MECÁNICA CLÁSICA

compuesto antivibración es una mezcla resistente a la temperatura de un líquido con partículas finas, que se utiliza para reducir las oscilaciones en los rodillos de la calandra y para amortiguar las vibraciones en estructuras fabricadas como camas de máquinas y alojamientos.

Utilizar [ editar ]

La vibración puede limitar el rendimiento de un calandrado o una máquina de papel . Puede tener numerosas fuentes, como variaciones masivas en la hoja, problemas con los rodamientos o desalineación del eje de transmisión . La vibración se manifiesta como un movimiento periódico de alta frecuencia del cuerpo del rodillo con una amplitud de menos de uno a varios µm.

Cuando se introduce un compuesto antivibración en los orificios centrales de los rodillos, la vibración se transfiere desde la estructura del rodillo sólido al componente fluido incompresible del compuesto antivibración. Sus partículas sólidas son menos móviles debido a su inercia . Así, el fluido es obligado a oscilar alrededor de los componentes sólidos. La energía de flujo es absorbida por micro remolinos por los cuales se amortigua la vibración.

Los beneficios son un funcionamiento más suave con una mayor velocidad de operación y producción, tiempos de operación más largos del polímero que cubren los reabastecimientos y una mejor calidad del producto debido a la reducción de la restricción.

En mecánica clásica , la ecuación de movimiento de Appell (también conocida como ecuación de movimiento de Gibbs-Appell) es una formulación general alternativa de la mecánica clásica descrita por Paul Émile Appell en 1900 ^[1] y Josiah Willard Gibbs en 1879 ^[2]

$${\ displaystyle Q_ {r} = {\ frac {\ partial S} {\ partial \ alpha _ {r}}}}

Aquí, $${\ displaystyle \ alpha _ {r} = {\ ddot {q_ {r}}}}es una aceleración generalizada arbitraria , la segunda derivada del tiempo de las coordenadas generalizadas q _ry Q _r es su correspondiente fuerza generalizada ; Es decir, el trabajo realizado está dado por

$${\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r}}

donde el índice r se ejecuta sobre las coordenadas generalizadas D q _r , que generalmente corresponden a los grados de libertad del sistema. La función S se define como la suma ponderada en masa de las aceleraciones de partículas al cuadrado,

$${\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} ^ {2} \ ,,}

donde el índice k corre sobre las partículas N , y

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ ddot {\ mathbf {r}}} _ {k} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r} _ {k}} {dt ^ {2}}}}

es la aceleración de la k ª partícula, la segunda derivada de su vector de posición r _k . Cada r _k se expresa en términos de coordenadas generalizadas , y una _k se expresa en términos de las aceleraciones generalizadas.

La formulación de Appells no introduce ninguna nueva física en la mecánica clásica. Es totalmente equivalente a las otras formulaciones de la mecánica clásica, como la segunda ley de Newton , la mecánica de Lagrange , mecánica hamiltoniana , y el principio de mínima acción . La ecuación de movimiento de Appell puede ser más conveniente en algunos casos, particularmente cuando se trata de restricciones no holonómicas . La formulación de Appell es una aplicación del principio de menor restricción de Gauss .

Derivación [ editar ]

El cambio en las posiciones de partículas r _k para un cambio infinitesimal en las coordenadas D generalizadas es

$${\ displaystyle d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}}}

Tomando dos derivadas con respecto al tiempo se obtiene una ecuación equivalente para las aceleraciones.

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {a} _ {k}} {\ partial \ alpha _ {r}}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}}}

El trabajo realizado por un cambio infinitesimal dq _r en las coordenadas generalizadas es

$${\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot d \ mathbf {r} _ {k}}

Donde la segunda ley de Newton para la k ª partícula.

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {k} = m_ {k} \ mathbf {a} _ {k}}

ha sido usado. Sustituyendo la fórmula de d r _k y cambiando el orden de las dos sumas se obtiene la fórmula

$${\ displaystyle dW = \ sum _ {r = 1} ^ {D} Q_ {r} dq_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k } \ cdot \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}} \ right) = \ sum _ {r = 1} ^ {D} dq_ {r} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ partial q_ {r}}} \ right)}

Por lo tanto, las fuerzas generalizadas son

$${\ displaystyle Q_ {r} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {r} _ {k}} {\ parcial q_ {r}}} \ derecha) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {a} _ {k}} {\ partial \ alpha _ {r}}} \ right)}

Esto es igual a la derivada de S con respecto a las aceleraciones generalizadas.

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial S} {\ partial \ alpha _ {r}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha _ {r}}} {\ frac {1} {2} } \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left | \ mathbf {a} _ {k} \ right | ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial \ mathbf {a} _ {k}} {\ partial \ alpha _ {r}}} \ right)}

dando la ecuación de movimiento de Appell

$${\ displaystyle {\ frac {\ parcial S} {\ partial \ alpha _ {r}}} = Q_ {r}}

Ejemplos [ editar ]

Ecuaciones de Euler [ editar ]

Las ecuaciones de Euler proporcionan una excelente ilustración de la formulación de Appell.

Considere un cuerpo rígido de N partículas unidas por varillas rígidas. La rotación del cuerpo puede ser descrita por un vector de velocidad angular $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}, y el correspondiente vector de aceleración angular.

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ omega}}} {dt}}}

La fuerza generalizada para una rotación es el par N , ya que el trabajo realizado para una rotación infinitesimal$${\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ phi}}} es $${\ displaystyle dW = \ mathbf {N} \ cdot \ delta {\ boldsymbol {\ phi}}}. La velocidad de la partícula k th está dada por

$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {k} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {k}}

donde r _k es la posición de la partícula en coordenadas cartesianas; su correspondiente aceleración es

$${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {k} = {\ frac {d \ mathbf {v} _ {k}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ { k} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k}}

Por lo tanto, la función S puede escribirse como

$${\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left (\ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} m_ {k} \ left \ {\ left ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) ^ {2} + \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right) ^ {2} +2 \ izquierda ({\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} _ {k} \ right) \ cdot \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {k} \ right )\Correcto\}}

Ajuste de la derivada de S con respecto a$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}} igual al par produce los ecuaciones de Euler

$${\ displaystyle I_ {xx} \ alpha _ {x} - \ left (I_ {yy} -I_ {zz} \ right) \ omega _ {y} \ omega _ {z} = N_ {x}}

$${\ displaystyle I_ {yy} \ alpha _ {y} - \ left (I_ {zz} -I_ {xx} \ right) \ omega _ {z} \ omega _ {x} = N_ {y}}

$${\ displaystyle I_ {zz} \ alpha _ {z} - \ left (I_ {xx} -I_ {yy} \ right) \ omega _ {x} \ omega _ {y} = N_ {z}}

La densidad de área (también conocida como densidad de área , densidad de superficie , densidad superficial o espesor de densidad ) de un objeto bidimensional se calcula como la masa por unidad de área . La unidad derivada del SI es: kilogramo por metro cuadrado (kg · m ⁻² ). En las industrias de papel y telas, se llama gramaje y se expresa en gramos por metro cuadrado (gsm); para el papel en particular, puede expresarse como libras por resma de tamaños estándar ("resma de base").

Formulación [ editar ]

Se puede calcular como:

$${\ displaystyle \ rho _ {A} = {\ frac {m} {A}}}

o

$${\ displaystyle \ rho _ {A} = \ rho \ cdot l}

dónde,

ρ A	= densidad de area promedio
metro	= masa total del objeto
UNA	= área total del objeto
ρ	= densidad media
l	= espesor promedio del objeto

Densidad de columna [ editar ]

Un tipo especial de densidad de área se llama densidad de columna (masa) (también densidad de masa de columna ), denotada como ρ _A o σ . Es la masa de sustancia por unidad de área integrada a lo largo de un camino; ^[1] Se obtiene integrando densidad volumétrica. $${\ displaystyle \ rho}sobre una columna: ^[2]

$${\ displaystyle \ sigma = \ int \ rho \; \ operatorname {d} s.}

En general, la ruta de integración puede ser inclinada o de incidencia oblicua (como en, por ejemplo, la propagación de la línea de visión en la física atmosférica ). Un caso especial común es un camino vertical, desde la parte inferior hasta la parte superior del medio:

$${\ displaystyle \ sigma = \ int \ rho \; \ operatorname {d} z}

dónde $${\ displaystyle z} denota la coordenada vertical (por ejemplo, altura o profundidad).

Densidad columnar $${\ displaystyle \ rho _ {A}} está estrechamente relacionado con la densidad volumétrica promediada verticalmente $${\ displaystyle {\ bar {\ rho}}}como

$${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} = {\ frac {\ rho _ {A}} {\ Delta z}},

dónde $${\ displaystyle \ Delta z = \ int 1 \; \ operatorname {d} z}; Darse cuenta de$${\ displaystyle {\ bar {\ rho}}}, $${\ displaystyle \ rho _ {A}}y $${\ displaystyle \ Delta z} tener unidades de, por ejemplo, gramos por metro cúbico, gramos por metro cuadrado y metros, respectivamente.

Densidad de número de columna [ editar ]

La densidad numérica de la columna se refiere, en cambio, a un tipo de cantidad de densidad numérica : el número o recuento de una sustancia, en lugar de la masa, por unidad de área integrada a lo largo de una ruta

$${\ displaystyle N = \ int n \; \ operatorname {d} s.}

Uso [ editar ]

Física de la atmósfera [ editar ]

Es una cantidad comúnmente recuperada por los instrumentos de detección remota , por ejemplo, el espectrómetro de mapeo de ozono total (TOMS), que recupera columnas de ozono en todo el mundo. Las columnas también se devuelven mediante el método de espectroscopia de absorción óptica diferencial (DOAS) ^[3] y son un producto de recuperación común de los radiómetros de microondas con aspecto de nadir . ^[4] [5]

Un concepto estrechamente relacionado es el de la trayectoria de hielo o agua líquida , que especifica el volumen por unidad de área o profundidad en lugar de la masa por unidad de área, por lo que los dos están relacionados:

$${\ displaystyle P = {\ frac {\ sigma} {\ rho _ {0}}}},

Otro concepto estrechamente relacionado es la profundidad óptica .

Astronomía [ editar ]

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En astronomía, la densidad de la columna se usa generalmente para indicar el número de átomos o moléculas por cm cuadrado (cm ² ) a lo largo de la línea de visión en una dirección particular, como se deriva de observaciones de, por ejemplo, la línea de hidrógeno de 21 cm o de observaciones de un ciertas especies moleculares. También la extinción interestelar puede estar relacionada con la densidad de la columna de H o H ₂^[6] .

El concepto de densidad de área puede ser útil al analizar discos de acreción . En el caso de un disco visto de frente, la densidad de área para un área determinada del disco se define como densidad de columna: es decir, como la masa de sustancia por área de unidad integrada a lo largo del camino vertical que atraviesa el disco (línea De vista) , desde la parte inferior hasta la parte superior del medio:

$${\ displaystyle \ sigma = \ int \ rho \; \ operatorname {d} z}

dónde $${\ displaystyle z} denota la coordenada vertical (p. ej., altura o profundidad), o como el número o recuento de una sustancia, en lugar de la masa, por unidad de área integrada a lo largo de una trayectoria (densidad de número de columna):

$${\ displaystyle N = \ int n \; \ operatorname {d} z.}

Medios de almacenamiento de datos [ editar ]

Artículo principal: Densidad de área (almacenamiento de computadora)

La densidad de área se utiliza para cuantificar y comparar diferentes tipos de medios utilizados en dispositivos de almacenamiento de datos, como unidades de disco duro , unidades de disco óptico y unidades de cinta . La unidad de medida actual es típicamente gigabits por pulgada cuadrada. ^[7]

Papel [ editar ]

Artículo principal: gramaje

La densidad del área se usa a menudo para describir el grosor del papel; Por ejemplo, 80 g / m ² es muy común.

Tela [ editar ]

Artículo principal: gramaje

El "peso" de la tela a menudo se especifica como masa por unidad de área, gramos por metro cuadrado (gsm) u onzas por yarda cuadrada. Algunas veces también se especifica en onzas por yarda en un ancho estándar para la tela en particular. Un gramo por metro cuadrado equivale a 0.0295 onzas por yarda cuadrada; Una onza por yarda cuadrada equivale a 33.9 gramos por metro cuadrado.

Otro [ editar ]

También es una cantidad importante para la absorción de radiación .

Cuando se estudian cuerpos que caen a través del aire, la densidad del área es importante porque la resistencia depende del área y la fuerza gravitatoria depende de la masa.

La densidad ósea a menudo se expresa en gramos por centímetro cuadrado (g · cm ⁻² ), medida por absorciometría de rayos X, como un proxy de la densidad real.

El índice de masa corporal se expresa en unidades de kilogramos por metro cuadrado, aunque la cifra del área es nominal, siendo simplemente el cuadrado de la altura.

El contenido total de electrones en la ionosfera es una cantidad de densidad numérica de tipo de columna.

El equivalente en agua de nieve es una cantidad de tipo densidad de masa columnar.

 difusión de Arnold es el fenómeno de la inestabilidad de los sistemas hamiltonianos integrables . El fenómeno lleva el nombre de Vladimir Arnold, quien fue el primero en publicar un resultado en el campo en 1964. ^[1] [2] Más precisamente, la difusión de Arnold se refiere a los resultados que afirman la existencia de soluciones para sistemas hamiltonianos casi integrables que muestran un cambio significativo En las variables de acción.

Antecedentes y declaración [ editar ]

Para sistemas integrables, uno tiene la conservación de las variables de acción . De acuerdo con el teorema de KAM, si perturbamos ligeramente un sistema integrable, entonces muchas, aunque ciertamente no todas, de las soluciones del sistema perturbado permanecen cercanas, en todo momento, al sistema imperturbable. En particular, dado que las variables de acción se conservaron originalmente, el teorema nos dice que solo hay un pequeño cambio en la acción para muchas soluciones del sistema perturbado.

Sin embargo, como se señaló por primera vez en el artículo de Arnold, ^[1] existen sistemas casi integrables para los cuales existen soluciones que muestran un crecimiento arbitrariamente grande en las variables de acción. Más precisamente, Arnold consideró el ejemplo del sistema hamiltoniano casi integrable con el hamiltoniano.

$${\ displaystyle H (I, p, q, \ phi, t) = {1 \ sobre 2} I ^ {2} + p ^ {2} + \ epsilon \ cos {(q-1)} + \ mu \ cos {(q-1)} (\ sin {\ phi + \ cos t)}}

Mostró que para este sistema, con cualquier elección de {\ displaystyle \ epsilon, \ delta, K> 0,} dónde $${\ displaystyle K \ gg \ delta}, existe un {\ displaystyle \ mu _ {0}> 0} tal que para todos {\ displaystyle \ mu <\ mu _ {0}} Hay una solución al sistema para la cual

{\ displaystyle I (0) <\ delta {\ text {y}} I (T)> K}

durante algún tiempo $${\ displaystyle T \ gg 0.}