SERIES MATEMÁTICAS

 la prueba de series alternas es el método utilizado para probar que una serie alterna con términos que disminuyen en valor absoluto es una serie convergente . La prueba fue utilizada por Gottfried Leibniz y, a veces se conoce como prueba de Leibniz , la regla de Leibniz , o el criterio de Leibniz .

Formulación [ editar ]

Una serie de la forma.

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n} = a_ {0} -a_ {1} + a_ {2} -a_ {3} + \ cdots \!}

donde o bien todos a _n son positivos o todos a _n son negativos, se llama una serie alterna .

La prueba de la serie alterna dice: si$${\ displaystyle | a_ {n} |}disminuye monótonamente y$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0} entonces la serie alterna converge.

Además, digamos que L denota la suma de la serie, luego la suma parcial

$${\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {k} (- 1) ^ {n-1} a_ {n} \!}

se aproxima a L con error delimitado por el siguiente término omitido:

$${\ displaystyle \ left | S_ {k} -L \ right \ vert \ leq \ left | S_ {k} -S_ {k + 1} \ right \ vert = a_ {k + 1}. \!}

Prueba [ editar ]

Supongamos que nos dan una serie de la forma $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} a_ {n} \!}, dónde $${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0} y $${\ displaystyle a_ {n} \ geq a_ {n + 1}}para todos los números naturales n . (El caso$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n} \!}sigue tomando el negativo.) ^[1]

Prueba de convergencia [ editar ]

Demostraremos que tanto las sumas parciales $${\ displaystyle S_ {2m + 1} = \ sum _ {n = 1} ^ {2m + 1} (- 1) ^ {n-1} a_ {n}} con número impar de términos, y $${\ displaystyle S_ {2m} = \ sum _ {n = 1} ^ {2m} (- 1) ^ {n-1} a_ {n}}con número par de términos, convergen al mismo número L . Así, la suma parcial habitual.$${\ displaystyle S_ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {k} (- 1) ^ {n-1} a_ {n}}También converge a L .

Las sumas parciales impares disminuyen monótonamente:

$${\ displaystyle S_ {2 (m + 1) +1} = S_ {2m + 1} -a_ {2m + 2} + a_ {2m + 3} \ leq S_ {2m + 1}}

mientras que las sumas incluso parciales aumentan monótonamente:

$${\ displaystyle S_ {2 (m + 1)} = S_ {2m} + a_ {2m + 1} -a_ {2m + 2} \ geq S_ {2m}}

Ambos porque una _n disminuye monotonicamente con n .

Además, dado que un _n son positivos,$${\ displaystyle S_ {2m + 1} -S_ {2m} = a_ {2m + 1} \ geq 0}. Así podemos recopilar estos hechos para formar la siguiente desigualdad sugestiva:

$${\ displaystyle a_ {1} -a_ {2} = S_ {2} \ leq S_ {2m} \ leq S_ {2m + 1} \ leq S_ {1} = a_ {1}.}

Ahora, tenga en cuenta que un ₁ - un ₂ es un límite inferior de la monótonamente decreciente secuencia S _{2m + 1} , el teorema de la convergencia monótona implica entonces que esta secuencia converge como m tiende a infinito. Del mismo modo, la secuencia de una suma incluso parcial converge también.

Finalmente, deben converger al mismo número porque

$${\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} (S_ {2m + 1} -S_ {2m}) = \ lim _ {m \ to \ infty} a_ {2m + 1} = 0.}

Llame al límite L , luego el teorema de convergencia monótona también nos da una información adicional que

$${\ displaystyle S_ {2m} \ leq L \ leq S_ {2m + 1}}

para cualquier m . Esto significa que las sumas parciales de una serie alterna también "alternan" por encima y por debajo del límite final. Más precisamente, cuando hay un número impar (par) de términos, es decir, el último término es un término más (menos), entonces la suma parcial está por encima (debajo) del límite final.

Esta comprensión conduce inmediatamente a un límite de error de sumas parciales, que se muestra a continuación.

Prueba de límite de error de suma parcial [ editar ]

Nos gustaria mostrar $${\ displaystyle \ left | S_ {k} -L \ right | \ leq a_ {k + 1} \!} dividiéndose en dos casos.

Cuando k = 2m + 1, es decir, impar, entonces

$${\ displaystyle \ left | S_ {2m + 1} -L \ right | = S_ {2m + 1} -L \ leq S_ {2m + 1} -S_ {2m + 2} = a _ {(2m + 1) + 1}}

Cuando k = 2m, es decir, incluso, entonces

$${\ displaystyle \ left | S_ {2m} -L \ right | = L-S_ {2m} \ leq S_ {2m + 1} -S_ {2m} = a_ {2m + 1}}

como se desee.

Ambos casos se basan esencialmente en la última desigualdad derivada de la prueba anterior.

Para una prueba alternativa que usa la prueba de convergencia de Cauchy , vea Alternar series .

Para una generalización, ver prueba de Dirichlet .

Contraejemplo [ editar ]

Todas las condiciones en la prueba, es decir, la convergencia a cero y la monotonicidad, deben cumplirse para que la conclusión sea verdadera. Por ejemplo, tomar la serie.

$${\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} - 1}} - {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} + 1}} + {\ frac {1} {{\ sqrt {3}} - 1}} - {\ frac {1} {{\ sqrt {3}} + 1}} + \ cdots}

Los signos se alternan y los términos tienden a cero. Sin embargo, la monotonicidad no está presente y no podemos aplicar la prueba. En realidad la serie es divergente. En efecto, por la suma parcial.$${\ displaystyle S_ {2n}} tenemos $${\ displaystyle S_ {2n} = {\ frac {2} {1}} + {\ frac {2} {2}} + {\ frac {2} {3}} + \ cdots + {\ frac {2} {n-1}}}que es el doble de la suma parcial de las series armónicas, que es divergente. De ahí que la serie original sea divergente.

 prueba de condensación de Cauchy , llamada así por Augustin-Louis Cauchy , es una prueba de convergencia estándar para series infinitas . Para una secuencia no creciente. $${\ displaystyle f (n)} De números reales no negativos, la serie. $${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}converge si y solo si la serie "condensada" $${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}converge Además, si convergen, la suma de las series condensadas no es más del doble que la suma del original.

Estimar [ editar ]

La prueba de condensación de Cauchy se deduce de la estimación más fuerte,

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ leq \ 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n),}

Lo que debe entenderse como una desigualdad de números reales extendidos . Sigue el impulso esencial de una prueba, siguiendo el modelo de la prueba de Oresme de la divergencia de las series armónicas .

Para ver la primera desigualdad, los términos de la serie original se vuelven a incluir en corridas cuyas longitudes son potencias de dos, y luego cada corrida se limita arriba reemplazando cada término por el término más grande en esa corrida. Ese término es siempre el primero, ya que se supone que los términos no aumentan.

{\ displaystyle {\ begin {array} {rccccccl} \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) & = & f (1) & + & f (2) + f (3) & + & f (4) + f (5) + f (6) + f (7) & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & {\ Big (} f (2) + f (3 ) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (5) + f (6) + f (7) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & \ leq & f ( 1) & + & {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4 ) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & 2f (2) & + & 4f (4) & + & \ cdots = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ end {array}}}

Para ver la segunda desigualdad, estas dos series se vuelven a incluir en carreras de potencia de dos longitudes, pero se "compensan" como se muestra a continuación, de modo que la carrera de $${\ displaystyle \ textstyle 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}que comienzacon$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})} se alinea con el final de la carrera de $${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}que termina con$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})}, para que el primero quede siempre "por delante" del segundo.

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) & = & f (1) + {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Big)} + \ cdots \ \ & = & {\ Big (} f (1) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Big)} + \ cdots \\ & \ leq & {\ Big (} f (1) + f (1) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (2) + f (3) ) + f (3) {\ Big)} + \ cdots = 2 \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ end {array}}}

Visualización del argumento anterior. Sumas parciales de la serie.$${\ displaystyle \ textstyle \ sum f (n)}, $${\ displaystyle \ sum 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}y $${\ displaystyle 2 \ sum f (n)} Se muestran superpuestas de izquierda a derecha.

Comparación integral [ editar ]

La transformación "condensación". $${\ displaystyle \ textstyle f (n) \ rightarrow 2 ^ {n} f (2 ^ {n})} recuerda la sustitución variable integral $${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow e ^ {x}} flexible $${\ displaystyle \ textstyle f (x) \, \ mathrm {d} x \ rightarrow e ^ {x} f (e ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}.

Continuando con esta idea, la prueba integral de convergencia nos da, en el caso de monotone f, que$${\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}converge si y solo si $${\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}converge La sustitucion$${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow 2 ^ {x}} cede la integral $${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \, \ int _ {0} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x} Y otra prueba integral nos lleva a la serie condensada. $${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}.

Ejemplos [ editar ]

La prueba puede ser útil para series donde n aparece como en un denominador en f . Para el ejemplo más básico de este tipo, la serie armónica.$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n} se transforma en la serie $${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1}, que claramente diverge.

Como un ejemplo más complejo, tomar

$${\ displaystyle f (n): = n ^ {- a} (\ log n) ^ {- b} (\ log \ log n) ^ {- c}}.

Aquí la serie definitivamente converge para un > 1, y difiere para un <1 .="" cuando="" font="" nbsp="">a = 1, la transformación de condensación da la serie

$${\ displaystyle \ sum n ^ {- b} (\ log n) ^ {- c}}.

Los logaritmos 'desplazan a la izquierda'. Entonces, cuando a = 1, tenemos convergencia para b > 1, divergencia para b <1 .="" cuando="" font="" nbsp="">b = 1 el valor de c entra.

Este resultado se generaliza fácilmente: la prueba de condensación, aplicada repetidamente, puede usarse para mostrar que para $${\ displaystyle k = 1,2,3, \ ldots}, la serie generalizada de Bertrand.

$${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq N} {\ frac {1} {n \ cdot \ log n \ cdot \ log \ log n \ cdots \ log ^ {\ circ (k-1)} n \ cdot ( \ log ^ {\ circ k} n) ^ {\ alpha}}} \ quad \ quad (N = \ lfloor \ exp ^ {\ circ k} (0) \ rfloor +1)}

converge para {\ displaystyle \ alpha> 1} y diverge para {\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq 1}. ^[1] Aquí$${\ displaystyle f ^ {\ circ m}}denota la m it iteración compositiva de una función$${\ displaystyle f}, así que eso

{\ displaystyle f ^ {\ circ m} (x): = {\ begin {cases} f (f ^ {\ circ (m-1)} (x)), & m = 1,2,3, \ ldots; \\ x, & m = 0. \ end {cases}}}

El límite inferior de la suma, $${\ displaystyle N}, fue elegido para que todos los términos de la serie sean positivos. Notablemente, estas series proporcionan ejemplos de sumas infinitas que convergen o divergen arbitrariamente lentamente. Por ejemplo, en el caso de$${\ displaystyle k = 2} y $${\ displaystyle \ alpha = 1}, la suma parcial excede de 10 solo después de $${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {100}}}(a googolplex ) términos; Sin embargo, la serie difiere sin embargo

Schlömilch de Generalización [ editar ]

Sea ^[2] u ( n ) una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos, de modo que la proporción de diferencias sucesivas esté delimitada: hay un número real positivo N , para el cual:

{\ displaystyle {\ Delta u (n) \ sobre \ Delta u (n {-} 1)} \ = \ {u (n {+} 1) -u (n) \ sobre u (n) -u (n {-} 1)} \ <\ N \ \ {\ text {para todos}} n.}

Entonces, siempre que $${\ displaystyle f (n)} cumple las mismas condiciones previas que en la prueba de Cauchy, la convergencia de la serie $${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)} Es equivalente a la convergencia de:

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Delta u (n)} \, f (u (n)) \ = \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ Big (} u (n {+} 1) -u (n) {\ Big)} f (u (n)).}

Tomando $${\ displaystyle \ textstyle u (n) = 2 ^ {n}} así que eso $${\ displaystyle \ textstyle \ Delta u (n) = u (n {+} 1) -u (n) = 2 ^ {n}}, la prueba de condensación de Cauchy surge como un caso especial.