SERIES MATEMÁTICAS

1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + ...

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En matemáticas,

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} k!}

Es una serie divergente , primero considerada por Euler , que suma los factoriales de los números naturales con signos alternos. A pesar de ser divergente, se le puede asignar un valor de aproximadamente 0.6 por la suma de Borel .

La suma de Euler y Borel [ editar ]

Esta serie fue considerada por primera vez por Euler , quien aplicó métodos de suma para asignar un valor finito a la serie. ^[1] La serie es una suma de factoriales que se suman o restan alternativamente. Una forma de asignar un valor a esta serie divergente es mediante la suma de Borel , donde se escribe formalmente

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} k! = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {k} e ^ {- x} \, dx}

Si la suma y la integración se intercambian (ignorando que ninguno de los lados converge), se obtiene:

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} k! = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- x) ^ {k} \ right] e ^ {- x} \, dx}

La suma en los corchetes converge cuando {\ displaystyle x <1 font="">, y para esos valores iguales $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1 + x}}}. La continuación analítica de$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1 + x}}} a todos los reales $${\ displaystyle x} conduce a una integral convergente para la suma:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} k! & = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x}} {1 + x}} \, dx \\ [4pt] & = eE_ {1} (1) \ approx 0.596 \, 347 \, 362 \, 323 \, 194 \, 074 \, 341 \, 078 \, 499 \, 369 \ ldots \ end {alineado}}}

donde E ₁ ( z ) es la integral exponencial . Esta es por definición la suma de Borel de la serie.

Conexión a ecuaciones diferenciales [ editar ]

Consideremos el sistema acoplado de ecuaciones diferenciales.

$${\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = x (t) -y (t), \ qquad {\ dot {y}} (t) = - y (t) ^ {2}}

donde los puntos denotan derivados con respecto a t .

La solución con equilibrio estable en ( x , y ) = (0,0) ya que t  → ∞ tiene y ( t ) =  1/t , y al sustituirla en la primera ecuación se obtiene una solución de serie formal.

$${\ displaystyle x (t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {(n-1)!} {t ^ {n}}} }

Observe x (1) es precisamente la serie de Euler.

Por otro lado, el sistema de ecuaciones diferenciales tiene una solución.

$${\ displaystyle x (t) = e ^ {t} \ int _ {t} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- u}} {u}} \, du.}

Al integrarse sucesivamente por partes , la serie de poder formal se recupera como una aproximación asintóticaa esta expresión para x ( t ). Euler sostiene (más o menos) que, dado que tanto la serie formal como la integral describen la misma solución a las ecuaciones diferenciales, deben ser iguales entre sí en$${\ displaystyle t = 1}dando

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} (n-1)! = e \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- u}} {u}} \, du.}

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La serie 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Despues de alisar

Comportamiento asintótico del alisado. El y intercepción de la línea es - 1/2 . ^[1]

En matemáticas , 1 + 1 + 1 + 1 + , también escrito$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {0}}, $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 ^ {n}}, o simplemente $${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1}, es una serie divergente , lo que significa que su secuencia de sumas parciales no converge a un límite en los números reales . La secuencia 1 ⁿ puede pensarse como una serie geométrica con la relación común 1. A diferencia de otras series geométricas con relación racional(excepto −1 ), no converge ni en los números reales ni en los números p -adic para algunas  p . En el contexto de la recta numérica extendida

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 = + \ infty \ ,,}

Ya que su secuencia de sumas parciales aumenta monótonamente sin límite.

Cuando la suma de n ^{0 se} produce en aplicaciones físicas , a veces puede interpretarse mediante la regularización de la función zeta , como el valor en s = 0 de la función zeta de Riemann

$${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {1-2 ^ {1 -s}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n ^ {s}}} \ ,,}

Sin embargo, las dos fórmulas dadas anteriormente no son válidas en cero, por lo que se podría intentar la continuación analítica de la función zeta de Riemann,

$${\ displaystyle \ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ \ Gamma (1-s ) \ \ zeta (1-s) \ !,}

Usando este se obtiene (dado que Γ (1) = 1 ),

$${\ displaystyle \ zeta (0) = {\ frac {1} {\ pi}} \ lim _ {s \ rightarrow 0} \ \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ \ zeta (1-s) = {\ frac {1} {\ pi}} \ lim _ {s \ rightarrow 0} \ \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} - {\ frac { \ pi ^ {3} s ^ {3}} {48}} + ... \ derecha) \ \ izquierda (- {\ frac {1} {s}} + ... \ derecha) = - {\ frac {1} {2}}}

donde la expansión de la serie de potencias para ζ ( s ) sobre s = 1 sigue porque ζ ( s ) tiene un polo simple de residuo allí. En este sentido 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = ζ (0) = - 1/2 .

Emilio Elizalde presenta una anécdota sobre las actitudes hacia la serie:

En un corto período de menos de un año, dos distinguidos físicos, A. Slavnov y F. Yndurain , dieron seminarios en Barcelona sobre diferentes temas. Era notable que, en ambas presentaciones, en algún momento el altavoz se dirigió al público con estas palabras: 'Como todo el mundo sabe, 1 + 1 + 1 + ⋯ = - 1/2 '. Implicando quizás: Si no lo sabes, no sirve de nada seguir escuchando.

 1 + 2 + 4 + 8 + es la serie infinita cuyos términos son los poderes sucesivos de dos . Como una serie geométrica , se caracteriza por su primer término, 1, y su razón común , 2. Como una serie de números reales , diverge al infinito , por lo que en el sentido habitual no tiene suma. En un sentido mucho más amplio, la serie está asociada con otro valor además de ∞, a saber, -1, que es el límite de la serie que utiliza la métrica 2-adic .

Sumación [ editar ]

Las sumas parciales de 1 + 2 + 4 + 8 + son 1, 3, 7, 15,…; ya que estos divergen hasta el infinito, también lo hace la serie.

$${\ displaystyle 2 ^ {0} + 2 ^ {1} + \ cdots + 2 ^ {k} = 2 ^ {k + 1} -1}

Por lo tanto, cualquier método de suma totalmente regular da una suma de infinito, incluida la suma de Cesàro y la suma de Abel . ^[1] Por otro lado, hay al menos un método generalmente útil que suma 1 + 2 + 4 + 8 + al valor finito de −1. La serie de potencias asociada.

$${\ displaystyle f (x) = 1 + 2x + 4x ^ {2} + 8x ^ {3} + \ cdots + 2 ^ {n} {} x ^ {n} + \ cdots = {\ frac {1} { 1-2x}}}

tiene un radio de convergencia alrededor de 0 de tan sólo 1/2 , por lo que no converge en x = 1 . No obstante, la función así definida- f tiene un único continuación analítica para el plano complejo con el punto x = 1/2 suprimido, y se da por la misma regla f (x) = 1/1 - 2 x . Como f (1) = −1 , se dice que la serie original 1 + 2 + 4 + 8 + be es sumable ( E) a −1, y −1 es la suma (E) de la serie. (La notación se debe a GH Hardy en referencia al enfoque de Leonhard Euler para las series divergentes). ^[2]

Un enfoque casi idéntico (el adoptado por el propio Euler) es considerar las series de potencias cuyos coeficientes son todos 1, es decir,

$${\ displaystyle 1 + y + y ^ {2} + y ^ {3} + \ cdots = {\ frac {1} {1-y}}}

y enchufar y  = 2. Estas dos series están relacionadas por la sustitución y  = 2 x .

El hecho de que (E) la suma asigne un valor finito a 1 + 2 + 4 + 8 + ... muestra que el método general no es totalmente regular. Por otro lado, posee algunas otras cualidades deseables para un método de suma, incluida la estabilidad y la linealidad. Estos dos últimos axiomas obligan a que la suma sea −1, ya que hacen válida la siguiente manipulación:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} s & = & \ displaystyle 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \ cdots \\ & = & \ displaystyle 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ cdots ) \\ & = & \ displaystyle 1 + 2s \ end {array}}}

En un sentido útil, s  = ∞ es una raíz de la ecuación s = 1 + 2 s . (Por ejemplo, ∞ es uno de los dos puntos fijos de la transformación de Möbius z → 1 + 2 z en la esfera de Riemann ). Si se sabe que algún método de suma devuelve un número ordinario para s , es decir , no ∞, entonces es fácil de determinar. En este caso , se puede restar s de ambos lados de la ecuación, dando como resultado 0 = 1 + s , entonces s = −1 . ^[3]

Se podría recurrir a la manipulación anterior para producir −1 fuera del contexto de un procedimiento de suma suficientemente poderoso. Para los conceptos de suma más conocidos y directos, incluido el fundamental convergente, es absurdo que una serie de términos positivos puedan tener un valor negativo. Un fenómeno similar se produce con la serie geométrica divergente 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ , donde una serie de números enterosparece tener el no entero suma 1/2 . Estos ejemplos ilustran el peligro potencial en la aplicación de argumentos similares a la serie implícita en decimales recurrentes como 0.111 ... y más notablemente 0.999 .... Los argumentos son en última instancia justificadas para estas series convergentes, lo que implica que 0,111 ... = 1/9 y 0,999 ... = 1 , pero los subyacentes pruebas exigen una reflexión cuidadosa sobre la interpretación de un sinfín de sumas. ^[4]

También es posible ver esta serie como convergente en un sistema numérico diferente de los números reales, es decir, los números 2-adic . Como una serie de números 2-adic, esta serie converge a la misma suma, −1, como se derivó anteriormente por la continuación analítica.