SERIES MATEMÁTICAS

1 - 2 + 4 - 8 + es la serie infinita cuyos términos son los poderes sucesivos de dos con signos alternos. Como serie geométrica , se caracteriza por su primer término, 1 , y su relación común, −2.

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 2) ^ {k}}

Como una serie de números reales , diverge , en el sentido habitual no tiene suma. En un sentido más amplio, la serie tiene una suma generalizada de 1/3 .

Argumentos históricos [ editar ]

Gottfried Leibniz consideró la serie alterna divergente 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ⋯ desde 1673. Argumentó que al restar ya sea a la izquierda o a la derecha, uno podría producir un infinito positivo o negativo, y por lo tanto ambas respuestas están equivocados y el todo debe ser finito:

Ahora normalmente la naturaleza elige el medio si no se permite ninguno de los dos, o más bien si no se puede determinar cuál de los dos está permitido, y el todo es igual a una cantidad finita

Leibniz no acababa de afirmar que la serie tenía una suma , pero él inferir una asociación con 1/3 siguiente método de Mercator. ^[1] [2] La actitud de que una serie podría ser igual a una cantidad finita sin sumarla como una suma sería algo común en el siglo XVIII, aunque no se hace ninguna distinción en las matemáticas modernas. ^[3]

Después de que Christian Wolff leyó el tratamiento de Leibniz de las series de Grandi a mediados de 1712, ^[4]Wolff estaba tan satisfecho con la solución que intentó extender el método de la media aritmética a series más divergentes, como 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ⋯ . En pocas palabras, si uno expresa una suma parcial de esta serie como una función de la penúltima término, se obtiene ya sea 4 m + 1/3 o -4 n + 1/3 . La media de estos valores es 2 m - 2 n + 1/3 , y suponiendo que m = nen el infinito produce 1/3 como el valor de la serie. La intuición de Leibniz le impidió forzar su solución hasta el momento, y le contestó que la idea de Wolff era interesante pero no válida por varias razones. Las medias aritméticas de sumas parciales vecinas no convergen a ningún valor particular, y para todos los casos finitos uno tiene n = 2 m , no n = m . En general, los términos de una serie sumable deberían disminuir a cero; incluso 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ podría expresarse como un límite de dichas series. Leibniz aconseja a Wolff que reconsidere para que "pueda producir algo digno de la ciencia y de sí mismo". ^[5]

Métodos modernos [ editar ]

Series geométricas [ editar ]

Cualquier método de suma que posea las propiedades de regularidad, linealidad y estabilidad sumará una serie geométrica.

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = {\ frac {a} {1-r}}.

En este caso un  = 1 y r  = -2, por lo que la suma es 1/3 .

Euler sumatoria [ editar ]

En su 1755 Institutiones , Leonhard Euler efectivamente tomó lo que ahora se llama el Euler transforman de 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯ , llegando a la serie convergente 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 de + ⋯ . Desde los últimos sumas a 1/3 , Euler concluyó que 1 - 2 + 4 - 8 + ... = 1/3 . ^[6] Sus ideas sobre series infinitas no siguen el enfoque moderno; hoy se dice que1 - 2 + 4 - 8 + ... es Euler sumable y que su suma de Euler es 1/3 . ^[7]

Extracto de las Institutiones.

La transformada de Euler comienza con la secuencia de términos positivos:

a ₀ = 1,

a ₁ = 2,

a ₂ = 4,

a ₃ = 8, ...

La secuencia de diferencias hacia adelante es entonces

Δ a ₀ = a ₁ - a ₀ = 2 - 1 = 1,

Δ a ₁ = a ₂ - a ₁ = 4 - 2 = 2,

Δ a ₂ = a ₃ - a ₂ = 8 - 4 = 4,

Δ a ₃ = a ₄ - a ₃ = 16 - 8 = 8, ...

que es la misma secuencia. Por lo tanto, todas las secuencias de diferencia hacia delante iteradas comienzan con Δ ⁿ a ₀ = 1 para cada n . La transformada de Euler es la serie.

$${\ displaystyle {\ frac {a_ {0}} {2}} - {\ frac {\ Delta a_ {0}} {4}} + {\ frac {\ Delta ^ {2} a_ {0}} {8 }} - {\ frac {\ Delta ^ {3} a_ {0}} {16}} + \ cdots = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} - {\ frac {1} {16}} + \ cdots.}

Este es un convergente serie geométrica cuya suma es 1/3 por la fórmula usual.

Borel summation [ editar ]

La suma Borel de 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯ es también 1/3 ; cuando Émile Borel introdujo la formulación límite de la suma de Borel en 1896, este fue uno de sus primeros ejemplos después de 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ 

1 - 2 + 3 - 4 + ··· es una serie infinita cuyos términos son los enteros positivos sucesivos , dados los signos alternos . Usando la notación de suma sigma, la suma de los primeros m términos de la serie se puede expresar como

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {m} n (-1) ^ {n-1}.}

La serie infinita diverge , lo que significa que su secuencia de sumas parciales , (1, -1, 2, -2, ...) , no tiende hacia cualquier finito límite . No obstante, a mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler escribió lo que admitió que era una ecuación paradójica :

$${\ displaystyle 1-2 + 3-4 + \ cdots = {\ frac {1} {4}}.

Una explicación rigurosa de esta ecuación no llegaría hasta mucho más tarde. A partir de 1890, Ernesto Cesàro , Émile Borel y otros investigaron métodos bien definidos para asignar sumas generalizadas a series divergentes, incluidas nuevas interpretaciones de los intentos de Euler. Muchos de estos métodos sumabilidad asignar fácilmente a 1 - 2 + 3 - 4 + ... un "valor" de 1/4 . La suma de Cesàro es uno de los pocos métodos que no suman 1 - 2 + 3 - 4 + ... , por lo que la serie es un ejemplo donde se requiere un método ligeramente más fuerte, como la suma de Abel .

La serie 1 - 2 + 3 - 4 + ... está estrechamente relacionada con la serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... de Grandi . Euler trató estos dos como casos especiales de 1 - 2 ⁿ + 3 ⁿ - 4 ⁿ + ... para n arbitraria , una línea de investigación que extiende su trabajo sobre el problema de Basilea y conduce a las ecuaciones funcionales de lo que ahora se conoce como Dirichlet eta function y la función zeta de Riemann .

Divergencia [ editar ]

Los términos de la serie (1, −2, 3, −4, ...) no se acercan a 0 ; por lo tanto, 1 - 2 + 3 - 4 + ... difiere del término prueba . Para referencia posterior, también será útil ver la divergencia en un nivel fundamental. Por definición, la convergencia o divergencia de una serie infinita está determinada por la convergencia o divergencia de su secuencia de sumas parciales, y las sumas parciales de 1 - 2 + 3 - 4 + ... son: ^[1]

1 = 1 ,

1 - 2 = −1 ,

1 - 2 + 3 = 2 ,

1 - 2 + 3 - 4 = −2 ,

1 - 2 + 3 - 4 + 5 = 3 ,

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = −3 ,

...

Esta secuencia es notable por incluir cada entero exactamente una vez, incluso 0 si se cuenta la suma parcial vacía, y establecer así la capacidad de contabilización del conjunto.$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}de enteros . ^[2] La secuencia de sumas parciales muestra claramente que la serie no converge a un número particular (para cualquier límite propuesto x , podemos encontrar un punto a partir del cual las sumas parciales subsiguientes están todas fuera del intervalo [ x−1, x + 1]), entonces 1 - 2 + 3 - 4 + ... diverge.

Heurística para sumatoria [ editar ]

Estabilidad y linealidad [ editar ]

Dado que los términos 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... siguen un patrón simple, la serie 1 - 2 + 3 - 4 + ... puede ser manipulada por desplazamiento y término por término Además de dar un valor numérico. Si puede tener sentido para escribir s = 1 - 2 + 3 - 4 + ... para algún número ordinario s , las siguientes manipulaciones abogan por s = ¹ / ₄ : ^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}$

La adición de 4 copias de 1 - 2 + 3 - 4 + ..., usando solo los turnos y la suma de término por término, produce 1. El lado izquierdo y el lado derecho muestran dos copias de 1 - 2 + 3 - 4 +. .. sumando a 1 - 1 + 1 - 1 + ....

Asi que $${\ displaystyle s = {\ frac {1} {4}}}. Esta derivación se representa gráficamente a la derecha.

Aunque 1 - 2 + 3 - 4 + ... no tiene una suma en el sentido habitual, la ecuación s = 1 - 2 + 3 - 4 + ... = ¹ / ₄ se puede apoyar como la respuesta más natural si tal suma ha de ser definida Una definición generalizada de la "suma" de una serie divergente se denomina método de suma o método de suma . Hay muchos métodos diferentes (algunos de los cuales se describen a continuación ) y es deseable que compartan ciertas propiedades con la suma ordinaria. Lo que realmente demuestran las manipulaciones anteriores es lo siguiente: Dado cualquier método de sumabilidad que sea lineal y estable y que sume la serie1 - 2 + 3 - 4 + ..., la suma que produce es ¹ / ₄ . ^[4] Además, desde

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcllll} 2s & = && (1-2 + 3-4 + \ cdots) & + & (1-2 + 3-4 + \ cdots) \\ & = & 1 + {} & (-2 + 3-4 + \ cdots) & {} + 1-2 & {} + (3-4 + 5 \ cdots) \\ & = & 0 + {} & (- 2 + 3) + (3-4) + (- 4 + 5) + \ cdots \\ 2s & = && 1-1 + 1-1 \ cdots \ end {array}}}

un procedimiento de este tipo también debe resumir la serie de Grandi como 1 - 1 + 1 - 1 + ... = ¹ / ₂ . ^[5]

Producto Cauchy [ editar ]

En 1891, Ernesto Cesàro expresó su esperanza de que las series divergentes se introdujeran rigurosamente en el cálculo , señalando: "Uno ya escribe (1 - 1 + 1 - 1 + ...) ² = 1 - 2 + 3 - 4 + ... y afirma que tanto los lados son iguales a ¹ / ₄ ". ^[6] Para Cesàro, esta ecuación era una aplicación de un teorema que había publicado el año anterior, que es el primer teorema en la historia de series divergentes sumables. ^[7] Los detalles sobre su método de resumen están abajo ; La idea central es que 1 - 2 + 3 - 4 + ... es el producto de Cauchy ( convolucióndiscreta) De 1 - 1 + 1 - 1 + ... con 1 - 1 + 1 - 1 + ... .

El producto Cauchy de dos series infinitas se define incluso cuando ambos son divergentes. En el caso donde a _n= b _n = (−1) ⁿ , los términos del producto de Cauchy están dados por las sumas diagonales finitas

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} c_ {n} & = & \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} (- 1) ^ {nk} \\ [1em] & = & \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {n} = (- 1) ^ {n} (n + 1). \ End {array}}}

La serie de productos es entonces

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} (n + 1) = 1-2 + 3-4 + \ cdots.}

Por lo tanto, un método de suma que respeta el producto de Cauchy de dos series y que asigna a la serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... la suma 1/2 - también se asignará a la serie 1 - 2 + 3 - 4 +. .. la suma 1/4. Con el resultado de la sección anterior, esto implica una equivalencia entre la suma de 1 - 1 + 1 - 1 + ... y 1 - 2 + 3 - 4 + ... con métodos que son lineales, estables y respetan el Cauchy. producto.

El teorema de Cesàro es un ejemplo sutil. La serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... es Cesàro-sumable en el sentido más débil, llamada (C, 1) - acumulable, mientras que 1 - 2 + 3 - 4 + ... requiere una forma más fuerte del teorema de Cesàro , ^[8] siendo (C, 2) -sumible. Como todas las formas del teorema de Cesàro son lineales y estables, los valores de las sumas son los que hemos calculado.

Métodos específicos [ editar ]

Cesàro y Hölder [ editar ]

Datos acerca de la (H, 2) suma de ¹ / ₄

Para encontrar la suma (C, 1) de Cesàro de 1 - 2 + 3 - 4 + ..., si existe, es necesario calcular las medias aritméticas de las sumas parciales de la serie. Las sumas parciales son:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

y las medias aritméticas de estas sumas parciales son:

1, 0, ² / ₃ , 0, ³ / ₅ , 0, ⁴ / ₇ , ....

Esta secuencia de medios no converge, por lo que 1 - 2 + 3 - 4 + ... no es Cesàro sumable.

Hay dos generalizaciones bien conocidas de la suma de Cesàro: la conceptualmente más simple de estas es la secuencia de (H, n ) métodos para números naturales n . La suma (H, 1) es la suma de Cesàro, y los métodos superiores repiten el cálculo de las medias. Arriba, los medios incluso convergen a ¹ / ₂ , mientras que los medios impares son todos iguales a 0, por lo que los medios de los medios convergen a la media de 0 y ¹ / ₂ , es decir, ¹ / ₄ . ^[9] Así 1 - 2 + 3 - 4 + ... es (H, 2) sumable a ¹ / ₄ .

La "H" significa Otto Hölder , quien demostró por primera vez en 1882 lo que los matemáticos ahora consideran la conexión entre la suma de Abel y la suma (H, n ); 1 - 2 + 3 - 4 + ... fue su primer ejemplo. ^[10] El hecho de que ¹ / ₄ es el (H, 2) suma de 1 - 2 + 3 - 4 + ... garantiza que es la suma Abel así; Esto también se probará directamente a continuación.

La otra generalización comúnmente formulada de la suma de Cesàro es la secuencia de (C, n ) métodos. Se ha demostrado que (C, n ) la suma y (H, n ) la suma siempre dan los mismos resultados, pero tienen diferentes antecedentes históricos. En 1887, Cesàro estuvo cerca de establecer la definición de (C, n ) suma, pero solo dio algunos ejemplos. En particular, resumió 1 - 2 + 3 - 4 + ..., a ¹ / ₄ por un método que puede ser reformulada como (C, n ), pero no se justifica como tal en el momento. Definió formalmente los métodos (C, n) en 1890 para declarar su teorema de que el producto Cauchy de un (C, n) -sumerable series y una serie (C, m ) -summerable es (C, m + n + 1) -sumerable. ^[11]

Abel summation [ editar ]

Algunos parciales de 1 - 2 x + 3 x ² + ...; 1 / (1 + x ) ² ; y limites a 1

En un informe de 1749, Leonhard Euler admite que la serie difiere pero se prepara para resumir de todos modos:

... cuando se dice que la suma de esta serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 En etc. es ¹ / ₄ , que deben aparecer paradójico. Para añadiendo 100 términos de esta serie, obtenemos -50, sin embargo, la suma de 101 términos da 51, que es bastante diferente de ¹ / ₄ y se hace aún mayor cuando se aumenta el número de términos. Pero ya me he dado cuenta en un momento anterior, que es necesario dar a la palabra suma un significado más extendido ... ^[12]

Euler propuso una generalización de la palabra "suma" varias veces. En el caso de 1 - 2 + 3 - 4 + ... , sus ideas son similares a lo que ahora se conoce como resumen de Abel :

... no es más dudoso que la suma de esta serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 etc. es ¹ / ₄ ; ya que surge de la expansión de la fórmula ¹ / _{(1 + 1) ²} , cuyo valor es incontestablemente ¹ / ₄ . La idea se vuelve más clara considerando la serie general 1 - 2 x + 3 x ² - 4 x ³ + 5 x ⁴ - 6 x ⁵ + & c. que surge mientras que la ampliación de la expresión ¹ / _{(1 + x ) ²}, a la que esta serie es igual después de que configuramos x = 1 . ^[13]

Hay muchas maneras de ver eso, al menos para valores absolutos | x | <1 font=""> , Euler tiene razón en eso

$${\ displaystyle 1-2x + 3x ^ {2} -4x ^ {3} + \ cdots = {\ frac {1} {(1 + x) ^ {2}}}.}

Se puede tomar la expansión de Taylor del lado derecho o aplicar el proceso de división larga formal para polinomios . Comenzando por el lado izquierdo, se puede seguir la heurística generales anteriores y tratar de multiplicar por (1 + x ) dos veces o elevar al cuadrado la serie geométrica 1 - x + x ² - ... . Euler también parece sugerir diferenciar el último término de la serie por término. ^[14]

En la vista moderna, la serie 1 - 2 x + 3 x ² - 4 x ³ + ... no define una función en x = 1 , por lo que ese valor no puede simplemente sustituirse en la expresión resultante. Dado que la función está definida para todos | x | <1 font=""> , uno todavía puede tomar el límite cuando x se acerca a 1, y esta es la definición de la suma de Abel:

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 1 ^ {-}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n (-x) ^ {n-1} = \ lim _ {x \ rightarrow 1 ^ {-}} {\ frac {1} {(1 + x) ^ {2}}} = {\ frac {1} {4}}.}

Euler y Borel [ editar ]

Euler suma a ¹ / ₂ - ¹ / ₄ . Los valores positivos se muestran en blanco, los negativos se muestran en marrón y los cambios y cancelaciones se muestran en verde.

Euler aplicó otra técnica a la serie: la transformada de Euler , uno de sus propios inventos. Para calcular la transformada de Euler, uno empieza con la secuencia de términos positivos que conforma la alterna serie, en este caso 1, 2, 3, 4, .... El primer elemento de esta secuencia se marca un ₀ .

A continuación se necesita la secuencia de diferencias hacia adelanteentre 1, 2, 3, 4, ... ; esto es solo 1, 1, 1, 1, .... El primer elemento de estasecuencia está etiquetado como Δ a ₀ . La transformada de Euler también depende de las diferencias de diferencias y las iteraciones más altas , pero todas las diferencias directas entre 1, 1, 1, 1, ... son 0. La transformada de Euler de 1 - 2 + 3 - 4 + ... es entonces definido como

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} a_ {0} - {\ frac {1} {4}} \ Delta a_ {0} + {\ frac {1} {8}} \ Delta ^ {2 } a_ {0} - \ cdots = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}}.}

En la terminología moderna, se dice que 1 - 2 + 3 - 4 + ... es Euler sumable a ¹ / ₄ .

La sumabilidad de Euler implica también otro tipo de sumabilidad. Representando 1 - 2 + 3 - 4 + ... as

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} (k + 1),}

uno tiene la serie relacionada convergente en todas partes

$${\ displaystyle a (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (k + 1) x ^ {k + 1}} {(k + 1)!}} = X \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-x) ^ {k}} {k!}} = E ^ {- x} x.}

La suma de Borel de 1 - 2 + 3 - 4 + ... es por lo tanto ^[15]

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} a (x) \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2x} x \, dx = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ beta}} {\ bigg |} _ {2} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta x} \, dx = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ beta}} {\ bigg |} _ {2} \ beta ^ {- 1} = {\ frac {1} {4}}.}

Separación de escalas [ editar ]

Saichev y Woyczyński llegan a 1 - 2 + 3 - 4 + ... = ¹ / ₄ mediante la aplicación de sólo dos principios físicos: la relajación infinitesimal y la separación de escalas . Para ser precisos, estos principios les llevan a definir una amplia familia de " phi métodos -summation", todo lo cual suma a la serie ¹ / ₄ :

• Si φ ( x ) es una función cuyas primeras y segundas derivadas son continuas e integrables sobre (0, ∞), de manera que φ (0) = 1 y los límites de φ ( x ) yx φ ( x ) en + ∞ son ambos 0, luego ^[16]

$${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} (m + 1) \ varphi (\ delta m) = {\ frac {1} {4}}.}

Este resultado generaliza la suma de Abel, que se recupera al dejar φ ( x ) = exp (- x ). La afirmación general se puede probar al emparejar los términos en la serie sobre m y convertir la expresión en una integral de Riemann . Para el último paso, la prueba correspondiente para 1 - 1 + 1 - 1 + ... aplica el teorema del valor medio , pero aquí se necesita la forma de Lagrange más fuerte del teorema de Taylor .

Generalización [ editar ]

Extracto de la p.233 de la E212 - Institutiones calculi diferencialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum . Euler suma una serie similar, ca. 1755.

El triple producto de Cauchy de 1 - 1 + 1 - 1 + ... es 1 - 3 + 6 - 10 + ..., la serie alterna de números triangulares ; su suma Abel y Euler es ¹ / ₈ . ^[17]El producto de cuatro veces de Cauchy de 1 - 1 + 1 - 1 + ... es de 1 - 4 + 10 - 20 + ..., la serie alternante de números tetraédricos , cuya suma Abel es ¹ / ₁₆ .

Otra generalización de 1 - 2 + 3 - 4 + ... en una dirección ligeramente diferente es la serie 1 - 2 ⁿ + 3 ⁿ - 4 ⁿ + ... para otros valores de n . Para enteros positivos n , estas series tienen las siguientes sumas de Abel: ^[18]

$${\ displaystyle 1-2 ^ {n} + 3 ^ {n} - \ cdots = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}} B_ {n + 1}}

donde B _n son los números de Bernoulli . Incluso para n , esto se reduce a

$${\ displaystyle 1-2 ^ {2k} + 3 ^ {2k} - \ cdots = 0.}

Esta última suma se convirtió en un objeto de particular ridículo por Niels Henrik Abel en 1826:

Las series divergentes están en el trabajo de todo el diablo, y es una lástima que uno se atreva a encontrar pruebas de ellas. Uno puede sacar de ellos lo que quiere si los usa, y son ellos los que han causado tanta infelicidad y tantas paradojas. ¿Se puede pensar en algo más espantoso que decir eso?

0 = 1 - 2 ⁿ + 3 ⁿ - 4 ⁿ + etc.

donde n es un número positivo. Aquí hay algo para reírse, amigos. ^[19]

El profesor de Cesàro, Eugène Charles Catalan , también despreciaba series divergentes. Bajo la influencia del catalán, Cesàro inicialmente se refirió a las "fórmulas convencionales" para 1 - 2 ⁿ + 3 ⁿ - 4 ⁿ + ... como "desigualdades absurdas", y en 1883 Cesàro expresó una visión típica de la época en que las fórmulas eran falsas. pero todavía de alguna manera formalmente útil. Finalmente, en su 1890 Sur la multiplation des séries , Cesàro adoptó un enfoque moderno a partir de las definiciones. ^[20]

Las series también se estudian para valores no enteros de n ; estos componen la función de Dirichlet eta . Parte de la motivación de Euler para estudiar series relacionadas con 1 - 2 + 3 - 4 + ... fue la ecuación funcional de la función eta, que conduce directamente a la ecuación funcional de la función zeta de Riemann . Euler ya se había hecho famoso por encontrar los valores de estas funciones en enteros pares positivos (incluido el problema de Basilea ), y estaba tratando de encontrar los valores en los enteros impares positivos (incluida la constante de Apéry).) También, un problema que sigue siendo difícil de alcanzar hoy. La función eta en particular es más fácil de tratar con los métodos de Euler porque su serie Dirichlet es Abel sumable en todas partes; La serie de Dirichlet de la función zeta es mucho más difícil de sumar donde diverge. ^[21] Por ejemplo, la contraparte de 1 - 2 + 3 - 4 + ... en la función zeta es la serie no alternante 1 + 2 + 3 + 4 + ... , que tiene aplicaciones profundas en la física moderna pero Requiere métodos mucho más fuertes para sumar.