la prueba de Dirichlet es un método de prueba para la convergencia de una serie . Lleva el nombre de su autor Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y se publicó póstumamente en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862.
Declaración [ editar ]
- {\ displaystyle a_ {n + 1} \ leq a_ {n}}
- {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}
- {\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}por cada entero positivo N
donde M es una constante, entonces la serie
- {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}
converge
Dejar {\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}} y {\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}.
De la suma por partes , tenemos que{\ displaystyle S_ {n} = a_ {n + 1} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}.
Ya que {\ displaystyle B_ {n}}está delimitado por M y{\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}, el primero de estos términos se acerca a cero, {\ displaystyle a_ {n + 1} B_ {n} \ a 0} como {\ displaystyle n \ to \ infty}.
Por otro lado, desde la secuencia. {\ displaystyle a_ {n}} está disminuyendo, {\ displaystyle a_ {k} -a_ {k + 1}}no es negativo para todo k , entonces{\ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M (a_ {k} -a_ {k + 1})}. Es decir, la magnitud de la suma parcial de{\ displaystyle B_ {n}}, multiplicado por un factor, es menor que el límite superior de la suma parcial {\ displaystyle B_ {n}}(Un valor M ) multiplicado por el mismo factor.
Pero {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}, que es una suma telescópica que es igual a{\ displaystyle M (a_ {1} -a_ {n + 1})} y por lo tanto se acerca {\ displaystyle Ma_ {1}} como {\ displaystyle n \ to \ infty}. Así,{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})} converge
En turno, {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}También converge por la prueba de comparación directa . Las series{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}También converge, por la prueba de convergencia absoluta . Por lo tanto{\ displaystyle S_ {n}} converge
Aplicaciones [ editar ]
- {\ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Rightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}
Otro corolario es que {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n} converge cuando {\ displaystyle \ {a_ {n} \}} Es una secuencia decreciente que tiende a cero.
Además, la prueba de Abel puede considerarse un caso especial de la prueba de Dirichlet.
Integrales impropias [ editar ]
Una declaración análoga para la convergencia de integrales impropias se prueba mediante la integración por partes. Si la integral de una función f está limitada uniformemente en todos los intervalos, y g es una función no negativa decreciente monótonamente, entonces la integral de fg es una integral impropia convergente.
La prueba integral aplicada a la serie armónica . Como el área bajo la curva y = 1 / x para x ∈ [1, ∞)es infinita, el área total de los rectángulos también debe ser infinita.
Declaración de la prueba [ editar ]
Considere un entero N y una función no negativa f definida en el intervalo ilimitado [ N , ∞) , en el que se reduce monotono . Entonces la serie infinita
- {\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n)}
- {\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}
{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}
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( 1 )
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Para las series infinitas.
La prueba utiliza básicamente la prueba de comparación , comparando el término f ( n ) con la integral de f en los intervalos [ n - 1, n ) y [ n , n + 1) , respectivamente.
Como f es una función decreciente monótona, sabemos que
- {\ displaystyle f (x) \ leq f (n) \ quad {\ text {para todos}} x \ en [n, \ infty)}
y
- {\ displaystyle f (n) \ leq f (x) \ quad {\ text {para todos}} x \ en [N, n].}
Por lo tanto, para cada entero n ≥ N ,
{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx \ leq \ int _ {n} ^ {n + 1} f (n) \, dx = f (n)}
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( 2 )
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y, para cada entero n ≥ N + 1 ,
{\ displaystyle f (n) = \ int _ {n-1} ^ {n} f (n) \, dx \ leq \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx.}
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( 3 )
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Al sumar todos los n de N a un entero M más grande , obtenemos de ( 2 )
- {\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx = \ sum _ {n = N} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx} _ {\ leq \, f (n)} \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}
- {\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ sum _ {n = N + 1} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n-1 } ^ {n} f (x) \, dx} _ {\ geq \, f (n)} = f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}
Combinando estas dos estimaciones de rendimientos.
- {\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}
Dejando que M tiende al infinito, los límites en ( 1 ) y el resultado siguen.
Aplicaciones [ editar ]
- {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}}
- {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {n}} \, dn = \ ln n {\ Bigr |} _ {1} ^ {M} = \ ln M \ to \ infty \ quad {\ text {for}} M \ to \ infty.}
Al contrario, la serie.
- {\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}}}
- {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \, dx = - {\ frac {1} {\ varepsilon x ^ {\ varepsilon} }} {\ biggr |} _ {1} ^ {M} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} {\ Bigl (} 1 - {\ frac {1} {M ^ {\ varepsilon}}} { \ Bigr)} \ leq {\ frac {1} {\ varepsilon}} <\ infty \ quad {\ text {para todos}} M \ geq 1.}
De ( 1 ) obtenemos la estimación superior
- {\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \ leq {\ frac {1+ \ varepsilon} {\ varepsilon}},}
Frontera entre la divergencia y convergencia [ editar ]
Los ejemplos anteriores relacionados con la serie de armónicos plantean la cuestión de si existen secuencias monótonas de manera que f ( n ) disminuya a 0 más rápido que 1 / n pero más lento que 1 / n 1+ ε en el sentido de que
- {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {1 / n}} = 0 \ quad {\ text {y}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty } {\ frac {f (n)} {1 / n ^ {1+ \ varepsilon}}} = \ infty}
para cada ε > 0 , y si la serie correspondiente de la f ( n ) todavía difiere. Una vez que se encuentra una secuencia de este tipo, se puede hacer una pregunta similar con f ( n ) tomando el rol de 1 / n , y así sucesivamente. De esta manera es posible investigar el límite entre la divergencia y la convergencia de series infinitas.
Usando la prueba integral de convergencia, se puede mostrar (ver más abajo) que, para cada número natural k , la serie
{\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) \ ln _ {k} (n)}}}
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( 4 )
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{\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) (\ ln _ {k} (n)) ^ {1+ \ varepsilon}}}}
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( 5 )
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- {\ displaystyle \ ln _ {k} (x) = {\ begin {cases} \ ln (x) & {\ text {for}} k = 1, \\\ ln (\ ln _ {k-1} ( x)) & {\ text {for}} k \ geq 2. \ end {cases}}}
Además, N k denota el número natural más pequeño, de modo que la composición de k- fold está bien definida y ln k ( N k ) ≥ 1 , es decir
- {\ displaystyle N_ {k} \ geq \ underbrace {e ^ {e ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {e}}}}} _ {k \ e '{\ text {s}}} = e \ uparrow \ uparrow k}
Para ver la divergencia de la serie ( 4 ) utilizando la prueba integral, tenga en cuenta que al aplicar repetidamente la regla de la cadena
- {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k + 1} (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln (\ ln _ {k} (x)) = { \ frac {1} {\ ln _ {k} (x)}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}},}
por lo tanto
- {\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}} = \ ln _ {k + 1} (x) {\ bigr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} = \ infty.}
Para ver la convergencia de la serie ( 5 ), tenga en cuenta que según la regla de potencia , la regla de la cadena y el resultado anterior
- {\ displaystyle - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} = {\ frac {1} {( \ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}},}
por lo tanto
- {\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} {\ biggr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} <\ infty}
y ( 1 ) da límites para las series infinitas en ( 5 ).
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