SERIES MATEMÁTICAS

Series geométricas divergentes

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

En matemáticas , una serie geométrica infinita de la forma.

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ cdots}

es divergente si y solo si | r  | ≥  1 . Los métodos para sumar series divergentes a veces son útiles y, por lo general, evalúan series geométricas divergentes hasta una suma que concuerde con la fórmula para el caso convergente.

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} ar ^ {k} = {\ frac {a} {1-r}}.

Esto es cierto para cualquier método de suma que posea las propiedades de regularidad, linealidad y estabilidad.

Ejemplos [ editar ]

En orden creciente de dificultad para sumar:

• 1 - 1 + 1 - 1 + · · · , cuya relación común es −1
• 1 - 2 + 4 - 8 + · · · , cuya relación común es −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , cuya relación común es 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · · , cuya relación común es 1.

La motivación para el estudio [ editar ]

Es útil determinar qué métodos de suma producen la fórmula de serie geométrica para la cual los ratios comunes. Una aplicación para esta información es el llamado principio de Borel-Okada : si un método de suma regular suma Σ z ⁿ a 1 / (1 - z ) para todo z en un subconjunto S del plano complejo , dadas ciertas restricciones en S , entonces el método también proporciona la continuación analítica de cualquier otra función f ( z ) = Σ a _n z ⁿ en la intersección de S con laMittag-Leffler estrella para f . ^[1]

Sumabilidad por región [ editar ]

Disco de unidad abierta [ editar ]

La suma ordinaria tiene éxito solo para razones comunes | z | <1 .="" font="">

Disco de unidad cerrada [ editar ]

• Sumario de Cesàro
• Abel summation

Discos más grandes [ editar ]

• Euler summation

Medio plano [ editar ]

La serie es Borel sumable para cada z con una parte real <1 .="" cualquiera="" de="" el="" estas="" euler="" font="" generalizado="" m="" mediante="" n="" nbsp="" puede="" se="" series="" sumar="" tambi="" todo="">a ) para que sea apropiado a .

Avión sombreada [ editar ]

Ciertos métodos de constante de momento además de la suma de Borel pueden sumar las series geométricas en toda la estrella Mittag-Leffler de la función 1 / (1 - z ), es decir, para todas las z, excepto el rayo z ≥ 1.

serie divergente es una serie infinita que no es convergente , lo que significa que la secuencia infinita de las sumas parciales de la serie no tiene un límite finito .

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben aproximarse a cero. Por lo tanto, cualquier serie en la que los términos individuales no se aproximen a cero diverge. Sin embargo, la convergencia es una condición más fuerte: no todas las series cuyos términos se aproximan a cero convergen. Un contraejemplo es la serie armónica.

$${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}.

La divergencia de la serie armónica fue probada por la matemática medieval Nicole Oresme .

En contextos matemáticos especializados, los valores pueden asignarse de manera objetiva a ciertas series cuyas secuencias de sumas parciales divergen, a fin de dar sentido a la divergencia de la serie. Un método de suma o un método de suma es una función parcial del conjunto de series a valores. Por ejemplo, la suma de Cesàro asigna las series divergentes de Grandi.

$${\ displaystyle 1-1 + 1-1 + \ cdots}

el valor 1/2 . La suma de Cesàro es un método de promediación , ya que se basa en la media aritmética de la secuencia de sumas parciales. Otros métodos implican continuaciones analíticas de series relacionadas. En física , hay una amplia variedad de métodos de sumabilidad; Estos se discuten con mayor detalle en el artículo sobre regularización .

Historia [ editar ]

... antes de que los matemáticos de Cauchy no preguntaran '¿Cómo definiremos 1 - 1 + 1 ...?' pero '¿Qué es 1 - 1 + 1 ...?' y que este hábito de la mente los llevó a perplejidades y controversias innecesarias que a menudo eran realmente verbales.

pulgar, GH Hardy, serie divergente, página 6

Antes del siglo XIX, las series divergentes fueron ampliamente utilizadas por Leonhard Euler y otros, pero a menudo llevaron a resultados confusos y contradictorios. Un problema importante fue la idea de Euler de que cualquier serie divergente debería tener una suma natural, sin definir primero lo que significa la suma de una serie divergente. Augustin-Louis Cauchy finalmente dio una definición rigurosa de la suma de una serie (convergente), y durante algún tiempo después de esto, la mayoría de las series divergentes fueron excluidas de las matemáticas. Reaparecieron en 1886 con el trabajo de Henri Poincaré sobre series asintóticas. En 1890, Ernesto Cesàro se dio cuenta de que se podía dar una definición rigurosa de la suma de algunas series divergentes, y definió la suma de Cesàro.. (Este no fue el primer uso de la suma de Cesàro, que fue utilizada implícitamente por Ferdinand Georg Frobenius en 1880; la contribución clave de Cesàro no fue el descubrimiento de este método, sino su idea de que uno debería dar una definición explícita de la suma de una serie divergente .) En los años posteriores al artículo de Cesàro, otros matemáticos dieron otras definiciones de la suma de una serie divergente, aunque estas no siempre son compatibles: diferentes definiciones pueden dar diferentes respuestas para la suma de la misma serie divergente; por lo tanto, cuando se habla de la suma de una serie divergente, es necesario especificar qué método de suma se está utilizando.

Ejemplos [ editar ]

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯$${\ displaystyle {\ text {“=”}} {\ frac {1} {2}}}
• 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯$${\ displaystyle {\ text {“=”}} {\ frac {1} {4}}}
• 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + ⋯$${\ displaystyle {\ text {“=”}} \! \! \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x}} {1 + x}} \, dx \ approx 0.596 \, 347 \ ldots}
• 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯$${\ displaystyle {\ text {“=”}} {\ frac {1} {3}}}
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯$${\ displaystyle {\ text {“=”}} - 1}
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯$${\ displaystyle {\ text {“=”}} - {\ frac {1} {2}}}
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯$${\ displaystyle {\ text {“=”}} - {\ frac {1} {12}}}

Teoremas sobre métodos para sumar series divergentes [ editar ]

Un método de suma M es regular si está de acuerdo con el límite real en todas las series convergentes . Este resultado se denomina teorema abeliano para M , del teorema prototípico de Abel . Más interesantes, y en general más sutiles, son los resultados parciales, llamados teoremas de Tauber , de un prototipo probado por Alfred Tauber . Aquí converse parcial significa que si M resume la serie Σ , y algunos de lado condición se cumple, entonces Σ era convergente en primer lugar; sin ninguna condición de lado tal resultado diría que M solo suma las series convergentes (haciéndolo inútil como método de suma para series divergentes).

La función que da la suma de una serie convergente es lineal , y se deduce del teorema de Hahn-Banach que puede extenderse a un método de suma que sume cualquier serie con sumas parciales limitadas. Esto se llama el límite de Banach . Este hecho no es muy útil en la práctica, ya que existen muchas extensiones de este tipo, que son inconsistentes entre sí, y también porque probar que existen tales operadores requiere invocar el axioma de elección o sus equivalentes, como el lema de Zorn . Son por lo tanto no constructivos.

El tema de las series divergentes, como dominio del análisis matemático , se ocupa principalmente de las técnicas explícitas y naturales, como la suma Abel , la suma Cesàro y la suma Borel , y sus relaciones. El advenimiento del teorema tauberiano de Wiener marcó una época en el tema, introduciendo conexiones inesperadas a los métodos de álgebra de Banach en el análisis de Fourier .

La suma de series divergentes también se relaciona con los métodos de extrapolación y las transformaciones de secuencia como técnicas numéricas. Ejemplos de tales técnicas son los aproximantes de Padé , las transformaciones de secuencia de tipo Levin y los mapeos dependientes de orden relacionados con las técnicas de renormalización para la teoría de perturbación de orden grande en la mecánica cuántica .

Propiedades de los métodos de suma [ editar ]

Los métodos de suma generalmente se concentran en la secuencia de sumas parciales de la serie. Si bien esta secuencia no converge, a menudo podemos encontrar que cuando tomamos un promedio de un número cada vez mayor de términos iniciales de la secuencia, el promedio converge, y podemos usar este promedio en lugar de un límite para evaluar la suma de la serie. . Un método de suma puede verse como una función de un conjunto de secuencias de sumas parciales a valores. Si A es un método de suma que asigna valores a un conjunto de secuencias, podemos traducirlo mecánicamente a un método de suma de series A ^Σque asigna los mismos valores a la serie correspondiente. Hay ciertas propiedades que es deseable que estos métodos posean si han de llegar a valores correspondientes a límites y sumas, respectivamente.

1. Regularidad . Un método de suma es regular si, cuando la secuencia s converge a x , A ( s ) = x . De manera equivalente, el método de suma de series correspondiente evalúa A ^Σ ( a ) = x .
2. Linealidad . A es lineal si es una función lineal en las secuencias donde se define, de modo que A ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s ) para las secuencias r , sy un escalar real o complejo k . Dado que los términos a _n +1 = s _n +1 - s _n de la serie a son funcionales lineales en la secuencia sy viceversa, esto es equivalente a que A ^Σ sea ​​una función lineal en los términos de la serie.
3. Estabilidad (también llamada translatividad). Si s es una secuencia a partir de s ₀ y s ′ es la secuencia obtenida al omitir el primer valor y restarlo del resto, de modo que s ′ _n = s _n +1 - s ₀ , entonces se define A( s ) si y solo si A ( s ′) está definido, y A ( s ) = s ₀ + A ( s ′). Equivalentemente, siempre que una ′ _n= a _n +1para todo n , entonces A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′). ^[1] [2] Otra forma de afirmar esto es que la regla de cambio debe ser válida para las series que son sumables por este método.

La tercera condición es menos importante, y algunos métodos importantes, como la suma de Borel , no la poseen. ^[3]

También se puede dar una alternativa más débil a la última condición.

1. Re-indexabilidad finita . Si a y a ′ son dos series tales que existe una bijección $${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}tal que a _i = a ′ _f ( i ) para todo i , y si existe alguna$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}de modo que a _i = a ′ _i para todos i  >  N , entonces A ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′). (En otras palabras, a ′ es la misma serie que a , con solo un número finito de términos re-indexados). Tenga en cuenta que esta es una condición más débil que la Estabilidad , porque cualquier método de suma que muestre Estabilidad también exhibe la re-indexabilidad Finita , pero conversar no es cierto.

Una propiedad deseable para que compartan dos métodos de suma distintos A y B es la consistencia : A y B son consistentes si para cada secuencia s a la que ambos asignan un valor, A ( s ) = B ( s ). Si dos métodos son consistentes, y uno suma más series que el otro, el que suma más series es más fuerte .

Existen poderosos métodos de suma numérica que no son ni regulares ni lineales, por ejemplo , transformaciones de secuencia no lineales como transformaciones de secuencia de tipo Levin y aproximaciones de Padé , así como mapeos dependientes de orden de series perturbativas basadas en técnicas de renormalización .

Tomando la regularidad, la linealidad y la estabilidad como axiomas, es posible sumar muchas series divergentes mediante manipulaciones algebraicas elementales. Esto explica en parte por qué muchos métodos de suma diferentes dan la misma respuesta para ciertas series.

Por ejemplo, siempre que r ≠ 1, la serie geométrica

{\ displaystyle {\ begin {alineado} G (r, c) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && \\ & = c + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k + 1} && {\ text {(estabilidad)}} \\ & = c + r \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} cr ^ {k} && {\ text {(linealidad)}} \\ & = c + r \, G (r, c), && {\ text {por lo tanto}} \\ G (r, c) & = {\ frac {c} {1-r }}, {\ text {a menos que sea infinito}} && \\\ end {alineado}}}

Se puede evaluar independientemente de la convergencia. Más rigurosamente, cualquier método de suma que posea estas propiedades y que asigne un valor finito a la serie geométrica debe asignar este valor. Sin embargo, cuando r es un número real mayor que 1, las sumas parciales aumentan sin límite, y los métodos de promediación asignan un límite de infinito.

Métodos de resumen clásicos [ editar ]

Los dos métodos de suma clásicos para series, convergencia ordinaria y convergencia absoluta, definen la suma como un límite de ciertas sumas parciales. Estos se incluyen sólo para la integridad; hablando estrictamente, no son verdaderos métodos de suma para series divergentes ya que, por definición, una serie es divergente solo si estos métodos no funcionan. La mayoría pero no todos los métodos de suma para series divergentes extienden estos métodos a una clase más grande de secuencias.

Convergencia absoluta [ editar ]

La convergencia absoluta define la suma de una secuencia (o conjunto) de números para que sea el límite de la red de todas las sumas parciales a _k 1 + ... + a _k n , si existe. No depende del orden de los elementos de la secuencia, y un teorema clásico dice que una secuencia es absolutamente convergente si y solo si la secuencia de valores absolutos es convergente en el sentido estándar.

Suma de una serie [ editar ]

La definición clásica de Cauchy de la suma de una serie a ₀ + a ₁ + ... define la suma como el límite de la secuencia de sumas parciales a ₀ + ... + a _n . Esta es la definición por defecto de convergencia de una secuencia.

Nørlund significa [ editar ]

Supongamos que p _n es una secuencia de términos positivos, comenzando desde p ₀ . Supongamos también que

$${\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {n}}} \ rightarrow 0.}

Si ahora transformamos una secuencia s usando p para dar medios ponderados, configurando

$${\ displaystyle t_ {m} = {\ frac {p_ {m} s_ {0} + p_ {m-1} s_ {1} + \ cdots + p_ {0} s_ {m}} {p_ {0} + p_ {1} + \ cdots + p_ {m}}}}

entonces el límite de t _n como n tiende a infinito es un promedio llama el Nørlund significa N _p ( s ).

La media de Nørlund es regular, lineal y estable. Además, cualquiera de los dos medios de Nørlund son consistentes.

Sumatoria Cesàro [ editar ]

Los medios más significativos de Nørlund son las sumas de Cesàro. Aquí, si definimos la secuencia p ^k por

$${\ displaystyle p_ {n} ^ {k} = {n + k-1 \ elige k-1}}

entonces el Cesàro suma C _k se define por C _k ( s ) = N _( p ^k ) ( s ). Las sumas de Cesàro son Nørlund significa si k ≥ 0 , y por lo tanto son regulares, lineales, estables y consistentes. C ₀ es la suma ordinaria, y C ₁ es la sumaordinaria de Cesàro . Las sumas de Cesàro tienen la propiedad de que si h > k , entonces C _h es más fuerte que C _k .

Abelian significa [ editar ]

Supongamos que λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ , ... } es una secuencia estrictamente creciente que tiende hacia el infinito, y que λ ₀ ≥ 0 . Suponer

$${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} \ exp (- \ lambda _ {n} x)}

converge para todos los números reales x  > 0. Entonces la media abeliana A _λ se define como

$${\ displaystyle A _ {\ lambda} (s) = \ lim _ {x \ rightarrow 0 ^ {+}} f (x).}

De manera más general, si la serie para f solo converge para x grande pero se puede continuar analíticamente a todas las x reales reales , entonces aún se puede definir la suma de las series divergentes por el límite anterior.

Una serie de este tipo se conoce como una serie de Dirichlet generalizada ; En aplicaciones a la física, esto se conoce como el método de la regularización del núcleo de calor .

Los medios abelianos son regulares y lineales, pero no estables y no siempre consistentes entre las diferentes elecciones de λ . Sin embargo, algunos casos especiales son métodos de suma muy importantes.

Abel summation [ editar ]

Ver también: Teorema de Abel.

Si λ _n = n , entonces obtenemos el método de la suma de Abel . aquí

$${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {- nx} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n},}

donde z  = exp (- x ). Entonces, el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a 0 a través de reales positivos es el límite de la serie de potencias para f ( z ) cuando z se acerca a 1 desde abajo a través de reales positivos, y la suma de Abel A ( s ) se define como

$${\ displaystyle A (s) = \ lim _ {z \ rightarrow 1 ^ {-}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}.}

La suma de Abel es interesante en parte porque es consistente con, pero más poderosa que la suma de Cesàro : A ( s ) = C _k ( s ) siempre que este último esté definido. La suma de Abel es, por lo tanto, regular, lineal, estable y consistente con la suma de Cesàro.

Lindelöf summation [ editar ]

Si λ _n = n log ( n ) , entonces (indexando desde uno) tenemos

$${\ displaystyle f (x) = a_ {1} + a_ {2} 2 ^ {- 2x} + a_ {3} 3 ^ {- 3x} + \ cdots.}

Entonces L ( s ), la suma de Lindelöf ( Volkov 2001 ), es el límite de f ( x ) cuando x va a cero positivo. La suma de Lindelöf es un método poderoso cuando se aplica a series de potencias, entre otras aplicaciones, sumando series de potencias en la estrella Mittag-Leffler .

Si g ( z ) es analítica en un disco alrededor de cero, y por lo tanto tiene una serie de Maclaurin G ( z ) con un radio de convergencia positivo, entonces L ( G ( z )) = g ( z ) en la estrella de Mittag-Leffler. Además, la convergencia a g ( z ) es uniforme en subconjuntos compactos de la estrella.

Continuación analítica [ editar ]

Varios métodos de resumen implican tomar el valor de una continuación analítica de una función.

Continuación analítica de serie de potencias [ editar ]

Si Σ a _n x ⁿ converge para el pequeño complejo x y se puede continuar analíticamente a lo largo de algún camino desde x  = 0 hasta el punto x  = 1, entonces la suma de la serie puede definirse como el valor en x  = 1. Este valor Puede depender de la elección del camino.

Euler sumatoria [ editar ]

Artículo principal: Euler summation.

La suma de Euler es esencialmente una forma explícita de continuación analítica. Si una serie de potencias converge para un complejo pequeño z y puede continuar analíticamente hasta el disco abierto con un diámetro de −1/q  + 1 a 1 y es continua en 1, entonces su valor se llama Euler o (E, q ) suma de la serie a ₀  + ... Euler lo usó antes de definir la continuación analítica en general, y dio fórmulas explícitas para las series de poder de la continuación analítica.

El funcionamiento de la suma de Euler se puede repetir varias veces, y esto es esencialmente equivalente a llevar una continuación analítica de una serie de potencias al punto  z  = 1.

Continuidad analítica de la serie de Dirichlet [ editar ]

Este método define la suma de una serie como el valor de la continuación analítica de la serie de Dirichlet.

$${\ displaystyle f (s) = {\ frac {a_ {1}} {1 ^ {s}}} + {\ frac {a_ {2}} {2 ^ {s}}} + {\ frac {a_ { 3}} {3 ^ {s}}} + \ cdots}

en s  = 0, si existe y es único. Este método se confunde a veces con la regularización de la función zeta.

Si s  = 0 es una singularidad aislada, la suma se define por el término constante de la expansión de la serie de Laurent.

Regularización de la función Zeta [ editar ]

Si la serie

$${\ displaystyle f (s) = {\ frac {1} {a_ {1} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {2} ^ {s}}} + {\ frac {1} {a_ {3} ^ {s}}} + \ cdots}

(para valores positivos de la a _n ) converge para s reales grandes y se puede continuar analíticamente a lo largo de la línea real hasta s  = −1, entonces su valor en s  = −1 se llama la suma zeta regularizada de la serie a ₁  +  a ₂  + ... La regularización de la función Zeta es no lineal. En las aplicaciones, los números de una _i son a veces los valores propios de un operador de autoadjunta A con resolvente compacto, y f ( s ) es entonces la traza de A ^- s . Por ejemplo, si A ha autovalores 1, 2, 3, ... entonces f ( s ) es la función de Riemann zeta , ζ (s ), cuyo valor en s = -1 es - 1/12 , asignar un valor a la serie divergente 1 + 2 + 3 + 4 + ... . Otros valores de s se pueden utilizar también para asignar valores para la sumas divergente ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = - 1/2 , ζ (-2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0 y en general

$${\ displaystyle \ zeta (-s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {s} = 1 ^ {s} + 2 ^ {s} + 3 ^ {s} + \ cdots = - {\ frac {B_ {s + 1}} {s + 1}} \ ,,}

donde B _k es un número de Bernoulli . ^[4]

Función integral significa [ editar ]

Si J ( x ) = Σ p _n x ⁿ es una función integral, entonces la suma J de la serie a ₀  + ... se define como

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ sum _ {n} p_ {n} (a_ {0} + \ cdots + a_ {n}) x ^ {n}} {\ sum _ {n} p_ {n} x ^ {n}}},}

si este límite existe

Hay una variación de este método donde la serie para J tiene un radio finito de convergencia r y diverge en x  =  r. En este caso, se define la suma como se indica arriba, excepto que se toma el límite como x tiende a r en lugar de infinito.

Resumen de borel [ editar ]

En el caso especial cuando J ( x ) =  e ^x esto da una forma (débil) de suma de Borel .

Método de valiron [ editar ]

El método de Valiron es una generalización de Borel suma a ciertas funciones integrales más general J . Valiron demostró que bajo ciertas condiciones es equivalente a definir la suma de una serie como

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt {\ frac {H (n)} {2 \ pi}}} \ sum _ {h \ en Z} e ^ {- {\ frac { 1} {2}} h ^ {2} H (n)} (a_ {0} + \ cdots + a_ {h})}

donde H es la segunda derivada de G y c ( n ) =  e ^{- G ( n )} , y un ₀  + ... +  a _h se debe interpretar como 0 cuando h <0 .="" font="">

Métodos de momento [ editar ]

Supongamos que dμ es una medida en la línea real de tal manera que todos los momentos

$${\ displaystyle \ mu _ {n} = \ int x ^ {n} \, d \ mu}

son finitos Si un ₀  +  a ₁  + ... es una serie tal que

$${\ displaystyle a (x) = {\ frac {a_ {0} x ^ {0}} {\ mu _ {0}}} + {\ frac {a_ {1} x ^ {1}} {\ mu _ {1}}} + \ cdots}

converge para todas las x en el soporte de μ , entonces la suma ( dμ ) de la serie se define como el valor de la integral

$${\ displaystyle \ int a (x) \, d \ mu}

si se define (Tenga en cuenta que si los números μ _n aumentan demasiado rápido, entonces no determinan de forma única la medida μ ).

Borel summation [ editar ]

Por ejemplo, si dμ  =  e ^- x  dx para x positivo y 0 para x negativo entonces μ _n  =  n ! Y esto da una versión de la suma de Borel , donde el valor de una suma viene dado por

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ sum {\ frac {a_ {n} t ^ {n}} {n!}} \, dt.}

Hay una generalización de esto dependiendo de una variable α , llamada la suma (B ′, α ), donde la suma de una serie a ₀  + ... se define como

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ sum {\ frac {a_ {n} t ^ {n \ alpha}} {\ Gamma (n \ alpha +1)}} \, dt}

Si esta integral existe. Otra generalización es reemplazar la suma debajo de la integral por su continuación analítica de t pequeña  .

Métodos varios [ editar ]

Transformaciones Hausdorff [ editar ]

Hardy (1949 , capítulo 11).

Sumatoria de Hölder [ editar ]

Articulo principal: Hölder summation

Método de Hutton [ editar ]

En 1812 Hutton introdujo un método de suma de series divergentes iniciando con la secuencia de sumas parciales, y se repite la aplicación de la operación de la sustitución de una secuencia  s ₀ ,  s ₁ , ... por la secuencia de los promedios s ₀  +  s ₁/2 , s ₁  +  s ₂/2 , ..., y luego tomando el límite ( Hardy 1949 , p. 21).

Ingham summability [ editar ]

La serie a ₁  + ... se llama Ingham sumable a s si

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} a_ {n} {\ frac {n} {x}} \ left [{\ frac {x} {n }} \ right] = s.}

Albert Ingham demostró que si δ es un número positivo, entonces (C, - δ ) (Cesàro) la sumabilidad implica la sumatoria de Ingham, e Ingham la sumatoria implica la sumabilidad de (C, δ ) Hardy (1949 , Apéndice II).

Lambert summability [ editar ]

La serie a ₁  + ... se llama Lambert sumable a s si

$${\ displaystyle \ lim _ {y \ rightarrow 0 ^ {+}} \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} {\ frac {nye ^ {- ny}} {1-e ^ {- ny}} } = s.}

Si una serie es (C, k ) (Cesàro) sumable para cualquier k, entonces es Lambert sumable al mismo valor, y si una serie es Lambert sumable, entonces es Abel sumable al mismo valor Hardy (1949 , Apéndice II).

Le Roy sumatoria [ editar ]

La serie a ₀  + ... se llama Le Roy sumable a s si

$${\ displaystyle \ lim _ {\ zeta \ rightarrow 1 ^ {-}} \ sum _ {n} {\ frac {\ Gamma (1+ \ zeta n)} {\ Gamma (1 + n)}} a_ {n } = s.}

Hardy (1949 , 4.11)

Resumen de Mittag-Leffler [ editar ]

La serie a ₀  + ... se llama Mittag-Leffler (M) sumable a s si

$${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ sum _ {n} {\ frac {a_ {n}} {\ Gamma (1+ \ delta n)}} = s.}

Hardy (1949 , 4.11)

La suma de Ramanujan [ editar ]

Articulo principal: Resumen de Ramanujan.

La suma de Ramanujan es un método para asignar un valor a series divergentes utilizadas por Ramanujan y basadas en la fórmula de la suma Euler-Maclaurin . La suma de Ramanujan de una serie f (0) + f (1) + ... depende no solo de los valores de f en los enteros, sino también de los valores de la función f en los puntos no integrales, por lo que no es realmente una Método de suma en el sentido de este artículo.

Sumabilidad Riemann [ editar ]

La serie a ₁  + ... se llama (R, k ) (o Riemann) sumable a s si

$${\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} \ sum _ {n} a_ {n} \ left ({\ frac {\ sin nh} {nh}} \ right) ^ {k} = s.}

Hardy (1949 , 4.17) La serie a ₁  + ... se llama R ₂ sumable a s si

$${\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {2} {\ pi}} \ sum _ {n} {\ frac {\ sin ^ {2} nh} {n ^ {2} h}} (a_ {1} + \ cdots + a_ {n}) = s.}

Riesz significa [ editar ]

Artículo principal: Riesz significa

Si λ _n forma una secuencia creciente de números reales y

{\ displaystyle A _ {\ lambda} (x) = a_ {0} + \ cdots + a_ {n} {\ text {for}} \ lambda _ {n}

entonces la suma de Riesz (R, λ , κ ) de la serie a ₀  + ... se define como

$${\ displaystyle \ lim _ {\ omega \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ kappa} {\ omega ^ {\ kappa}}} \ int _ {0} ^ {\ omega} A _ {\ lambda} (x) (\ omega -x) ^ {\ kappa -1} \, dx.}

Vallée-Poussin summability [ editar ]

La serie a ₁  + ... se llama VP (o Vallée-Poussin) sumable a s si

$${\ displaystyle \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} a_ {0} + a_ {1} {\ frac {m} {m + 1}} + a_ {2} {\ frac {m (m-1)} {(m + 1) (m + 2)}} + \ cdots = s.}

Hardy (1949 , 4,17).