MECÁNICA CLÁSICA

ecuación de Binet , derivada de Jacques Philippe Marie Binet , proporciona la forma de una fuerza centraldada la forma del movimiento orbital en coordenadas polares planas . La ecuación también se puede usar para derivar la forma de la órbita para una ley de fuerza dada, pero esto generalmente implica la solución a una ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden . Una solución única es imposible en el caso del movimiento circular sobre el centro de fuerza.

Ecuación [ editar ]

La forma de una órbita a menudo se describe convenientemente en términos de distancia relativa $${\ displaystyle r} en función del ángulo $${\ displaystyle \ theta}. Para la ecuación de Binet, la forma orbital se describe más concisamente por el recíproco$${\ displaystyle u = 1 / r}como una función de $${\ displaystyle \ theta}. Definir el momento angular específico como$${\ displaystyle h = L / m} dónde $${\ displaystyle L}es el momento angular y$${\ displaystyle m}es la masa La ecuación de Binet, derivada en la siguiente sección, da la fuerza en términos de la función$${\ displaystyle u (\ theta)}:

$${\ displaystyle F ({u} ^ {- 1}) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right).}

Derivación [ editar ]

La segunda ley de Newton para una fuerza puramente central es

$${\ displaystyle F (r) = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}).}

La conservación del momento angular requiere que

$${\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = h = {\ text {constant}}.}

Derivados de $${\ displaystyle r} con respecto al tiempo pueden ser reescritos como derivados de $${\ displaystyle u = 1 / r} con respecto al ángulo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ dot {r}} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}} = - {\ frac {\ dot {r}} {h}} \\ & {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - {\ frac {1} {h}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {r}}} {\ mathrm {d} t }} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ ddot {r}} {h {\ dot {\ theta}}}} = - { \ frac {\ ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} \\ end {alineado}}}

Combinando todo lo anterior, llegamos a

$${\ displaystyle F = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = - m \ left (h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + h ^ {2} u ^ {3} \ right) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right)}

Ejemplos [ editar ]

Problema de Kepler [ editar ]

El problema tradicional de Kepler de calcular la órbita de una ley del cuadrado inverso se puede leer de la ecuación de Binet como la solución a la ecuación diferencial.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ text {constant}}> 0.}

Si el angulo $${\ displaystyle \ theta}se mide a partir de la periapsis , luego la solución general para la órbita expresada en coordenadas polares (recíprocas) es

$${\ displaystyle lu = 1 + \ varepsilon \ cos \ theta.}

La ecuación polar anterior describe secciones cónicas , con$${\ displaystyle l}el recto semi-latus y$${\ displaystyle \ varepsilon}La excentricidad orbital .

La ecuación relativista derivada de las coordenadas de Schwarzschild es ^[1]

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle c}es la velocidad de la luz y$${\ displaystyle r_ {s}}es el radio de Schwarzschild . Y para Reissner – Nordström métricaobtendremos

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2} - {\ frac {GQ ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ { 4}}} \ left ({\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} u + 2u ^ {3} \ right)}

dónde $${\ displaystyle Q}es la carga eléctrica y$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}Es la permitividad del vacío .

Problema de Kepler inverso [ editar ]

Considere el problema de Kepler inverso. ¿Qué tipo de ley de fuerza produce una órbita elíptica no circular (o más generalmente una sección cónica no circular ) alrededor de un foco de la elipse ?

Al diferenciar dos veces la ecuación polar anterior para una elipse se obtiene

$${\ displaystyle l \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - \ varepsilon \ cos \ theta.}

La ley de fuerza es por lo tanto

$${\ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {- \ varepsilon \ cos \ theta} {l}} + {\ frac {1+ \ varepsilon \ cos \ theta} { l}} \ right) = - {\ frac {mh ^ {2} u ^ {2}} {l}} = - {\ frac {mh ^ {2}} {lr ^ {2}}},}

que es la ley del cuadrado inverso anticipada. Coincidiendo con el orbital$${\ displaystyle h ^ {2} / l} a valores físicos como $${\ displaystyle GM} o $${\ displaystyle k_ {e} q_ {1} q_ {2} / m}reproduce la ley de Newton de la gravitación universal o la ley de Coulomb , respectivamente.

La fuerza efectiva para las coordenadas de Schwarzschild es ^[2]

$${\ displaystyle F = -GMmu ^ {2} \ left (1 + 3 \ left ({\ frac {hu} {c}} \ right) ^ {2} \ right) = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} \ left (1 + 3 \ left ({\ frac {h} {rc}} \ right) ^ {2} \ right)}.

donde el segundo término es una fuerza cuártica inversa correspondiente a los efectos de cuadrupolo, como el desplazamiento angular de la periapsis (también puede obtenerse mediante potenciales retardados ^[3] ).

En el formalismo post-newtoniano parametrizado obtendremos

$${\ displaystyle F = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} \ left (1+ (2 + 2 \ gamma - \ beta) \ left ({\ frac {h} {rc}} \ right ) ^ {2} \ derecha)}.

dónde $${\ displaystyle \ gamma = \ beta = 1}para la relatividad general y$${\ displaystyle \ gamma = \ beta = 0} En el caso clásico.

Cotes espirales [ editar ]

Una ley de fuerza de cubo inversa tiene la forma

$${\ displaystyle F (r) = - {\ frac {k} {r ^ {3}}}.

Las formas de las órbitas de una ley de cubo inverso se conocen como espirales de Cotes . La ecuación de Binet muestra que las órbitas deben ser soluciones a la ecuación.

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {ku} {mh ^ {2}}} = Cu.}

La ecuación diferencial tiene tres tipos de soluciones, en analogía con las diferentes secciones cónicas del problema de Kepler. Cuando{\ displaystyle C <1 font="">, la solución es la epispiral , incluido el caso patológico de una línea recta cuando$${\ displaystyle C = 0}. Cuando$${\ displaystyle C = 1}, la solución es la espiral hiperbólica . Cuando{\ displaystyle C> 1}La solución es la espiral de Poinsot .

Movimiento circular fuera del eje [ editar ]

Aunque la ecuación de Binet no da una ley de fuerza única para el movimiento circular sobre el centro de fuerza, la ecuación puede proporcionar una ley de fuerza cuando el centro del círculo y el centro de fuerza no coinciden. Considere, por ejemplo, una órbita circular que pasa directamente a través del centro de fuerza. Una ecuación polar (recíproca) para tal órbita circular de diámetro$${\ displaystyle D} es

$${\ displaystyle D \, u (\ theta) = \ sec \ theta.}

Diferenciación $${\ displaystyle u}dos veces y haciendo uso de la identidad pitagórica da

$${\ displaystyle D \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = \ sec \ theta \ tan ^ {2} \ theta + \ sec ^ {3} \ theta = \ sec \ theta (\ sec ^ {2} \ theta -1) + \ sec ^ {3} \ theta = 2D ^ {3} u ^ {3} -D \, u. }

La ley de fuerza es así

$${\ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left (2D ^ {2} u ^ {3} -u + u \ right) = - 2mh ^ {2} D ^ {2} u ^ {5} = - {\ frac {2mh ^ {2} D ^ {2}} {r ^ {5}}}.

Tenga en cuenta que resolver el problema inverso general, es decir, construir las órbitas de un atractivo $${\ displaystyle 1 / r ^ {5}} ley de fuerza, es un problema considerablemente más difícil porque es equivalente a resolver

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = Cu ^ {3}}

que es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden.

 teorema de Bohr-van Leeuwen establece que cuando la mecánica estadística y la mecánica clásica se aplican de manera consistente, el promedio térmico de la magnetización es siempre cero. ^[1] Esto hace del magnetismo en sólidos únicamente un efecto mecánico cuántico y significa que la física clásica no puede explicar el diamagnetismo .

Historia [ editar ]

Lo que hoy se conoce como el teorema de Bohr-van Leeuwen fue descubierto por Niels Bohr en 1911 en su tesis doctoral ^[2] y más tarde fue redescubierto por Hendrika Johanna van Leeuwen en su tesis doctoral en 1919. ^[19]En 1932, se formalizó Van Vleck. y amplió el teorema inicial de Bohr en un libro que escribió sobre susceptibilidades eléctricas y magnéticas. ^[4]

El significado de este descubrimiento es que la física clásica no permite cosas como el paramagnetismo , el diamagnetismo y el ferromagnetismo y, por lo tanto, la física cuántica es necesaria para explicar los eventos magnéticos. ^[5] Este resultado, "quizás la publicación más deflacionaria de todos los tiempos" ^[6] puede haber contribuido al desarrollo de Bohr de una teoría casi clásica del átomo de hidrógeno en 1913.

Prueba [ editar ]

Una prueba intuitiva [ editar ]

El teorema de Bohr-van Leeuwen se aplica a un sistema aislado que no puede girar (una estrella aislada podría comenzar a girar si se expone a un campo). ^[7] Si, además, solo hay un estado de equilibrio térmico en una temperatura y un campo dados, y al sistema se le permite que el tiempo vuelva al equilibrio después de aplicar un campo, entonces no habrá magnetización.

Las estadísticas de Maxwell-Boltzmann predicen que la probabilidad de que el sistema esté en un estado de movimiento dado es proporcional a$${\ displaystyle \ exp (-U / k _ {\ text {B}} T)}, dónde $${\ displaystyle U} es la energía del sistema, $${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}es la constante de Boltzmann , y$${\ displaystyle T}Es la temperatura absoluta . Esta energía es igual a la energía cinética. $${\ displaystyle (mv ^ {2} / 2)} para una partícula con masa $${\ displaystyle m} y velocidad $${\ displaystyle v}y la energía potencial . ^[7]

El campo magnético no contribuye a la energía potencial. La fuerza de Lorentz sobre una partícula con carga. $${\ displaystyle q}y velocidad $${\ displaystyle \ mathbf {v}} es

$${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ left (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right),}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {E}}es el campo eléctrico y$${\ displaystyle \ mathbf {B}}Es la densidad de flujo magnético . El ritmo de trabajo realizado es$${\ displaystyle \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v}} y no depende de $${\ displaystyle \ mathbf {B}}. Por lo tanto, la energía no depende del campo magnético, por lo que la distribución de los movimientos no depende del campo magnético. ^[7]

En el campo cero, no habrá movimiento neto de partículas cargadas porque el sistema no puede rotar. Por lo tanto, habrá un momento magnético promedio de cero. Dado que la distribución de movimientos no depende del campo magnético, el momento en equilibrio térmico permanece cero en cualquier campo magnético. ^[7]

Una prueba más formal [ editar ]

Para reducir la complejidad de la prueba, un sistema con $${\ displaystyle N} Se utilizarán electrones.

Esto es apropiado, ya que la mayor parte del magnetismo en un sólido es transportado por electrones, y la prueba se generaliza fácilmente a más de un tipo de partícula cargada.

Cada electrón tiene una carga negativa. $${\ displaystyle e} y masa $${\ displaystyle m _ {\ text {e}}}.

Si su posicion es $${\ displaystyle \ mathbf {r}} y la velocidad es $${\ displaystyle \ mathbf {v}}, produce una corriente $${\ displaystyle \ mathbf {j} = e \ mathbf {v}}y un momento magnético ^[5]

$${\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = {\ frac {1} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {j} = {\ frac {e} {2c}} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}.}

La ecuación anterior muestra que el momento magnético es una función lineal de las coordenadas de posición, por lo que el momento magnético total en una dirección dada debe ser una función lineal de la forma

$${\ displaystyle \ mu = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i},}

donde el punto representa una derivada del tiempo y $${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i}} Son coeficientes vectoriales dependiendo de las coordenadas de posición. $${\ displaystyle \ {\ mathbf {r} _ {i}, i = 1 \ ldots N \}}. ^[5]

Las estadísticas de Maxwell-Boltzmann dan la probabilidad de que la enésima partícula tenga un impulso$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {n}} y coordinar $${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n}} como

$${\ displaystyle dP \ propto \ exp {\ left [- {\ frac {{\ mathcal {H}} (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N})} {k _ {\ text {B}} T}} \ right]} d \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {p} _ {N} d \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, d \ mathbf {r} _ {N},}

dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}Es el hamiltoniano , la energía total del sistema. ^[5]

La media térmica de cualquier función. $${\ displaystyle f (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}; \ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N} )}de estas coordenadas generalizadas es entonces

$${\ displaystyle \ langle f \ rangle = {\ frac {\ int fdP} {\ int dP}}.}

En presencia de un campo magnético,

$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ frac {1} {2m _ {\ text {e}}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (\ mathbf {p} _ { i} - {\ frac {e} {c}} \ mathbf {A} _ {i} \ right) ^ {2} + e \ phi (\ mathbf {q}),}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {i}}es el potencial de vector magnético y$${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {q})}Es el potencial escalar eléctrico . Para cada partícula los componentes del momento.$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}} y posición $${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}Están relacionadas por las ecuaciones de la mecánica hamiltoniana :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} & = - \ partial {\ mathcal {H}} / \ partial \ mathbf {r} _ {i} \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} & = \ partial {\ mathcal {H}} / \ partial \ mathbf {p} _ {i}. \ end {alineado}}}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} \ propto \ mathbf {p} _ {i},}

entonces el momento $${\ displaystyle \ mu} Es una función lineal del momento. $${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}. ^[5]

El momento promediado térmicamente,

$${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = {\ frac {\ int \ mu dP} {\ int dP}},}

Es la suma de términos proporcionales a integrales de la forma.

$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} pdp,}

dónde $${\ displaystyle p} Representa una de las coordenadas del momento.

El integrando es una función impar de $${\ displaystyle p}, por lo que se desvanece.

Por lo tanto, $${\ displaystyle \ langle \ mu \ rangle = 0}. ^[5]

Aplicaciones del teorema de Bohr – van Leeuwen [ editar ]

El teorema de Bohr-van Leeuwen es útil en varias aplicaciones, incluida la física del plasma . "Todas estas referencias basan su discusión del teorema de Bohr-van Leeuwen en el modelo físico de Niels Bohr, en el que las paredes perfectamente reflectantes son necesarias para proporcionar las corrientes que cancelan la red. contribución del interior de un elemento de plasma, y ​​resulta en un diamagnetismo neto nulo para el elemento de plasma ". ^[8]

El diamagnetismo de naturaleza puramente clásica ocurre en los plasmas pero es una consecuencia del desequilibrio térmico, como un gradiente en la densidad del plasma. La electromecánica y la ingeniería eléctricatambién ven beneficios prácticos del teorema de Bohr-van Leeuwen.

En la mecánica clásica , el teorema de Bonnet establece que si n campos de fuerza diferentes producen cada uno la misma órbita geométrica (por ejemplo, una elipse de dimensiones dadas) aunque con diferentes velocidades v ₁ , v ₂ , ..., v _n en un punto P dado , entonces se seguirá la misma órbita si la velocidad en el punto P es igual a

$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {combinado}} = {\ sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} + \ cdots + v_ {n} ^ {2}}}}

Historia [ editar ]

Este teorema fue derivado por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1817, ^[1] pero lleva el nombre de Pierre Ossian Bonnet .

Derivación [ editar ]

La forma de una órbita está determinada solo por las fuerzas centrípetas en cada punto de la órbita, que son las fuerzas que actúan perpendicularmente a la órbita. Por el contrario, las fuerzas a lo largo de la órbita cambian solo la velocidad, pero no la dirección, de la velocidad .

Deje el radio instantáneo de curvatura en un punto P en la órbita se denota como R . Para el campo de fuerza k ^th que produce esa órbita, la fuerza normal a la órbita F _k debe proporcionar la fuerza centrípeta

$${\ displaystyle F_ {k} = {\ frac {m} {R}} v_ {k} ^ {2}}

Sumando todas estas fuerzas juntas se obtiene la ecuación.

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} F_ {k} = {\ frac {m} {R}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} v_ {k} ^ {2} }

Por lo tanto, el campo de fuerza combinado produce la misma órbita si la velocidad en un punto P se establece igual a

$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {combinado}} = {\ sqrt {v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} + \ cdots + v_ {n} ^ {2}}}}