MECÁNICA CLÁSICA

marco de centro de momento (también marco de momento cero o marco COM ) de un sistema es el marco inercial único (hasta la velocidad pero no el origen) en el cual el momento total del sistema se desvanece. El centro de impulso de un sistema no es una ubicación (sino una colección de momentos / velocidades relativas). Por lo tanto, "centro de impulso" significa " marco de centro de impulso " y es una forma corta de esta frase. ^[1]

Un caso especial del marco centro de momento es el marco centro de masa : un marco inercial en el que el centro de masa (que es un punto físico) permanece en el origen. En todos los cuadros COM, el centro de masa está en reposo, pero no está necesariamente en el origen del sistema de coordenadas.

En la relatividad especial , el marco COM es necesariamente único solo cuando el sistema está aislado.

Propiedades [ editar ]

General [ editar ]

El centro del marco de momento se define como el marco de inercia en el cual la suma sobre el momento lineal de cada partícula se desvanece. Sea S el sistema de referencia del laboratorio y S 'el marco de referencia del centro del momento. Usando una transformación galileana , la velocidad de la partícula en S ′ es

$${\ displaystyle v '= v-V_ {c},}

dónde $${\ displaystyle V_ {c} = {\ frac {\ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}} {\ sum _ {i} m_ {i}}}}

Es la velocidad del centro de masa. El impulso total en el sistema de centro de impulso luego desaparece:

$${\ displaystyle \ sum _ {i} p '_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} v' _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} (v_ {i} -V_ {c}) = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {\ sum _ {j} m_ {j} v_ {j}} { \ sum _ {j} m_ {j}}} = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {j} m_ {j} v_ {j} = 0.}

Además, la energía total del sistema es la energía mínima vista desde todos los marcos de referencia inerciales .

La relatividad especial [ editar ]

En relatividad , el marco COM existe para un sistema masivo aislado. Esta es una consecuencia del teorema de Noether . En el marco COM, la energía total del sistema es la energía en reposo , y esta cantidad (cuando se divide por el factor c ² , donde c es la velocidad de la luz ) da la masa en reposo ( masa invariable ) del sistema:

$${\ displaystyle m_ {0} = {\ frac {E_ {0}} {c ^ {2}}}.

La masa invariante del sistema se da en cualquier marco inercial por la relación invariante relativista

$${\ displaystyle m_ {0} {} ^ {2} = \ left ({\ frac {E} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {p} {c }} \ right) ^ {2},}

pero para el impulso cero, el término de impulso ( p / c ) ² desaparece y, por lo tanto, la energía total coincide con la energía en reposo.

Los sistemas que tienen energía no nula pero que no tienen masa en reposo (como los fotones que se mueven en una sola dirección, o de manera equivalente, ondas electromagnéticas planas ) no tienen tramas COM, porque no hay una trama en la que tengan un momento neto nulo. Debido a la invariancia de la velocidad de la luz , tales sistemas sin masa deben viajar a la velocidad de la luz en cualquier fotograma, y ​​por lo tanto siempre deben poseer una magnitud de momento neta que sea igual a su energía dividida por la velocidad de la luz:

$${\ displaystyle p = {\ frac {E} {c}}.

Problema de dos cuerpos [ editar ]

A continuación se ofrece un ejemplo del uso de este cuadro: en una colisión de dos cuerpos, no necesariamente elástica (donde se conserva la energía cinética ). El marco COM se puede usar para encontrar el impulso de las partículas mucho más fácil que en un marco de laboratorio : el marco donde se realiza la medición o el cálculo. La situación se analiza utilizando las transformaciones galileanas y la conservación del momento (por general, en lugar de las energías cinéticas solamente), para dos partículas de masa m ₁ y m ₂ , que se mueven a velocidades iniciales (antes de la colisión) u ₁ y u ₂respectivamente. Las transformaciones se aplican para tomar la velocidad del marco desde la velocidad de cada partícula desde el marco de laboratorio (cantidades no imprimadas) al marco COM (cantidades imprimadas): ^[1]

$${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V}, \ quad \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = \ mathbf {u} _ {2} - \ mathbf {V}}

donde V es la velocidad de la trama COM. Dado que V es la velocidad del COM, es decir, la derivada temporal de la ubicación COM R (posición del centro de masa del sistema): ^[2]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {R}} {{\ rm {d}} t}} & = {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} t}} \ left ({\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1 } + m_ {2}}} \\ & = \ mathbf {V} \\\ end {alineado}}}

así que en el origen de la trama COM, R = 0 , esto implica

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

Se pueden obtener los mismos resultados aplicando la conservación del momento en el marco del laboratorio, donde los momentos son p ₁ y p ₂ :

$${\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {p} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {\ frac { m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

y en el marco COM, donde se afirma definitivamente que el momento total de las partículas, p ₁ 'y p ₂ ', se desvanece:

$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} + \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime } + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

El uso de la ecuación de marco COM para resolver para V devuelve la ecuación de marco de laboratorio anterior, demostrando que cualquier marco (incluido el marco COM) puede usarse para calcular el momento de las partículas. Se ha establecido que la velocidad del marco COM puede eliminarse del cálculo utilizando el marco anterior, por lo que el momento de las partículas en el marco COM puede expresarse en términos de las cantidades en el marco del laboratorio (es decir, los valores iniciales dados). ):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} & = m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} ^ {\ prime} \\ & = m_ {1 } \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {V} \ right) = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ left (\ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2} \ right) \\ & = - m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} \\\ end {alineado}}}

note que la velocidad relativa en el marco de laboratorio de la partícula 1 a 2 es

$${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {u} = \ mathbf {u} _ {1} - \ mathbf {u} _ {2}}

y la masa reducida de 2 cuerpos es

$${\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}

por lo que los momentos de las partículas se reducen de forma compacta a

$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = \ mu \ Delta \ mathbf {u}}

Este es un cálculo sustancialmente más simple de los momentos de ambas partículas; la masa reducida y la velocidad relativa se pueden calcular a partir de las velocidades iniciales en el marco del laboratorio y las masas, y el impulso de una partícula es simplemente el negativo de la otra. El cálculo se puede repetir para las velocidades finales v ₁ y v ₂ en lugar de las velocidades iniciales u ₁ y u ₂ , ya que después de la colisión las velocidades aún satisfacen las ecuaciones anteriores: ^[3]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {{\ rm {d}} \ mathbf {R}} {{\ rm {d}} t}} & = {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} t}} \ left ({\ frac {m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ right) \\ & = {\ frac {m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2}} {m_ {1 } + m_ {2}}} \\ & = \ mathbf {V} \\\ end {alineado}}}

así que en el origen de la trama COM, R = 0 , esto implica después de la colisión

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} ^ {\ prime} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} ^ {\ prime} = {\ boldsymbol {0}}}

En el marco del laboratorio, la conservación del impulso lee completamente:

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {u} _ {2} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) \ mathbf {V}}

Esta ecuación no implica que

$${\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {u} _ {1} = m_ {1} \ mathbf {v} _ {1} = m_ {1} \ mathbf {V}, \ quad m_ {2} \ mathbf { u} _ {2} = m_ {2} \ mathbf {v} _ {2} = m_ {2} \ mathbf {V}}

en cambio, simplemente indica que la masa total M multiplicada por la velocidad del centro de masa V es el momento total P del sistema:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {P} & = \ mathbf {p} _ {1} + \ mathbf {p} _ {2} \\ & = (m_ {1} + m_ {2}) \ mathbf {V} \\ & = M \ mathbf {V} \ end {alineado}}}

Se obtiene un análisis similar al anterior.

$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} ^ {\ prime} = - \ mathbf {p} _ {2} ^ {\ prime} = \ mu \ Delta \ mathbf {v} = \ mu \ Delta \ mathbf {u}}

donde la velocidad relativa final en el marco de laboratorio de la partícula 1 a 2 es

$${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2} = \ Delta \ mathbf {u}.}

 centro de gravedad de un cuerpo material es un punto que se puede usar para una descripción resumida de las interacciones gravitacionales. En un campo gravitatorio uniforme , el centro de masa sirve como centro de gravedad. Esta es una muy buena aproximación para cuerpos más pequeños cerca de la superficie de la Tierra, por lo que no hay una necesidad práctica de distinguir el "centro de gravedad" del "centro de masa" en la mayoría de las aplicaciones, como ingeniería y medicina.

En un campo no uniforme, los efectos gravitacionales, como la energía potencial , la fuerza y el par , ya no se pueden calcular utilizando solo el centro de masa. En particular, un campo gravitatorio no uniforme puede producir un par de torsión en un objeto, incluso alrededor de un eje a través del centro de masa. El centro de gravedad busca explicar este efecto. Formalmente, un centro de gravedad es un punto de aplicación de la fuerza gravitacional resultante en el cuerpo. Tal punto puede no existir, y si existe, no es único. Uno puede definir mejor un centro de gravedad único al aproximar el campo como paralelo o esférico simétrico.

El concepto de un centro de gravedad distinto del centro de masa rara vez se utiliza en aplicaciones, incluso en la mecánica celeste , donde los campos no uniformes son importantes. Dado que el centro de gravedad depende del campo externo, su movimiento es más difícil de determinar que el movimiento del centro de masa. El método común para lidiar con los pares gravitacionales es una teoría de campo.

Centro de masas [ editar ]

Artículo principal: Centro de masas.

Una forma de definir el centro de gravedad de un cuerpo es como el único punto en el cuerpo, si existe, que cumpla con el siguiente requisito: No hay un par alrededor del punto para cualquier posición del cuerpo en el campo de fuerza en el que se encuentra. es colocado. Este centro de gravedad existe solo cuando la fuerza es uniforme, en cuyo caso coincide con el centro de masa. ^[1] Este enfoque se remonta a Arquímedes . ^[2]

Centros de gravedad en un campo [ editar ]

Cuando un cuerpo se ve afectado por un campo gravitatorio externo no uniforme, a veces se puede definir un centro de gravedad relativo a ese campo que actuará como un punto donde se aplica la fuerza gravitacional. Los libros de texto como The Feynman Lectures on Physics caracterizan el centro de gravedad como un punto sobre el cual no hay torque. En otras palabras, el centro de gravedad es un punto de aplicación para la fuerza resultante. ^[3] Bajo esta formulación, el centro de gravedad r _cg se define como un punto que satisface la ecuación

$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} \ times \ mathbf {F} = {\ boldsymbol {\ tau}},}

donde F y τ son la fuerza total y el par en el cuerpo debido a la gravedad. ^[4]

Una complicación relacionada con r _cg es que su ecuación de definición no es generalmente solucionable. Si F y τ no son ortogonales , entonces no hay solución; la fuerza de gravedad no tiene un resultado y no puede ser reemplazada por una sola fuerza en ningún punto. ^[5] Hay algunos casos especiales importantes en los que se garantiza que F y τ son ortogonales, como si todas las fuerzas estuvieran en un solo plano o estuvieran alineadas con un solo punto. ^[6]

Si la ecuación es solucionable, existe otra complicación: sus soluciones no son únicas. En cambio, hay infinitas soluciones; El conjunto de todas las soluciones se conoce como la línea de acción de la fuerza. Esta línea es paralela al peso F . En general, no hay forma de elegir un punto particular como el único centro de gravedad. ^[7]Se puede elegir un solo punto en algunos casos especiales, por ejemplo, si el campo gravitatorio es paralelo o esférico simétrico. Estos casos se consideran a continuación.

Campos paralelos [ editar ]

Parte de la falta de homogeneidad en un campo gravitatorio puede modelarse mediante un campo variable pero paralelo: g ( r ) = g ( r ) n , donde n es un vector unitario constante. Aunque un campo gravitatorio no uniforme no puede ser exactamente paralelo, esta aproximación puede ser válida si el cuerpo es lo suficientemente pequeño. ^[8] El centro de gravedad puede entonces definirse como un cierto promedio ponderado de las ubicaciones de las partículas que componen el cuerpo. Mientras que el centro de masa promedia sobre la masa de cada partícula, el centro de gravedad promedia sobre el peso de cada partícula:

$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} = {\ frac {1} {W}} \ sum _ {i} w_ {i} \ mathbf {r} _ {i},}

donde w _i es el peso (escalar) de la partícula i th y W es el peso total (escalar) de todas las partículas. ^[9] Esta ecuación siempre tiene una solución única, y en la aproximación de campo paralelo, es compatible con el requisito de par. ^[10]

Una ilustración común se refiere a la Luna en el campo de la Tierra . Usando la definición del promedio ponderado, la Luna tiene un centro de gravedad que es más bajo (más cercano a la Tierra) que su centro de masa, porque su porción inferior está más fuertemente influenciada por la gravedad de la Tierra. ^[11]

Campos esféricamente simétricos [ editar ]

Si el campo gravitatorio externo es esféricamente simétrico, entonces es equivalente al campo de una masa puntual M en el centro de simetría r . En este caso, el centro de gravedad se puede definir como el punto en el cual la ley de Newton da la fuerza total sobre el cuerpo :

$${\ displaystyle {\ frac {GmM (\ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} - \ mathbf {r})} {| \ mathbf {r} _ {\ mathrm {cg}} - \ mathbf {r } | ^ {3}}} = \ mathbf {F},}

donde G es la constante gravitacional y m es la masa del cuerpo. Mientras la fuerza total sea distinta de cero, esta ecuación tiene una solución única y satisface el requisito de par. ^[12] Una característica conveniente de esta definición es que si el cuerpo es esféricamente simétrico, entonces r _{cg se} encuentra en su centro de masa. En general, a medida que aumenta la distancia entre r y el cuerpo, el centro de gravedad se acerca al centro de masa. ^[13]

Otra forma de ver esta definición es considerar el campo gravitatorio del cuerpo; entonces r _cg es la fuente aparente de atracción gravitatoria para un observador ubicado en r . Por esta razón, a veces se hace referencia a r _cg como el centro de gravedad de M en relación con el punto r . ^[7]

Uso [ editar ]

Los centros de gravedad definidos anteriormente no son puntos fijos en el cuerpo; más bien, cambian a medida que cambia la posición y la orientación del cuerpo. Esta característica hace que sea difícil trabajar con el centro de gravedad, por lo que el concepto tiene poco uso práctico. ^[14]

Cuando es necesario considerar un par gravitacional, es más fácil representar la gravedad como una fuerza que actúa en el centro de la masa, más una pareja que depende de la orientación . ^[15] Este último se aborda mejor al tratar el potencial gravitatorio como un campo .