APUNTES DE GEODESIA

GEODÉSICAS EN UN ELIPSOIDE , CONTINUACIÓN I

Solución de los problemas directos e inversos [ editar ]

Resolver los problemas geodésicos implica mapear la geodésica en la esfera auxiliar y resolver el problema correspondiente en la navegación en círculo máximo . Al resolver el triángulo esférico "elemental" para NEP en la Fig. 5, se pueden emplear las reglas de Napier para triángulos cuadrantes ,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin \ alpha _ {0} & = \ sin \ alpha \ cos \ beta = \ tan \ omega \ cot \ sigma, \\\ cos \ sigma & = \ cos \ beta \ cos \ omega = \ tan \ alpha _ {0} \ cot \ alpha, \\ cos \ alpha & = \ cos \ omega \ cos \ alpha _ {0} = \ cot \ sigma \ tan \ beta, \\\ sin \ beta & = \ cos \ alpha _ {0} \ sin \ sigma = \ cot \ alpha \ tan \ omega, \\\ sin \ omega & = \ sin \ sigma \ sin \ alpha = \ tan \ beta \ tan \ alpha _ {0}. \ end {alineado}}}

El mapeo de la geodésica involucra evaluar las integrales para la distancia, s , y la longitud, λ , Eqs. (3) y (4) y estos dependen del parámetro α ₀ .

El manejo del problema directo es sencillo, ya que α ₀ se puede determinar directamente a partir de las cantidades dadas φ ₁ y α ₁ .

En el caso del problema inverso, se da λ ₁₂ ; esto no puede relacionarse fácilmente con el ángulo esférico equivalente ω ₁₂ porque α ₀ es desconocido. Por lo tanto, la solución del problema requiere que α ₀ se encuentre de forma iterativa.

En aplicaciones geodésicas, donde f es pequeña, las integrales se evalúan típicamente como una serie ( Legendre 1806 ) ( Oriani 1806 ) ( Bessel 1825 ) ( Helmert 1880 ) ( Rainsford 1955 ) ( Rapp 1993 ). Para farbitraria , las integrales (3) y (4) se pueden encontrar por cuadratura numérica o expresándolas en términos deintegrales elípticas ( Legendre 1806 ) ( Cayley 1870 ).

Vincenty (1975) proporciona soluciones para los problemas directos e inversos; estos se basan en una expansión en serie llevada a cabo en tercer orden en el aplanamiento y proporcionan una precisión de aproximadamente0,1 mm para el elipsoide WGS84 ; sin embargo, el método inverso no converge para los puntos casi antípodas.Karney (2013) continúa las expansiones a sexto orden, que es suficiente para proporcionar una precisión de doble precisión total para | f | ≤ ¹ / ₅₀ y mejora la solución del problema inverso de modo que converge en todos los casos. Karney (2013 , addendum) extiende el método para usar integrales elípticas que se pueden aplicar a los elipsoides con un aplanamiento arbitrario.

Propiedades diferenciales de las geodésicas [ editar ]

Varios problemas que involucran geodésicos requieren conocer su comportamiento cuando están perturbados. Esto es útil en los ajustes trigonométricos ( Ehlert 1993 ), para determinar las propiedades físicas de las señales que siguen a las geodésicas, etc. Considere una geodésica de referencia, parametrizada por s , y una segunda geodésica a una pequeña distancia t ( s ) de ella. Gauss (1828) demostró que t ( s ) obedece la ecuación de Gauss-Jacobi

$${\ displaystyle {\ color {blanco}.} \ qquad \ displaystyle {\ frac {d ^ {2} t (s)} {ds ^ {2}}} = K (s) t (s),}

Fig. 14. Definición de longitud reducida y escala geodésica.

donde K ( s ) es la curvatura gaussiana en s . Como un segundo orden, ecuación diferencial homogénea y lineal, su solución se puede expresar como la suma de dos soluciones independientes

$${\ displaystyle t (s_ {2}) = Cm (s_ {1}, s_ {2}) + DM (s_ {1}, s_ {2})}

dónde

{\ displaystyle {\ begin {alineado} m (s_ {1}, s_ {1}) & = 0, \ quad \ left. {\ frac {dm (s_ {1}, s_ {2})} {ds_ { 2}}} \ right | _ {s_ {2} = s_ {1}} = 1, \\ M (s_ {1}, s_ {1}) & = 1, \ quad \ left. {\ Frac {dM (s_ {1}, s_ {2})} {ds_ {2}}} \ right | _ {s_ {2} = s_ {1}} = 0. \ end {alineado}}}

La cantidad m ( s ₁ , s ₂ ) = m ₁₂ es la denominada longitud reducida , y M ( s ₁ , s ₂ ) = M ₁₂ es la escala geodésica . ^[3] Sus definiciones básicas se ilustran en la Fig. 14.

La curvatura gaussiana para un elipsoide de revolución es

$${\ displaystyle K = {\ frac {1} {\ rho \ nu}} = {\ frac {{\ bigl (} 1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi {\ bigr)} ^ { 2}} {b ^ {2}}} = {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {4} {\ bigl (} 1-e ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta {\ bigr)} ^ {2}}}.}

Helmert (1880 , ec. (6.5.1.)) Resolvió la ecuación de Gauss-Jacobi para este caso, permitiendo que m ₁₂ y M ₁₂se expresaran como integrales.

Como vemos en la Fig. 14 (subfigura superior), la separación de dos geodésicas que comienzan en el mismo punto con acimutes que difieren en d α ₁ es m ₁₂ d α ₁ . En una superficie cerrada, como un elipsoide, m ₁₂oscila alrededor de cero. El punto en el que m _{12 se} convierte en cero es el punto conjugado con el punto de inicio. Para que una geodésica entre A y B , de longitud s ₁₂ , sea un camino más corto, debe satisfacer la condición de Jacobi ( Jacobi 1837 ) ( Jacobi 1866 , § 6) ( Forsyth 1927, §§26-27) ( dicha de 1916 ), que no hay ningún punto conjugado a A entre A y B . Si esta condición no se cumple, entonces hay una ruta cercana (no necesariamente una geodésica) que es más corta. Por lo tanto, la condición de Jacobi es una propiedad local de la geodésica y es solo una condición necesaria para que la geodésica sea una ruta global más corta. Las condiciones necesarias y suficientes para que un geodésico sea el camino más corto son:

• para un elipsoide oblato, | σ ₁₂ | ≤ π ;
• para un elipsoide prolado, | λ ₁₂ | ≤ π , si α ₀ ≠ 0 ; si α ₀ = 0 , se requiere la condición complementaria m ₁₂ ≥ 0 si | λ ₁₂ | = π .

Sobre de geodésicas [ editar ]

Geodesics desde un único punto ( f = ¹ / ₁₀ , φ ₁ =−30 ° )

Fig. 15. La envoltura de las geodésicas desde un punto A en φ ₁ =−30 ° .

Fig. 16. Las cuatro geodésicas que conectan A y un punto B , φ ₂ =26 ° ,λ ₁₂ =175 ° .

Las geodésicas de un punto particular A si continúan más allá del lugar de corte forman una envoltura ilustrada en la Fig. 15. Aquí, las geodésicas para las cuales α ₁ es un múltiplo de 3 ° se muestran en azul claro. (Las geodésicas solo se muestran para su primer pasaje cerca del punto antípodas, no para los posteriores). Algunos círculos geodésicos se muestran en verde; Estos forman cúspides en el sobre. El lugar de corte se muestra en rojo. La envoltura es el lugar de los puntos que se conjugan con A ; los puntos en la envolvente pueden calcularse encontrando el punto en el que m ₁₂ = 0 en una geodésica. Jacobi (1891) llama a esta figura parecida a una estrella producida por el sobre un astroide .

Fuera de la astroide, dos geodésicas se intersecan en cada punto; por lo tanto, hay dos geodésicas (con una longitud aproximadamente la mitad de la circunferencia del elipsoide) entre A y estos puntos. Esto corresponde a la situación en la esfera donde hay rutas "cortas" y "largas" en un gran círculo entre dos puntos. Dentro de la astroide se intersectan cuatro geodésicas en cada punto. Cuatro de estas geodésicas se muestran en la Fig. 16, donde las geodésicas se numeran en orden creciente. (Esta figura utiliza la misma posición para A que en la Fig. 13 y está dibujada en la misma proyección). Las dos geodésicas más cortas son estables , es decir, m ₁₂ > 0, de modo que no haya un camino cercano que conecte los dos puntos, que es más corto; los otros dos son inestables. Solo la línea más corta (la primera) tiene σ ₁₂ ≤ π . Todas las geodésicas son tangentes a la envolvente que se muestra en verde en la figura.

El astroid es la (exterior) evolute de los círculos geodésicas centradas en A . Asimismo, los círculos geodésicos son involutos del astroide.

Área de un polígono geodésico [ editar ]

Un polígono geodésico es un polígono cuyos lados son geodésicos. El área de tal polígono se puede encontrar al calcular primero el área entre un segmento geodésico y el ecuador, es decir, el área del cuadrilátero AFHB en la Fig. 1 ( Danielsen 1989 ). Una vez que se conoce esta área, el área de un polígono se puede calcular sumando las contribuciones de todos los bordes del polígono.

Aquí se desarrolla una expresión para el área S ₁₂ de AFHB siguiendo a Sjöberg (2006) . El área de cualquier región cerrada del elipsoide es

$${\ displaystyle T = \ int dT = \ int {\ frac {1} {K}} \ cos \ varphi \, d \ varphi \, d \ lambda,}

donde dT es un elemento de área de superficie y K es la curvatura gaussiana . Ahora el teorema de Gauss-Bonnet se aplica a un polígono geodésico.

$${\ displaystyle \ Gamma = \ int K \, dT = \ int \ cos \ varphi \, d \ varphi \, d \ lambda,}

dónde

$${\ displaystyle \ Gamma = 2 \ pi - \ sum _ {j} \ theta _ {j}}

es el exceso geodésico y θ _j es el ángulo exterior en el vértice j . Multiplicando la ecuación para Γ por R ₂ ² , donde R ₂ es el radio auténtico , y restando esto de la ecuación para T da

{\ displaystyle {\ begin {alineado} T & = R_ {2} ^ {2} \, \ Gamma + \ int {\ biggl (} {\ frac {1} {K}} - R_ {2} ^ {2} {\ biggr)} \ cos \ varphi \, d \ varphi \, d \ lambda \\ & = R_ {2} ^ {2} \, \ Gamma + \ int {\ Biggl (} {\ frac {b ^ { 2}} {{\ bigl (} 1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi {\ bigr)} ^ {2}}} - R_ {2} ^ {2} {\ Biggr)} \ cos \ varphi \, d \ varphi \, d \ lambda, \ end {alineado}}}

donde el valor de K para un elipsoide ha sido sustituido. Aplicando esta fórmula al cuadrilátero AFHB , observando que Γ = α ₂ - α ₁ , y realizando la integral sobre φ da

$${\ displaystyle S_ {12} = R_ {2} ^ {2} (\ alpha _ {2} - \ alpha _ {1}) + b ^ {2} \ int _ {\ lambda _ {1}} ^ { \ lambda _ {2}} {\ biggl (} {\ frac {1} {2 {\ bigl (} 1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi {\ bigr)}}} + {\ frac {\ tanh ^ {- 1} (e \ sin \ varphi)} {2e \ sin \ varphi}} - {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {b ^ {2}}} {\ biggr )} \ sin \ varphi \, d \ lambda,}

donde la integral está sobre la línea geodésica (de modo que φ es implícitamente una función de λ ). La integral se puede expresar como una serie válida para f pequeña ( Danielsen 1989 ) ( Karney 2013 , §6 y addendum).

El área de un polígono geodésico se obtiene sumando S ₁₂ sobre sus bordes. Este resultado se mantiene siempre que el polígono no incluya un polo; Si lo hace, se debe agregar 2π R ₂ ² a la suma. Si los bordes están especificados por sus vértices, entonces una expresión conveniente para el exceso geodésico E ₁₂ = α ₂ - α ₁ es

$${\ displaystyle \ tan {\ frac {E_ {12}} {2}} = {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ beta _ {2} + \ beta _ {1}) } {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ beta _ {2} - \ beta _ {1})}} \ tan {\ frac {\ omega _ {12}} {2}}.}

Geodesica en un elipsoide triaxial [ editar ]

Resolver el problema geodésico para un elipsoide de revolución es, desde el punto de vista matemático, relativamente simple: debido a la simetría, las geodésicas tienen una constante del movimiento, dada por la relación de Clairaut que permite que el problema se reduzca a cuadratura . A principios del siglo XIX (con el trabajo de Legendre, Oriani , Bessel, et al.), Hubo una comprensión completa de las propiedades de las geodésicas en un elipsoide de la revolución.

Por otro lado, las geodésicas en un elipsoide triaxial (con tres ejes desiguales) no tienen una constante obvia del movimiento y, por lo tanto, representan un problema desafiante "no resuelto" en la primera mitad del siglo XIX. En un artículo notable, Jacobi (1839) descubrió una constante del movimiento que permite que este problema se reduzca a cuadratura también ( Klingenberg 1982 , §3.5). ^[4]

El sistema de coordenadas triaxial [ editar ]

Considere el elipsoide definido por

$${\ displaystyle h = {\ frac {X ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {Y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {Z ^ { 2}} {c ^ {2}}} = 1,}

donde ( X , Y , Z ) son coordenadas cartesianas centradas en el elipsoide y, sin pérdida de generalidad,a ≥ b ≥ c > 0 . ^[5] Jacobi (1866 , §§26-27) empleó la latitud y longitud elipsoidal (β, ω) definidas por

Fig. 17. Coordenadas elipsoidales .

{\ displaystyle {\ begin {alineado} X & = a \ cos \ omega {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta -c ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta}} {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}}, \\ Y & = b \ cos \ beta \ sin \ omega, \\ Z & = c \ sin \ beta {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} \ omega + b ^ {2} \ cos ^ {2} \ omega -c ^ {2}}} {\ sqrt {a ^ {2 } -c ^ {2}}}}. \ end {alineado}}}

En el límite b → a , β se convierte en la latitud paramétrica de un elipsoide oblato, por lo que el uso del símbolo β es consistente con las secciones anteriores. Sin embargo, ω es diferente de la longitud esférica definida anteriormente. ^[6]

Las líneas de cuadrícula de la constante β (en azul) y ω (en verde) se muestran en la Fig. 17. Constituyen un sistema de coordenadas ortogonales : las líneas de la cuadrícula se intersecan en ángulos rectos. Las secciones principales del elipsoide, definidas por X = 0 y Z = 0 se muestran en rojo. La tercera sección principal, Y = 0 , está cubierta por las líneas β = ± 90 ° y ω = 0 ° o ± 180 ° . Estas líneas se encuentran en cuatro puntos umbilicales (dos de los cuales son visibles en esta figura) donde los radios principales de curvaturason iguales. Aquí y en las otras figuras de esta sección, los parámetros del elipsoide son a : b : c = 1.01: 1: 0.8 , y se ven en una proyección ortográfica desde un punto por encima de φ = 40 ° ,λ = 30 ° .

Las líneas de la cuadrícula de las coordenadas elipsoidales se pueden interpretar de tres maneras diferentes:

1. Son "líneas de curvatura" en el elipsoide: son paralelas a las direcciones de curvatura principal ( Monge 1796 ).
2. También son intersecciones del elipsoide con sistemas confocales de hiperboloides de una y dos hojas ( Dupin 1813 , Parte 5 ).
3. Finalmente, son elipsis geodésicas e hipérbolas definidas usando dos puntos umbilicales adyacentes ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 , p. 188). Por ejemplo, las líneas de la constante β en la Fig. 17 se pueden generar con la construcción de la cuerda familiar para las elipses con los extremos de la cuerda fijados a los dos puntos umbilicales.

La solución de Jacobi [ editar ]

Jacobi demostró que las ecuaciones geodésicas, expresadas en coordenadas elipsoidales, son separables. Aquí es cómo relató su descubrimiento a su amigo y vecino Bessel ( Jacobi 1839 , Carta a Bessel),

Anteayer, reduje a cuadratura el problema de las líneas geodésicas en un elipsoide con tres ejes desiguales . Son las fórmulas más simples del mundo, las integrales abelianas , que se convierten en las integrales elípticas bien conocidas si se establecen 2 ejes iguales.

Königsberg , 28 de diciembre del '38.

La solución dada por Jacobi ( Jacobi 1839 ) ( Jacobi 1866 , §28) es

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\quad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$

Como señala Jacobi, "una función del ángulo β es igual a una función del ángulo ω . Estas dos funciones son solo integrales abelianas ..." En la solución aparecen dos constantes δ y γ . Por lo general, δ es cero si los límites inferiores de las integrales se consideran el punto de inicio de la geodésica y la dirección de las geodésicas se determina mediante γ . Sin embargo, para las geodésicas que comienzan en puntos umbilicales, tenemos que γ = 0 y δ determina la dirección en el punto umbilical. La constante γ puede expresarse como

$${\ displaystyle \ gamma = {\ bigl (} b ^ {2} -c ^ {2} {\ bigr)} \ cos ^ {2} \ beta \ sin ^ {2} \ alpha - {\ bigl (} a ^ {2} -b ^ {2} {\ bigl)} \ sin ^ {2} \ omega \ cos ^ {2} \ alpha,}

donde α es el ángulo que hace la geodésica con líneas de constante ω . En el límite b → a , esto se reduce a sinα cosβ = const. , la relación familiar de Clairaut. Darboux da una derivación del resultado de Jacobi (1894 , §§583-584); Da la solución encontrada por Liouville (1846) para superficies cuadráticas generales.

Encuesta de geodésicas triaxiales [ editar ]

Geodésicas circumpolar, ω ₁ =0 ° , α ₁ =90 ° .

Fig. 18. β ₁ =45.1 ° .

Fig. 19. β ₁ =87.48 ° .

En un elipsoide triaxial, solo hay tres geodésicas cerradas simples, las tres secciones principales del elipsoide dadas por X = 0 , Y = 0 y Z = 0 . ^[7] Para estudiar las otras geodésicas, es conveniente considerar las geodésicas que se intersecan con la sección principal central, Y = 0 , en ángulos rectos. Tales geodésicas se muestran en las Figs. 18 a 22, que utilizan los mismos parámetros de elipsoide y la misma dirección de visualización que la Fig. 17. Además, las tres elipsis principales se muestran en rojo en cada una de estas figuras.

Si el punto de inicio es β ₁ ∈ (−90 °, 90 °) , ω ₁ = 0 , y α ₁ = 90 ° , entonces γ> 0 y la geodésica rodean el elipsoide en un sentido "circumpolar". La geodésica oscila al norte y al sur del ecuador; en cada oscilación completa un poco menos que un circuito completo alrededor del elipsoide, lo que resulta, en el caso típico, en el relleno geodésico del área delimitada por las dos líneas de latitud β = ± β ₁ . Dos ejemplos se dan en las Figs. 18 y 19. La figura 18 muestra prácticamente el mismo comportamiento que para un elipsoide de revolución oblato (porque a ≈ b); compárese con la Fig. 9. Sin embargo, si el punto de partida es en una latitud más alta (Fig. 18), las distorsiones resultantes de una ≠ b son evidentes. Todas las tangentes a una geodésica circumpolar tocan el hiperboloide confocal de una hoja que intersecta el elipsoide en β = β ₁ ( Chasles 1846 ) ( Hilbert y Cohn-Vossen 1952 , pp. 223–224).

Geodésicas transpolares, β ₁ =90 ° , α ₁ =180 ° .

Fig. 20. ω ₁ =39.9 ° .

Fig. 21. ω ₁ =9.966 ° .

Si el punto de inicio es β ₁ = 90 ° ,ω ₁ ∈ (0 °, 180 °) , y α ₁ = 180 ° , entonces γ <0 span=""> y la geodésica rodean el elipsoide en un sentido "transpolar". La geodésica oscila al este y al oeste de la elipse X = 0 ; en cada oscilación se completa un poco más que un circuito completo alrededor del elipsoide. En el caso típico, esto hace que la geodésica llene el área delimitada por las dos líneas de longitud ω = ω ₁ y ω = 180 ° - ω ₁ . Si a = b , todos los meridianos son geodésicos; el efecto de un≠ b hace que estas geodésicas oscilen al este y al oeste. Dos ejemplos se dan en las Figs. 20 y 21. La constricción de la geodésica cerca del polo desaparece en el límiteb → c ; en este caso, el elipsoide se convierte en un elipsoide prolado y la Fig. 20 se parecería a la Fig. 10 (girada sobre su costado). Todas las tangentes a una geodésica transpolar tocan el hiperboloide confocal de doble hoja que intersecta el elipsoide en ω = ω ₁ .

Fig. 22. Una geodésica umbilical, β ₁ =90 ° , ω ₁ =0 ° , α ₁ =135 ° .

Si el punto de inicio es β ₁ = 90 ° , ω ₁ = 0 ° (un punto umbilical), yα ₁ = 135 ° (la geodésica deja la elipse Y = 0 en ángulo recto), entoncesγ = 0 y la geodésica repetidamente cruza el punto umbilical opuesto y regresa a su punto de inicio. Sin embargo, en cada circuito el ángulo en el que se interseca Y = 0 se acerca a0 ° o 180 ° para que asintóticamente la geodésica se encuentre en la elipse Y = 0 ( Hart 1849) ( Arnold 1989 , p. 265), como se muestra en la Fig. 22. Una sola geodésica no llena un área en el elipsoide. Todas las tangentes a las geodésicas umbilicales tocan la hipérbola confocal que intersecta el elipsoide en los puntos umbilicales.

La geodésica umbilical disfruta de varias propiedades interesantes.

• A través de cualquier punto en el elipsoide, hay dos geodésicas umbilicales.
• La distancia geodésica entre los puntos umbilicales opuestos es la misma independientemente de la dirección inicial de la geodésica.
• Mientras que las geodésicas cerradas en las elipses X = 0 y Z = 0 son estables (una geodésica inicialmente cerca y casi paralela a la elipse permanece cerca de la elipse), la geodésica cerrada en la elipse Y = 0 , que pasa por las 4 Puntos umbilicales, es exponencialmente inestable . Si está perturbado, saldrá del plano Y = 0y girará antes de volver a acercarse al plano. (Este comportamiento puede repetirse dependiendo de la naturaleza de la perturbación inicial).

Si el punto de inicio A de una geodésica no es un punto umbilical, su envoltura es un astroide con dos cúspides en β = −β ₁ y las otras dos en ω = ω ₁ + π . El lugar de corte para A es la porción de la línea β = −β ₁ entre las cúspides.