SERIES MATEMÁTICAS

 prueba de raíz es un criterio para la convergencia (una prueba de convergencia ) de una serie infinita . Depende de la cantidad

$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

dónde $${\ displaystyle a_ {n}}son los términos de la serie, y establece que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que uno, pero difiere si es mayor que uno. Es particularmente útil en relación con las series de potencia .

Prueba [ editar ]

Diagrama de decisión para la prueba de raíz

La prueba de la raíz fue desarrollada primero por Augustin-Louis Cauchy, quien la publicó en su libro de texto Cours d'analyse(1821). ^[1] Por lo tanto, a veces se conoce como la prueba de la raíz de Cauchy o la prueba de radicales de Cauchy . Para una serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}

la prueba de la raíz utiliza el número

$${\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n}}}},}

donde "lim sup" denota el límite superior , posiblemente ∞ +. ^[2] Tenga en cuenta que si

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

converge entonces es igual a C y se puede usar en la prueba de raíz.

La prueba de raíz indica que:

• si C <1 entonces="" font="" la="" nbsp="" serie="">converge absolutamente ,
• si C > 1 entonces la serie diverge ,
• si C = 1 y el límite se aproxima estrictamente desde arriba, entonces la serie diverge,
• de lo contrario, la prueba no es concluyente (la serie puede divergir, converger absolutamente o converger condicionalmente ).

Hay algunas series para las que C = 1 y la serie convergen, por ejemplo,$${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / {n ^ {2}}}, y hay otros para los cuales C= 1 y la serie diverge, por ejemplo,$${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / n}.

Aplicación para potenciar series [ editar ]

Esta prueba se puede utilizar con una serie de potencias.

$${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}

donde los coeficientes c _n y el centro p son números complejos y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie serían dados por a _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Luego se aplica la prueba de raíz a la a _n como se _indica arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se denomina serie de potencia "alrededor de p", porque el radio de convergencia es el radio R del intervalo más grande o el disco centrado en p, de modo que la serie converja para todos los puntos z estrictamente en el interior ( la convergencia en el límite del intervalo o disco generalmente se debe verificar por separado). Un corolario La prueba de la raíz aplicada a tal serie de potencias es que el radio de convergencia es exactamente $${\ displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n}}}},} teniendo cuidado de que realmente queremos decir ∞ si el denominador es 0.

Prueba [ editar ]

La prueba de la convergencia de una serie Σ a _n es una aplicación de la prueba de comparación . Si para todos n≥ N ( N algún número natural fijo ) tenemos{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n}}}} \ leq k <1 font=""> entonces {\ displaystyle | a_ {n} | \ leq k ^ {n} <1 font="">. Desde la serie geométrica. $${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} k ^ {n}} converge también lo hace $${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} | a_ {n} |}por la prueba de comparación. Por lo tanto, Σ a _nconverge absolutamente.

Si {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n}}}}> 1}para infinitamente muchas n , entonces una _n falla en converger a 0, por lo tanto, la serie es divergente.

Prueba de corolario : Para una serie de potencias Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ⁿ , vemos por lo anterior que la serie converge si existe una N tal que para toda n ≥ N tenemos

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n}}}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n}}}} <1 font="">

equivalente a

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n}}}} \ cdot | zp | <1 font="">

para todos n ≥ N , lo que implica que para que la serie converja debemos tener{\ displaystyle | zp | <1 c_="" font="" n="" sqrt="">para todos suficientemente grande n . Esto es equivalente a decir

{\ displaystyle | zp | <1 _="" c_="" font="" infty="" limsup="" n="" rightarrow="" sqrt="">

asi que $${\ displaystyle R \ leq 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.} Ahora el único otro lugar donde la convergencia es posible es cuando

$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n}}}} = 1,}

(ya que los puntos> 1 divergirán) y esto no cambiará el radio de convergencia ya que estos son solo los puntos que se encuentran en el límite del intervalo o disco, por lo que

$${\ displaystyle R = 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n}}}}.

 teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una secuencia . El teorema lleva el nombre de los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro , quienes lo declararon y lo demostraron por primera vez.

El teorema de Stolz-Cesàro se puede ver como una generalización de la media de Cesàro , pero también como una regla de l'Hôpital para las secuencias.

Declaración del teorema para el ∞ / ∙ caso [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}} y $${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}Serán dos secuencias de números reales . Asumir que$${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}es estrictamente monótono y secuencia divergente (es decir, estrictamente creciente y se aproxima$${\ displaystyle + \ infty}o estrictamente decreciente y enfoques$${\ displaystyle - \ infty}) y existe el siguiente límite :

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = \ ell. \}

Entonces, el límite

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ ell. \}

Declaración del teorema para el caso 0/0 [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}} y $${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}Serán dos secuencias de números reales . Supongamos ahora que$${\ displaystyle (a_ {n}) \ a 0} y $${\ displaystyle (b_ {n}) \ a 0} mientras $${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}es estrictamente monótono . Si

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = \ ell, \}

entonces

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = \ ell. \}^[1]

Historia [ editar ]

El caso / ∞ se establece y se demuestra en las páginas 173 a 175 del libro S de 1885 de Stolz y también en la página 54 del artículo C de Cesàro de 1888 .

Aparece como Problema 70 en Pólya y Szegő.

La forma general [ editar ]

La forma general del teorema de Stolz-Cesàro es la siguiente: ^[2] Si$${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}} y $${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}} son dos secuencias tales que $${\ displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}} es monótono e ilimitado, entonces:

$${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}.

 prueba de divergencia ^{[1] de} n -ésimo términoes una prueba simple para la divergencia de una serie infinita :

• Si $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ neq 0} o si el límite no existe, entonces $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}divergen

Muchos autores no nombran esta prueba o le dan un nombre más corto. ^[2]

Cuando se prueba si una serie converge o se desvía, esta prueba a menudo se verifica primero debido a su facilidad de uso.

Uso [ editar ]

A diferencia de las pruebas de convergencia más fuertes , el término prueba no puede demostrar por sí mismo que una serie converge . En particular, lo contrario a la prueba no es cierto; todo lo que uno puede decir es:

• Si $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,} entonces $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}puede o no puede converger En otras palabras, si$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,} La prueba no es concluyente.

La serie armónica es un ejemplo clásico de una serie divergente cuyos términos se limitan a cero. ^[3] La clase más general de p- series ,

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p}}},

Ejemplifica los posibles resultados de la prueba:

• Si p ≤ 0, entonces el término prueba identifica la serie como divergente.
• Si 0 < p ≤ 1, entonces el término prueba no es concluyente, pero la serie es divergente por la prueba integral de convergencia .
• Si 1 < p , entonces el término prueba no es concluyente, pero la serie es convergente, nuevamente por la prueba integral de convergencia.

Pruebas [ editar ]

La prueba se prueba típicamente en forma contrapositiva :

• Si $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}} converge entonces $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}

Manipulación del límite [ editar ]

Si s _n son las sumas parciales de la serie, la suposición de que la serie converge significa que

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = L}

para algun numero s . Entonces ^[4]

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} - \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n-1} = LL = 0.}

El criterio de Cauchy [ editar ]

La suposición de que la serie converge significa que pasa la prueba de convergencia de Cauchy : para cada{\ displaystyle \ varepsilon> 0}hay un numero N tal que

{\ displaystyle | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + \ ldots + a_ {n + p} | <\ varepsilon}

se mantiene para todos n > N y p ≥ 1. El ajuste p = 1 recupera la definición de la declaración ^[5]

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}

Alcance [ editar ]

La versión más simple del término prueba se aplica a series infinitas de números reales . Las dos pruebas anteriores, al invocar el criterio de Cauchy o la linealidad del límite, también funcionan en cualquier otro espacio vectorial normado ^[6] (o cualquier grupo abeliano (escrito de forma aditiva)).

prueba M de Weierstrass es una prueba para determinar si una serie infinita de funcionesconverge de manera uniforme y absoluta. Se aplica a series cuyos términos son funciones con valores reales o complejos , y es análoga a la prueba de comparación para determinar la convergencia de series de números reales o complejos.

Declaración [ editar ]

Weierstrass M-test. Supongamos que { f _n } es una secuencia de funciones de valor real o complejo definidas en un conjunto A , y que hay una secuencia de números positivos { M _n } que satisfacen

$${\ displaystyle \ forall n \ geq 1, \ forall x \ in A: \ | f_ {n} (x) | \ leq M_ {n},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} M_ {n} <\ infty}

Entonces la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n} (x)}

converge absolutamente y uniformemente en A .

Observación. El resultado se usa a menudo en combinación con el teorema del límite uniforme . Juntos dicen que si, además de las condiciones anteriores, el conjunto A es un espacio topológico y las funciones f _n son continuas en A , entonces la serie converge en una función continua.

Generalización [ editar ]

Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se mantiene si el dominio de código de las funciones { f _n } es cualquier espacio de Banach , en cuyo caso la declaración

$${\ displaystyle | f_ {n} | \ leq M_ {n}}

puede ser reemplazado por

$${\ displaystyle \ | f_ {n} \ | \ leq M_ {n}},

dónde $${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}Es la norma en el espacio de Banach. Para ver un ejemplo del uso de esta prueba en un espacio de Banach, consulte el artículo Derivado de Fréchet .

Prueba [ editar ]

Considerar la secuencia de funciones.

$${\ displaystyle S_ {n} (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (x)}

Desde la serie $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} M_ {n}}converge y M _n ≥ 0 para cada n , luego según el criterio de Cauchy ,

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0: \ existe N: \ forall n> m> N: \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} M_ {k} <\ varepsilon.}

Para la N elegida ,

{\ displaystyle \ forall x \ in A: \ forall n> m> N}

{\ displaystyle \ left | S_ {n} (x) -S_ {m} (x) \ right | = \ left | \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} f_ {k} (x) \ derecha | {\ overset {(1)} {\ leq}} \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} | f_ {k} (x) | \ leq \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} M_ {k} <\ varepsilon.}

Así, la secuencia de sumas parciales de la serie converge uniformemente. De ahí, por definición, la serie.$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} f_ {k} (x)} converge uniformemente.

La desigualdad (1) se deriva de la desigualdad del triángulo .