MECÁNICA CLÁSICA

restricción de primera clase es una cantidad dinámica en un sistema Hamiltoniano restringido cuyo corchete Poisson con todas las demás restricciones se desvanece en la superficie de restricción en el espacio de fase (la superficie definida implícitamente por la desaparición simultánea de todas las restricciones). Para calcular la primera restricción de clase, se supone que no hay restricciones de segunda clase , o que se han calculado previamente, y se han generado sus paréntesis de Dirac . ^[1]

Las restricciones de primera y segunda clase fueron introducidas por Dirac  ( 1950 , p.136, 1964 , p.17) como una forma de cuantificar sistemas mecánicos como las teorías de medición donde la forma simpléctica está degenerada. ^[2] [3]

La terminología de las restricciones de primera y segunda clase es confusamente similar a la de las restricciones primarias y secundarias , lo que refleja la manera en que se generan. Estas divisiones son independientes: tanto las restricciones de primera como de segunda clase pueden ser primarias o secundarias, por lo que esto da cuatro clases diferentes de restricciones.

Corchetes de Poisson [ editar ]

Considere una variedad simpléctica M con un Hamiltoniano suave sobre ella (para las teorías de campo, M sería de dimensión infinita).

Supongamos que tenemos algunas limitaciones

$${\ displaystyle f_ {i} (x) = 0,}

para n funciones suaves

$${\ displaystyle \ {f_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}

Estos solo se definirán en forma de gráfico en general. Supongamos que en todas partes del conjunto restringido, las n derivadas de las n funciones son linealmente independientes y también que los corchetes de Poisson

$${\ displaystyle \ {f_ {i}, f_ {j} \}}

y

$${\ displaystyle \ {f_ {i}, H \}}

todo desaparece en el subespacio restringido.

Esto significa que podemos escribir

$${\ displaystyle \ {f_ {i}, f_ {j} \} = \ sum _ {k} c_ {ij} ^ {k} f_ {k}}

para algunas funciones suaves $${\ displaystyle c_ {ij} ^ {k}} −− hay un teorema que muestra esto; y

$${\ displaystyle \ {f_ {i}, H \} = \ sum _ {j} v_ {i} ^ {j} f_ {j}}

para algunas funciones suaves $${\ displaystyle v_ {i} ^ {j}}.

Esto se puede hacer globalmente, usando una partición de unidad . Luego, decimos que tenemos una restricción irreductible de primera clase ( aquí, la palabra irreducible es en un sentido diferente al utilizado en la teoría de la representación ).

Teoría geométrica [ editar ]

Para una forma más elegante, supongamos dado un paquete del vector sobre M, con n -dimensional fibra V . Equipa este paquete de vectores con una conexión . Supongamos también que tenemos una sección lisa f de este paquete.

A continuación, la derivada covariante de f con respecto a la conexión es una suave lineal mapa Δ f desde el fibrado tangente TM a V , que conserva el punto base . Supongamos este mapa lineal es derecho invertible (es decir, existe un mapa lineal g tal que (Δ f ) g es el mapa de identidad ) para todas las fibras en los ceros de f . Entonces, de acuerdo con el teorema de la función implícita , el subespacio de ceros de f es una sub-matriz .

El soporte ordinario de Poisson solo se define sobre$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M)}, el espacio de funciones lisas sobre m . Sin embargo, al usar la conexión, podemos extenderla al espacio de secciones lisas de f si trabajamos con el paquete de álgebra con el álgebra graduada de los tensores V como fibras.

Supongamos también que bajo este soporte de Poisson,

{ f , f } = 0

(note que no es cierto que

{ g , g } = 0

en general para este "soporte extendido de Poisson" más) y

{ f , H } = 0

en el submanifold de ceros de f (si estos corchetes también resultan ser cero en todas partes, entonces decimos que las restricciones cierran shell ). Resulta que la condición de invertibilidad correcta y la conmutabilidad de las condiciones de flujo son independientes de la elección de la conexión. Por lo tanto, podemos interrumpir la conexión siempre que trabajemos únicamente con el subespacio restringido.

Significado intuitivo [ editar ]

¿Qué significa todo esto intuitivamente? Significa que el Hamiltoniano y los flujos de restricción se conmutan entre sí en el subespacio restringido; o alternativamente, que si comenzamos en un punto en el subespacio restringido, entonces el Hamiltoniano y los flujos de restricción llevarán el punto a otro punto en el subespacio restringido.

Como deseamos restringirnos solo al subespacio limitado, esto sugiere que el Hamiltoniano, o cualquier otro observable físico , solo debe definirse en ese subespacio. De manera equivalente, podemos ver la clase de equivalencia de funciones suaves sobre la multiplicidad simpléctica, que concuerdan con el subespacio restringido (el álgebra de cociente por el ideal generado por las f 's, en otras palabras).

El problema es que los flujos hamiltonianos en el subespacio limitado dependen de la pendiente del hamiltoniano allí, no de su valor. Pero hay una manera fácil de salir de esto.

Mire las órbitas del subespacio constreñido bajo la acción de los flujos simplécticos generados por las f 's. Esto proporciona una foliación local del subespacio porque satisface las condiciones de integrabilidad ( teorema de Frobenius ). Resulta que si comenzamos con dos puntos diferentes en una misma órbita en el subespacio constreñido y evolucionamos ambos bajo dos hamiltonianos diferentes, respectivamente, que concuerdan con el subespacio restringido, entonces la evolución temporal de ambos puntos bajo sus respectivos flujos hamiltonianos Siempre se encuentran en la misma órbita en tiempos iguales. También resulta que si tenemos dos funciones suaves A ₁ y B ₁, que son constantes en órbitas al menos en el subespacio restringido (es decir, observables físicos) (es decir, {A ₁ , f} = {B ₁ , f} = 0 sobre el subespacio restringido) y otros dos A ₂ y B ₂ , que son también constante sobre las órbitas, de modo que A ₁ y B ₁ coinciden con A ₂ y B ₂ respectivamente sobre el subespacio restringido, luego sus corchetes Poisson {A ₁ , B ₁ } y {A ₂ , B ₂ } también son constantes sobre las órbitas y coinciden sobre el subespacio restringido.

En general, no se pueden descartar los flujos " ergódicos " (lo que básicamente significa que una órbita es densa en un conjunto abierto), o los flujos "subergódicos" (que una órbita densa en algún subcompatillo de dimensión mayor que la dimensión de la órbita). No podemos tener órbitas de auto-intersección .

Para la mayoría de las aplicaciones "prácticas" de restricciones de primera clase, no vemos tales complicaciones: el espacio del cociente del subespacio restringido por los flujos f (en otras palabras, el espacio de la órbita) se comporta lo suficiente como para actuar como una variedad diferenciable , que se puede convertir en una variedad simpléctica al proyectar la forma simpléctica de M en ella (esto puede demostrarse que está bien definido ). A la luz de la observación sobre los observables físicos mencionados anteriormente, podemos trabajar con esta variedad simpléctica más "física", pero con 2n dimensiones menos.

En general, el espacio del cociente es un poco "desagradable" con el que trabajar cuando se realizan cálculos concretos (por no mencionar el no local cuando se trabaja con restricciones de difeomorfismo ), por lo que lo que generalmente se hace es algo similar. Tenga en cuenta que el submanifold restringido es un paquete (pero no un paquete de fibra en general) sobre el colector de cociente. Entonces, en lugar de trabajar con la variedad de cociente, podemos trabajar con una sección del paquete en su lugar. Esto se llama fijación de manómetro .

El principal problema es que este paquete podría no tener una sección global en general. Aquí es donde entra el "problema" de las anomalías globales , por ejemplo. Ver la ambigüedad de Gribov . Esta es una falla en la cuantización de las teorías de los indicadores que muchos físicos pasaron por alto.

Lo que se ha descrito son restricciones irreducibles de primera clase. Otra complicación es que Δf puede no ser invertible en subespacios de la sub-colección restringida de codimension 1 o mayor (lo que viola la suposición más fuerte que se mencionó anteriormente en este artículo). Esto sucede, por ejemplo, en la formulación de la relatividad general de cotetrad , en el subespacio de configuraciones donde el campo de cotetrad y la forma de conexión resultan ser cero en algún subconjunto abierto de espacio. Aquí, las restricciones son las restricciones de difeomorfismo.

Una forma de evitar esto es la siguiente: para restricciones reducibles, relajamos la condición en la invertibilidad correcta de Δ f en esta: cualquier función suave que se desvanezca en los ceros de f es la contracción en el sentido de las fibras de f with (un no único ) sección lisa de$${\ displaystyle {\ bar {V}}}-vector paquete donde $${\ displaystyle {\ bar {V}}}es el espacio dual vector al espacio restricción vector V . Esto se llama la condición de regularidad .

Constreñida dinámica hamiltoniana de una teoría del calibrador de Lagrange [ editar ]

En primer lugar, asumiremos que la acción es la integral de un lagrangiano local que solo depende de la primera derivada de los campos. El análisis de casos más generales, mientras posible, es más complicado. Al pasar al formalismo hamiltoniano, encontramos que hay restricciones. Recuerde que en el formalismo de acción, hay configuraciones de shell y off shell . Las restricciones que mantienen fuera del shell se denominan restricciones primarias, mientras que las que solo mantienen el shell se denominan restricciones secundarias

Ejemplos [ editar ]

Considere la dinámica de una partícula de masa de un solo punto m sin grados internos de libertad que se mueven en una variedad S de espaciotiempo pseudo-riemanniana con métrica g . Supongamos también que el parámetro τ que describe la trayectoria de la partícula es arbitrario (es decir, insistimos en la invariabilidad de la reparametrización ). Entonces, su espacio simpléctico es el fibrado cotangente T * S con la forma canónica simpléctico ω . 

Si coordinamos T * S por su posición x en el colector de base S y su posición dentro del espacio cotangente p , entonces tenemos una restricción

f = m ² - g ( x ) ⁻¹ ( p , p ) = 0.

El Hamiltoniano H es, sorprendentemente, H = 0. En vista de la observación de que el Hamiltoniano solo se define hasta la clase de equivalencia de funciones suaves que concuerdan con el subespacio restringido, podemos usar un nuevo Hamiltoniano H '= f en su lugar. Entonces, tenemos el caso interesante de que el Hamiltoniano es lo mismo que una restricción. Ver restricción hamiltoniana para más detalles.

Consideremos ahora el caso de una teoría Yang-Mills para una verdadera sencilla álgebra de Lie L (con una definida negativa Killing forma η ) mínimamente acoplado a un verdadero campo escalar σ , que transforma como una representación ortogonal ρ con el espacio vectorial subyacente V bajo L en ( d - 1) + 1 espacio-tiempo Minkowski . Para l en L , escribimos

ρ (l) [σ]

como

l [σ]

por simplicidad. Sea A la forma de conexión valorada en L de la teoría. Tenga en cuenta que la A aquí difiere de la A utilizada por los físicos por un factor de i y g . Esto concuerda con la convención de matemáticos. 

La acción S está dada por

$${\ displaystyle S [\ mathbf {A}, \ sigma] = \ int d ^ {d} x {\ frac {1} {4g ^ {2}}} \ eta ((\ mathbf {g} ^ {- 1 } \ otimes \ mathbf {g} ^ {- 1}) (\ mathbf {F}, \ mathbf {F})) + {\ frac {1} {2}} \ alpha (\ mathbf {g} ^ {- 1} (D \ sigma, D \ sigma))}

donde g es la métrica de Minkowski, F es la forma de curvatura

$${\ displaystyle d \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \ wedge \ mathbf {A}}

(no i s o g s!) donde el segundo término es una abreviatura formal para simular que el bracket de Lie es un conmutador, D es el derivado covariante

Dσ = dσ - A [σ]

y α es la forma ortogonal para ρ .

¿Cuál es la versión hamiltoniana de este modelo? Bueno, primero, tenemos que dividir A no covariante en un componente de tiempo φ y una parte espacial A → . Luego, el espacio simpléctico resultante tiene las variables conjugadas σ , π _σ (tomando valores en el espacio vectorial subyacente de$${\ displaystyle {\ bar {\ rho}}}, la doble representación de ρ ), A → ,π → _A , φ y π _φ . Para cada punto espacial, tenemos las restricciones, π _φ = 0 y la restricción gaussiana

$${\ displaystyle {\ vec {D}} \ cdot {\ vec {\ pi}} _ {A} - \ rho '(\ pi _ {\ sigma}, \ sigma) = 0}

donde ya que ρ es un entrelazador

$${\ displaystyle \ rho: L \ otimes V \ rightarrow V},

ρ 'es el entrelazador dualizado

$${\ displaystyle \ rho ': {\ bar {V}} \ otimes V \ rightarrow L}

( L es auto-dual a través de η ). El hamiltoniano,

{\ displaystyle H_ {f} = \ int d ^ {d-1} x {\ frac {1} {2}} \ alpha ^ {- 1} (\ pi _ {\ sigma}, \ pi _ {\ sigma }) + {\ frac {1} {2}} \ alpha ({\ vec {D}} \ sigma \ cdot {\ vec {D}} \ sigma) - {\ frac {g ^ {2}} {2 }} \ eta ({\ vec {\ pi}} _ {A}, {\ vec {\ pi}} _ {A}) - {\ frac {1} {2g ^ {2}}} \ eta (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B}) - \ eta (\ pi _ {\ phi}, f) - <\ pi _ {\ sigma}, \ phi [\ sigma]> - \ eta (\ phi, {\ vec {D}} \ cdot {\ vec {\ pi}} _ {A}).}

Los dos últimos términos son una combinación lineal de las restricciones gaussianas y tenemos toda una familia de hamiltonianos (equivalente de calibre) parametrizados por f . De hecho, dado que los últimos tres términos desaparecen para los estados restringidos, podemos eliminarlos.

Restricciones de segunda clase [ editar ]

En un sistema Hamiltoniano restringido, una cantidad dinámica es de segunda clase si su corchete Poisson con al menos una restricción no desaparece. Una restricción que tiene un corchete Poisson distinto de cero con al menos otra restricción, entonces, es una restricción de segunda clase .

Vea los soportes de Dirac para diversas ilustraciones.

Un ejemplo: una partícula confinada a una esfera [ editar ]

Antes de pasar a la teoría general, considere un ejemplo específico paso a paso para motivar el análisis general.

Comience con la acción que describe una partícula newtoniana de masa m limitada a una superficie esférica de radio R dentro de un campo gravitacional uniforme g . Cuando se trabaja en la mecánica de Lagrangian, hay varias formas de implementar una restricción: se puede cambiar a coordenadas generalizadas que resuelven la restricción de manera manifiesta, o se puede usar un multiplicador de Lagrange mientras se mantienen las coordenadas redundantes restringidas.

En este caso, la partícula está restringida a una esfera, por lo tanto, la solución natural sería usar coordenadas angulares para describir la posición de la partícula en lugar de cartesiana y resolver (eliminar automáticamente) la restricción de esa manera (la primera opción). Por razones pedagógicas, en su lugar, considere el problema en coordenadas cartesianas (redundantes), con un término multiplicador de Lagrange que impone la restricción.

La acción está dada por

$${\ displaystyle S = \ int dtL = \ int dt \ left [{\ frac {m} {2}} ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2}) - mgz + {\ frac {\ lambda} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -R ^ {2}) \Correcto]}

donde el último término es el término multiplicador de Lagrange que aplica la restricción.

Por supuesto, como se indicó, podríamos haber utilizado diferentes coordenadas esféricas, no redundantes, y haberlo escrito como

$${\ displaystyle S = \ int dt \ left [{\ frac {mR ^ {2}} {2}} ({\ dot {\ theta}} ^ {2} + \ sin ^ {2} (\ theta) { \ dot {\ phi}} ^ {2}) + mgR \ cos (\ theta) \ right]}

en cambio, sin restricciones adicionales; pero estamos considerando la coordinación anterior para ilustrar las limitaciones.

Los momenta conjugados están dados por

$${\ displaystyle p_ {x} = m {\ dot {x}}}, $${\ displaystyle p_ {y} = m {\ dot {y}}}, $${\ displaystyle p_ {z} = m {\ dot {z}}}, $${\ displaystyle p _ {\ lambda} = 0} .

Tenga en cuenta que no podemos determinar •lambda de las cantidades de movimiento.

El hamiltoniano está dado por

$${\ displaystyle H = {\ vec {p}} \ cdot {\ dot {\ vec {r}}} + p _ {\ lambda} {\ dot {\ lambda}} - L = {\ frac {p ^ {2 }} {2m}} + p _ {\ lambda} {\ dot {\ lambda}} + mgz - {\ frac {\ lambda} {2}} (r ^ {2} -R ^ {2})}.

No podemos eliminar •λ en esta etapa todavía. Estamos aquí tratando •lambda como una abreviatura para una función del espacio simpléctico que aún tenemos que determinar y no como una variable independiente. Para consistencia notacional, defina u ₁ = •λ de ahora en adelante. El hamiltoniano anterior con el término p _λ es el "hamiltoniano ingenuo". Tenga en cuenta que dado que, en el shell, la restricción debe cumplirse, no se puede distinguir, en el shell, entre el hamiltoniano ingenuo y el hamiltoniano anterior con el coeficiente no determinado, •λ = u ₁ .  

Tenemos la restricción principal

p _λ = 0 .

Requerimos, por motivos de coherencia, que el corchete de Poisson de todas las restricciones con el Hamiltoniano desaparezca en el subespacio restringido. En otras palabras, las restricciones no deben evolucionar en el tiempo si van a ser idénticamente cero en las ecuaciones de movimiento.

De esta condición de consistencia, inmediatamente obtenemos la restricción secundaria

r ² - R ² = 0 .

Por el mismo razonamiento, esta restricción se debe agregar al Hamiltoniano con un coeficiente u ₂indeterminado (no necesariamente constante) . En este punto, el hamiltoniano es

$${\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + mgz - {\ frac {\ lambda} {2}} (r ^ {2} -R ^ {2}) + u_ {1 } p _ {\ lambda} + u_ {2} (r ^ {2} -R ^ {2}) ~.}

Del mismo modo, de esta restricción secundaria, obtenemos la restricción terciaria, $${\ displaystyle {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {r}} = 0}, exigiendo, por consistencia, que $${\ displaystyle \ {r ^ {2} -R ^ {2}, \, H \} _ {PB} = 0} en la cáscara.

Nuevamente, uno debe agregar esta restricción al Hamiltoniano, ya que, en la cáscara, nadie puede notar la diferencia. Por lo tanto, hasta el momento, el hamiltoniano parece

$${\ displaystyle H = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + mgz - {\ frac {\ lambda} {2}} (r ^ {2} -R ^ {2}) + u_ {1 } p _ {\ lambda} + u_ {2} (r ^ {2} -R ^ {2}) + u_ {3} {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {r}} ~,}

donde u ₁ , u ₂ , y u ₃ aún están completamente indeterminados.

Tenga en cuenta que, con frecuencia, todas las restricciones que se encuentran en las condiciones de consistencia se conocen como "restricciones secundarias" y las restricciones secundarias, terciarias, cuaternarias, etc., no se distinguen.

La condición de consistencia de la restricción terciaria rinde

$${\ displaystyle \ {{\ vec {p}} \ cdot {\ vec {r}}, \, H \} _ {PB} = {\ frac {p ^ {2}} {m}} - mgz + \ lambda r ^ {2} -2u_ {2} r ^ {2} = 0.}

Sin embargo, ahora, esto no es una restricción cuaternaria, sino una condición que corrige uno de los coeficientes indeterminados. En particular, arregla

$${\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {\ lambda} {2}} + {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {p ^ {2}} {2m} } - {\ frac {1} {2}} mgz \ derecha).}

Ahora que hay nuevos términos en el Hamiltoniano, uno debe regresar y verificar las condiciones de consistencia para las restricciones primarias y secundarias. La condición de consistencia de la restricción secundaria da

$${\ displaystyle {\ frac {2} {m}} {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {p}} + 2u_ {3} r ^ {2} = 0.}

Una vez más, esto no es una nueva restricción; solo determina que

$${\ displaystyle u_ {3} = - {\ frac {{\ vec {r}} \ cdot {\ vec {p}}} {mr ^ {2}}} ~.}

¡En este punto no hay más restricciones ni condiciones de consistencia para verificar !

Poniendolo todo junto,

$${\ displaystyle H = \ left (2 - {\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + {\ frac { 1} {2}} \ left (1 + {\ frac {R ^ {2}} {r ^ {2}}} \ right) mgz - {\ frac {({\ vec {r}} \ cdot {\ vec {p}}) ^ {2}} {mr ^ {2}}} + u_ {1} p _ {\ lambda}}.

Al encontrar las ecuaciones de movimiento, uno debe usar el Hamiltoniano anterior, y siempre que tenga cuidado de nunca usar restricciones antes de tomar derivadas en el corchete de Poisson, entonces obtiene las ecuaciones de movimiento correctas. Es decir, las ecuaciones de movimiento están dadas por

$${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = \ {{\ vec {r}}, \, H \} _ {PB}, \ quad {\ dot {\ vec {p}}} = \ {{\ vec {p}}, \, H \} _ {PB}, \ quad {\ dot {\ lambda}} = \ {\ lambda, \, H \} _ {PB}, \ quad {\ dot {p}} _ {\ lambda} = \ {p _ {\ lambda}, H \} _ {PB}.}

Antes de analizar el hamiltoniano, considere las tres restricciones,

$${\ displaystyle \ phi _ {1} = p _ {\ lambda}, \ quad \ phi _ {2} = r ^ {2} -R ^ {2}, \ quad \ phi _ {3} = {\ vec { p}} \ cdot {\ vec {r}}.}

Tenga en cuenta la estructura de soporte no trivial de Poisson de las restricciones. En particular,

$${\ displaystyle \ {\ phi _ {2}, \ phi _ {3} \} = 2r ^ {2} \ neq 0.}

El soporte Poisson anterior no solo no desaparece fuera de shell, lo que podría anticiparse, sino que incluso en shell es distinto de cero . Por lo tanto, φ ₂ y φ ₃ son restricciones de segunda clase, mientras que φ ₁ es una restricción de primera clase. Tenga en cuenta que estas restricciones satisfacen la condición de regularidad. 

Aquí, tenemos un espacio simpléctico donde el corchete de Poisson no tiene "propiedades agradables" en el subespacio restringido. Sin embargo, Dirac notó que podemos convertir la variedad diferencial subyacente del espacio simpléctico en una variedad de Poisson utilizando su soporte modificado del mismo nombre, llamado soporte de Dirac , de modo que este soporte de Dirac de cualquier función (suave) con cualquiera de las restricciones de segunda clase siempre se desvanece .

Efectivamente, estos soportes (ilustrados para esta superficie esférica en el artículo del soporte de Dirac ) proyectan el sistema nuevamente sobre la superficie de restricciones. Si uno deseaba cuantizar canónicamente este sistema, entonces uno necesita promover los corchetes de Dirac canónicos, ^[4] no los corchetes de Poisson canónicos a las relaciones de conmutación.

El examen del Hamiltoniano anterior muestra una serie de cosas interesantes que suceden. Una cosa a tener en cuenta es que, en la cáscara cuando se cumplen las restricciones, el Hamiltoniano extendido es idéntico al Hamiltoniano ingenuo, según sea necesario. Además, tenga en cuenta que λ abandonó el Hamiltoniano extendido. Dado que φ ₁ es una restricción primaria de primera clase, debe interpretarse como un generador de una transformación de calibre. El calibre de la libertad es la libertad de elegir λ , que ha dejado de tener algún efecto en la dinámica de la partícula. Por lo tanto, esa λ abandonada del Hamiltoniano, que u ₁ es indeterminada, y que φ ₁ = p _λ Es de primera clase, todos están estrechamente relacionados entre sí.

Tenga en cuenta que sería más natural no comenzar con un Lagrangiano con un multiplicador de Lagrange, sino tomar r² - R ² como una restricción primaria y proceder a través del formalismo: el resultado sería la eliminación de la cantidad dinámica λ extraña . Sin embargo, el ejemplo es más edificante en su forma actual.

Ver también: soporte de Dirac

Ejemplo: Proca action [ editar ]

Otro ejemplo que usaremos es la acción Proca . Los campos son$${\ displaystyle A ^ {\ mu} = ({\ vec {A}}, \ phi)} y la accion es

$${\ displaystyle S = \ int d ^ {d} xdt \ left [{\ frac {1} {2}} E ^ {2} - {\ frac {1} {4}} B_ {ij} B_ {ij} - {\ frac {m ^ {2}} {2}} A ^ {2} + {\ frac {m ^ {2}} {2}} \ phi ^ {2} \ right]}

dónde

$${\ displaystyle {\ vec {E}} \ equiv - \ nabla \ phi - {\ dot {\ vec {A}}}}

y

$${\ displaystyle B_ {ij} \ equiv {\ frac {\ parcial A_ {j}} {\ parcial x_ {i}}} - {\ frac {\ parcial A_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} }.

$${\ displaystyle ({\ vec {A}}, - {\ vec {E}})} y $${\ displaystyle (\ phi, \ pi)}Son variables canónicas . Las restricciones de segunda clase son

$${\ displaystyle \ pi \ approx 0}

y

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {E}} + m ^ {2} \ phi \ approx 0}.

El hamiltoniano está dado por

$${\ displaystyle H = \ int d ^ {d} x \ left [{\ frac {1} {2}} E ^ {2} + {\ frac {1} {4}} B_ {ij} B_ {ij} - \ pi \ nabla \ cdot {\ vec {A}} + {\ vec {E}} \ cdot \ nabla \ phi + {\ frac {m ^ {2}} {2}} A ^ {2} - { \ frac {m ^ {2}} {2}} \ phi ^ {2} \ right]}.