SERIES MATEMÁTICAS

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Prueba visual de la derivación de fórmulas de progresión aritmética: los bloques descoloridos son una copia rotada de la progresión aritmética

En matemáticas , una progresión aritmética (AP) o secuencia aritmética es una secuencia de números de tal manera que la diferencia entre los términos consecutivos es constante. Diferencia aquí significa el segundo menos el primero. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . Es una progresión aritmética con diferencia común de 2.

Si el término inicial de una progresión aritmética es $${\ displaystyle a_ {1}}y la diferencia común de los miembros sucesivos es d , entonces el

$${\ displaystyle \ a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d},

y en general

$${\ displaystyle \ a_ {n} = a_ {m} + (nm) d}.

Una porción finita de una progresión aritmética se llama progresión aritmética finita y, a veces, simplemente se llama una progresión aritmética. La suma de una progresión aritmética finita se denomina serie aritmética .

El comportamiento de la progresión aritmética depende de la diferencia común d . Si la diferencia común es:

• positivo, entonces los miembros (términos) crecerán hacia el infinito positivo ;
• negativo, entonces los miembros (términos) crecerán hacia el infinito negativo.

Suma [ editar ]

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
dieciséis	+	dieciséis	+	dieciséis	+	dieciséis	+	dieciséis	=	80

Cálculo de la suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cuando la secuencia se invierte y se agrega término a término, la secuencia resultante tiene un solo valor repetido en ella, igual a la suma del primer y último número (2 + 14 = 16). Así, 16 × 5 = 80 es el doble de la suma.

La suma de los miembros de una progresión aritmética finita se llama serie aritmética . Por ejemplo, considere la suma:

$${\ displaystyle 2 + 5 + 8 + 11 + 14}

Esta suma se puede encontrar rápidamente tomando el número n de términos que se agregan (aquí 5), multiplicando por la suma del primer y último número en la progresión (aquí 2 + 14 = 16), y dividiendo por 2:

$${\ displaystyle {\ frac {n (a_ {1} + a_ {n})} {2}}}

En el caso anterior, esto da la ecuación:

$${\ displaystyle 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = {\ frac {5 (2 + 14)} {2}} = {\ frac {5 \ times 16} {2}} = 40.}

Esta fórmula funciona para cualquier número real. $${\ displaystyle a_ {1}} y $${\ displaystyle a_ {n}}. Por ejemplo:

$${\ displaystyle \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right) + \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) + {\ frac {1} {2}} = {\ frac {3 \ izquierda (- {\ frac {3} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ derecha)} {2}} = - {\ frac {3} {2}} .}

Derivación [ editar ]

Prueba animada de la fórmula que da la suma de los primeros enteros 1 + 2 + ... + n.

Para obtener la fórmula anterior, comience expresando las series aritméticas de dos maneras diferentes:

$${\ displaystyle S_ {n} = a_ {1} + (a_ {1} + d) + (a_ {1} + 2d) + \ cdots + (a_ {1} + (n-2) d) + (a_ {1} + (n-1) d)}

$${\ displaystyle S_ {n} = (a_ {n} - (n-1) d) + (a_ {n} - (n-2) d) + \ cdots + (a_ {n} -2d) + (a_ {n} -d) + a_ {n}.}

Sumando ambos lados de las dos ecuaciones, todos los términos relacionados con d cancel:

$${\ displaystyle \ 2S_ {n} = n (a_ {1} + a_ {n}).}

Dividir ambos lados por 2 produce una forma común de la ecuación:

$${\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {n} {2}} (a_ {1} + a_ {n}).}

Una forma alternativa resulta de reinsertar la sustitución: $${\ displaystyle a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d}:

$${\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {n} {2}} [2a_ {1} + (n-1) d].}

Además, el valor medio de la serie se puede calcular a través de: $${\ displaystyle S_ {n} / n}:

$${\ displaystyle {\ overline {n}} = {\ frac {a_ {1} + a_ {n}} {2}}.}

En 499 dC , Aryabhata , un prominente matemático y astrónomo de la época clásica de las matemáticas indias y la astronomía india , dio este método en el Aryabhatiya (sección 2.18).

Según una anécdota, el joven Carl Friedrich Gauss reinventó este método para calcular la suma 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 para un castigo en la escuela primaria.

Producto [ editar ]

El producto de los miembros de una progresión aritmética finita con un elemento inicial a ₁ , diferencias comunes d y n elementos en total se determina en una expresión cerrada

$${\ displaystyle a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} = d {\ frac {a_ {1}} {d}} d \ left ({\ frac {a_ {1}} {d}} + 1 \ derecha) d \ izquierda ({\ frac {a_ {1}} {d}} + 2 \ derecha) \ cdots d \ izquierda ({\ frac {a_ {1}} {d}} + n-1 \ derecha) = d ^ {n} {\ left ({\ frac {a_ {1}} {d}} \ right)} ^ {\ overline {n}} = d ^ {n} {\ frac {\ Gamma \ izquierda (a_ {1} / d + n \ derecha)} {\ Gamma \ izquierda (a_ {1} / d \ derecha)}},}

dónde $${\ displaystyle x ^ {\ overline {n}}}denota el factorial creciente y$${\ displaystyle \ Gamma}denota la función gamma . (La fórmula no es válida cuando$${\ displaystyle a_ {1} / d}es un entero negativo o cero.) ^{[ citación necesitada ]}

Esta es una generalización del hecho de que el producto de la progresión $${\ displaystyle 1 \ times 2 \ times \ cdots \ times n}viene dado por el factorial $${\ displaystyle n!} y que el producto

$${\ displaystyle m \ times (m + 1) \ times (m + 2) \ times \ cdots \ times (n-2) \ times (n-1) \ times n}

para enteros positivos $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n} es dado por

$${\ displaystyle {\ frac {n!} {(m-1)!}}.}

Tomando el ejemplo 3, 8, 13, 18, 23, 28, ..., el producto de los términos de la progresión aritmética dadas por una _n = 3 + ( n -1) × 5 hasta el 50 término es

$${\ displaystyle P_ {50} = 5 ^ {50} \ cdot {\ frac {\ Gamma \ left (3/5 + 50 \ right)} {\ Gamma \ left (3/5 \ right)}} \ approx 3.78438 \ times 10 ^ {98}.}

Desviación estándar [ editar ]

La desviación estándar de cualquier progresión aritmética se puede calcular como

$${\ displaystyle \ sigma = | d | {\ sqrt {\ frac {(n-1) (n + 1)} {12}}}}

dónde $${\ displaystyle n} es el número de términos en la progresión y $${\ displaystyle d} Es la diferencia común entre los términos.

Intersecciones [ editar ]

La intersección de cualquiera de las dos progresiones aritméticas doblemente infinitas es vacía u otra progresión aritmética, que se puede encontrar utilizando el teorema del resto chino . Si cada par de progresiones en una familia de progresiones aritméticas doblemente infinitas tienen una intersección no vacía, entonces existe un número común para todas ellas; es decir, infinitas progresiones aritméticas forman una familia Helly . ^[1] Sin embargo, la intersección de infinitas progresiones aritméticas infinitas podría ser un solo número en lugar de ser una progresión infinita.

Resumen de fórmulas [ editar ]

Si

$${\ displaystyle a_ {1}} Es el primer término de una progresión aritmética.

$${\ displaystyle a_ {n}} Es el enésimo término de una progresión aritmética.

$${\ displaystyle d} Es la diferencia entre los términos de la progresión aritmética.

$${\ displaystyle n} Es el número de términos en la progresión aritmética.

$${\ displaystyle S_ {n}} Es la suma de n términos en la progresión aritmética.

$${\ displaystyle {\ overline {n}}} Es el valor medio de las series aritméticas.

entonces

1. $${\ displaystyle \ a_ {n} = a_ {1} + (n-1) d,}

2. $${\ displaystyle \ a_ {n} = a_ {m} + (nm) d.}

3. $${\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {n} {2}} [2a_ {1} + (n-1) d].}

4. $${\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {n} {2}} (a_ {1} + a_ {n}).}

5. $${\ displaystyle {\ overline {n}}} = $${\ displaystyle S_ {n} / n}

6. $${\ displaystyle {\ overline {n}} = {\ frac {a_ {1} + a_ {n}} {2}}.}

7. $${\ displaystyle d = {\ frac {a_ {m} -a_ {n}} {mn}}; m \ neq n}.

 pruebas de convergencia son métodos de prueba de convergencia , convergencia condicional , convergencia absoluta , intervalo de convergencia o divergencia de una serie infinita. $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}.

Lista de pruebas [ editar ]

Límite del sumando [ editar ]

Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, es decir $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ neq 0}, entonces la serie debe divergir. En este sentido, las sumas parciales son Cauchy solo si este límite existe y es igual a cero. La prueba no es concluyente si el límite del sumando es cero.

Prueba de relación [ editar ]

Esto también se conoce como el criterio de D'Alembert .

Supongamos que existe $${\ displaystyle r} tal que

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}

Si r <1 absolutamente="" convergente.="" entonces="" es="" font="" la="" nbsp="" serie="">Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de relación no es concluyente, y la serie puede converger.

Prueba de raíz [ editar ]

Esto también se conoce como la prueba de raíz n o criterio de Cauchy .

Dejar

$${\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

dónde $${\ displaystyle \ limsup}denota el límite superior (posiblemente$${\ displaystyle \ infty}; Si el límite existe es el mismo valor).

Si r <1 converge.="" entonces="" font="" la="" nbsp="" serie="">Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, la prueba de raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

La prueba de raíz es más fuerte que la prueba de relación: cuando la prueba de relación determina la convergencia o divergencia de una serie infinita, la prueba de raíz también lo hace, pero no a la inversa. ^[1]

Por ejemplo, para la serie.

1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

la convergencia se sigue de la prueba de la raíz pero no de la prueba de relación. ^[2]

Prueba integral [ editar ]

Las series pueden compararse con una integral para establecer convergencia o divergencia. Dejar$${\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to \ mathbb {R} _ {+}}Ser una función no negativa y monótonamente decreciente tal que$${\ displaystyle f (n) = a_ {n}}.

Si

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {t} f (x) \, dx < \ infty,}

Entonces la serie converge. Pero si la integral difiere, entonces la serie también lo hace.

En otras palabras, la serie. $${\ displaystyle {a_ {n}}}converge si y solo si la integral converge.

Prueba de comparación directa [ editar ]

Si la serie $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n}}Es una serie absolutamente convergente y$${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}para n suficientemente grande  , entonces la serie$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}} converge absolutamente.

Prueba de comparación de límite [ editar ]

Si {\ displaystyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}> 0}y el limite $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}}} existe, es constante positivo y finito y no es cero, entonces $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}converge si y solo si $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n}} converge

Cauchy prueba de condensación [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}Ser una secuencia positiva no creciente. Entonces la suma$${\ displaystyle A = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}converge si y solo si la suma$${\ displaystyle A ^ {*} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a_ {2 ^ {n}}}converge Además, si convergen, entonces$${\ displaystyle A \ leq A ^ {*} \ leq 2A} sostiene.

Prueba de Abel [ editar ]

Supongamos que las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. $${\ displaystyle \ sum a_ {n}} es una serie convergente,
2. $${\ displaystyle \ left \ {b_ {n} \ right \}} es una secuencia monotónica, y
3. $${\ displaystyle \ left \ {b_ {n} \ right \}} está ligado.

Entonces $${\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}} También es convergente.

Prueba de convergencia absoluta [ editar ]

Todas las series absolutamente convergentes convergen.

Criterio de Leibniz [ editar ]

Esto también se conoce como el criterio de Leibniz .

Supongamos que las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0},
2. para cada n ,$${\ displaystyle a_ {n + 1} \ leq a_ {n}}

Entonces $${\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}} y $${\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} a_ {n}} Son series convergentes.

Prueba de Dirichlet [ editar ]

Si $${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}Es una secuencia de números reales y$${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}una secuencia de números complejos que satisfacen

• $${\ displaystyle a_ {n} \ geq a_ {n + 1}}

• $${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}

• $${\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}por cada entero positivo N

donde M es una constante, entonces la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}

converge

La prueba de Raabe-Duhamel [ editar ]

Dejar {\ displaystyle a_ {n}> 0}.

Definir

$${\ displaystyle b_ {n} = n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right).}

Si

$${\ displaystyle L = \ lim _ {n \ a \ infty} b_ {n}}

existe hay tres posibilidades:

• si L > 1 la serie converge
• si L <1 diverge="" font="" la="" serie="">
• y si L = 1 la prueba no es concluyente.

Una formulación alternativa de esta prueba es la siguiente. Sea { a _n } una serie de números reales. Entonces si b> 1 y K (un número natural) existen de tal manera que

$${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ leq 1 - {\ frac {b} {n}}}

para todos n > K entonces la serie { a _n } es convergente.

Prueba de Bertrand [ editar ]

Sea { a _n } una secuencia de números positivos.

Definir

$${\ displaystyle b_ {n} = \ ln n \ left (n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) -1 \ right).}

Si

$${\ displaystyle L = \ lim _ {n \ a \ infty} b_ {n}}

existe, hay tres posibilidades: ^{[3] [se necesita mejor fuente ]}

• si L > 1 la serie converge
• si L <1 diverge="" font="" la="" serie="">
• y si L = 1 la prueba no es concluyente.

Prueba de Gauss [ editar ]

Sea { u _n } una secuencia de números positivos. Si$${\ displaystyle {\ frac {u_ {n}} {u_ {n + 1}}} = 1 + {\ frac {a} {n}} + O (1 / n ^ {p})}para algunos p > 1, entonces$${\ displaystyle \ sum u_ {n}}converge si a > 1 y diverge si a ≤ 1 . ^{[ cita requerida ]}

Notas [ editar ]

• Para algunos tipos específicos de series hay pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para series de Fourier existe la prueba Dini .

Ejemplos [ editar ]

Considera la serie

$${\ displaystyle (*) \; \; \; \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}.

La prueba de condensación de Cauchy implica que (*) es finamente convergente si

$${\ displaystyle (**) \; \; \; \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right ) ^ {\ alpha}}

es finamente convergente Ya que

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {\ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {nn \ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {(1- \ alpha) n}}

(**) es una serie geométrica con relación $${\ displaystyle 2 ^ {(1- \ alpha)}}. (**) es finamente convergente si su relación es menor que uno (a saber,{\ displaystyle \ alpha> 1}). Por lo tanto, (*) es finamente convergente si y solo si {\ displaystyle \ alpha> 1}.

Convergencia de productos [ editar ]

Si bien la mayoría de las pruebas se ocupan de la convergencia de series infinitas, también pueden usarse para mostrar la convergencia o divergencia de productos infinitos . Esto se puede lograr usando el siguiente teorema: Let$${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}Ser una secuencia de números positivos. Entonces el producto infinito.$${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + a_ {n})}converge si y solo si la serie$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}converge También de manera similar, si{\ displaystyle 0  sostiene, entonces $${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-a_ {n})} se aproxima a un límite distinto de cero si y solo si la serie $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}} converge

Esto se puede probar tomando el logaritmo del producto y utilizando la prueba de comparación de límites.