MECÁNICA CLÁSICA

constante de movimiento es una cantidad que se conserva a lo largo del movimiento, imponiendo en efecto una restricción en el movimiento. Sin embargo, es una restricción matemática , la consecuencia natural de las ecuaciones de movimiento , en lugar de una restricción física (que requeriría fuerzas de restricción adicionales ). Los ejemplos comunes incluyen energía específica , momento lineal específico , momento angular específico y el vector de Laplace-Runge-Lenz (para las leyes de fuerza de cuadrado inverso ).

Aplicaciones [ editar ]

Las constantes de movimiento son útiles porque permiten que las propiedades del movimiento se deriven sin resolver las ecuaciones de movimiento . En casos afortunados, incluso la trayectoria del movimiento puede derivarse como la intersección de isosuperficies correspondientes a las constantes de movimiento. Por ejemplo, la construcción de Poinsot muestra que la rotación sin par de un cuerpo rígido es la intersección de una esfera (conservación del momento angular total) y un elipsoide (conservación de la energía), una trayectoria que podría ser difícil de derivar y visualizar. Por lo tanto, la identificación de constantes de movimiento es un objetivo importante en la mecánica..

Los métodos para la identificación de constantes de movimiento [ editar ]

Existen varios métodos para identificar constantes de movimiento.

• El enfoque más simple pero menos sistemático es la derivación intuitiva ("psíquica"), en la que se supone que una cantidad es constante (quizás debido a datos experimentales ) y luego se muestra matemáticamente como conservada a lo largo del movimiento.
• Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi proporcionan un método común y sencillo para identificar constantes de movimiento, particularmente cuando el hamiltoniano adopta formas funcionales reconocibles en coordenadas ortogonales .
• Otro enfoque es reconocer que una cantidad conservada corresponde a una simetría del Lagrangiano . El teorema de Noether proporciona una manera sistemática de derivar tales cantidades de la simetría. Por ejemplo, la conservación de la energía resulta de la invariancia del Lagrangiano bajo los cambios en el origen del tiempo , la conservación del momento lineal resulta de la invarianza del Lagrangiano bajo los cambios en el origen del espacio ( simetría traslacional ) y la conservación del momento angular proviene de la invariancia de laLagrangianos bajo rotaciones . Lo contrario también es cierto; Cada simetría del Lagrangianocorresponde a una constante de movimiento, a menudo llamada carga o corriente conservada .
• Una cantidad $${\ displaystyle A}se conserva si no es explícitamente dependiente del tiempo y si su soporte Poisson con el Hamiltoniano es cero

$${\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = {\ frac {\ parcial A} {\ parcial t}} + \ {A, H \}}

Otro resultado útil es el teorema de Poisson , que establece que si dos cantidades$${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B} Son constantes de movimiento, así es su soporte de Poisson. $${\ displaystyle \ {A, B \}}.

Un sistema con n grados de libertad y n constantes de movimiento, de manera que el corchete de Poisson de cualquier par de constantes de movimiento se desvanezca, se conoce como un sistema completamente integrable . Dicha colección de constantes de movimiento se dice que están en involución entre sí.

En la mecánica cuántica [ editar ]

Una cantidad observable Q será una constante de movimiento si conmuta con el hamiltoniano , H , y no depende explícitamente del tiempo. Esto es porque

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ derecha] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle \,}

dónde

$${\ displaystyle [H, Q] = HQ-QH \,}

Es la relación conmutador.

Derivación [ editar ]

Digamos que hay una cantidad observable Q que depende de la posición, el momento y el momento,

$${\ displaystyle Q = Q (x, p, t) \,}

Y también, que hay una función de onda que obedece a la ecuación de Schrödinger

$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = H \ psi. \,}

Tomar el tiempo derivado del valor esperado de Q requiere el uso de la regla del producto , y resulta en

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle \,}	$${\ displaystyle = {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle \,}
	$${\ displaystyle = \ langle {\ frac {d \ psi} {dt}} | Q | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | Q | {\ frac {d \ psi} {dt}} \ rangle \,}
	$${\ displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle H \ psi | Q | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | Q | H \ psi \ rangle \,}
	$${\ displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | HQ | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | QH | \ psi \ rangle \,}
	$${\ displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ right] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt }} | \ psi \ rangle \,}

Así que finalmente,

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ derecha] | \ psi \ rangle + \ langle \ psi | {\ frac {dQ} {dt}} | \ psi \ rangle \,}

Comentario [ editar ]

Para un estado arbitrario de un sistema mecánico cuántico, si H y Q conmutan, es decir, si

$${\ displaystyle \ left [H, Q \ right] = 0}

y Q no depende explícitamente del tiempo, entonces

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle = 0}

Pero si $${\ displaystyle \ psi} Es una función propia del Hamiltoniano, entonces incluso si

$${\ displaystyle \ left [H, Q \ right] \ neq 0}

sigue siendo el caso que

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle = 0}

siempre que Q sea independiente a tiempo.

Derivación [ editar ]

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle \,}	$${\ displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | \ left [H, Q \ right] | \ psi \ rangle \,}
	$${\ displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ langle \ psi | HQ-QH | \ psi \ rangle \,}

Ya que

$${\ displaystyle H | \ psi \ rangle = E | \ psi \ rangle \,}

entonces

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle Q \ rangle \,}	$${\ displaystyle = {\ frac {-1} {i \ hbar}} \ left (E \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle -E \ langle \ psi | Q | \ psi \ rangle \ right) \, }
	$${\ displaystyle = 0}

Esta es la razón por la cual los estados propios del hamiltoniano también se llaman estados estacionarios.

Relevancia para el caos cuántico [ editar ]

En general, un sistema integrable tiene constantes de movimiento distintas de la energía. Por el contrario, la energía es la única constante de movimiento en un sistema no integrable ; Tales sistemas se denominan caóticos. En general, un sistema mecánico clásico puede cuantificarse solo si es integrable; a partir de 2006, no se conoce ningún método consistente para cuantificar sistemas dinámicos caóticos.

Integral de movimiento [ editar ]

Una constante de movimiento se puede definir en un campo de fuerza dado como cualquier función de lascoordenadas del espacio de fase (posición y velocidad, o posición y momento) y el tiempo que es constante a lo largo de una trayectoria. Un subconjunto de las constantes de movimiento son las integrales de movimiento , o primeras integrales , definidas como cualquier función de solo las coordenadas del espacio de fase que son constantes a lo largo de una órbita. Cada integral de movimiento es una constante de movimiento, pero lo contrario no es cierto porque una constante de movimiento puede depender del tiempo. ^[1] Ejemplos de integrales de movimiento son el vector de momento angular,$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {x} \ times \ mathbf {v}}, o un hamiltoniano sin dependencia del tiempo, como $${\ displaystyle H (\ mathbf {x}, \ mathbf {v}) = {\ frac {1} {2}} v ^ {2} + \ Phi (\ mathbf {x})}. Un ejemplo de una función que es una constante de movimiento pero no una integral de movimiento sería la función$${\ displaystyle C (x, v, t) = x-vt} para un objeto que se mueve a una velocidad constante en una dimensión.

Dirac observables [ editar ]

Con el fin de extraer información física de las teorías del indicador , uno construye observables invariantes del indicador o corrige un indicador. En un lenguaje canónico, esto generalmente significa construir funciones que conmutan por Poisson en la superficie de restricción con el calibre que genera restricciones de primera clase o para arreglar el flujo de este último mediante puntos individuales dentro de cada órbita de calibre . Dichos observables invariables de la galga son, por lo tanto, las "constantes de movimiento" de los generadores de la galga y se conocen como observables de Dirac.

En este sistema, el cuadro se desliza por una pendiente, la restricción es que el cuadro debe permanecer en la pendiente (no puede atravesarlo ni comenzar a volar).

En la mecánica clásica , una restricción en un sistema es un parámetroque el sistema debe obedecer. Por ejemplo, un cuadro que se desliza por una pendiente debe permanecer en la pendiente. Hay dos tipos diferentes de restricciones: holonómicas y no holonómicas. ^[1]

Tipos de restricción [ editar ]

• Restricciones de primera clase y restricciones de segunda clase
• Principales limitaciones , restricciones secundarias , limitaciones terciarias , limitaciones cuaternario .
• Restricciones holonómicas , también llamadas restricciones integrables (según el tiempo y las coordenadas pero no en el momento) y el sistema no holonómico
• Restricciones pfaffianas
• Restricciones esclerómicas (que no dependen del tiempo) y restricciones reonómicas (que dependen del tiempo).
• Restricciones ideales: aquellas para las cuales el trabajo realizado por las fuerzas de restricción bajo un desplazamiento virtual se desvanece.