MECÁNICA CLÁSICA

 conexión de Berry y la curvatura de Berry son conceptos relacionados que se pueden ver, respectivamente, como un potencial de calibre local y un campo de calibre asociado con la fase de Berry . Estos conceptos fueron introducidos por Michael Berry en un artículo publicado en 1984 ^{[1] que} enfatiza cómo las fases geométricas proporcionan un poderoso concepto unificador en varias ramas de la física clásica y cuántica . Tales fases han llegado a ser conocidas como fases de Berry .

Fase Berry y evolución adiabática cíclico [ editar ]

En mecánica cuántica, la fase de Berry surge en una evolución adiabática cíclica . El teorema adiabático cuántico se aplica a un sistema cuyo hamiltoniano $${\ displaystyle H (\ mathbf {R})} depende de un parámetro (vector) $${\ displaystyle \ mathbf {R}} eso varía con el tiempo $${\ displaystyle t}. Si el$${\ displaystyle n}'el valor propio $${\ displaystyle \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {R})}permanece no degenerado en todas partes a lo largo del camino y la variación con el tiempo t es suficientemente lenta, luego un sistema inicialmente en el estado propio $${\ displaystyle \, | n (\ mathbf {R} (0)) \ rangle} permanecerá en un estado propio instantáneo $${\ displaystyle \, | n (\ mathbf {R} (t)) \ rangle} del hamiltoniano $${\ displaystyle \, H (\ mathbf {R} (t))}, hasta una fase, durante todo el proceso. Con respecto a la fase, el estado en el tiempo t puede escribirse como ^[2]

$${\ displaystyle | \ Psi _ {n} (t) \ rangle = e ^ {i \ gamma _ {n} (t)} \, e ^ {- {i \ over \ hbar} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ varepsilon _ {n} (\ mathbf {R} (t'))} \, | n (\ mathbf {R} (t)) \ rangle,}

donde el segundo término exponencial es el "factor de fase dinámico". El primer término exponencial es el término geométrico, con$${\ displaystyle \ gamma _ {n}}Siendo la fase Berry. Al conectarse a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo , se puede mostrar que

$${\ displaystyle \ gamma _ {n} (t) = i \ int _ {0} ^ {t} dt '\, \ langle n (\ mathbf {R} (t')) | {d \ over dt '} | n (\ mathbf {R} (t ')) \ rangle = i \ int _ {\ mathbf {R} (0)} ^ {\ mathbf {R} (t)} d \ mathbf {R} \, \ langle n (\ mathbf {R}) | \ nabla _ {\ mathbf {R}} | n (\ mathbf {R}) \ rangle,}

lo que indica que la fase de Berry solo depende de la ruta en el espacio de parámetros, no de la velocidad a la que se recorre la ruta.

En el caso de una evolución cíclica en torno a un camino cerrado. $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} tal que $${\ displaystyle \ mathbf {R} (T) = \ mathbf {R} (0)}, la fase Berry de camino cerrado es

$${\ displaystyle \ gamma _ {n} = i \ oint _ {\ mathcal {C}} d \ mathbf {R} \, \ langle n (\ mathbf {R}) | \ nabla _ {\ mathbf {R}} | n (\ mathbf {R}) \ rangle.}

Un ejemplo de sistema físico donde un electrón se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada es el movimiento ciclotrón (los detalles se dan en la página de la fase de Berry ). Se debe considerar la fase de la baya para obtener la condición de cuantificación correcta.

Transformación del indicador [ editar ]

Sin cambiar la física, podemos hacer una transformación de calibre.

$${\ displaystyle | {\ tilde {n}} (\ mathbf {R}) \ rangle = e ^ {- i \ beta (\ mathbf {R})} | n (\ mathbf {R}) \ rangle}

a un nuevo conjunto de estados que difieren de los originales solo por una $${\ displaystyle \ mathbf {R}}Factor de fase dependiente. Esto modifica la fase Berry de camino abierto para que sea$${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {n} (t) = \ gamma _ {n} (t) + \ beta (t) - \ beta (0)}. Para un camino cerrado, la continuidad requiere que$${\ displaystyle \ beta (T) - \ beta (0) = 2 \ pi m} ($${\ displaystyle m} un entero), y se deduce que $${\ displaystyle \ gamma _ {n}} es invariante, modulo $${\ displaystyle 2 \ pi}, bajo una transformación de calibre arbitrario.

Conexión Berry [ editar ]

La fase Berry de trayectoria cerrada definida anteriormente se puede expresar como

$${\ displaystyle \ gamma _ {n} = \ int _ {\ mathcal {C}} d \ mathbf {R} \ cdot {\ mathcal {A}} _ {n} (\ mathbf {R})}

dónde

$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {n} (\ mathbf {R}) = i \ langle n (\ mathbf {R}) | \ nabla _ {\ mathbf {R}} | n (\ mathbf { R}) \ rangle}

es una función vectorial conocida como la conexión Berry (o potencial Berry). La conexión Berry es dependiente del calibre, transformándose como $${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {A}}} _ {n} (\ mathbf {R}) = {\ mathcal {A}} _ {n} (\ mathbf {R}) + \ nabla _ {\ mathbf {R} \,} \ beta (\ mathbf {R})}. De ahí la conexión local de Berry$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {n} (\ mathbf {R})}Nunca puede ser físicamente observable. Sin embargo, es integral a lo largo de un camino cerrado, la fase Berry$${\ displaystyle \ gamma _ {n}}, es invariante de calibre hasta un múltiplo entero de $${\ displaystyle 2 \ pi}. Así,$${\ displaystyle e ^ {i \ gamma _ {n}}} es absolutamente invariable para los indicadores, y puede estar relacionado con observables físicos.

Berry curvatura [ editar ]

La curvatura de Berry es un tensor anti-simétrico de segundo rango derivado de la conexión de Berry a través de

$${\ displaystyle \ Omega _ {n, \ mu \ nu} (\ mathbf {R}) = {\ partial \ over \ parcial R ^ {\ mu}} {\ mathcal {A}} _ {n, \ nu} (\ mathbf {R}) - {\ partial \ over \ partial R ^ {\ nu}} {\ mathcal {A}} _ {n, \ mu} (\ mathbf {R}).}

En un espacio de parámetros tridimensional, la curvatura de Berry puede escribirse en forma de pseudovector

$${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} _ {n} (\ mathbf {R}) = \ nabla _ {\ mathbf {R}} \ times {\ mathcal {A}} _ {n} (\ mathbf {R} ).

Las formas tensoras y seudovectoras de la curvatura de Berry están relacionadas entre sí a través del tensor antisimétrico Levi-Civita como $${\ displaystyle \ Omega _ {n, \ mu \ nu} = \ epsilon _ {\ mu \ nu \ xi} \, \ mathbf {\ Omega} _ {n, \ xi}}. En contraste con la conexión de Berry, que es física solo después de integrarse alrededor de una trayectoria cerrada, la curvatura de Berry es una manifestación local invariable con un indicador de las propiedades geométricas de las funciones de onda en el espacio del parámetro, y ha demostrado ser un ingrediente físico esencial para entendiendo una variedad de propiedades electrónicas. ^[3] [4]

Por un camino cerrado $${\ displaystyle {\ mathcal {C}}} que forma el límite de una superficie $${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}, la fase de Berry de camino cerrado puede reescribirse usando el teorema de Stokes como

$${\ displaystyle \ gamma _ {n} = \ int _ {\ mathcal {S}} d \ mathbf {S} \ cdot \ mathbf {\ Omega} _ {n} (\ mathbf {R}).}

Si la superficie es una variedad cerrada, el término del límite desaparece, pero la indeterminación del término del límite módulo $${\ displaystyle 2 \ pi}se manifiesta en el teorema de Chern , que establece que la integral de la curvatura de Berry sobre una variedad cerrada se cuantifica en unidades de$${\ displaystyle 2 \ pi}. Este número es el llamado número de Chern y es esencial para comprender varios efectos de cuantificación.

Finalmente, tenga en cuenta que la curvatura de Berry también se puede escribir como una suma sobre todos los demás estados propios en el formulario

$${\ displaystyle \ Omega _ {n, \ mu \ nu} (\ mathbf {R}) = i \ sum _ {n '\ neq n} {\ langle n | (\ partial H / \ partial R _ {\ mu} ) | n '\ rangle \ langle n' | (\ partial H / \ partial R _ {\ nu}) | n \ rangle - (\ nu \ leftrightarrow \ mu) \ over (\ varepsilon _ {n} - \ varepsilon _ {n '}) ^ {2}}.}

Ejemplo: Spinor en un campo magnético [ editar ]

El hamiltoniano de una partícula spin-1/2 en un campo magnético se puede escribir como ^[2]

$${\ displaystyle H = \ mu \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ mathbf {B},}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma}}denotar las matrices de Pauli ,$${\ displaystyle \ mu}es el momento magnético , y B es el campo magnético. En tres dimensiones, los estados propios tienen energías.$${\ displaystyle \ pm \ mu B} y sus vectores propios son

$${\ displaystyle | u _ {-} \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ sin {\ theta \ over 2} e ^ {- i \ phi} \\ - \ cos {\ theta \ over 2} \ end {pmatrix }}, | u _ {+} \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos {\ theta \ over 2} e ^ {- i \ phi} \\\ sin {\ theta \ over 2} \ end {pmatrix} }.}

Ahora considera el $${\ displaystyle | u _ {-} \ rangle}estado. Su conexión Berry se puede calcular como $${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ theta} = \ langle u | i \ partial _ {\ theta} u \ rangle = 0,} $${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ phi} = \ langle u | i \ partial _ {\ phi} u \ rangle = \ sin ^ {2} {\ theta \ over 2}}, y la curvatura de Berry es $${\ displaystyle \ Omega _ {\ theta \ phi} = \ partial _ {\ theta} {\ mathcal {A}} _ {\ phi} - \ partial _ {\ phi} {\ mathcal {A}} _ {\ theta} = {1 \ sobre 2} \ sin \ theta.} Si elegimos un nuevo indicador multiplicando $${\ displaystyle | u _ {-} \ rangle} por $${\ displaystyle e ^ {i \ phi}}, las conexiones de Berry son $${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ theta} = 0} y $${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ phi} = - \ cos ^ {2} {\ theta \ over 2}}, mientras que la curvatura de Berry sigue siendo la misma. Esto es consistente con la conclusión de que la conexión de Berry depende de la medida, mientras que la curvatura de Berry no lo es.

La curvatura de la baya por ángulo sólido está dada por $${\ displaystyle {\ overline {\ Omega}} _ {\ theta \ phi} = \ Omega _ {\ theta \ phi} / \ sin \ theta = 1/2}. En este caso, la fase Berry correspondiente a cualquier trayectoria dada en la esfera unitaria$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {2}}en el campo de campo magnético es solo la mitad del ángulo sólido subtendido por la trayectoria. La integral de la curvatura de Berry en toda la esfera es, por lo tanto, exactamente$${\ displaystyle 2 \ pi}, de modo que el número de Chern sea unidad, consistente con el teorema de Chern.

Aplicaciones en cristales [ editar ]

La fase Berry desempeña un papel importante en las investigaciones modernas de propiedades electrónicas en sólidos cristalinos ^[4] y en la teoría del efecto Hall cuántico . ^[5] La periodicidad del potencial cristalino permite la aplicación del teorema de Bloch , que establece que los estados propios hamiltonianos toman la forma

$${\ displaystyle \ psi _ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}),}

dónde $${\ displaystyle n} es un índice de banda, $${\ displaystyle \ mathbf {k}}es un vector de onda en el espacio recíproco ( zona de Brillouin ), y$${\ displaystyle u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r})} es una función periódica de $${\ displaystyle \ mathbf {r}}. Entonces, dejando$${\ displaystyle \ mathbf {k}} desempeñar el papel del parámetro $${\ displaystyle \ mathbf {R}}, uno puede definir fases de Berry, conexiones y curvaturas en el espacio recíproco. Por ejemplo, la conexión de Berry en el espacio recíproco es

$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {n} (\ mathbf {k}) = i \ langle u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) | \ nabla _ {\ mathbf {k }} | u_ {n \ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) \ rangle.}

Debido a que el teorema de Bloch también implica que el espacio recíproco en sí está cerrado, y que la zona de Brillouin tiene la topología de un 3 toro en tres dimensiones, los requisitos de integración en un circuito cerrado o múltiple pueden fácilmente cumplirse. De esta manera, propiedades tales como la polarización eléctrica , la magnetización orbital , la conductividad anómala de Hall y el acoplamiento magnetoeléctrico orbital se pueden expresar en términos de fases, conexiones y curvaturas de Berry.

En la mecánica clásica , el teorema de Bertrand ^[1] establece que entre los potenciales de fuerza central con órbitas unidas, solo hay dos tipos de potenciales de fuerza central con la propiedad de que todas las órbitas unidas también son órbitas cerradas : (1) una fuerza central cuadrada inversa tales como el potencial gravitacional o electrostático

$${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = - {\ frac {k} {r}},}

y (2) el potencial del oscilador armónico radial.

$${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {2}} kr ^ {2}.}

El teorema fue descubierto y nombrado por el matemático francés Joseph Bertrand (1822–1900).

Preliminares generales [ editar ]

Todas las fuerzas centrales atractivas pueden producir órbitas circulares , que son órbitas naturalmente cerradas. El único requisito es que la fuerza central sea exactamente igual a la fuerza centrípeta , que determina la velocidad angular requerida para un radio circular dado. Las fuerzas no centrales (es decir, las que dependen de las variables angulares y el radio) se ignoran aquí, ya que en general no producen órbitas circulares.

La ecuación de movimiento para el radio r de una partícula de masa m que se mueve en un potencial central V ( r) viene dada por las ecuaciones de Lagrange

$${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - mr \ omega ^ {2} = m {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2} }} - {\ frac {L ^ {2}} {mr ^ {3}}} = - {\ frac {dV} {dr}},}

dónde $${\ displaystyle \ omega \ equiv {\ frac {d \ theta} {dt}}}, y se conserva el momento angular L = mr ² ω. Para ilustrar, el primer término a la izquierda es cero para las órbitas circulares, y la fuerza aplicada hacia adentro$${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}}}es igual al requisito de fuerza centrípeta mrω ² , como se esperaba.

La definición de momento angular permite un cambio de variable independiente de t a θ:

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {L} {mr ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ theta}},}

dando la nueva ecuación de movimiento que es independiente del tiempo:

$${\ displaystyle {\ frac {L} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left ({\ frac {L} {mr ^ {2}}} {\ frac { dr} {d \ theta}} \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {mr ^ {3}}} = - {\ frac {dV} {dr}}.

Esta ecuación se vuelve cuasilineal al hacer el cambio de variables. $${\ displaystyle u \ equiv {\ frac {1} {r}}} y multiplicando ambos lados por $${\ displaystyle {\ frac {mr ^ {2}} {L ^ {2}}}}(Ver también la ecuación de Binet ):

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ frac {m} {L ^ {2}}} {\ frac {d} {du }} V \ left ({\ frac {1} {u}} \ right).}

Como se señaló anteriormente, todas las fuerzas centrales pueden producir órbitas circulares con una velocidad inicial apropiada. Sin embargo, si se introduce algo de velocidad radial, estas órbitas no necesitan ser estables (es decir, permanecer en órbita por tiempo indefinido) ni cerrarse (volver repetidamente a la misma trayectoria). Aquí mostramos que las órbitas estables, exactamente cerradas, pueden producirse solo con una fuerza de inversa cuadrada o un potencial de oscilador armónico radial (una condición necesaria ). En las siguientes secciones, mostramos que esas leyes de fuerza sí producen órbitas estables y exactamente cerradas (una condición suficiente ).

Definir J ( u ) como

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = J (u) \ equiv - {\ frac {m} {L ^ {2}}} {\ frac {d} {du}} V \ left ({\ frac {1} {u}} \ right) = - {\ frac {m} {L ^ {2} u ^ {2}}} f \ left ( {\ frac {1} {u}} \ derecha),}

donde f representa la fuerza radial. El criterio para un movimiento perfectamente circular en un radio r ₀ es que el primer término a la izquierda sea cero:

$${\ displaystyle u_ {0} = J (u_ {0}) = - {\ frac {m} {L ^ {2} u_ {0} ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1} { u_ {0}}} \ derecha),}

( 1 )

dónde $${\ displaystyle u_ {0} \ equiv 1 / r_ {0}}.

El siguiente paso es considerar la ecuación para u bajo pequeñas perturbaciones $${\ displaystyle \ eta \ equiv u-u_ {0}}De órbitas perfectamente circulares. A la derecha, la función J se puede expandir en una serie estándar de Taylor :

$${\ displaystyle J (u) \ approx J (u_ {0}) + \ eta J '(u_ {0}) + {\ frac {1} {2}} \ eta ^ {2} J' '(u_ { 0}) + {\ frac {1} {6}} \ eta ^ {3} J '' '(u_ {0}) + \ cdots}

Sustituyendo esta expansión en la ecuación para u y restando los rendimientos de los términos constantes

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ eta} {d \ theta ^ {2}}} + \ eta = \ eta J '(u_ {0}) + {\ frac {1} {2}} \ eta ^ {2} J '' (u_ {0}) + {\ frac {1} {6}} \ eta ^ {3} J '' '(u_ {0}) + \ cdots,}

que se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ eta} {d \ theta ^ {2}}} + \ beta ^ {2} \ eta = {\ frac {1} {2}} \ eta ^ {2 } J '' (u_ {0}) + {\ frac {1} {6}} \ eta ^ {3} J '' '(u_ {0}) + \ cdots,}

( 2 )

dónde $${\ displaystyle \ beta ^ {2} \ equiv 1-J '(u_ {0})}es una constante β ² debe ser no negativo; de lo contrario, el radio de la órbita variaría exponencialmente respecto de su radio inicial. (La solución β = 0 corresponde a una órbita perfectamente circular.) Si se puede descuidar el lado derecho (es decir, para pequeñas perturbaciones), las soluciones son

$${\ displaystyle \ eta (\ theta) = h_ {1} \ cos (\ beta \ theta),}

Donde la amplitud h ₁ es una constante de integración. Para que las órbitas se cierren, β debe ser un número racional . Además, debe ser el mismo número racional para todos los radios, ya que β no puede cambiar continuamente; Los números racionales están totalmente desconectados el uno del otro. Usando la definición de J junto con la ecuación ( 1 ),

$${\ displaystyle J '(u_ {0}) = {\ frac {2} {u_ {0}}} \ left [{\ frac {m} {L ^ {2} u_ {0} ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right) \ right] - \ left [{\ frac {m} {L ^ {2} u_ {0} ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right) \ right] {\ frac {1} {f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right)} } {\ frac {df} {du}} = - 2 + {\ frac {u_ {0}} {f \ left ({\ frac {1} {u_ {0}}} \ right)}} {\ frac {df} {du}} = 1- \ beta ^ {2},}

dónde $${\ displaystyle {\ frac {df} {du}}} es evaluado en $${\ displaystyle 1 / u_ {0}}. Dado que esto debe mantenerse para cualquier valor de u ₀ ,

$${\ displaystyle {\ frac {df} {dr}} = (\ beta ^ {2} -3) {\ frac {f} {r}},}

Lo que implica que la fuerza debe seguir una ley de poder.

$${\ displaystyle f (r) = - {\ frac {k} {r ^ {3- \ beta ^ {2}}}}.

Por lo tanto, J debe tener la forma general.

$${\ displaystyle J (u) = {\ frac {mk} {L ^ {2}}} u ^ {1- \ beta ^ {2}}.}

( 3 )

Para desviaciones más generales de la circularidad (es decir, cuando no podemos descuidar los términos de orden superior en la expansión de Taylor de J ), η puede expandirse en una serie de Fourier, por ejemplo,

$${\ displaystyle \ eta (\ theta) = h_ {0} + h_ {1} \ cos \ beta \ theta + h_ {2} \ cos 2 \ beta \ theta + h_ {3} \ cos 3 \ beta \ theta + \ cdots}

Sustituimos esto en la ecuación ( 2 ) y equiparamos los coeficientes que pertenecen a la misma frecuencia, manteniendo solo los términos de orden más bajo. Como mostramos a continuación, h ₀ y h ₂ son más pequeños que h ₁ , siendo de orden$${\ displaystyle h_ {1} ^ {2}}. h ₃ , y todos los coeficientes adicionales, son al menos de orden$${\ displaystyle h_ {1} ^ {3}}. Esto tiene sentido, ya que$${\ displaystyle h_ {0}, h_ {2}, h_ {3}, \ ldots}Todos deben desaparecer más rápido que h ₁ cuando se acerca una órbita circular.

$${\ displaystyle h_ {0} = h_ {1} ^ {2} {\ frac {J '' (u_ {0})} {4 \ beta ^ {2}}},}

$${\ displaystyle h_ {2} = - h_ {1} ^ {2} {\ frac {J '' (u_ {0})} {12 \ beta ^ {2}}},}

$${\ displaystyle h_ {3} = - {\ frac {1} {8 \ beta ^ {2}}} \ left [h_ {1} h_ {2} {\ frac {J '' (u_ {0})} {2}} + h_ {1} ^ {3} {\ frac {J '' '(u_ {0})} {24}} \ right].}

Del término cos (βθ), obtenemos

$${\ displaystyle 0 = (2h_ {1} h_ {0} + h_ {1} h_ {2}) {\ frac {J '' (u_ {0})} {2}} + h_ {1} ^ {3 } {\ frac {J '' '(u_ {0})} {8}} = {\ frac {h_ {1} ^ {3}} {24 \ beta ^ {2}}} \ left (3 \ beta ^ {2} J '' '(u_ {0}) + 5J' '(u_ {0}) ^ {2} \ derecha),}

donde en el último paso sustituimos en los valores de h ₀ y h ₂ .

Usando las ecuaciones ( 3 ) y ( 1 ), podemos calcular la segunda y tercera derivadas de J evaluadas en u ₀ :

$${\ displaystyle J '' (u_ {0}) = - {\ frac {\ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2})} {u_ {0}}},}

$${\ displaystyle J '' '(u_ {0}) = {\ frac {\ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) (1+ \ beta ^ {2})} {u_ {0} ^ {2}}}.}

Sustituyendo estos valores en la última ecuación se obtiene el resultado principal del teorema de Bertrand :

$${\ displaystyle \ beta ^ {2} (1- \ beta ^ {2}) (4- \ beta ^ {2}) = 0.}

Por lo tanto, los únicos potenciales que pueden producir órbitas no circulares cerradas estables son la ley de la fuerza inversa cuadrada (β = 1) y el potencial del armónico-oscilador radial (β = 2). La solución β = 0 corresponde a órbitas perfectamente circulares, como se señaló anteriormente.

La fuerza del inverso del cuadrado [ editar ]

Para una ley de fuerza cuadrada inversa como el potencial gravitacional o electrostático , el potencial puede escribirse

$${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {-k} {r}} = - ku.}

La órbita u () se puede derivar de la ecuación general

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ frac {m} {L ^ {2}}} {\ frac {d} {du }} V \ left ({\ frac {1} {u}} \ right) = {\ frac {km} {L ^ {2}}},}

cuya solucion es la constante $${\ displaystyle {\ frac {km} {L ^ {2}}}} más un sinusoide simple:

$${\ displaystyle u \ equiv {\ frac {1} {r}} = {\ frac {km} {L ^ {2}}} [1 + e \ cos (\ theta - \ theta _ {0})], }

donde e (la excentricidad ) y θ ₀ (el desplazamiento de fase ) son constantes de integración.

Esta es la fórmula general para una sección cónica que tiene un enfoque en el origen; e = 0 corresponde a un círculo , e <1 a="" corresponde="" elipse="" font="" nbsp="" una="">e = 1 corresponde a una parábola , y e > 1 corresponde a una hipérbola . La excentricidad e está relacionada con la energía total E (consulte Laplace – Runge – Lenz vector ):

$${\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {\ frac {2EL ^ {2}} {k ^ {2} m}}}}.}

La comparación de estas fórmulas muestra que E <0 a="" corresponde="" elipse="" font="" nbsp="" una="">E = 0 corresponde a una parábola y E > 0 corresponde a una hipérbola . En particular,$${\ displaystyle E = - {\ frac {k ^ {2} m} {2L ^ {2}}}}Para órbitas perfectamente circulares .

Oscilador armónico radial [ editar ]

Para resolver la órbita bajo un potencial de oscilador armónico radial , es más fácil trabajar en los componentes r = ( x , y , z ). La energía potencial se puede escribir como

$${\ displaystyle V (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {2}} kr ^ {2} = {\ frac {1} {2}} k (x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2}).}

La ecuación de movimiento para una partícula de masa m viene dada por tres ecuaciones independientes de Lagrange

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0,}

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} y = 0,}

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} z = 0,}

donde la constante $${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} \ equiv {\ frac {k} {m}}}debe ser positivo (es decir, k > 0) para asegurar órbitas cerradas y limitadas; de lo contrario, la partícula volará hacia el infinito . Las soluciones de estas simples ecuaciones de oscilador armónicoson todas similares:

$${\ displaystyle x = A_ {x} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {x}),}

$${\ displaystyle y = A_ {y} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {y}),}

$${\ displaystyle z = A_ {z} \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi _ {z}),}

donde las constantes positivas A _x , A _Y y A _z representan las amplitudes de las oscilaciones, y los ángulos phi _x , φ _y y φ _z representan sus fases . La órbita r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] resultante se cierra porque se repite exactamente después de un período

$${\ displaystyle T \ equiv {\ frac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}}.

El sistema también es estable porque las pequeñas perturbaciones en las amplitudes y las fases causan cambios pequeños en la órbita general.