MECÁNICA CLÁSICA

En la mecánica clásica , una fuerza central sobre un objeto es una fuerza que se dirige a lo largo de la línea que une el objeto y el origen ^[a] [1] :

$${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = F (\ mathbf {r}) {\ hat {\ mathbf {r}}}}

dónde $${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ text {F}}}}es la fuerza, F es una función de fuerza de valor vectorial , F es una función de fuerza de valor escalar, r es el vector de posición , || r || es su longitud, y$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}= r / || r || Es el vector unitario correspondiente .

No todos los campos de fuerza centrales son conservadores ni esféricamente simétricos . Sin embargo, se puede demostrar que una fuerza central es conservadora si y solo si es esféricamente simétrica. 

Propiedades [ editar ]

Las fuerzas centrales que son conservadoras siempre pueden expresarse como el gradiente negativo de una energía potencial :

$${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - \ mathbf {\ nabla} V (\ mathbf {r}) {\ text {, where}} V (\ mathbf {r}) = \ int _ {| \ mathbf {r} |} ^ {+ \ infty} F (r) \, \ mathrm {d} r}

(El límite superior de integración es arbitrario, ya que el potencial se define hasta una constante aditiva).

En un campo conservador, la energía mecánica total ( cinética y potencial) se conserva:

$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} m | \ mathbf {\ dot {r}} | ^ {2} + V (\ mathbf {r}) = {\ text {constant}}}

(donde ṙ denota la derivada de r con respecto al tiempo, que es la velocidad ), y en un campo de fuerza central, también lo es el momento angular :

$${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {\ dot {r}} = {\ text {constant}}}

Porque el par que ejerce la fuerza es cero. Como consecuencia, el cuerpo se mueve en el plano perpendicular al vector de momento angular y que contiene el origen, y obedece a la segunda ley de Kepler . (Si el momento angular es cero, el cuerpo se mueve a lo largo de la línea que lo une con el origen).

También se puede demostrar que un objeto que se mueve bajo la influencia de cualquier fuerza central obedece a la segunda ley de Kepler. Sin embargo, la primera y la tercera leyes dependen de la naturaleza inversa del cuadrado de la ley de Newton de la gravitación universal y no se aplican en general a otras fuerzas centrales.

Como consecuencia de ser conservadores, estos campos de fuerza central específicos son irrotacionales, es decir, su curvatura es cero, excepto en el origen :

$${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {0} {\ text {.}}}

Ejemplos [ editar ]

La fuerza gravitacional y la fuerza de Coulomb son dos ejemplos familiares con$${\ displaystyle F (\ mathbf {r})}siendo proporcional a 1 / r ²solamente. Un objeto en tal campo de fuerza con negativo$${\ displaystyle F (\ mathbf {r})}(correspondiente a una fuerza atractiva) obedece las leyes de Kepler del movimiento planetario .

El campo de fuerza de un oscilador armónico espacial es central con$${\ displaystyle F (\ mathbf {r})}Proporcional a r solo y negativo.

Por el teorema de Bertrand , estos dos,$${\ displaystyle F (\ mathbf {r}) = - k / r ^ {2}}y $${\ displaystyle F (\ mathbf {r}) = - kr}, son los únicos campos de fuerza central posibles donde todas las órbitas limitadas son órbitas cerradas estables. Sin embargo, existen otros campos de fuerza, que tienen algunas órbitas cerradas.

 movimiento circular es un movimiento de un objeto a lo largo de la circunferencia de un círculo o rotación a lo largo de un camino circular. Puede ser uniforme, con velocidad de rotación angular constante y velocidad constante, o no uniforme con una velocidad de rotación variable. La rotación alrededor de un eje fijode un cuerpo tridimensional implica un movimiento circular de sus partes. Las ecuaciones de movimiento describen el movimiento del centro de masa de un cuerpo.

Los ejemplos de movimiento circular incluyen: un satélite artificial que orbita alrededor de la Tierra a una altura constante, las aspas de un ventilador del techo girando alrededor de un cubo, una piedra que está atada a una cuerda y se está girando en círculos, un automóvil que gira a través de una curva hacia adentro una pista de carreras , un electrón que se mueve perpendicular a un campo magnético uniforme y un engranaje que gira dentro de un mecanismo.

Dado que el vector de velocidad del objeto cambia constantemente de dirección, el objeto en movimiento está experimentando una aceleración por una fuerza centrípeta en la dirección del centro de rotación. Sin esta aceleración, el objeto se movería en línea recta, de acuerdo con las leyes de movimiento de Newton .

Movimiento circular uniforme [ editar ]

Figura 1: Velocidad v y aceleración a en movimiento circular uniforme a velocidad angular ω; la velocidad es constante, pero la velocidad siempre es tangente a la órbita; La aceleración tiene una magnitud constante, pero siempre apunta hacia el centro de rotación.

Figura 2: Los vectores de velocidad en el tiempo t y el tiempo t + dt se mueven desde la órbita de la izquierda a las nuevas posiciones donde coinciden sus colas, a la derecha. Debido a que la velocidad se fija en magnitud en v = r ω, los vectores de velocidad también barren una trayectoria circular a una velocidad angular ω. Cuando dt → 0, el vector de aceleración a se vuelve perpendicular a v , lo que significa que apunta hacia el centro de la órbita en el círculo de la izquierda. El ángulo ω dt es el ángulo muy pequeño entre las dos velocidades y tiende a cero como dt → 0.

Figura 3: Bola (izquierda) en movimiento circular: la cuerda proporciona una fuerza centrípeta para mantener la bola en círculo (derecha) La cuerda se corta y la bola continúa en línea recta con velocidad en el momento de cortar la cuerda, de acuerdo con la ley de inercia de Newton. Porque la fuerza centrípeta ya no está allí.

En física , el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo que atraviesa una trayectoria circular a velocidad constante . Dado que el cuerpo describe el movimiento circular, su distancia desde el eje de rotación permanece constante en todo momento. Aunque la velocidad del cuerpo es constante, su velocidad no es constante: la velocidad, una cantidad vectorial , depende tanto de la velocidad del cuerpo como de su dirección de desplazamiento. Esta velocidad cambiante indica la presencia de una aceleración; Esta aceleración centrípeta es de magnitud constante y se dirige en todo momento hacia el eje de rotación. Esta aceleración es, a su vez, producida por una fuerza centrípeta. que también es constante en magnitud y se dirige hacia el eje de rotación.

En el caso de la rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido que no es despreciablemente pequeño en comparación con el radio de la trayectoria, cada partícula del cuerpo describe un movimiento circular uniforme con la misma velocidad angular, pero con velocidad y aceleración que varían con el Posición respecto al eje.

Fórmulas [ editar ]

Figura 1: Relaciones vectoriales para movimiento circular uniforme; El vector ω que representa la rotación es normal al plano de la órbita.

Para el movimiento en un círculo de radio r , la circunferencia del círculo es C = 2 π r . Si el período para una rotación es T , la velocidad de rotación angular, también conocida como velocidad angular , ω es:

$${\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}} = 2 \ pi f = {\ frac {d \ theta} {dt}} \} y las unidades son radianes / segundo

La velocidad del objeto que recorre el círculo es:

$${\ displaystyle v = {\ frac {2 \ pi r} {T}} = \ omega r}

El ángulo θ barrido en un tiempo t es:

$${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi {\ frac {t} {T}} = \ omega t \,}

La aceleración angular , α , de la partícula es:

$${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {d \ omega} {dt}}}

En el caso de movimiento circular uniforme, α será cero.

La aceleración debida al cambio en la dirección es:

$${\ displaystyle a = {\ frac {v ^ {2}} {r}} = \ omega ^ {2} r}

La fuerza centrípeta y centrífuga también se puede encontrar usando la aceleración:

$${\ displaystyle F_ {c} = {\ dot {p}} \ {\ overset {{\ dot {m}} = 0} {=}} \ ma = {\ frac {mv ^ {2}} {r} }}

Las relaciones vectoriales se muestran en la Figura 1. El eje de rotación se muestra como un vector ω perpendicular al plano de la órbita y con una magnitud ω = d θ / dt . La dirección de ω se elige utilizando la regla de la mano derecha . Con esta convención para representar la rotación, la velocidad viene dada por un producto cruzado vectorial como

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \,}

que es un vector perpendicular tanto a ω como a r ( t ), tangencial a la órbita y de magnitud ω r . Asimismo, la aceleración viene dada por

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ derecha) \,}

que es un vector perpendicular tanto a ω como a v ( t ) de magnitud ω | v | = ω ² r y dirigido exactamente opuesto a r ( t). ^[1]

En el caso más simple, la velocidad, la masa y el radio son constantes.

Considere un cuerpo de un kilogramo, moviéndose en un círculo de radio de un metro, con una velocidad angular de un radián por segundo .

• La velocidad es de un metro por segundo.
• La aceleración hacia el interior es de un metro por segundo cuadrado, v ² / r.
• Está sujeto a una fuerza centrípeta de un kilogramo de metro por segundo cuadrado, que es un newton .
• El impulso del cuerpo es un kg · m · s ⁻¹ .
• El momento de inercia es de un kg · m ² .
• El momento angular es un kg · m ² · s ⁻¹ .
• La energía cinética es de 1/2 julios .
• La circunferencia de la órbita es 2 π (~ 6.283) metros.
• El período del movimiento es 2 π segundos por turno .
• La frecuencia es (2 π ) ⁻¹ hertz .

En coordenadas polares [ editar ]

Figura 4: Coordenadas polares para trayectoria circular. A la izquierda hay un círculo unitario que muestra los cambios.$${\ displaystyle \ mathbf {d {\ hat {u}} _ {R}}} y $${\ displaystyle \ mathbf {d {\ hat {u}} _ {\ theta}}} en los vectores unitarios $${\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {u}} _ {R}}} y $${\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {u}} _ {\ theta}}} por un pequeño incremento $${\ displaystyle \ mathrm {d \ theta}} en ángulo $${\ displaystyle \ mathrm {\ theta}}.

Durante el movimiento circular, el cuerpo se mueve en una curva que se puede describir en el sistema de coordenadas polares como una distancia fija Rdesde el centro de la órbita tomada como origen, orientada en un ángulo θ ( t ) desde alguna dirección de referencia. Ver Figura 4. El vector dedesplazamiento. $${\ displaystyle {\ vec {r}}} es el vector radial desde el origen hasta la ubicación de la partícula:

$${\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = R {\ hat {u}} _ {R} (t) \,}

dónde $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}es el vector unitario paralelo al vector radio en el tiempo t y apunta hacia el origen. Es conveniente introducir el vector unitario ortogonal a$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} tambien $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}. Es costumbre orientarse.$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)} apuntar en la dirección de desplazamiento a lo largo de la órbita.

La velocidad es la derivada del tiempo del desplazamiento:

$${\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt}} {\ vec {r}} (t) = {\ frac {dR} {dt}} {\ hat {u }} _ {R} (t) + R {\ frac {d {\ hat {u}} _ {R}} {dt}} \.}

Debido a que el radio del círculo es constante, la componente radial de la velocidad es cero. El vector unitario$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} tiene una magnitud de unidad invariante en el tiempo, por lo que a medida que el tiempo varía, su punta siempre se encuentra en un círculo de radio unitario, con un ángulo igual al ángulo de $${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}. Si el desplazamiento de la partícula gira en un ángulo d θ en el tiempo dt , también lo hace$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}, describiendo un arco en el círculo unitario de magnitud d θ. Vea el círculo unitario a la izquierda de la Figura 4. Por lo tanto:

$${\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {u}} _ {R}} {dt}} = {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} ( t) \,}

donde la dirección del cambio debe ser perpendicular a $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} (o, en otras palabras, a lo largo de $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}) porque cualquier cambio $${\ displaystyle d {\ hat {u}} _ {R} (t)} en la dirección de $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} cambiaría el tamaño de $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}. El signo es positivo, porque un aumento en d θ implica el objeto y$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)} se han movido en la dirección de $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}. De ahí que la velocidad se convierte en:

$${\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt}} {\ vec {r}} (t) = R {\ frac {d {\ hat {u}} _ { R}} {dt}} = R {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = R \ omega {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \.}

La aceleración del cuerpo también se puede dividir en componentes radiales y tangenciales. La aceleración es la derivada del tiempo de la velocidad:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {a}} (t) & = {\ frac {d} {dt}} {\ vec {v}} (t) = {\ frac {d} {dt }} \ left (R \ omega {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \ right) \\ & = R \ left ({\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat { u}} _ {\ theta} (t) + \ omega {\ frac {d {\ hat {u}} _ {\ theta}} {dt}} \ right) \. \ end {alineado}}}

El tiempo derivado de $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)} se encuentra de la misma manera que para $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}. Otra vez,$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}es un vector unitario y su extremo traza un círculo unitario con un ángulo que es π / 2 + θ. Por lo tanto, un aumento en el ángulo d θ por$${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)} implica $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)}traza un arco de magnitud d θ, y como$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)} es ortogonal a $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}, tenemos:

$${\ displaystyle {\ frac {d {\ hat {u}} _ {\ theta}} {dt}} = - {\ frac {d \ theta} {dt}} {\ hat {u}} _ {R} (t) = - \ omega {\ hat {u}} _ {R} (t) \,}

donde se necesita un signo negativo para mantener $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)} ortogonal a $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}. (De lo contrario, el ángulo entre$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ theta} (t)} y $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {R} (t)}sería disminuir con el aumento en d . θ) Ver el círculo unidad a la izquierda de la figura 4. Por consiguiente, la aceleración es:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {a}} (t) & = R \ left ({\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} ( t) + \ omega {\ frac {d {\ hat {u}} _ {\ theta}} {dt}} \ right) \\ & = R {\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) - \ omega ^ {2} R {\ hat {u}} _ {R} (t) \. \ end {alineado}}}

La aceleración centrípeta es el componente radial, que se dirige radialmente hacia adentro:

$${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {R} (t) = - \ omega ^ {2} R {\ hat {u}} _ {R} (t) \,}

Mientras que la componente tangencial cambia la magnitud de la velocidad:

$${\ displaystyle {\ vec {a}} _ {\ theta} (t) = R {\ frac {d \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = {\ frac {dR \ omega} {dt}} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) = {\ frac {d \ left | {\ vec {v}} (t) \ right |} {dt }} {\ hat {u}} _ {\ theta} (t) \.}

Usando números complejos [ editar ]

El movimiento circular se puede describir usando números complejos . Que el eje x sea ​​el eje real y el eje x$${\ displaystyle y}Eje ser el eje imaginario. La posición del cuerpo se puede dar como$${\ displaystyle z}, un "vector" complejo:

$${\ displaystyle z = x + iy = R (\ cos [\ theta (t)] + i \ sin [\ theta (t)]) = Re ^ {i \ theta (t)} \,}

donde i es la unidad imaginaria , y$${\ displaystyle \ theta (t)}es el argumento del número complejo en función del tiempo, t .

Dado que el radio es constante:

$${\ displaystyle {\ dot {R}} = {\ ddot {R}} = 0 \,}

donde un punto indica diferenciación con respecto al tiempo.

Con esta notación la velocidad se convierte en:

$${\ displaystyle v = {\ dot {z}} = {\ frac {d \ left (Re ^ {i \ theta [t]} \ right)} {dt}} = R {\ frac {d \ left (e ^ {i \ theta [t]} \ right)} {dt}} = Re ^ {i \ theta (t)} {\ frac {d (i \ theta [t])} {dt}} = iR {\ punto {\ theta}} (t) e ^ {i \ theta (t)} = i \ omega Re ^ {i \ theta (t)} = i \ omega z}

y la aceleración se convierte en:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} a & = {\ dot {v}} = i {\ dot {\ omega}} z + i \ omega {\ dot {z}} = \ left (i {\ dot {\ omega}} - \ omega ^ {2} \ right) z \\ & = \ left (i {\ dot {\ omega}} - \ omega ^ {2} \ right) Re ^ {i \ theta (t)} \\ & = - \ omega ^ {2} Re ^ {i \ theta (t)} + {\ dot {\ omega}} e ^ {i {\ frac {\ pi} {2}}} Re ^ {i \ theta (t)} \. \ end {alineado}}}

El primer término es opuesto en dirección al vector de desplazamiento y el segundo es perpendicular a él, al igual que los resultados anteriores mostrados anteriormente.

Velocidad [ editar ]

La Figura 1 ilustra los vectores de velocidad y aceleración para un movimiento uniforme en cuatro puntos diferentes de la órbita. Debido a que la velocidad v es tangente a la trayectoria circular, no hay dos velocidades apuntando en la misma dirección. Aunque el objeto tiene una velocidad constante , su dirección siempre está cambiando. Este cambio en la velocidad es causado por una aceleración a , cuya magnitud se mantiene constante (como la de la velocidad), pero cuya dirección también está siempre cambiando. La aceleración apunta radialmente hacia el interior ( centrípeta ) y es perpendicular a la velocidad. Esta aceleración se conoce como aceleración centrípeta.

Para una trayectoria de radio r , cuando se barrió un ángulo θ, la distancia recorrida en la periferia de la órbita es s = r θ. Por lo tanto, la velocidad de viaje alrededor de la órbita es

$${\ displaystyle v = r {\ frac {d \ theta} {dt}} = r \ omega},

donde la velocidad de rotación angular es. (Por reorganización, ω = v / r .) Por lo tanto, v es una constante, y el vector de velocidad v también gira con magnitud constante v , a la misma velocidad angular.

Movimiento circular relativista [ editar ]

En este caso, el vector de tres aceleraciones es perpendicular al vector de tres velocidades,

$${\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {a}} = 0.}

y el cuadrado de la aceleración adecuada, expresado como un invariante escalar, el mismo en todos los marcos de referencia,

$${\ displaystyle \ alpha ^ {2} = \ gamma ^ {4} a ^ {2} + \ gamma ^ {6} ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {a}}) ^ {2} ,}

se convierte en la expresión para el movimiento circular,

$${\ displaystyle \ alpha ^ {2} = \ gamma ^ {4} a ^ {2}.}

o, tomando la raíz cuadrada positiva y usando la aceleración de tres, llegamos a la aceleración adecuada para el movimiento circular:

$${\ displaystyle \ alpha = \ gamma ^ {2} {\ frac {v ^ {2}} {r}}.

Aceleración [ editar ]

Artículo principal: Aceleración

El círculo de la izquierda en la Figura 2 es la órbita que muestra los vectores de velocidad en dos tiempos adyacentes. A la derecha, estas dos velocidades se mueven para que sus colas coincidan. Como la velocidad es constante, los vectores de velocidad de la derecha barren un círculo a medida que avanza el tiempo. Para un ángulo de barrido d θ = ω dt, el cambio en v es un vector en ángulos rectos a v y de magnitud v d θ, que a su vez significa que la magnitud de la aceleración está dada por

$${\ displaystyle a = v {\ frac {d \ theta} {dt}} = v \ omega = {\ frac {v ^ {2}} {r}}}

Aceleración centrípeta para algunos valores de radio y magnitud de velocidad

| v |   r		1 m / s  3.6 km / h 2.2 mph	2 m / s  7.2 km / h  4.5 mph	5 m / s  18 km / h  11 mph	10 m / s  36 km / h  22 mph	20 m / s  72 km / h  45 mph	50 m / s  180 km / h  110 mph	100 m / s  360 km / h  220 mph
		Caminatalenta		Bicicleta		Coche de ciudad		Acrobacia aérea
10 cm  3.9 in	Centrífuga de laboratorio	10 m / s 2 1.0 g	40 m / s2 4.1 g	250 m / s2 25 g	1.0 km / s 2 100 g	4.0 km / s 2 410 g	25 km / s 2 2500 g	100 km / s2 10000 g
20 cm  7.9 in		5.0 m / s²  0.51 g	20 m / s²  2.0 g	130 m / s²  13 g	500 m / s²  51 g	2.0 km / s²  200 g	13 km / s²  1300 g	50 km / s²  5100 g
50 cm  1.6 pies		2,0 m / s²  0,20 g	8.0 m / s²  0.82 g	50 m / s² 5.1 g	200 m / s²  20 g	800 m / s²  82 g	5.0 km / s²  510 g	20 km / s²  2000 g
1 m  3.3 pies	Carrusel de juegos	1,0 m / s²  0,10 g	4,0 m / s²  0,41 g	25 m / s² 2.5 g	100 m / s²  10 g	400 m / s²  41 g	2,5 km / s²  250 g	10 km / s²  1000 g
2 m  6.6 ft		500 mm / s²  0.051 g	2,0 m / s²  0,20 g	13 m / s² 1.3 g	50 m / s²  5.1 g	200 m / s²  20 g	1.3 km / s²  130 g	5.0 km / s²  510 g
5 m  16 pies		200 mm / s²  0.020 g	800 mm / s²  0.082 g	5.0 m / s²  0.51 g	20 m / s²  2.0 g	80 m / s²  8.2 g	500 m / s²  51 g	2.0 km / s²  200 g
10 m 33 pies	Bucle vertical demontaña rusa	100 mm / s²  0.010 g	400 mm / s²  0.041 g	2,5 m / s²  0,25 g	10 m / s²  1.0 g	40 m / s²  4.1 g	250 m / s²  25 g	1,0 km / s²  100 g
20 m 66 pies		50 mm / s² 0.0051 g	200 mm / s²  0.020 g	1.3 m / s²  0.13 g	5.0 m / s²  0.51 g	20 m / s²  2 g	130 m / s²  13 g	500 m / s²  51 g
50 m 160 pies		20 mm / s² 0,0020 g	80 mm / s²  0,0082g	500 mm / s²  0.051 g	2,0 m / s²  0,20 g	8.0 m / s²  0.82 g	50 m / s²  5.1 g	200 m / s²  20 g
100 m  330 pies	Autopista  en la rampa	10 mm / s² 0,0010 g	40 mm / s²  0,0041g	250 mm / s²  0.025 g	1,0 m / s²  0,10 g	4,0 m / s²  0,41 g	25 m / s²  2.5 g	100 m / s²  10 g
200 m  660 ft		5.0 mm / s²  0.00051 g	20 mm / s²  0,0020g	130 m / s²  0.013 g	500 mm / s² 0.051 g	2,0 m / s²  0,20 g	13 m / s²  1.3 g	50 m / s²  5.1 g
500 m  1600 ft		2.0 mm / s²  0.00020 g	8.0 mm / s²  0.00082g	50 mm / s²  0.0051 g	200 mm / s² 0.020 g	800 mm / s² 0.082 g	5.0 m / s²  0.51 g	20 m / s²  2.0 g
1 km 3300 ft	Ferrocarril de alta velocidad	1.0 mm / s²  0.00010 g	4,0 mm / s²  0,00041g	25 mm / s²  0.0025 g	100 mm / s² 0.010 g	400 mm / s² 0.041 g	2,5 m / s²  0,25 g	10 m / s²  1.0 g

No uniforme [ editar ]

En un movimiento circular no uniforme, un objeto se mueve en una trayectoria circular con una velocidad variable . Dado que la velocidad está cambiando, existe una aceleración tangencialademás de la aceleración normal.

En un movimiento circular no uniforme, la aceleración neta (a) es a lo largo de la dirección de Δv que se dirige dentro del círculo pero no pasa a través de su centro (ver figura). La aceleración neta se puede resolver en dos componentes: aceleración tangencial y aceleración normal, también conocida como aceleración centrípeta o radial. A diferencia de la aceleración tangencial, la aceleración centrípeta está presente tanto en el movimiento circular uniforme como en el no uniforme.

En un movimiento circular no uniforme, la fuerza normal no siempre apunta en la dirección opuesta al peso . Aquí hay un ejemplo con un objeto que viaja en una trayectoria recta y luego vuelve a un bucle nuevamente en una trayectoria recta.

Este diagrama muestra la fuerza normal que apunta en otras direcciones en lugar de opuesta a la fuerza del peso. La fuerza normal es en realidad la suma de las fuerzas radiales y tangenciales. El componente de la fuerza de peso es responsable de la fuerza tangencial aquí (hemos descuidado la fuerza de fricción). La fuerza radial (fuerza centrípeta) se debe al cambio en la dirección de la velocidad como se explicó anteriormente.

En movimientos circulares no uniformes, la fuerza normal y el peso pueden apuntar en la misma dirección. Ambas fuerzas pueden apuntar hacia abajo, pero el objeto permanecerá en una trayectoria circular sin caer directamente hacia abajo. Primero veamos por qué la fuerza normal puede apuntar hacia abajo en primer lugar. En el primer diagrama, digamos que el objeto es una persona sentada dentro de un plano, las dos fuerzas apuntan hacia abajo solo cuando alcanza la parte superior del círculo. La razón de esto es que la fuerza normal es la suma de la fuerza tangencial y la fuerza centrípeta. La fuerza tangencial es cero en la parte superior (ya que no se realiza ningún trabajo cuando el movimiento es perpendicular a la dirección de la fuerza aplicada. Aquí la fuerza de peso es perpendicular a la dirección del movimiento en la parte superior del círculo) y los puntos de fuerza centrípeta hacia abajo, así la fuerza normal también apuntará hacia abajo. Desde un punto de vista lógico, una persona que viaja en el avión estará boca abajo en la parte superior del círculo. En ese momento, el asiento de la persona está presionando a la persona, que es la fuerza normal.

La razón por la que el objeto no se cae cuando se somete a fuerzas descendentes es simple. Piensa en lo que mantiene un objeto arriba después de que es lanzado. Una vez que un objeto se lanza al aire, solo existe la fuerza hacia abajo de la gravedad de la tierra que actúa sobre el objeto. Eso no significa que una vez que un objeto se lanza al aire, caiga instantáneamente. Lo que mantiene ese objeto en el aire es su velocidad . La primera de las leyes de movimiento de Newton establece que la inercia de un objeto lo mantiene en movimiento, y como el objeto en el aire tiene una velocidad, tenderá a seguir moviéndose en esa dirección.

También se puede lograr una velocidad angular variable para un objeto que se mueve en una trayectoria circular si el cuerpo giratorio no tiene una distribución de masa homogénea. Para objetos no homogéneos, es necesario abordar el problema como en. ^[2]

Aplicaciones [ editar ]

La resolución de aplicaciones relacionadas con el movimiento circular no uniforme implica el análisis de fuerza. Con un movimiento circular uniforme, la única fuerza que actúa sobre un objeto que viaja en un círculo es la fuerza centrípeta. En el movimiento circular no uniforme, hay fuerzas adicionales que actúan sobre el objeto debido a una aceleración tangencial distinta de cero. Aunque hay fuerzas adicionales que actúan sobre el objeto, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto tendrá que ser igual a la fuerza centrípeta.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} F_ {net} & = ma \, \\ F_ {net} & = ma_ {r} \, \\ F_ {net} & = {\ frac {mv ^ {2}} {r}} \, \\ F_ {net} & = F_ {c} \, \ end {alineado}}}

La aceleración radial se utiliza al calcular la fuerza total. La aceleración tangencial no se usa para calcular la fuerza total porque no es responsable de mantener el objeto en una trayectoria circular. La única aceleración responsable de mantener un objeto moviéndose en un círculo es la aceleración radial. Dado que la suma de todas las fuerzas es la fuerza centrípeta, no es necesario extraer la fuerza centrípeta en un diagrama de cuerpo libre y, por lo general, no se recomienda.

Utilizando $${\ displaystyle F_ {net} = F_ {c} \,}, podemos dibujar diagramas de cuerpo libre para enumerar todas las fuerzas que actúan sobre un objeto y luego establecerlo como igual a $${\ displaystyle F_ {c} \,}. Luego, podemos resolver lo que nunca se conoce (esto puede ser masa, velocidad, radio de curvatura, coeficiente de fricción, fuerza normal, etc.). Por ejemplo, la visualización anterior que muestra un objeto en la parte superior de un semicírculo se expresaría como$${\ displaystyle F_ {c} = n + mg \,}.

En un movimiento circular uniforme, la aceleración total de un objeto en una trayectoria circular es igual a la aceleración radial. Debido a la presencia de la aceleración tangencial en el movimiento circular no uniforme, eso ya no es válido. Para encontrar la aceleración total de un objeto en una circular no uniforme, encuentre la suma vectorial de la aceleración tangencial y la aceleración radial.

$${\ displaystyle {\ sqrt {a_ {r} ^ {2} + a_ {t} ^ {2}}} = a}

La aceleración radial es igual a $${\ displaystyle v ^ {2} / r}. La aceleración tangencial es simplemente la derivada de la velocidad en cualquier punto dado:$${\ displaystyle a_ {t} = dv / dt \,}. Esta suma de raíz de cuadrados de aceleraciones radiales y tangenciales separadas solo es correcta para el movimiento circular; para movimiento general dentro de un plano con coordenadas polares$${\ displaystyle (r, \ theta)}, el término de Coriolis $${\ displaystyle a_ {c} = 2 (dr / dt) (d \ theta / dt)} debe añadirse a $${\ displaystyle a_ {t}}, mientras que la aceleración radial se convierte entonces en $${\ displaystyle a_ {r} = - v ^ {2} / r + d ^ {2} r / dt ^ {2}}.