).

La fuerza de contacto total en la superficie interna particular. $${\ displaystyle S \, \!}luego se expresa como la suma ( integral de superficie ) de las fuerzas de contacto en todas las superficies diferenciales$${\ displaystyle dS \, \!}:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {C} = \ int _ {S} \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})} \, dS}

En la mecánica continua, un cuerpo se considera libre de estrés si las únicas fuerzas presentes son aquellas fuerzas interatómicas (fuerzas iónicas , metálicas y van der Waals ) requeridas para mantener el cuerpo unido y para mantener su forma en ausencia de todas las influencias externas , incluida la atracción gravitacional. ^{[10] [11] Las} tensiones generadas durante la fabricación del cuerpo a una configuración específica también se excluyen cuando se consideran las tensiones en un cuerpo. Por lo tanto, las tensiones consideradas en la mecánica continua son solo aquellas producidas por la deformación del cuerpo, sc. solo se consideran los cambios relativos en el estrés, no los valores absolutos del estrés.

Las fuerzas corporales son fuerzas que se originan en fuentes externas al cuerpo ^[12] que actúan sobre el volumen (o masa) del cuerpo. Decir que las fuerzas del cuerpo se deben a fuentes externas implica que la interacción entre diferentes partes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta a través de las fuerzas de contacto solo. ^[7] Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en los campos de fuerza, por ejemplo , campo gravitacional ( fuerzas gravitacionales ) o campo electromagnético ( fuerzas electromagnéticas ), o de fuerzas inercialescuando los cuerpos estan en movimiento Como se supone que la masa de un cuerpo continuo está continuamente distribuida, cualquier fuerza que se origina a partir de la masa también se distribuye continuamente. Por lo tanto, las fuerzas del cuerpo se especifican mediante campos vectoriales que se supone que son continuos en todo el volumen del cuerpo, ^[13] es decir, que actúan en cada punto del mismo. Las fuerzas corporales están representadas por una densidad de fuerza corporal.$${\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x}, t)} (por unidad de masa), que es un campo vectorial indiferente al cuadro.

En el caso de las fuerzas gravitacionales, la intensidad de la fuerza depende de, o es proporcional a, la densidad de masa $${\ displaystyle \ mathbf {\ rho} (\ mathbf {x}, t) \, \!} del material, y se especifica en términos de fuerza por unidad de masa ($${\ displaystyle b_ {i} \, \!}) o por unidad de volumen ($${\ displaystyle p_ {i} \, \!}). Estas dos especificaciones están relacionadas a través de la densidad del material por la ecuación$${\ displaystyle \ rho b_ {i} = p_ {i} \, \!}. De manera similar, la intensidad de las fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza ( carga eléctrica ) del campo electromagnético.

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo se expresa como

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {B} = \ int _ {V} \ mathbf {b} \, dm = \ int _ {V} \ rho \ mathbf {b} \, dV}

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo conducen a los correspondientes momentos de fuerza ( pares ) en relación con un punto dado. Así, el par aplicado total.$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}} sobre el origen viene dado por

$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ mathbf {M} _ {B} + \ mathbf {M} _ {C}}

En ciertas situaciones, que no se consideran comúnmente en el análisis del comportamiento mecánico de los materiales, es necesario incluir otros dos tipos de fuerzas: estos son momentos corporales y tensiones de la pareja ^[14] [15] (pares de superficie, ^[12] pares de contacto ^[13] ). Los momentos corporales, o parejas corporales, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicados al volumen del cuerpo. Las tensiones de pareja son momentos por unidad de área aplicados sobre una superficie. Ambos son importantes en el análisis de la tensión para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde se toma en cuenta la estructura molecular ( por ejemplo,huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo, y la teoría de la dislocación de los metales. ^{[8] [9] [12]}

Los materiales que exhiben parejas corporales y tensiones de pareja además de los momentos producidos exclusivamente por fuerzas se denominan materiales polares . ^[9] [13] Los materiales no polares son entonces aquellos materiales con solo momentos de fuerzas. En las ramas clásicas de la mecánica del continuo, el desarrollo de la teoría de las tensiones se basa en materiales no polares.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) en el cuerpo puede ser dada por

$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ int _ {V} \ mathbf {a} \, dm = \ int _ {S} \ mathbf {T} \, dS + \ int _ {V} \ rho \ mathbf {b} \, dV}

$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {T} \, dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ rho \ mathbf { b} \, dV}

Cinemática: deformación y movimiento [ editar ]

Figura 2. Movimiento de un cuerpo continuo.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo da como resultado un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación . Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio de forma y / o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada.$${\ displaystyle \ \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})} a una configuración actual o deformada $${\ displaystyle \ \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})} (Figura 2).

El movimiento de un cuerpo continuo es una secuencia temporal continua de desplazamientos. Por lo tanto, el cuerpo material ocupará diferentes configuraciones en diferentes momentos, de modo que una partícula ocupa una serie de puntos en el espacio que describen una línea de trayectoria.

Hay continuidad durante la deformación o movimiento de un cuerpo continuo en el sentido de que:

• Los puntos de material que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
• Los puntos de material que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o condición inicial a la que se hace referencia a todas las configuraciones posteriores. La configuración de referencia no tiene por qué ser una que ocupará el cuerpo. A menudo, la configuración en$${\ displaystyle \ t = 0} Se considera la configuración de referencia, $${\ displaystyle \ \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}. Los componentes$${\ displaystyle \ X_ {i}}del vector de posicion $${\ displaystyle \ \ mathbf {X}} de una partícula, tomada con respecto a la configuración de referencia, se llama material o coordenadas de referencia.

Al analizar la deformación o el movimiento de los sólidos, o el flujo de fluidos, es necesario describir la secuencia o evolución de las configuraciones a lo largo del tiempo. Una descripción del movimiento se hace en términos del material o coordenadas de referencia, llamada descripción del material o descripción lagrangiana.

Descripción lagrangiana [ editar ]

En la descripción lagrangiana, la posición y las propiedades físicas de las partículas se describen en términos del material o las coordenadas referenciales y el tiempo. En este caso la configuración de referencia es la configuración en$${\ displaystyle \ t = 0}. Un observador que se encuentra en el marco de referencia observa los cambios en la posición y las propiedades físicas a medida que el cuerpo material se mueve en el espacio a medida que avanza el tiempo. Los resultados obtenidos son independientes de la elección del tiempo inicial y la configuración de referencia,$${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}. Esta descripción se usa normalmente en mecánica de sólidos .

En la descripción lagrangiana, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa mediante la función de mapeo $${\ displaystyle \ \ chi (\ cdot)} (Figura 2),

$${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = \ chi (\ mathbf {X}, t)}

que es un mapeo de la configuración inicial $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})} en la configuración actual $${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}, dando una correspondencia geométrica entre ellos, es decir, dando el vector de posición $${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = x_ {i} \ mathbf {e} _ {i}} que una partícula $${\ displaystyle \ X}, con un vector de posicion $${\ displaystyle \ \ mathbf {X}} en la configuración no conformada o de referencia $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}, ocupará en la configuración actual o deformada. $${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})} en el momento $${\ displaystyle \ t}. Los componentes$${\ displaystyle \ x_ {i}} Se llaman las coordenadas espaciales.

Propiedades físicas y cinemáticas. $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}}, es decir, las propiedades termodinámicas y la velocidad del flujo, que describen o caracterizan las características del cuerpo material, se expresan como funciones continuas de posición y tiempo, es decir $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots} = P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t)}.

El material derivado de cualquier propiedad. $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}}de un continuo, que puede ser un escalar, un vector o un tensor, es la tasa de tiempo de cambio de esa propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. El derivado material también se conoce como el derivado sustancial , o derivado de desarrollo , o derivado de convección . Se puede pensar como la velocidad a la que cambia la propiedad cuando se mide por un observador que viaja con ese grupo de partículas.

En la descripción lagrangiana, el derivado material de $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}} es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo, y el vector de posición $${\ displaystyle \ \ mathbf {X}}Se mantiene constante ya que no cambia con el tiempo. Así, tenemos

$${\ displaystyle \ {\ frac {d} {dt}} [P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t)] = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} [P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t)]}

La posicion instantanea $${\ displaystyle \ \ mathbf {x}}es una propiedad de una partícula, y su derivado material es la velocidad de flujo instantánea $${\ displaystyle \ \ mathbf {v}}de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad de flujo del continuo está dado por

$${\ displaystyle \ \ mathbf {v} = {\ dot {\ mathbf {x}}} = {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = {\ frac {\ partial \ chi (\ mathbf { X}, t)} {\ parcial t}}}

Del mismo modo, el campo de aceleración está dado por

$${\ displaystyle \ \ mathbf {a} = {\ dot {\ mathbf {v}}} = {\ ddot {\ mathbf {x}}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x}} { dt ^ {2}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ chi (\ mathbf {X}, t)} {\ partial t ^ {2}}}}

La continuidad en la descripción lagrangiana se expresa mediante la continuidad espacial y temporal del mapeo desde la configuración de referencia hasta la configuración actual de los puntos materiales. Todas las cantidades físicas que caracterizan el continuo se describen de esta manera. En este sentido, la función.$${\ displaystyle \ chi (\ cdot)} y $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots} (\ cdot)} son de un solo valor y continuos, con derivadas continuas con respecto al espacio y el tiempo a cualquier orden que se requiera, generalmente al segundo o al tercero.

Descripción euleriana [ editar ]

La continuidad permite lo inverso de $${\ displaystyle \ chi (\ cdot)} para rastrear hacia atrás donde la partícula se encuentra actualmente en $${\ displaystyle \ mathbf {x}} Estaba ubicado en la configuración inicial o referenciada. $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}. En este caso, la descripción del movimiento se realiza en términos de las coordenadas espaciales, en cuyo caso se denomina descripción espacial o descripción euleriana, es decir, la configuración actual se toma como la configuración de referencia .

La descripción euleriana, introducida por d'Alembert , se centra en la configuración actual$${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}, prestando atención a lo que ocurre en un punto fijo en el espacio a medida que avanza el tiempo, en lugar de prestar atención a las partículas individuales a medida que se mueven a través del espacio y el tiempo. Este enfoque se aplica convenientemente en el estudio del flujo de fluidos donde la propiedad cinemática de mayor interés es la velocidad a la que se produce el cambio en lugar de la forma del cuerpo del fluido en un momento de referencia. ^[dieciséis]

Matemáticamente, el movimiento de un continuo que utiliza la descripción euleriana se expresa mediante la función de mapeo

$${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ chi ^ {- 1} (\ mathbf {x}, t)}

que proporciona un trazado de la partícula que ahora ocupa la posición $${\ displaystyle \ mathbf {x}} en la configuracion actual $${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})} a su posición original $${\ displaystyle \ mathbf {X}} en la configuracion inicial $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}.

Una condición necesaria y suficiente para que exista esta función inversa es que el determinante de la Matriz jacobiana , a menudo denominado simplemente jacobiano, debe ser diferente de cero. Así,

$${\ displaystyle \ J = \ left | {\ frac {\ partial \ chi _ {i}} {\ partial X_ {J}}} \ right | = \ left | {\ frac {\ partial x_ {i}} { \ partial X_ {J}}} \ right | \ neq 0}

En la descripción euleriana, las propiedades físicas. $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}} se expresan como

$${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots} = P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t) = P_ {ij \ ldots} [\ chi ^ {- 1} (\ mathbf {x}, t) , t] = p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}

donde la forma funcional de $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}} en la descripción lagrangiana no es la misma que la forma de $${\ displaystyle \ p_ {ij \ ldots}} En la descripción euleriana.

El derivado material de $${\ displaystyle \ p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}, usando la regla de la cadena, es entonces

$${\ displaystyle \ {\ frac {d} {dt}} [p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)] = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} [p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)] + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} [p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)] {\ frac { dx_ {k}} {dt}}}

El primer término en el lado derecho de esta ecuación da la tasa de cambio local de la propiedad$${\ displaystyle \ p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}ocurriendo en la posición $${\ displaystyle \ \ mathbf {x}}. El segundo término del lado derecho es la tasa convectiva de cambio y expresa la contribución de la posición de cambio de partícula en el espacio (movimiento).

La continuidad en la descripción euleriana se expresa por la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad de flujo. Todas las cantidades físicas se definen de esta manera en cada instante de tiempo, en la configuración actual, como una función de la posición del vector.$${\ displaystyle \ \ mathbf {x}}.

Campo de desplazamiento [ editar ]

El vector que une las posiciones de una partícula. $${\ displaystyle \ P}en la configuración no deformada y la configuración deformada se llama el vector de desplazamiento $${\ displaystyle \ \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = u_ {i} \ mathbf {e} _ {i}}, en la descripción lagrangiana, o $${\ displaystyle \ \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = U_ {J} \ mathbf {E} _ {J}}, en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento para todas las partículas en el cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente hacer el análisis de la deformación o movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como

$${\ displaystyle \ \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = \ mathbf {b} + \ mathbf {x} (\ mathbf {X}, t) - \ mathbf {X} \ qquad {\ text {o}} \ qquad u_ {i} = \ alpha _ {iJ} b_ {J} + x_ {i} - \ alpha _ {iJ} X_ {J}}

o en términos de las coordenadas espaciales como

$${\ displaystyle \ \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {b} + \ mathbf {x} - \ mathbf {X} (\ mathbf {x}, t) \ qquad {\ text {o}} \ qquad U_ {J} = b_ {J} + \ alpha _ {Ji} x_ {i} -X_ {J} \,}

dónde $${\ displaystyle \ \ alpha _ {Ji}} son los cosenos de dirección entre el material y los sistemas de coordenadas espaciales con vectores unitarios $${\ displaystyle \ \ mathbf {E} _ {J}} y $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}, respectivamente. Así

$${\ displaystyle \ \ mathbf {E} _ {J} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ alpha _ {Ji} = \ alpha _ {iJ}}

y la relación entre $${\ displaystyle \ u_ {i}} y $${\ displaystyle \ U_ {J}} entonces es dado por

$${\ displaystyle \ u_ {i} = \ alpha _ {iJ} U_ {J} \ qquad {\ text {o}} \ qquad U_ {J} = \ alpha _ {Ji} u_ {i}}

Sabiendo que

$${\ displaystyle \ \ mathbf {e} _ {i} = \ alpha _ {iJ} \ mathbf {E} _ {J}}

entonces

$${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = u_ {i} \ mathbf {e} _ {i} = u_ {i} (\ alpha _ {iJ} \ mathbf {E} _ { J}) = U_ {J} \ mathbf {E} _ {J} = \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t)}

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformadas y deformadas, lo que resulta en $${\ displaystyle \ \ mathbf {b} = 0}, y los cosenos de dirección se convierten en deltas de Kronecker , es decir,

$${\ displaystyle \ \ mathbf {E} _ {J} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ delta _ {Ji} = \ delta _ {iJ}}

Así, tenemos

$${\ displaystyle \ \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = \ mathbf {x} (\ mathbf {X}, t) - \ mathbf {X} \ qquad {\ text {o}} \ qquad u_ {i} = x_ {i} - \ delta _ {iJ} X_ {J}}

o en términos de las coordenadas espaciales como

$${\ displaystyle \ \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {x} - \ mathbf {X} (\ mathbf {x}, t) \ qquad {\ text {o}} \ qquad U_ {J} = \ delta _ {Ji} x_ {i} -X_ {J}}

Ecuaciones gobernantes [ editar ]

La mecánica de continuo se ocupa del comportamiento de los materiales que pueden aproximarse como continuos para ciertas escalas de longitud y tiempo. Las ecuaciones que gobiernan la mecánica de tales materiales incluyen las leyes de equilibrio para la masa , el impulso y la energía . Se necesitan relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas para completar el sistema de ecuaciones de gobierno. Las restricciones físicas en la forma de las relaciones constitutivas se pueden aplicar al exigir que se cumpla la segunda ley de la termodinámica en todas las condiciones. En la mecánica continua de sólidos, la segunda ley de la termodinámica se satisface si Clausius-Duhem Se satisface la forma de entropía de la desigualdad.

Las leyes de equilibrio expresan la idea de que la tasa de cambio de una cantidad (masa, momento, energía) en un volumen debe surgir de tres causas:

1. la cantidad física en sí misma fluye a través de la superficie que limita el volumen,
2. hay una fuente de la cantidad física en la superficie del volumen, y / o,
3. Hay una fuente de la cantidad física dentro del volumen.

Dejar $${\ displaystyle \ Omega} ser el cuerpo (un subconjunto abierto del espacio euclidiano) y dejar $${\ displaystyle \ partial \ Omega} ser su superficie (el límite de $${\ displaystyle \ Omega}).

Deje que el movimiento de los puntos materiales en el cuerpo sea descrito por el mapa.

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ boldsymbol {\ chi}} (\ mathbf {X}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {X})}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {X}} Es la posición de un punto en la configuración inicial y $${\ displaystyle \ mathbf {x}} Es la ubicación del mismo punto en la configuración deformada.

El gradiente de deformación está dado por

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial \ mathbf {X}}} = \ nabla {\ boldsymbol {\ mathbf {x}}} ~.}

Leyes de equilibrio [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, t)}Ser una cantidad física que está fluyendo a través del cuerpo. Dejar$${\ displaystyle g (\ mathbf {x}, t)} Ser fuentes en la superficie del cuerpo y dejar $${\ displaystyle h (\ mathbf {x}, t)}Ser fuentes dentro del cuerpo. Dejar$${\ displaystyle \ mathbf {n} (\ mathbf {x}, t)} Ser la unidad exterior normal a la superficie. $${\ displaystyle \ partial \ Omega}. Dejar$${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t)}Sé la velocidad de flujo de las partículas físicas que transportan la cantidad física que está fluyendo. Además, deje que la velocidad a la que la superficie delimitada$${\ displaystyle \ partial \ Omega} se está moviendo $${\ displaystyle u_ {n}} (en la dirección $${\ displaystyle \ mathbf {n}}).

Entonces, las leyes de equilibrio se pueden expresar en la forma general.

$${\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ left [\ int _ {\ Omega} f (\ mathbf {x}, t) ~ {\ text {dV}} \ right] = \ int _ {\ parcial \ Omega} f (\ mathbf {x}, t) [u_ {n} (\ mathbf {x}, t) - \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t) \ cdot \ mathbf {n} (\ mathbf {x}, t)] ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ partial \ Omega} g (\ mathbf {x}, t) ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} h (\ mathbf {x}, t) ~ {\ text {dV}} ~.}

Tenga en cuenta que las funciones $${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, t)}, $${\ displaystyle g (\ mathbf {x}, t)}y $${\ displaystyle h (\ mathbf {x}, t)}pueden ser de valor escalar, de vector o de tensor, dependiendo de la cantidad física con la que trata la ecuación de balance. Si hay límites internos en el cuerpo, las discontinuidades de salto también deben especificarse en las leyes de equilibrio.

Si tomamos el punto de vista euleriano , se puede mostrar que las leyes de balance de masa, momento y energía para un sólido pueden escribirse como (suponiendo que el término fuente es cero para las masas y el momento angular de las ecuaciones)

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Mass}} \\\ rho ~ {\ dot {\ mathbf {v}}} - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - \ rho ~ \ mathbf {b} & = 0 && \ qquad { \ text {Balance of Linear Momentum (la primera ley de movimiento de Cauchy)}} \\ {\ boldsymbol {\ sigma}} & = {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} && \ qquad {\ text {Balance of Angular Momentum (segunda ley del movimiento de Cauchy)}} \\\ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v}) + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Energy.}} \ end {alineado}}}

En las ecuaciones anteriores. $${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}, t)} es la densidad de masa (corriente), $${\ displaystyle {\ dot {\ rho}}} es el tiempo material derivado de $${\ displaystyle \ rho}, $${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t)} es la velocidad de la partícula, $${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {v}}}} es el tiempo material derivado de $${\ displaystyle \ mathbf {v}}, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (\ mathbf {x}, t)}es el tensor de estrés Cauchy ,$${\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x}, t)} es la densidad de fuerza del cuerpo, $${\ displaystyle e (\ mathbf {x}, t)} es la energía interna por unidad de masa, $${\ displaystyle {\ dot {e}}} es el tiempo material derivado de $${\ displaystyle e}, $${\ displaystyle \ mathbf {q} (\ mathbf {x}, t)} es el vector de flujo de calor, y $${\ displaystyle s (\ mathbf {x}, t)} Es una fuente de energía por unidad de masa.

Con respecto a la configuración de referencia (el punto de vista lagrangiano), las leyes de equilibrio se pueden escribir como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho ~ \ det ({\ boldsymbol {F}}) - \ rho _ {0} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Mass}} \\\ rho _ { 0} ~ {\ ddot {\ mathbf {x}}} - {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot {\ boldsymbol {P}} ^ {T} - \ rho _ {0} ~ \ mathbf {b} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Linear Momentum}} \\ {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {P}} ^ {T} & = {\ boldsymbol {P}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} && \ qquad {\ text {Balance of Angular Momentum}} \\\ rho _ {0} ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {P}} ^ {T}: {\ dot {\ boldsymbol {F}}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho _ {0} ~ s & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Energy.}} \ end {alineado}}}

En lo anterior, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}es el primer tensor de estrés Piola-Kirchhoff , y $${\ displaystyle \ rho _ {0}}Es la densidad de masa en la configuración de referencia. El primer tensor de tensión Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensión Cauchy por

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} ~ {\ text {where}} ~ J = \ det ({ \ boldsymbol {F}})}

Alternativamente podemos definir el tensor de tensión nominal. $${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}} que es la transposición del primer tensor de tensión Piola-Kirchhoff tal que

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {P}} ^ {T} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} ~.}

Entonces las leyes de equilibrio se convierten

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho ~ \ det ({\ boldsymbol {F}}) - \ rho _ {0} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Mass}} \\\ rho _ { 0} ~ {\ ddot {\ mathbf {x}}} - {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot {\ boldsymbol {N}} - \ rho _ {0} ~ \ mathbf {b} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Linear Momentum}} \\ {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {N}} & = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} && \ qquad {\ text {Balance of Angular Momentum}} \\\ rho _ {0} ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {N}}: {\ dot {\ boldsymbol {F}}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho _ {0} ~ s & = 0 && \ qquad {\ text {Balance de energía. }} \ end {alineado}}}

Los operadores en las ecuaciones anteriores se definen como tales que

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}} } \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j} = v_ {i, j} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial S_ {ij}} {\ parcial x_ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {i} = \ sigma _ {ij, j} ~ \ mathbf {e} _ {i} ~.}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {v}} es un campo vectorial, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}} es un campo tensor de segundo orden, y $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}Son los componentes de una base ortonormal en la configuración actual. También,

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ mathbf {v} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial v_ {i}} {\ parcial X_ {j}}} \ mathbf {E} _ {i} \ otimes \ mathbf {E} _ {j} = v_ {i, j} \ mathbf {E} _ {i} \ otimes \ mathbf {E} _ {j} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot \ mathbf {v} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i} } {\ parcial X_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial S_ {ij}} {\ parcial X_ {j}}} ~ \ mathbf {E} _ {i} = S_ {ij, j} ~ \ mathbf {E } _{yo}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {v}} es un campo vectorial, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}} es un campo tensor de segundo orden, y $${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {i}} Son los componentes de una base ortonormal en la configuración de referencia.

El producto interno se define como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}: {\ boldsymbol {B}} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} A_ {ij} ~ B_ {ij} = \ operatorname {trace} ({ \ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {B}} ^ {T}) ~.}

Desigualdad de Clausius-Duhem [ editar ]

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede utilizar para expresar la segunda ley de la termodinámica para materiales elásticos y plásticos. Esta desigualdad es una afirmación sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de la disipación de energía.

Al igual que en las leyes de balance en la sección anterior, asumimos que hay un flujo de una cantidad, una fuente de la cantidad y una densidad interna de la cantidad por unidad de masa. La cantidad de interés en este caso es la entropía. Por lo tanto, asumimos que hay un flujo de entropía, una fuente de entropía, una densidad de masa interna$${\ displaystyle \ rho} y una entropía específica interna (es decir, entropía por unidad de masa) $${\ displaystyle \ eta} en la región de interés.

Dejar $${\ displaystyle \ Omega} ser una región y dejar $${\ displaystyle \ partial \ Omega}ser su frontera. Entonces la segunda ley de la termodinámica establece que la tasa de aumento de $${\ displaystyle \ eta} en esta región es mayor que o igual a la suma de la suministrada a $${\ displaystyle \ Omega} (como un flujo o desde fuentes internas) y el cambio de la densidad de entropía interna $${\ displaystyle \ rho \ eta} Debido al material que entra y sale de la región.

Dejar $${\ displaystyle \ partial \ Omega} moverse con una velocidad de flujo $${\ displaystyle u_ {n}} y dejar partículas dentro $${\ displaystyle \ Omega} tener velocidades $${\ displaystyle \ mathbf {v}}. Dejar$${\ displaystyle \ mathbf {n}} Ser la unidad exterior normal a la superficie. $${\ displaystyle \ partial \ Omega}. Dejar$${\ displaystyle \ rho} ser la densidad de materia en la región, $${\ displaystyle {\ bar {q}}} ser el flujo de entropía en la superficie, y $${\ displaystyle r}Ser la fuente de entropía por unidad de masa. Entonces la desigualdad de entropía se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ text {dV}} \ right) \ geq \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (u_ {n} - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ partial \ Omega} {\ bar {q}} ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} \ rho ~ r ~ {\ text {dV}}.}

El flujo de entropía escalar puede relacionarse con el flujo vectorial en la superficie por la relación $${\ displaystyle {\ bar {q}} = - {\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {n}}. Bajo el supuesto de condiciones isotérmicas incrementales, tenemos

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {x}) = {\ cfrac {\ mathbf {q} (\ mathbf {x})} {T}} ~; ~~ r = {\ cfrac { S t}}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {q}} es el vector de flujo de calor, $${\ displaystyle s} es una fuente de energía por unidad de masa, y $${\ displaystyle T} es la temperatura absoluta de un punto material en $${\ displaystyle \ mathbf {x}} en el momento $${\ displaystyle t}.

Entonces tenemos la desigualdad de Clausius-Duhem en forma integral:

$${\ displaystyle {{\ cfrac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ text {dV}} \ right) \ geq \ int _ {\ partial \ Omega } \ rho ~ \ eta ~ (u_ {n} - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV }}.}}

Podemos demostrar que la desigualdad de entropía puede escribirse en forma diferencial como

$${\ displaystyle {\ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + { \ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}}

En términos del estrés de Cauchy y la energía interna, la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}.}}