ARTÍCULOS DE ESTADÍSTICA

Una inundación de cien años es un evento de inundación que tiene una probabilidad de 1 en 100 (1% de probabilidad) de ser igualado o superado en un año determinado. ^[1]

La inundación de 100 años también se conoce como la inundación del 1%, ya que su probabilidad de excedencia anual es del 1%. ^[2] Para inundaciones costeras o lacustres, la inundación de 100 años generalmente se expresa como una elevación o profundidad de inundación, y puede incluir efectos de olas . Para los sistemas fluviales, la inundación de 100 años se expresa generalmente como una tasa de flujo. Sobre la base de la tasa de flujo de inundación prevista de 100 años, el nivel del agua de la inundación se puede mapear como un área de inundación. El mapa de la llanura de inundación resultante se conoce como la llanura de inundación de 100 años. Las estimaciones de la tasa de flujo de inundación de 100 años y otras estadísticas de flujo de flujo para cualquier flujo en los Estados Unidos están disponibles. ^[3] En el Reino Unido, la Agencia de Medio Ambiente.publica un mapa completo de todas las áreas en riesgo de una inundación de 1 en 100 años. ^[4] Las áreas cercanas a la costa de un océano o de un gran lago también pueden inundarse con combinaciones de marea , marejada ciclónica y olas . ^{[5] Los} mapas de la planicie de inundación a lo largo de 100 años, ribereños o costeros, pueden ser importantes en los permisos de construcción, las regulaciones ambientales y el seguro contra inundaciones .

Probabilidad [ editar ]

Un malentendido común es que es probable que una inundación de 100 años ocurra solo una vez en un período de 100 años. De hecho, hay aproximadamente un 63,4% de probabilidad de que una o más inundaciones de 100 años ocurran en cualquier período de 100 años. En el río Danubio en Passau , Alemania, los intervalos reales entre inundaciones de 100 años durante 1501 a 2013 oscilaron entre 37 y 192 años. ^[6] La probabilidad P _e que uno o más inundaciones que ocurren durante cualquier período excederá un umbral de inundación dado se puede expresar, utilizando la distribución binomial , como

$${\ displaystyle P_ {e} = 1- \ left [1- \ left ({\ frac {1} {T}} \ right) \ right] ^ {n}}

donde T es el período de retorno de umbral (por ejemplo, 100 años, 50 años, 25 años, etc.), y n es el número de años en el período. La probabilidad de excedencia P _e también se describe como el riesgo de falla natural, inherente o hidrológico. ^[7] [8] Sin embargo, el valor esperado de la cantidad de inundaciones de 100 años que se producen en cualquier período de 100 años es 1.

Las inundaciones de diez años tienen un 10% de probabilidad de ocurrir en cualquier año dado (P _e = 0.10); Los 500 años tienen una probabilidad del 0.2% de ocurrir en cualquier año dado (P _e = 0.002); etc. El porcentaje de probabilidad de que ocurra una inundación de X años en un solo año es 100 / X. Un análisis similar se aplica comúnmente a las inundaciones costeras o los datos de lluvia. El intervalo de recurrencia de una tormenta rara vez es idéntico al de una inundación fluvial asociada, debido al tiempo de lluvia y las variaciones de ubicación entre las diferentes cuencas de drenaje .

El campo de la teoría del valor extremo se creó para modelar eventos raros, como inundaciones de 100 años a los fines de la ingeniería civil. Esta teoría se aplica más comúnmente a los caudales máximos o mínimos observados de un río determinado. En áreas desérticas donde solo hay lavados efímeros, este método se aplica a la lluvia máxima observada durante un período de tiempo determinado (24 horas, 6 horas o 3 horas). El análisis de valor extremo solo considera el evento más extremo observado en un año determinado. Por lo tanto, entre la gran escorrentía de primavera y una fuerte tormenta de lluvia de verano, lo que resulte en más escorrentía se considerará el evento extremo, mientras que el evento más pequeño se ignorará en el análisis (aunque ambos pueden haber sido capaces de causar terribles inundaciones en su derecho propio).

Supuestos estadísticos [ editar ]

Hay una serie de suposiciones que se realizan para completar el análisis que determina la inundación de 100 años. Primero, los eventos extremos observados en cada año deben ser independientes de un año a otro. En otras palabras, no se puede encontrar que el caudal máximo del río de 1984 esté significativamente correlacionado con el caudal observado en 1985, que no puede correlacionarse con 1986, y así sucesivamente. El segundo supuesto es que los eventos extremos observados deben provenir de la misma función de distribución de probabilidad. El tercer supuesto es que la distribución de probabilidad se relaciona con la tormenta más grande (precipitación o medición del caudal del río) que se produce en cualquier año. El cuarto supuesto es que la función de distribución de probabilidad es estacionaria, lo que significa que la media (promedio), la desviación estándar y los valores máximo y mínimo no aumentan ni disminuyen con el tiempo. Este concepto se conoce como estacionariedad . ^[8] [9]

El primer supuesto es a menudo, pero no siempre válido, y se debe probar caso por caso. El segundo supuesto es a menudo válido si los eventos extremos se observan en condiciones climáticas similares. Por ejemplo, si los eventos extremos registrados provienen de tormentas eléctricas a fines del verano (como es el caso en el suroeste de los EE. UU.), O de la fusión de la capa de nieve (como es el caso en el centro-norte de los EE. UU.), Este supuesto debería ser válido. Sin embargo, si hay algunos eventos extremos tomados de las tormentas de truenos, otros de la fusión de la capa de nieve y otros de los huracanes, lo más probable es que esta suposición no sea válida. El tercer supuesto es solo un problema cuando se trata de pronosticar un evento de flujo bajo, pero máximo (por ejemplo, un evento más pequeño que una inundación de 2 años). Dado que esto no suele ser un objetivo en el análisis extremo, o en el diseño de ingeniería civil, entonces la situación rara vez se presenta. La suposición final acerca de la estacionariedad es difícil de probar a partir de los datos de un solo sitio debido a las grandes incertidumbres incluso en los registros de inundaciones más largos^[6] (ver la siguiente sección). En términos más generales, la evidencia sustancial del cambio climático sugiere que la distribución de probabilidad también está cambiando ^[10] y que la gestión de los riesgos de inundaciones en el futuro será aún más difícil. ^[11]La implicación más simple de esto es que no todos los datos históricos son, o pueden ser, considerados válidos como entrada en el análisis de eventos extremos.

Probabilidad de incertidumbre [ editar ]

Cuando se violan estas suposiciones, se introduce una cantidad desconocida de incertidumbre en el valor informado de lo que significa la inundación de 100 años en términos de intensidad de lluvia o profundidad de la inundación. Cuando se conocen todas las entradas, la incertidumbre se puede medir en forma de un intervalo de confianza. Por ejemplo, se podría decir que hay un 95% de probabilidad de que la inundación de 100 años sea mayor que X, pero menor que Y. ^[2]

El análisis estadístico directo ^[9] [12] para estimar la inundación fluvial de 100 años solo es posible en los pocos lugares donde se ha registrado una serie anual de descargas máximas instantáneas de inundación. En los Estados Unidos a partir de 2014, los contribuyentes han apoyado dichos registros durante al menos 60 años en menos de 2,600 lugares, durante al menos 90 años en menos de 500 y durante al menos 120 años en solo 11. ^[13] A modo de comparación, el área total de la nación es de aproximadamente 3,800,000 millas cuadradas (9,800,000 km ² ), por lo que hay quizás 3,000 arroyos que drenan cuencas hidrográficas de 1,000 millas cuadradas (2,600 km ² ) y 300,000 alcances que drenan 10 millas cuadradas (26 km ²⁾). En áreas urbanas, se necesitan estimaciones de inundaciones de 100 años para cuencas hidrográficas tan pequeñas como 1 milla cuadrada (2.6 km ² ). Para alcances sin datos suficientes para el análisis directo, las estimaciones de inundaciones a 100 años se derivan del análisis estadístico indirecto de los registros de inundaciones en otras ubicaciones en una región hidrológicamente similar o de otros modelos hidrológicos . De manera similar para las inundaciones costeras, existen datos de la marea de solo 1,450 sitios en todo el mundo, de los cuales solo 950 agregaron información al centro de datos global entre enero de 2010 y marzo de 2016. ^[14]

Escala de agua alta 1501-2002 en Passau, Alemania , a partir de septiembre de 2012

Existen registros mucho más largos de elevaciones de inundaciones en algunos lugares del mundo, como el río Danubio en Passau , Alemania, pero deben evaluarse cuidadosamente para verificar su exactitud e integridad antes de cualquier interpretación estadística.

Para un alcance de flujo individual, las incertidumbres en cualquier análisis pueden ser grandes, por lo que las estimaciones de inundaciones a 100 años tienen grandes incertidumbres individuales para la mayoría de los alcances de flujos. ^[6] : 24 Para la mayor inundación registrada en cualquier ubicación específica, o cualquier evento potencialmente más grande, el intervalo de recurrencia siempre es poco conocido. ^{[6] : 20,24} La variabilidad espacial agrega más incertidumbre, porque un pico de inundación observado en diferentes ubicaciones en el mismo flujo durante el mismo evento generalmente representa un intervalo de recurrencia diferente en cada ubicación. ^[6] : 20Si una tormenta extrema deja caer suficiente lluvia en una rama de un río para causar una inundación de 100 años, pero ninguna lluvia cae sobre otra rama, la ola de inundación río abajo desde su unión puede tener un intervalo de recurrencia de solo 10 años. A la inversa, una tormenta que produce una inundación de 25 años simultáneamente en cada rama puede formar una inundación de 100 años río abajo. Durante un tiempo de inundación, las cuentas de noticias necesariamente simplifican la historia al informar el mayor daño y el mayor intervalo de recurrencia estimado en cualquier ubicación. El público puede concluir fácil e incorrectamente que el intervalo de recurrencia se aplica a todos los alcances de la corriente en el área de inundación. ^[6] : 7,24

Intervalos observados entre inundaciones [ editar ]

Las elevaciones máximas de 14 inundaciones desde 1501 en el río Danubio en Passau , Alemania, revelan una gran variabilidad en los intervalos reales entre inundaciones. ^{[6] : 16–19} Inundaciones mayores a la inundación de 50 años ocurrieron en intervalos de 4 a 192 años desde 1501, y la inundación de 50 años de 2002 fue seguida 11 años después por una inundación de 500 años. Solo la mitad de los intervalos entre inundaciones de 50 y 100 años se encontraban dentro del 50 por ciento del intervalo promedio nominal. De manera similar, los intervalos entre inundaciones de 5 años durante 1955 a 2007 variaron de 5 meses a 16 años, y solo la mitad estuvo dentro de 2.5 a 7.5 años.

Intervalos observados entre inundaciones en Passau, 1501-2013

Uso reglamentario [ editar ]

En los Estados Unidos, la inundación de 100 años proporciona la base de riesgo para las tasas de seguro contra inundaciones . La información completa sobre el Programa Nacional de Seguro contra Inundaciones(NFIP) está disponible aquí. Una inundación reglamentaria o una inundación de base se establece de manera rutinaria para los alcances de los ríos a través de un proceso de elaboración de normas basado en la ciencia y orientado a una inundación de 100 años en el intervalo histórico promedio de recurrencia. Además de los datos históricos de inundaciones, el proceso cuenta con valores regulatorios establecidos previamente, los efectos de los reservorios de control de inundaciones y los cambios en el uso de la tierra en la cuenca. Inundación costeralos peligros han sido mapeados por un enfoque similar que incluye los procesos físicos relevantes. La mayoría de las áreas donde pueden ocurrir inundaciones graves en los Estados Unidos se han mapeado de esta manera de manera consistente. En promedio, en todo el país, los cálculos de inundaciones a 100 años son suficientes para los fines del NFIP y ofrecen estimaciones razonables de riesgo de inundación en el futuro, si el futuro es como el pasado. ^[6] : 24 Aproximadamente el 3% de la población de los EE. UU. Vive en áreas sujetas a la posibilidad de inundación costera con una probabilidad anual del 1%. ^[15]

En teoría, la eliminación de hogares y negocios de áreas que se inundan repetidamente puede proteger a las personas y reducir las pérdidas de seguros, pero en la práctica es difícil que las personas se retiren de los vecindarios establecidos.

 probabilidad posterior de un evento aleatorio o una proposición incierta ^{[ aclaración necesaria ]} es la probabilidad condicional que se asigna ^{[ aclaración necesaria ]} después de tener en cuenta la evidencia relevante o los antecedentes. De manera similar, la distribución de probabilidad posterior es la distribución de probabilidad de una cantidad desconocida, tratada como una variable aleatoria , condicional aLa evidencia obtenida de un experimento o encuesta. "Posterior", en este contexto, significa después de tener en cuenta la evidencia relevante relacionada con el caso particular que se está examinando. Por ejemplo, hay una probabilidad ("no posterior") de que una persona encuentre un tesoro enterrado si cavan en un lugar al azar, y una probabilidad posterior de encontrar un tesoro enterrado si cavan en un lugar donde suena el detector de metales.

Definición [ editar ]

La probabilidad posterior es la probabilidad de los parámetros. $${\ displaystyle \ theta} dada la evidencia $${\ displaystyle X}: $${\ displaystyle p (\ theta | X)}.

Contrasta con la función de probabilidad , que es la probabilidad de la evidencia dados los parámetros:$${\ displaystyle p (X | \ theta)}.

Los dos están relacionados de la siguiente manera:

Tengamos una creencia previa de que la función de distribución de probabilidad es$${\ displaystyle p (\ theta)} y observaciones $${\ displaystyle x} con la probabilidad $${\ displaystyle p (x | \ theta)}, entonces la probabilidad posterior se define como

$${\ displaystyle p (\ theta | x) = {\ frac {p (x | \ theta) p (\ theta)} {p (x)}}.}^[1]

La probabilidad posterior se puede escribir en la forma memorable como

$${\ displaystyle {\ text {Probabilidad posterior}} \ propto {\ text {Probabilidad}} \ veces {\ texto {Probabilidad anterior}}}.

Ejemplo [ editar ]

Supongamos que hay una escuela con 60% de niños y 40% de niñas como estudiantes. Las chicas usan pantalones o faldas en igual número; Todos los niños usan pantalones. Un observador ve a un estudiante (aleatorio) a distancia; Todo lo que el observador puede ver es que este estudiante lleva pantalones. ¿Cuál es la probabilidad de que este estudiante sea una niña? La respuesta correcta se puede calcular utilizando el teorema de Bayes.

El evento $${\ displaystyle G} Es que el alumno observado es una niña, y el evento. $${\ displaystyle T}Es que el alumno observado lleva pantalones. Calcular la probabilidad posterior.$${\ displaystyle P (G | T)}, primero necesitamos saber:

• $${\ displaystyle P (G)}, o la probabilidad de que el estudiante sea una niña, independientemente de cualquier otra información. Dado que el observador ve a un estudiante al azar, lo que significa que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser observados, y el porcentaje de niñas entre los estudiantes es del 40%, esta probabilidad es igual a 0.4.
• $${\ displaystyle P (B)}, o la probabilidad de que el estudiante no sea una niña (es decir, un niño) independientemente de cualquier otra información ($${\ displaystyle B} es el evento complementario de $${\ displaystyle G}). Esto es 60%, o 0.6.
• $${\ displaystyle P (T | G)}, o la probabilidad de que el estudiante use pantalones, dado que el estudiante es una niña. Como es probable que usen faldas como pantalones, esto es 0.5.
• $${\ displaystyle P (T | B)}, o la probabilidad de que el estudiante use pantalones, dado que el estudiante es un niño. Esto se da como 1.
• $${\ displaystyle P (T)}, o la probabilidad de que un estudiante (seleccionado al azar) use pantalones sin importar cualquier otra información. Ya que$${\ displaystyle P (T) = P (T | G) P (G) + P (T | B) P (B)}(a través de la ley de probabilidad total ), esto es$${\ displaystyle P (T) = 0.5 \ veces 0.4 + 1 \ veces 0.6 = 0.8}.

Dada toda esta información, la probabilidad posterior de que el observador haya visto a una niña dado que el estudiante observado lleva pantalones puede calcularse sustituyendo estos valores en la fórmula:

$${\ displaystyle P (G | T) = {\ frac {P (T | G) P (G)} {P (T)}} = {\ frac {0.5 \ veces 0.4} {0.8}} = 0.25.}

Una forma intuitiva de resolver esto es asumir que la escuela tiene N estudiantes. Número de niños = 0.6N y número de niñas = 0.4N. Si N es suficientemente grande, el número total de usuarios de pantalones = 0.6N + 50% de 0.4N. Y el número de mujeres que usan pantalones = 50% de 0.4N. Por lo tanto, en la población de pantalones, las niñas son (50% de 0.4N) / (0.6N + 50% de 0.4N) = 25%. En otras palabras, si separa el grupo de usuarios de pantalones, una cuarta parte de ese grupo serán niñas. Por lo tanto, si ve pantalones, lo máximo que puede deducir es que está viendo una muestra única de un subconjunto de estudiantes donde el 25% son niñas. Y, por definición, la probabilidad de que este estudiante aleatorio sea una niña es del 25%. Cada problema del teorema de Bayes se puede resolver de esta manera.

Cálculo [ editar ]

La distribución de probabilidad posterior de una variable aleatoria dado el valor de otra puede calcularse con el teorema de Bayes multiplicando la distribución de probabilidad anterior por la función de probabilidad , y luego dividiendo por la constante de normalización , de la siguiente manera:

$${\ displaystyle f_ {X \ mid Y = y} (x) = {f_ {X} (x) {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (x) \ over {\ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (u) {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (u) \, du}}}

da la función de densidad de probabilidad posterior para una variable aleatoria$${\ displaystyle X} dados los datos $${\ displaystyle Y = y}, dónde

• $${\ displaystyle f_ {X} (x)} es la densidad previa de $${\ displaystyle X},
• $${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (x) = f_ {Y \ mid X = x} (y)} es la función de probabilidad en función de $${\ displaystyle x},
• $${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {X} (u) {\ mathcal {L}} _ {X \ mid Y = y} (u) \, du} es la constante de normalización, y
• $${\ displaystyle f_ {X \ mid Y = y} (x)} es la densidad posterior de $${\ displaystyle X} dados los datos $${\ displaystyle Y = y}.

Intervalo creíble [ editar ]

La probabilidad posterior es una probabilidad condicional condicionada a los datos observados al azar. Por eso es una variable aleatoria. Para una variable aleatoria, es importante resumir su cantidad de incertidumbre. Una forma de lograr este objetivo es proporcionar un intervalo creíble de la probabilidad posterior.

Clasificación [ editar ]

En la clasificación , las probabilidades posteriores reflejan la incertidumbre de evaluar una observación a una clase en particular, ver también Probabilidades de pertenencia a una clase . Mientras que los métodos de clasificación estadística , por definición, generan probabilidades posteriores, Machine Learners generalmente proporciona valores de membresía que no inducen ninguna confianza probabilística. Es deseable transformar o volver a escalar los valores de membresía a las probabilidades de membresía de clase, ya que son comparables y, además, más fácilmente aplicables para el procesamiento posterior.