MECÁNICA CLÁSICA

movimiento armónico complejo es un reino complicado basado en el movimiento armónico simple. La palabra "complejo" se refiere a diferentes situaciones. A diferencia del movimiento armónico simple , que es independiente de la resistencia del aire, la fricción, etc., el movimiento armónico complejo a menudo tiene fuerzas adicionales para disipar la energía inicial y disminuir la velocidad y amplitud de una oscilación hasta que la energía del sistema se drena por completo y el sistema Se detiene en su punto de equilibrio.

Diferentes tipos de movimiento armónico complejo [ editar ]

Movimiento armónico amortiguado [ editar ]

Introducción [ editar ]

Análisis de las fuerzas oscilatorias amortiguadas en la natación.

Un diagrama de tres tipos de movimiento armónico amortiguado.

El movimiento armónico amortiguado es una oscilación real, en la que un objeto cuelga de un resorte. Debido a la existencia de fricción interna y resistencia del aire, el sistema experimentará con el tiempo una disminución en la amplitud. La disminución de la amplitud se debe al hecho de que la energía pasa a la energía térmica. ^[1]

El movimiento armónico amortiguado ocurre porque el resorte no es muy eficiente para almacenar y liberar energía, por lo que la energía se extingue. La fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad del objeto y se encuentra en la dirección opuesta al movimiento, de modo que el objeto se ralentiza rápidamente. Específicamente, cuando un objeto está amortiguando , la fuerza de amortiguación se relacionará con la velocidad con un coeficiente c. La ecuación es "F = -cv". ^[2] [3]

El diagrama que se muestra a la derecha indica tres tipos de movimiento armónico amortiguado.

• Humedecido críticamente : el sistema vuelve al equilibrio lo más rápido posible sin oscilar.
• Sin atenuar : el sistema oscila (a una frecuencia reducida en comparación con el caso no amortiguado ) y la amplitud disminuye gradualmente hasta cero.
• Sobredimensionado : el sistema regresa (decae exponencialmente) al equilibrio sin oscilar. ^[4]

Diferencia entre oscilación amortiguada y obligado [ editar ]

Un objeto o un sistema está oscilando en su propia frecuencia natural sin la interferencia de una fuerza periódica externa o movimiento inicial. La oscilación amortiguada es similar a la oscilación forzada, excepto que tiene una fuerza continua y repetida a medida que avanza. Por lo tanto, estos son dos movimientos que tienen un resultado opuesto.

un columpio en el patio de recreo

Aplicación en la vida real [ editar ]

1. 1 El puente de bungee proporciona una gran fuerza de rebote al comprimir los resortes debajo de él. La compresión teóricamente convierte la energía cinética en energía potencial elástica. Cuando la energía potencial elástica alcanza su límite superior, se puede ejercer sobre el objeto o el niño que lo presiona en forma de energía cinética. ^[5]

1. 2 La goma elástica funciona igual que la primavera.

El oscilador libre y los efectos de amortiguación de la resistencia del aire y las pérdidas en los pivotes significan que eventualmente dejará de oscilar. Si el swing se empuja cada vez que alcanza un cierto punto, se comporta como un oscilador forzado y continuará girando mientras se suministre energía. ^[6]

Resonancia [ editar ]

Amplitud de frecuencia resonante

Introducción [ editar ]

La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa (aplicada) es la misma que la frecuencia natural (frecuencia de resonancia) del sistema. Cuando ocurre tal situación, la fuerza externa siempre actúa en la misma dirección que el movimiento del objeto oscilante, con el resultado de que la amplitud de la oscilación aumenta indefinidamente, como se muestra en el diagrama adyacente. Lejos del valor de la frecuencia de resonancia, ya sea mayor o menor, la amplitud de la frecuencia correspondiente es menor.

En un conjunto de péndulos de conducción con diferentes longitudes de cuerdas que cuelgan objetos, el péndulo con la misma longitud de cuerda que el conductor tiene la mayor amplitud de balanceo.

Aplicación en la vida real [ editar ]

• Las partes de un automóvil pueden vibrar si conduce por un camino lleno de baches a una velocidad en la que las vibraciones transmitidas al cuerpo se encuentran en la frecuencia de resonancia de esa parte. (En realidad, los autos están diseñados para no hacer esto eligiendo partes con frecuencias naturales que probablemente no se producirán al conducir).
• Las frecuencias graves de los altavoces estéreo pueden hacer que una habitación resuene, especialmente molesta si vive al lado y su sala de estar resuena debido a la música de su vecino.
• un hombre camina por un campo con una tabla larga en su hombro. En cada paso, la tabla se flexiona un poco (a) y los extremos se mueven hacia arriba y hacia abajo. Luego comienza a trotar y, como resultado, rebota hacia arriba y hacia abajo (b). A una velocidad particular, se producirá una resonancia entre el movimiento del hombre y la tabla, y los extremos de la tabla oscilarán con gran amplitud. ^[7]
• Cuando se usa un horno de microondas para cocinar alimentos, la micro onda se desplaza a través de los alimentos, lo que hace que las moléculas de agua vibren en la misma frecuencia, que es similar a la resonancia, de modo que la comida en general se calienta rápidamente.
• Algunos de los choques de helicópteros son causados ​​también por resonancia. Los globos oculares del piloto resuenan debido a una presión excesiva en el aire superior, lo que hace que el piloto no pueda ver las líneas eléctricas aéreas. Como resultado, el helicóptero está fuera de control. ^[8]
• Resonancia de dos tenedores de tono idénticos

Ver video: http://video.mit.edu/embed/11447/

Doble péndulo [ editar ]

Introducción [ editar ]

doble péndulo

Reloj n. ° 2 de Ferdinand Berthoud marine con resorte de motor y doble péndulo.

Un doble pénduloes un péndulo simple que cuelga debajo de otro, que es un epítome del sistema de péndulo compuesto. Muestra un comportamiento dinámico abundante. El movimiento de un péndulo doble parece caótico. Difícilmente podemos ver una rutina regulada que va, lo que lo hace complicado. Además, si las longitudes y las masas de los dos brazos son iguales entre sí, hace que sea difícil identificar los centros de las dos barras. Además, un péndulo doble puede ejercer movimiento sin la restricción de un plano de dos dimensiones (generalmente vertical). En otras palabras, el péndulo complejo puede moverse a cualquier lugar dentro de la esfera, que tiene el radio de la longitud total de los dos péndulos. Sin embargo, para un ángulo pequeño, el péndulo doble puede actuar de manera similar al péndulo simple porque el movimiento también está determinado por las funciones seno y coseno. ^[9]

Aplicación en la vida real [ editar ]

La imagen muestra un reloj marino con resortes de motor y doble péndulo.

En mecánica clásica , los parámetros que definen la configuración de un sistema se denominan coordenadas generalizadas , y el espacio vectorial definido por estas coordenadas se denomina espacio de configuracióndel sistema físico . Es frecuente que estos parámetros satisfagan las restricciones matemáticas, de manera que el conjunto de configuraciones reales del sistema es una variedad en el espacio de las coordenadas generalizadas. Este colector se denomina colector de configuración del sistema.

Ejemplo: una partícula en el espacio 3D [ editar ]

La posición de una sola partícula que se mueve en el espacio 3 euclidiano ordinario está definida por el vector$${\ displaystyle q = (x, y, z)}, y por lo tanto su espacio de configuración es$${\ displaystyle Q = \ mathbb {R} ^ {3}}. Es convencional utilizar el símbolo.$${\ displaystyle q}para un punto en el espacio de configuración; esta es la convención tanto en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica como en la mecánica lagrangiana . El símbolo$${\ displaystyle p}se utiliza para denotar momenta; el símbolo$${\ displaystyle {\ dot {q}} = dq / dt} se refiere a las velocidades.

Una partícula podría estar limitada a moverse sobre una variedad específica . Por ejemplo, si la partícula está unida a un enlace rígido, libre para oscilar alrededor del origen, efectivamente se ve obligada a mentir sobre una esfera. Su espacio de configuración es el subconjunto de coordenadas en.$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} que definen puntos en la esfera $${\ displaystyle S ^ {2}}. En este caso, se dice que la variedad.$${\ displaystyle Q}es la esfera, es decir $${\ displaystyle Q = S ^ {2}}.

Para n partículas desconectadas, puntos no interactivos, el espacio de configuración es$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3n}}. En general, sin embargo, a uno le interesa el caso en el que las partículas interactúan: por ejemplo, son ubicaciones específicas en algún conjunto de engranajes, poleas, bolas rodantes, etc. , a menudo obligadas a moverse sin deslizarse. En este caso, el espacio de configuración no es todo de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3n}}, pero el subespacio (subnivel) de las posiciones permitidas que pueden tomar los puntos.

Ejemplo: cuerpo rígido en espacio 3D [ editar ]

El conjunto de coordenadas que definen la posición de un punto de referencia y la orientación de un marco de coordenadas unido a un cuerpo rígido en un espacio tridimensional forman su espacio de configuración, a menudo denotado $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathrm {SO} (3)} dónde $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} representa las coordenadas del origen del marco adjunto al cuerpo, y $${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}representa las matrices de rotación que definen la orientación de este marco en relación con un marco de fondo. Una configuración del cuerpo rígido está definida por seis parámetros, tres de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} y tres de $${\ displaystyle \ mathrm {SO} (3)}, y se dice que tiene seis grados de libertad .

En este caso, el espacio de configuración. $${\ displaystyle Q = \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathrm {SO} (3)} Es de seis dimensiones, y un punto. $${\ displaystyle q \ en Q}Es solo un punto en ese espacio. La "ubicación" de$${\ displaystyle q}en ese espacio de configuración se describe utilizando coordenadas generalizadas ; por lo tanto, tres de las coordenadas podrían describir la ubicación del centro de masa del cuerpo rígido, mientras que otras tres podrían ser los ángulos de Euler que describen su orientación. No hay elección canónica de coordenadas; también se puede elegir elegir alguna punta o punto final del cuerpo rígido, en lugar de su centro de masa; uno podría elegir usar cuaterniones en lugar de los ángulos de Euler, y así sucesivamente. Sin embargo, la parametrización no cambia las características mecánicas del sistema; todas las diferentes parametrizaciones finalmente describen la misma variedad (seis dimensiones), el mismo conjunto de posibles posiciones y orientaciones.

Algunas parametrizaciones son más fáciles de trabajar que otras, y se pueden hacer muchas afirmaciones importantes trabajando de manera libre de coordenadas. Ejemplos de declaraciones sin coordenadas son que el espacio tangente $${\ displaystyle TQ} Corresponde a las velocidades de los puntos. $${\ displaystyle q \ en Q}, mientras que el espacio cotangente $${\ displaystyle T ^ {*} Q}corresponde a los momenta. (Las velocidades y los momentos pueden estar conectados; para el caso más general y abstracto, esto se hace con la noción más bien abstracta de la forma única tautológica ).

Ejemplo: brazo robótico [ editar ]

Para un brazo robótico que consta de numerosos enlaces rígidos, el espacio de configuración consiste en la ubicación de cada enlace (que se considera un cuerpo rígido, como en la sección anterior), sujeto a las restricciones de cómo los enlaces se unen entre sí, y su rango de movimiento permitido. Así, para$${\ displaystyle n} enlaces, se podría considerar el espacio total

$${\ displaystyle \ left [\ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathrm {SO} (3) \ right] ^ {n}}

excepto que todos los diversos adjuntos y restricciones significan que no todos los puntos en este espacio son alcanzables. Así, el espacio de configuración.$${\ displaystyle Q} es necesariamente un subespacio de la $${\ displaystyle n}Espacio de configuración de cuerpo rígido.

Tenga en cuenta, sin embargo, que en robótica, el término espacio de configuración también puede referirse a un subconjunto más reducido: el conjunto de posiciones alcanzables por el efector final de un robot . ^[1] Sin embargo, esta definición conduce a las complejidades descritas por la holonomía : es decir, puede haber varias formas diferentes de organizar un brazo robótico para obtener una ubicación particular del efector final, e incluso es posible que el brazo robótico se mueva manteniendo el final efector estacionario. Por lo tanto, una descripción completa del brazo, adecuada para su uso en cinemática, requiere la especificación de todas las posiciones y ángulos de las articulaciones, y no solo algunas de ellas.

Los parámetros conjuntos del robot se utilizan como coordenadas generalizadas para definir configuraciones. El conjunto de valores de parámetros conjuntos se denomina espacio conjunto . Las ecuaciones cinemáticas directae inversa de un robot definen mapas entre configuraciones y posiciones de efector final, o entre espacio conjunto y espacio de configuración. La planificación del movimiento del robot utiliza este mapeo para encontrar una ruta en el espacio conjunto que proporciona una ruta alcanzable en el espacio de configuración del efector final.

Definición formal [ editar ]

En mecánica clásica , la configuración de un sistema consiste en las posiciones que tienen todos los componentes sujetos a restricciones cinemáticas. ^[2]

Espacio de fase [ editar ]

El espacio de configuración es insuficiente para describir completamente un sistema mecánico: no tiene en cuenta las velocidades. El conjunto de velocidades disponibles para un sistema define un plano tangente a la variedad de configuración del sistema. En un punto$${\ displaystyle q \ en Q}, ese plano tangente se denota por $${\ displaystyle T_ {q} Q}. Los vectores de impulso son funciones lineales del plano tangente, conocidos como vectores cotangentes; por un punto$${\ displaystyle q \ en Q}, ese plano cotangente se denota por $${\ displaystyle T_ {q} ^ {*} Q}. El conjunto de posiciones y momentos de un sistema mecánico forma el paquete cotangente. $${\ displaystyle T ^ {*} Q} de la variedad de configuración $${\ displaystyle Q}. Este colector más grande se denomina espacio de fase del sistema.

Espacio estatal [ editar ]

En mecánica cuántica , el concepto análogo se denomina espacio de estado. En este caso se utiliza un conjunto bastante diferente de formalismos y notaciones. El análogo de una "partícula puntual" se convierte en un solo punto en$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1}}, la compleja línea proyectiva , también conocida como la esfera de Bloch . Es complejo, porque una función de onda cuántica-mecánica tiene una fase compleja; es proyectivo porque la función de onda está normalizada a la probabilidad unitaria. Es decir, dada una función de onda$${\ displaystyle \ psi} Uno es libre de normalizarlo por la probabilidad total. $${\ displaystyle \ int \ psi ^ {*} \ psi}, haciéndolo así proyectivo. Las funciones de onda de n partículas corresponden a puntos en el complejo espacio proyectivo. $${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}.

Las variables conjugadas son pares de variables definidas matemáticamente de tal manera que se convierten en duales de la transformada de Fourier , ^[1] [2] o más generalmente se relacionan a través de la dualidad de Pontryagin . Las relaciones de dualidad conducen naturalmente a una relación de incertidumbre, en físicallamada el principio de incertidumbre de Heisenberg, entre ellas. En términos matemáticos, las variables conjugadas son parte de una base simpléctica, y la relación de incertidumbre corresponde a la forma simpléctica.

Ejemplos [ editar ]

Hay muchos tipos de variables conjugadas, dependiendo del tipo de trabajo que un sistema determinado está haciendo (o está siendo sometido a). Ejemplos de variables conjugadas canónicamente son las siguientes:

• Tiempo y frecuencia : cuanto más tiempo se mantiene una nota musical, más precisamente conocemos su frecuencia (pero abarca más tiempo). Por el contrario, una nota musical muy corta se convierte en solo un clic, por lo que no se puede determinar su frecuencia con mucha precisión. ^[3]
• Doppler y rango: cuanto más sepamos acerca de qué tan lejos está un objetivo de radar , menos podemos conocer la velocidad exacta de acercamiento o retroceso, y viceversa. En este caso, la función bidimensional de doppler y rango se conoce como función de ambigüedad de radar o diagrama de ambigüedad de radar.
• Energía de superficie: γdA ( γ = tensión superficial  ; A = área de superficie).
• Estiramiento elástico: FdL ( F = fuerza elástica; L longitud estirada).

Derivados de la acción [ editar ]

En la física clásica, los derivados de la acción son variables conjugadas a la cantidad con respecto a la cual se está diferenciando. En la mecánica cuántica, estos mismos pares de variables están relacionados por el principio de incertidumbre de Heisenberg .

• La energía de una partícula en un determinado evento es el negativo de la derivada de la acción a lo largo de una trayectoria de esa partícula que termina en ese evento con respecto al momento del evento.
• El momento lineal de una partícula es el derivado de su acción con respecto a su posición .
• El momento angular de una partícula es la derivada de su acción con respecto a su orientación (posición angular).
• El potencial eléctrico (φ, voltaje ) en un evento es el negativo de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de carga eléctrica (libre) en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• El potencial magnético (A) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de la corriente eléctrica (libre) en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• El campo eléctrico (E) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la densidad de polarización eléctrica en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• La inducción magnética (B) en un evento es la derivada de la acción del campo electromagnético con respecto a la magnetización en ese evento. ^{[ cita requerida ]}
• El potencial gravitatorio newtoniano en un evento es el negativo de la derivada de la acción del campo gravitatorio newtoniano con respecto a la densidad de masa en ese evento. ^{[ cita requerida ]}

Física cuántica [ editar ]

En mecánica cuántica , dos variables se conjugan si la relación de conmutación no es cero. Un ejemplo estándar es la relación entre la posición (x) y el momento (p), donde los operadores mecánicos cuánticos involucrados obedecen la relación de conmutación$${\ displaystyle [x, p] = px-xp = 1/2 * i \ hbar}. Esto se puede expresar en términos de una relación de incertidumbre como$${\ displaystyle \ Delta p \ Delta x \ geq \ hbar}/ 2.

Mecánica de fluidos [ editar ]

En la mecánica del fluido hamiltoniano y la hidrodinámica cuántica , la acción en sí misma (o potencial de velocidad ) es la variable conjugada de la densidad (o densidad de probabilidad ).