SERIES MATEMÁTICAS

prueba de comparación de límites (LCT) (en contraste con la prueba de comparación directa relacionada ) es un método de prueba de la convergencia de una serie infinita .

Declaración [ editar ]

Supongamos que tenemos dos series. $${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}} y $${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}} con {\ displaystyle a_ {n} \ geq 0, b_ {n}> 0} para todos $${\ displaystyle n}.

Entonces sí $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c} con {\ displaystyle 0 , entonces ambas series convergen o ambas series divergen. ^[1]

Prueba [ editar ]

Porque $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c} Sabemos que para todos {\ displaystyle \ varepsilon> 0} hay un entero positivo $${\ displaystyle n_ {0}} tal que para todos $${\ displaystyle n \ geq n_ {0}}tenemos eso {\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c \ right | <\ varepsilon}, o equivalente

{\ displaystyle - \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} - c <\ varepsilon}

{\ displaystyle c- \ varepsilon <{\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}}

{\ displaystyle (c- \ varepsilon) b_ {n}

Como {\ displaystyle c> 0} podemos elegir $${\ displaystyle \ varepsilon} ser lo suficientemente pequeño para que $${\ displaystyle c- \ varepsilon}es positivo. Asi que{\ displaystyle b_ {n} <{\ frac {1} {c- \ varepsilon}} a_ {n}}y por la prueba de comparación directa , si$${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}} converge entonces también lo hace $${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}.

similar {\ displaystyle a_ {n} <(c + \ varepsilon) b_ {n}}, Así que si $${\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}} converge, de nuevo por la prueba de comparación directa, también lo hace $${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}}.

Es decir, ambas series convergen o ambas series divergen.

Ejemplo [ editar ]

Queremos determinar si la serie $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}}}converge Para ello comparamos con la serie convergente.$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}.

Como {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + 2n}} {\ frac {n ^ {2}} {1}} = 1> 0} Tenemos que la serie original también converge.

Versión unilateral [ editar ]

Se puede establecer una prueba de comparación unilateral utilizando el límite superior . Dejar$${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0} para todos $${\ displaystyle n}. Entonces sí$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = c} con {\ displaystyle 0 \ leq c <\ infty} y $${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}} converge, necesariamente $${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}} converge

Ejemplo [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}} y $${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {1} {n ^ {2}}}} para todos los numeros naturales $${\ displaystyle n}. Ahora $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n })}No existe, por lo que no podemos aplicar la prueba de comparación estándar. Sin embargo, $${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} (1 - (- 1) ^ {n }) = 2 \ en [0, \ infty)} y desde $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}} converge, la prueba de comparación unilateral implica que $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 - (- 1) ^ {n}} {n ^ {2}}}} converge

Converso de la prueba de comparación de una cara [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ geq 0} para todos $${\ displaystyle n}. Si$${\ displaystyle \ Sigma _ {n} a_ {n}} diverges y $${\ displaystyle \ Sigma _ {n} b_ {n}} converge, entonces necesariamente $${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ infty}, es decir, $${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {b_ {n}} {a_ {n}}} = 0}. El contenido esencial aquí es que en cierto sentido los números$${\ displaystyle a_ {n}}son mas grandes que los numeros $${\ displaystyle b_ {n}}.

Ejemplo [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}} Ser analítico en la unidad de disco. {\ displaystyle D = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | <1 font="">y tener imagen de área finita. Por la fórmula de Parseval el área de la imagen de$${\ displaystyle f} es $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n | a_ {n} | ^ {2}}. Además, $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}divergen Por lo tanto, por lo contrario de la prueba de comparación, tenemos $${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {n | a_ {n} | ^ {2}} {1 / n}} = \ liminf _ {n \ to \ infty} (n | a_ {n} |) ^ {2} = 0}, es decir, $${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} n | a_ {n} | = 0}.

prueba de relación es una prueba (o "criterio") para la convergencia de una serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n},}

donde cada término es un número real o complejo y un _n es distinto de cero cuando n es grande. La prueba fue publicada por primera vez por Jean le Rond d'Alembert y, a veces, se conoce como prueba de relación de d'Alembert o prueba de relación de Cauchy .

La prueba [ editar ]

Diagrama de decisión para la prueba de relación

La forma habitual de la prueba hace uso del límite.

$${\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |.}

( 1 )

La prueba de relación establece que:

• si L <1 entonces="" font="" la="" nbsp="" serie="">converge absolutamente ;
• si L > 1 entonces la serie es divergente ;
• si L = 1 o el límite no existe, entonces la prueba no es concluyente, porque existen series convergentes y divergentes que satisfacen este caso.

Es posible hacer que la prueba de relación se aplique a ciertos casos en los que el límite L no existe, si se utilizan el límite superior y el límite inferior . Los criterios de prueba también se pueden refinar para que a veces la prueba sea concluyente incluso cuando L = 1. Más específicamente, deje

$${\ displaystyle R = \ lim \ sup \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}

$${\ displaystyle r = \ lim \ inf \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}.

Luego, la prueba de relación establece que: ^[2] [3]

• si R <1 absolutamente="" converge="" font="" la="" serie="">
• Si r > 1, la serie diverge;
• Si $${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ geq 1}para todas las n grandes (independientemente del valor de r ), la serie también diverge; esto es porque$${\ displaystyle | a_ {n} |}es distinto de cero y aumentando y por lo tanto un _n no se aproxima a cero;
• la prueba no es concluyente.

Si el límite L en ( 1 ) existe, debemos tener L = R = r . Por lo tanto, la prueba de relación original es una versión más débil de la refinada.

Ejemplos [ editar ]

Convergente porque L <1 font="" nbsp="">[ editar ]

Considerar la serie o secuencia de series.

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n} {e ^ {n}}}}

Aplicando la prueba de ratio, se calcula el límite.

{\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {\ frac {n + 1} {e ^ {n + 1}}} {\ frac {n} {e ^ {n}}}} \ right | = {\ frac {1} { e}} <1 .="" font="">

Dado que este límite es menor que 1, la serie converge.

Divergente porque L > 1 [ editar ]

Considera la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {n}} {n}}.

Poner esto en la prueba de relación:

{\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {\ frac {e ^ {n + 1}} {n + 1}} {\ frac {e ^ {n}} {n}}} \ right | = e> 1.}

Así, la serie diverge.

Inconcluyente porque L = 1 [ editar ]

Consideremos las tres series.

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1,}

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}},}

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}}.

La primera serie ( 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ) diverge, la segunda (la que es central al problema de Basilea ) converge absolutamente y la tercera (la serie de armónicos alternos ) converge condicionalmente. Sin embargo, los ratios de magnitud término por término$${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |} de las tres series son respectivamente $${\ displaystyle 1,}   $${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2}} {(n + 1) ^ {2}}}}    y   $${\ displaystyle {\ frac {n} {n + 1}}}. Entonces, en los tres casos, uno tiene que el límite$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}es igual a 1. Esto ilustra que cuando L = 1, la serie puede converger o divergir, y por lo tanto la prueba de relación original no es concluyente. En tales casos, se requieren pruebas más refinadas para determinar la convergencia o divergencia.

Prueba [ editar ]

En este ejemplo, la proporción de términos adyacentes en la secuencia azul converge a L = 1/2. Elegimos r  = (L + 1) / 2 = 3/4. Luego, la secuencia azul está dominada por la secuencia roja r ^k para todos n ≥ 2. La secuencia roja converge, por lo que la secuencia azul también lo hace.

A continuación se muestra una prueba de la validez de la prueba de relación original.

Suponer que {\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | <1 font="">. Luego, podemos mostrar que la serie converge absolutamente al mostrar que sus términos eventualmente serán menores que los de una cierta serie geométrica convergente . Para hacer esto, vamos$${\ displaystyle r = {\ frac {L + 1} {2}}}. Entonces r es estrictamente entre L y 1, y{\ displaystyle | a_ {n + 1} | para n suficientemente grande (por ejemplo, n mayor que N). Por lo tanto{\ displaystyle | a_ {n + i} | para cada n> N e i> 0 , y así

{\ displaystyle \ sum _ {i = N + 1} ^ {\ infty} | a_ {i} | = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left | a_ {N + i} \ right | <\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} r ^ {i} | a_ {N + 1} | = | a_ {N + 1} | \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} r ^ {i} = | a_ {N + 1} | {\ frac {r} {1-r}} <\ infty.}

Es decir, la serie converge absolutamente.

Por otro lado, si L > 1, entonces{\ displaystyle | a_ {n + 1} |> | a_ {n} |}para n suficientemente grande, de modo que el límite de los sumandos sea distinto de cero. De ahí que la serie diverja.

Extensiones para L = 1 [ editar ]

Como se vio en el ejemplo anterior, la prueba de relación puede no ser concluyente cuando el límite de la relación es 1. Las extensiones de la prueba de relación, sin embargo, a veces permiten tratar este caso. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]}

En todas las pruebas a continuación, se supone que Σ a _n es una suma con un positivo a _n . Estas pruebas también pueden aplicarse a cualquier serie con un número finito de términos negativos. Cualquiera de estas series puede escribirse como:

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} + \ sum _ {n = N + 1} ^ { \ infty} a_ {n}}

donde un _N es el término negativo más alto-indexado. La primera expresión de la derecha es una suma parcial que será finita, por lo que la convergencia de toda la serie estará determinada por las propiedades de convergencia de la segunda expresión de la derecha, que pueden volver a indexarse ​​para formar una serie de todos términos positivos que comienzan en n = 1.

Cada prueba define un parámetro de prueba (ρ _n ) que especifica el comportamiento de ese parámetro necesario para establecer la convergencia o divergencia. Para cada prueba, existe una forma más débil de la prueba que, en cambio, impondrá restricciones sobre lim _{n-> ∞} ρ _n .

Todas las pruebas tienen regiones en las que no pueden describir las propiedades de convergencia de ∑a _n . De hecho, ninguna prueba de convergencia puede describir completamente las propiedades de convergencia de la serie. ^[4] [10] Esto se debe a que si na _n es convergente, se puede encontrar una segunda serie convergente ∑b _nque converge más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim _{n-> ∞} (b _n / a _n ) = ∞. Además, si ∑a _n es divergente, se puede encontrar una segunda serie divergente ∑b _n que difiere más lentamente: es decir, tiene la propiedad de que lim _{n-> ∞} (b _n / a _n) = 0. Las pruebas de convergencia usan esencialmente la prueba de comparación en alguna familia particular de _n , y fallan en las secuencias que convergen o divergen más lentamente.

Jerarquía de Morgan [ editar ]

Augustus De Morgan propuso una jerarquía de pruebas de tipo de relación ^[4] [9]

Los parámetros de prueba de relación ($${\ displaystyle \ rho _ {n}}) debajo de todo generalmente implican términos de la forma $${\ displaystyle D_ {n} a_ {n} / a_ {n + 1} -D_ {n + 1}}. Este término puede ser multiplicado por$${\ displaystyle a_ {n + 1} / a_ {n}} ceder $${\ displaystyle D_ {n} -D_ {n + 1} a_ {n + 1} / a_ {n}}. Este término puede reemplazar al término anterior en la definición de los parámetros de prueba y las conclusiones extraídas seguirán siendo las mismas. Por consiguiente, no habrá distinción entre las referencias que utilizan una u otra forma del parámetro de prueba.

Relación de la prueba de D'Alembert 1. [ editar ]

La primera prueba en la jerarquía de De Morgan es la prueba de relación como se describe anteriormente.

2. prueba de Raabe [ editar ]

Esta extensión se debe a Joseph Ludwig Raabe . Definir:

$${\ displaystyle \ rho _ {n} \ equiv n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right)}

(y algunos términos adicionales, ver Ali, Blackburn, Feld, Duris (ninguno), Duris2)

La serie será: ^{[7] [10] [9]}

• Converge cuando existe un c> 1 tal que$${\ displaystyle \ rho _ {n} \ geq c}para todos n> N .
• Divergen cuando $${\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq 1}para todos n> N .
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, ^[12] la serie será:

• Convergir si {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 1}(Esto incluye el caso ρ = ∞)
• Divergir si {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <1 font="">.
• Si ρ = 1, la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, puede ser posible utilizar límites superiores e inferiores. ^[4] La serie:

• Convergir si {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 1}
• Divergir si {\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} \ rho _ {n} <1 font="">
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

La prueba de la prueba de Raabe [ editar ]

Definiendo $${\ displaystyle \ rho _ {n} \ equiv n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right)}, no debemos asumir que el límite existe; Si{\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <1 font="">, entonces $${\ displaystyle \ sum a_ {n}}divergen, mientras que si {\ displaystyle \ liminf \ rho _ {n}> 1} La suma converge.

La prueba procede esencialmente en comparación con $${\ displaystyle \ sum 1 / n ^ {R}}. Supongamos primero que{\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <1 font="">. Por supuesto si{\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <0 font=""> entonces $${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq a_ {n}} para grande $${\ displaystyle n}, por lo que la suma diverge; asume entonces que{\ displaystyle 0 \ leq \ limsup \ rho _ {n} <1 font="">. Existe{\ displaystyle R <1 font=""> tal que $${\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq R} para todos $${\ displaystyle n \ geq N}, lo que quiere decir que $${\ displaystyle a_ {n} / a_ {n + 1} \ leq \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) \ leq e ^ {R / n}}. Así$${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq a_ {n} e ^ {- R / n}}, lo que implica que $${\ displaystyle a_ {n + 1} \ geq a_ {N} e ^ {- R (1 / N + \ puntos + 1 / n)} \ geq ca_ {N} e ^ {- R \ log (n)} = ca_ {N} / n ^ {R}} para $${\ displaystyle n \ geq N}; ya que{\ displaystyle R <1 font=""> esto muestra que $${\ displaystyle \ sum a_ {n}} divergen

La prueba de la otra mitad es completamente análoga, con la mayoría de las desigualdades simplemente invertidas. Necesitamos una desigualdad preliminar para usar en lugar de la simple{\ displaystyle 1 + t  que se utilizó anteriormente: $${\ displaystyle R} y $${\ displaystyle N}. Tenga en cuenta que $${\ displaystyle \ log \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) = {\ frac {R} {n}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {2 }}}\Correcto)}. Asi que$${\ displaystyle \ log \ left (\ left (1 + {\ frac {R} {N}} \ right) \ dots \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) \ right) = R \ izquierda ({\ frac {1} {N}} + \ puntos + {\ frac {1} {n}} \ derecha) + O (1) = R \ log (n) + O (1)}; por lo tanto$${\ displaystyle \ left (1 + {\ frac {R} {N}} \ right) \ dots \ left (1 + {\ frac {R} {n}} \ right) \ geq cn ^ {R}}.

Supongamos ahora que {\ displaystyle \ liminf \ rho _ {n}> 1}. Argumentando como en el primer párrafo, utilizando la desigualdad establecida en el párrafo anterior, vemos que existe{\ displaystyle R> 1} tal que $${\ displaystyle a_ {n + 1} \ leq ca_ {N} n ^ {- R}} para $${\ displaystyle n \ geq N}; ya que{\ displaystyle R> 1}esto muestra que $${\ displaystyle \ sum a_ {n}} converge

3. La prueba de Bertrand [ editar ]

Esta extensión se debe a Joseph Bertrand y Augustus De Morgan .

Definiendo

$${\ displaystyle \ rho _ {n} \ equiv n \ ln n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) - \ ln n}

La prueba de Bertrand ^[4] [10] afirma que la serie:

• Converge cuando existe un c> 1 tal que$${\ displaystyle \ rho _ {n} \ geq c}para todos n> N .
• Divergen cuando $${\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq 1}para todos n> N .
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

Para la versión límite, la serie:

• Convergir si {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 1}(Esto incluye el caso ρ = ∞)
• Divergir si {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <1 font="">.
• Si ρ = 1, la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, puede ser posible utilizar límites superiores e inferiores. ^{[4] [9] [13]} La serie:

• Convergir si {\ displaystyle \ liminf \ rho _ {n}> 1}
• Divergir si {\ displaystyle \ limsup \ rho _ {n} <1 font="">
• De lo contrario, la prueba no es concluyente.

4. Prueba de Gauss [ editar ]

Esta extensión se debe a Carl Friedrich Gauss .

Suponiendo un _n > 0 y r> 1 , si un acotada secuencia C _n se puede encontrar tal que para todo n : ^{[5] [7] [9] [10]}

$${\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + {\ frac {\ rho} {n}} + {\ frac {C_ {n}} {n ^ {r }}}}

entonces la serie será:

• Convergir si {\ displaystyle \ rho> 1}
• Divergir si $${\ displaystyle \ rho \ leq 1}

5. Prueba de Kummer [ editar ]

Esta extensión se debe a Ernst Kummer .

Sea sequence _n una secuencia auxiliar de constantes positivas. Definir

$${\ displaystyle \ rho _ {n} \ equiv \ left (\ zeta _ {n} {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - \ zeta _ {n + 1} \ right) }

La prueba de Kummer establece que la serie: ^{[5] [6] [10] [11]}

• Converge si existe un {\ displaystyle c> 0} tal que $${\ displaystyle \ rho _ {n} \ geq c}para todos n> N. (Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que decir{\ displaystyle \ rho _ {n}> 0})
• Divergir si $${\ displaystyle \ rho _ {n} \ leq 0} para todos n> N y $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / \ zeta _ {n}} divergen

Para la versión límite, la serie: ^{[14] [7] [9]}

• Convergir si {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 0}(Esto incluye el caso ρ = ∞)
• Divergir si {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <0 font=""> y $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / \ zeta _ {n}} divergen
• De lo contrario la prueba no es concluyente.

Cuando el límite anterior no existe, puede ser posible utilizar límites superiores e inferiores. ^[4] La serie será

• Convergir si {\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n}> 0}
• Divergir si {\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ rho _ {n} <0 font=""> y $${\ displaystyle \ sum 1 / \ zeta _ {n}} divergen

Casos especiales [ editar ]

Todas las pruebas en la jerarquía de De Morgan, excepto la prueba de Gauss, pueden verse fácilmente como casos especiales de la prueba de Kummer: ^[4]

• Para la prueba de relación, vamos a ζ _n = 1. Entonces:

$${\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) = 1 / \ rho _ {Ratio} -1}

• Para la prueba de Raabe, vamos a ζ _n = n. Entonces:

$${\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = \ left (n {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - (n + 1) \ right) = \ rho _ {Raabe} -1 }

• Para la prueba de Bertrand, vamos a ζ _n = n ln (n). Entonces:

$${\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = n \ ln (n) \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) - (n + 1) \ ln (n + 1)}

Utilizando $${\ displaystyle \ ln (n + 1) = \ ln (n) + \ ln (1 + 1 / n)} y aproximando $${\ displaystyle \ ln (1 + 1 / n) \ rightarrow 1 / n}para n grande , que es insignificante en comparación con los otros términos, ρ _Kummer puede escribirse:

$${\ displaystyle \ rho _ {Kummer} = n \ ln (n) \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) - \ ln (n) -1 = \ rho _ {Bertrand} -1}

Tenga en cuenta que para estas tres pruebas, cuanto más alto estén en la jerarquía de De Morgan, más lentamente divergirá la serie 1 / ζ _n .

La prueba de la prueba de Kummer [ editar ]

Si {\ displaystyle \ rho _ {n}> 0} luego fija un número positivo {\ displaystyle 0 <\ delta <\ rho _ {n}}. Existe un número natural.$${\ displaystyle N} tal que para cada {\ displaystyle n> N,}

$${\ displaystyle \ delta \ leq \ zeta _ {n} {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - \ zeta _ {n + 1}.}

Ya que {\ displaystyle a_ {n + 1}> 0}, para cada {\ displaystyle n> N,}

$${\ displaystyle 0 \ leq \ delta a_ {n + 1} \ leq \ zeta _ {n} a_ {n} - \ zeta _ {n + 1} a_ {n + 1}.}

En particular $${\ displaystyle \ zeta _ {n + 1} a_ {n + 1} \ leq \ zeta _ {n} a_ {n}} para todos $${\ displaystyle n \ geq N} lo que significa que a partir del índice $${\ displaystyle N} la secuencia {\ displaystyle \ zeta _ {n} a_ {n}> 0} es monótonamente decreciente y positivo, lo que en particular implica que está limitado por debajo de 0. Por lo tanto, el límite

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ zeta _ {n} a_ {n} = L} existe

Esto implica que la serie telescópica positiva.

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ zeta _ {n} a_ {n} - \ zeta _ {n + 1} a_ {n + 1} \ right)} es convergente,

y ya que para todos {\ displaystyle n> N,}

$${\ displaystyle \ delta a_ {n + 1} \ leq \ zeta _ {n} a_ {n} - \ zeta _ {n + 1} a_ {n + 1}}

Por la prueba de comparación directa para serie positiva, la serie $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ delta a_ {n + 1}} es convergente

Por otro lado, si {\ displaystyle \ rho <0 font="">, entonces hay una N tal que$${\ displaystyle \ zeta _ {n} a_ {n}} está aumentando para {\ displaystyle n> N}. En particular, existe una{\ displaystyle \ epsilon> 0} para cual {\ displaystyle \ zeta _ {n} a_ {n}> \ epsilon} para todos {\ displaystyle n> N}, y entonces $${\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n} = \ sum _ {n} {\ frac {a_ {n} \ zeta _ {n}} {\ zeta _ {n}}}} diverge en comparación con $${\ displaystyle \ sum _ {n} {\ frac {\ epsilon} {\ zeta _ {n}}}}.

En segundo test ratio [ editar ]

Una prueba de relación más refinada es la segunda prueba de relación: ^[7] [9] Para{\ displaystyle a_ {n}> 0} definir:

$${\ displaystyle L_ {0} \ equiv \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n}} {a_ {n}}}}

$${\ displaystyle L_ {1} \ equiv \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n + 1}} {a_ {n}}}}

$${\ displaystyle L \ equiv \ max (L_ {0}, L_ {1})}

Por la segunda prueba de relación, la serie:

• Convergir si {\ displaystyle L <{\ frac {1} {2}}}
• Divergir si {\ displaystyle L> {\ frac {1} {2}}}
• Si $${\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}}} entonces la prueba no es concluyente.

Si los límites anteriores no existen, puede ser posible usar los límites superior e inferior. Definir:

$${\ displaystyle L_ {0} \ equiv \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n}} {a_ {n}}}}		$${\ displaystyle L_ {1} \ equiv \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n + 1}} {a_ {n}}}}
$${\ displaystyle \ ell _ {0} \ equiv \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n}} {a_ {n}}}}		$${\ displaystyle \ ell _ {1} \ equiv \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {2n + 1}} {a_ {n}}}}
$${\ displaystyle L \ equiv \ max (L_ {0}, L_ {1})}		$${\ displaystyle \ ell \ equiv \ min (\ ell _ {0}, \ ell _ {1})}

Entonces la serie será:

• Convergir si {\ displaystyle L <{\ frac {1} {2}}}
• Divergir si {\ displaystyle \ ell> {\ frac {1} {2}}}
• Si $${\ displaystyle \ ell \ leq {\ frac {1} {2}} \ leq L} entonces la prueba no es concluyente.

La segunda prueba de relación se puede generalizar a una prueba de relación m -ésima, pero las órdenes más altas no se consideran tan útiles.