SERIES MATEMÁTICAS

 series de seno y coseno de Fourier son dos series matemáticas que llevan el nombre de Joseph Fourier .

Notación [ editar ]

En este artículo, f denota una función de valor real en$${\ displaystyle \ mathbb {R}}Lo cual es periódico con el periodo 2L . El valor del término c es L, que siempre se toma como la mitad de la función de intervalo total f se define o nos preocupa en ... Aquí estamos usando L en lugar de c.

Serie sinusoidal [ editar ]

Si f (x) es una función impar , entonces la serie senoidal de Fourier Half Range de f se define como

$${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}}}

que es solo una forma de series completas de Fourier con la única diferencia que $${\ displaystyle a_ {0}} y $${\ displaystyle a_ {n}} es cero, y la serie se define para la mitad del intervalo.

En la fórmula tenemos ...

$${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx , n \ in \ mathbb {N}}.

Serie de coseno [ editar ]

Si f (x) es una función par , entonces la serie de coseno de Fourier se define como

$${\ displaystyle f (x) = {\ frac {c_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}}}

dónde

$${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ cos {\ frac {n \ pi x} {L}} \, dx , n \ in \ mathbb {N} _ {0}}.

Observaciones [ editar ]

Esta noción puede generalizarse a funciones que no son pares o impares, pero luego las fórmulas anteriores se verán diferentes.

 la serie de Fourier-Bessel es un tipo particular de serie de Fourier generalizada (una expansión de la serie infinita en un intervalo finito) basada en las funciones de Bessel .

Las series de Fourier-Bessel se utilizan en la solución de ecuaciones diferenciales parciales , particularmente en sistemas de coordenadas cilíndricas . La serie formada por la función Bessel del primer tipo se conoce como la Serie de Schlömilch .

Definición [ editar ]

La serie de Fourier-Bessel de una función f ( x ) con un dominio de [0, b ]

$${\ displaystyle f: [0, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}

es la notación de esa función como una combinación lineal de muchas versiones ortogonales de la misma función de Bessel del primer tipo J _α , donde el argumento de cada versión n tiene una escala diferente, de acuerdo con

$${\ displaystyle (J _ {\ alpha}) _ {n} (x): = J _ {\ alpha} \ left ({\ frac {u _ {\ alpha, n}} {b}} x \ right)}

donde u _{α, n} es una raíz , numerada n asociada con la función de Bessel J _α y c _n son los coeficientes asignados:

$${\ displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} J _ {\ alpha} \ left ({\ frac {u _ {\ alpha, n}} {b}} x \ right).}

Interpretación [ editar ]

La serie de Fourier-Bessel se puede considerar como una expansión de Fourier en la coordenada ρ de las coordenadas cilíndricas . Al igual que la serie de Fourier se define para un intervalo finito y tiene una contraparte, la transformada de Fourier continua en un intervalo infinito, la serie de Fourier-Bessel tiene una contraparte en un intervalo infinito, a saber, la transformada de Hankel .

Calculando los coeficientes [ editar ]

Como se dijo, las funciones de Bessel con diferentes escalas son ortogonales con respecto al producto interno

$${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {b} xf (x) g (x) \ mathrm {d} x}

de acuerdo a

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} xJ _ {\ alpha} (xu _ {\ alpha, n}) \, J _ {\ alpha} (xu _ {\ alpha, m}) \, dx = {\ frac {\ delta _ {mn}} {2}} [J _ {\ alpha +1} (u _ {\ alpha, n})] ^ {2}},

(dónde: $${\ displaystyle {\ delta _ {mn}}}es el delta de Kronecker). Los coeficientes se pueden obtener al proyectar la función f (x) en las respectivas funciones de Bessel:

$${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {\ langle f, (J _ {\ alpha}) _ {n} \ rangle} {\ langle (J _ {\ alpha}) _ {n}, (J _ {\ alpha }) _ {n} \ rangle}} = {\ frac {\ int _ {0} ^ {b} xf (x) (J _ {\ alpha}) _ {n} (x) \ mathrm {d} x} {{\ frac {1} {2}} (bJ _ {\ alpha \ pm 1} (u _ {\ alpha, n})) ^ {2}}}}

donde el signo más o menos es igualmente válido.

Aplicación [ editar ]

La expansión de la serie de Fourier-Bessel emplea funciones de Bessel aperiódicas y en descomposición como la base. La expansión de la serie de Fourier-Bessel se ha aplicado con éxito en áreas diversificadas como el diagnóstico de fallas de engranajes, la discriminación de los odorantes en un ambiente turbulento, el análisis de estabilidad postural, la detección del tiempo de inicio de la voz, la detección de instantes de cierre glótico (época), la separación de los formantes del habla, Segmentación de la señal EEG, mejora del habla e identificación del hablante. La expansión de la serie de Fourier-Bessel también se ha utilizado para reducir los términos cruzados en la distribución de Wigner-Ville.

Serie dini [ editar ]

Una segunda serie de Fourier-Bessel, también conocida como serie Dini , está asociada con la condición de contorno de Robin

$${\ displaystyle bf '(b) + cf (b) = 0}, dónde $${\ displaystyle c} Es una constante arbitraria.

La serie Dini se puede definir por

$${\ displaystyle f (x) \ sim \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} J _ {\ alpha} (\ gamma _ {n} x / b)},

dónde $${\ displaystyle \ gamma _ {n}}es el n cero de$${\ displaystyle xJ '_ {\ alpha} (x) + cJ _ {\ alpha} (x)}.

Los coeficientes $${\ displaystyle b_ {n}} son dados por

$${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2 \ gamma _ {n} ^ {2}} {b ^ {2} (c ^ {2} + \ gamma _ {n} ^ {2} - \ alpha ^ {2}) J _ {\ alpha} ^ {2} (\ gamma _ {n})}} \ int _ {0} ^ {b} J _ {\ alpha} (\ gamma _ {n} x / b) \, f (x) \, x \, dx.}

 fenómeno de Gibbs, descubierto por Henry Wilbraham  ( 1848 ) ^[1] y redescubierto por J. Willard Gibbs  ( 1899 ), ^[2] es la forma peculiar en que se comporta la serie de Fourier de una función periódicadiferenciada continuamente diferenciada por partes. saltar discontinuidad . El n º suma parcial de la serie de Fourier tiene grandes oscilaciones cerca del salto, lo que podría aumentar el máximo de la suma parcial por encima de la de la propia función. El rebasamiento no se extingue comon aumenta, pero se aproxima a un límite finito. ^[3] Este tipo de comportamiento también fue observado por físicos experimentales, pero se creía que se debía a imperfecciones en los aparatos de medición. ^[4]

Esta es una de las causas de los artefactos que suenan en el procesamiento de la señal .

Descripción [ editar ]

Aproximación funcional de la onda cuadrada utilizando 5 armónicos.

Aproximación funcional de la onda cuadrada utilizando 25 armónicos.

Aproximación funcional de la onda cuadrada utilizando 125 armónicos.

El fenómeno de Gibbs implica tanto el hecho de que las sumas de Fourier se sobrepasan en una discontinuidad de salto , como que este rebasamiento no desaparece a medida que se agregan más términos a la suma.

Las tres imágenes de la derecha muestran el fenómeno de una onda cuadrada (de altura$${\ displaystyle \ pi / 4}) cuya expansión de Fourier es

$${\ displaystyle \ sin (x) + {\ frac {1} {3}} \ sin (3x) + {\ frac {1} {5}} \ sin (5x) + \ dotsb.}

Más precisamente, esta es la función f que es igual a$${\ displaystyle \ pi / 4} Entre $${\ displaystyle 2n \ pi} y $${\ displaystyle (2n + 1) \ pi} y $${\ displaystyle - \ pi / 4} Entre $${\ displaystyle (2n + 1) \ pi} y $${\ displaystyle (2n + 2) \ pi}para cada entero n ; Así esta onda cuadrada tiene una discontinuidad de salto de altura.$${\ displaystyle \ pi / 2} en cada múltiplo entero de $${\ displaystyle \ pi}.

Como puede verse, a medida que aumenta el número de términos, el error de la aproximación se reduce en ancho y energía, pero converge a una altura fija. Un cálculo para la onda cuadrada (ver Zygmund, capítulo 8.5, o los cálculos al final de este artículo) proporciona una fórmula explícita para el límite de la altura del error. Resulta que la serie de Fourier supera la altura.$${\ displaystyle \ pi / 4} de la onda cuadrada por

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin t} {t}} \, dt - {\ frac {\ pi} {4} } = {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot (0.089489872236 \ dots)}( OEIS :  A243268)

o alrededor del 9 por ciento del salto. Más en general, en cualquier punto de salto de una a trozos función continuamente diferenciable con un salto de un, el n º serie de Fourier parcial (para n muy grande) sobrepasar este salto en aproximadamente$${\ displaystyle a \ cdot (0.089489872236 \ puntos)}en uno de los extremos e inferior a la misma cantidad en el otro extremo; por lo tanto, el "salto" en la serie parcial de Fourier será aproximadamente un 18% más grande que el salto en la función original. En la ubicación de la discontinuidad en sí, la serie parcial de Fourier convergerá al punto medio del salto (independientemente de cuál sea el valor real de la función original en este punto). La cantidad

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin t} {t}} \ dt = (1.851937051982 \ dots) = {\ frac {\ pi} {2}} + \ pi \ cdot (0.089489872236 \ puntos)}( OEIS :  A036792 )

A veces se la conoce como la constante de Wilbraham- Gibbs .

Historia [ editar ]

Henry Wilbraham notó y analizó por primera vez el fenómeno de Gibbs en un artículo de 1848. ^[5] El artículo atrajo poca atención hasta 1914, cuando fue mencionado en la revisión de Heinrich Burkhardt sobre el análisis matemático en la enciclopedia de Klein . ^[6] En 1898, Albert A. Michelson desarrolló un dispositivo que podía calcular y volver a sintetizar la serie de Fourier. ^[7] [8]Un mito generalizado dice que cuando los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada se introducían en la máquina, la gráfica oscilaba en las discontinuidades y que, debido a que era un dispositivo físico sujeto a fallas de fabricación, Michelson estaba convencido de que el exceso fue causado por errores. en la maquina De hecho, los gráficos producidos por la máquina no fueron lo suficientemente buenos como para exhibir claramente el fenómeno de Gibbs, y es posible que Michelson no lo haya notado, ya que no mencionó este efecto en su artículo ( Michelson y Stratton 1898 ) sobre su máquina o sus cartas posteriores. a la naturaleza . ^[1] Inspirado por alguna correspondencia en Nature entre Michelson y Love sobre la convergencia de la serie de Fourier de la función de onda cuadrada, en 1898.J. Willard Gibbspublicó una breve nota en la que consideró lo que hoy se llamaría una onda de diente de sierra y señaló la importante distinción entre el límite de los gráficos de las sumas parciales de la serie de Fourier y el gráfico de la función que es el Límite de esas sumas parciales. En su primera carta, Gibbs no notó el fenómeno de Gibbs, y el límite que describió para las gráficas de las sumas parciales era inexacto. En 1899 publicó una corrección en la que describió el exceso en el punto de discontinuidad ( Nature : 27 de abril de 1899, p. 606). En 1906, Maxime Bôcher hizo un análisis matemático detallado de ese exceso, acuñando el término "fenómeno de Gibbs" ^[9]y poniendo el término en uso generalizado. ^[1]

Después de que se conoció ampliamente la existencia del artículo de Henry Wilbraham , en 1925, Horatio Scott Carslaw comentó: "Todavía podemos llamar a esta propiedad de la serie de Fourier (y algunas otras series) el fenómeno de Gibbs, pero ya no debemos afirmar que la propiedad se descubrió por primera vez. por Gibbs ". ^[10]

Explicación [ editar ]

Informalmente, el fenómeno de Gibbs refleja la dificultad inherente a la aproximación de una función discontinuapor una serie finita de ondas sinusoidales y coseno continuas . Es importante poner énfasis en la palabra finitaporque a pesar de que cada suma parcial de la serie de Fourier sobrepasa la función que se aproxima, el límite de las sumas parciales no lo hace. El valor de x donde se alcanza el rebasamiento máximo se acerca cada vez más a la discontinuidad a medida que aumenta el número de términos sumados, por lo que, una vez más, de manera informal, una vez que el rebasamiento ha pasado por un x particular , es posible la convergencia en ese valor de x .

No hay contradicción en el rebasamiento que converge a una cantidad distinta de cero, pero el límite de las sumas parciales no tiene rebasamiento, porque la ubicación de ese rebasamiento se mueve. Tenemos convergencia puntual , pero no convergencia uniforme . Para una función C ^{1 por} partes , la serie de Fourier converge a la función en todos los puntos, excepto en las discontinuidades de salto. En las discontinuidades de salto en sí mismas, el límite convergerá al promedio de los valores de la función a cada lado del salto. Esta es una consecuencia del teorema de Dirichlet . ^[11]

El fenómeno de Gibbs también está estrechamente relacionado con el principio de que la disminución de los coeficientes de Fourier de una función en el infinito está controlada por la suavidad de esa función; las funciones muy suaves tendrán coeficientes de Fourier que decaen muy rápidamente (lo que da como resultado la rápida convergencia de la serie de Fourier), mientras que las funciones discontinuas tendrán coeficientes de Fourier que decaen muy lentamente (lo que hace que las series de Fourier converjan muy lentamente). Tenga en cuenta, por ejemplo, que los coeficientes de Fourier 1, −1/3, 1/5, ... de la onda cuadrada discontinua descrita anteriormente disminuyen tan rápido como las series armónicas , que no es absolutamente convergente ; de hecho, la anterior serie de Fourier resulta ser solo condicionalmente convergente para casi todos los valores de  x. Esto proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, ya que las series de Fourier con coeficientes de Fourier absolutamente convergentes serían uniformemente convergentes según la prueba M de Weierstrass y, por lo tanto, no podrían exhibir el comportamiento oscilatorio anterior. De la misma manera, es imposible que una función discontinua tenga coeficientes de Fourier absolutamente convergentes, ya que la función sería el límite uniforme de las funciones continuas y, por lo tanto, sería continua, una contradicción. Ver más sobre la convergencia absoluta de las series de Fourier .

Soluciones [ editar ]

En la práctica, las dificultades asociadas con el fenómeno de Gibbs se pueden mejorar utilizando un método más suave de suma de series de Fourier, como la suma de Fejér o la suma de Riesz , o utilizando la aproximación sigma . Usando una transformada de wavelet continua , el fenómeno de Gibbs wavelet nunca supera el fenómeno de Fourier Gibbs. ^[12] Además, al utilizar la transformada wavelet discreta con funciones básicas de Haar , el fenómeno de Gibbs no se produce en absoluto en el caso de datos continuos en discontinuidades de salto, ^[13] y es mínimo en el caso discreto en grandes puntos de cambio. En el análisis de wavelets, esto se conoce comúnmente como el fenómeno de Longo..

Formal descripción matemática del fenómeno [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle f: {\ mathbb {R}} \ a {\ mathbb {R}}} ser una función diferenciable continuamente por partes que es periódica con algún período {\ displaystyle L> 0}. Supongamos que en algún momento$${\ displaystyle x_ {0}}, el limite izquierdo $${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {-})} y limite derecho $${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {+})} de la función $${\ displaystyle f}diferir por una brecha no cero $${\ displaystyle a}:

$${\ displaystyle f (x_ {0} ^ {+}) - f (x_ {0} ^ {-}) = a \ neq 0.}

Para cada entero positivo N ≥ 1, sea S _N  f la N º serie parcial de Fourier

$${\ displaystyle S_ {N} f (x): = \ sum _ {- N \ leq n \ leq N} {\ widehat {f}} (n) e ^ {\ frac {2i \ pi nx} {L} } = {\ frac {1} {2}} a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ left (a_ {n} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {L}} \ derecha) + b_ {n} \ sin \ izquierda ({\ frac {2 \ pi nx} {L}} \ derecha) \ derecha),}

donde los coeficientes de Fourier $${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n), a_ {n}, b_ {n}} Están dadas por las fórmulas habituales.

$${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n): = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) e ^ {- 2i \ pi nx / L} \, dx}

$${\ displaystyle a_ {n}: = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {L} } \ right) \, dx}

$${\ displaystyle b_ {n}: = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi nx} {L} } \ right) \, dx.}

Entonces nosotros tenemos

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ a \ infty} S_ {N} f \ left (x_ {0} + {\ frac {L} {2N}} \ right) = f (x_ {0} ^ {+} ) + a \ cdot (0.089489872236 \ puntos)}

y

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ a \ infty} S_ {N} f \ left (x_ {0} - {\ frac {L} {2N}} \ right) = f (x_ {0} ^ {-} ) -a \ cdot (0.089489872236 \ puntos)}

pero

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ a \ infty} S_ {N} f (x_ {0}) = {\ frac {f (x_ {0} ^ {-}) + f (x_ {0} ^ {+ })} {2}}.}

Más en general, si $${\ displaystyle x_ {N}} es cualquier secuencia de números reales que converge a $${\ displaystyle x_ {0}} como $${\ displaystyle N \ to \ infty}, y si la brecha a es positiva entonces

$${\ displaystyle \ limsup _ {N \ to \ infty} S_ {N} f (x_ {N}) \ leq f (x_ {0} ^ {+}) + a \ cdot (0.089489872236 \ dots)}

y

$${\ displaystyle \ liminf _ {N \ to \ infty} S_ {N} f (x_ {N}) \ geq f (x_ {0} ^ {-}) - a \ cdot (0.089489872236 \ dots).}

Si, en cambio, la brecha a es negativa, es necesario intercambiar el límite superior con el límite inferior , y también intercambiar los signos ≤ y ≥, en las dos desigualdades anteriores.

El procesamiento de señales explicación [ editar ]

Más información: Artefactos de llamada.

La función sinc , la respuesta de impulso de un filtro ideal de paso bajo . El escalado reduce la función y, en consecuencia, aumenta la magnitud (que no se muestra aquí), pero no reduce la magnitud del reborde, que es la integral de la cola.

Desde el punto de vista del procesamiento de la señal , el fenómeno de Gibbs es la respuesta escalonada de un filtro de paso bajo , y las oscilaciones se denominan artefactos de timbre o timbre . Truncar la transformada de Fourier de una señal en la línea real, o la serie de Fourier de una señal periódica (equivalentemente, una señal en el círculo) corresponde a filtrar las frecuencias más altas por un paso bajo / alto ideal ( pared de ladrillos ) filtro de corte. Esto puede representarse como una convolución de la señal original con la respuesta de impulsodel filtro (también conocido como el núcleo ), que es la función sinc.. Por lo tanto, el fenómeno de Gibbs puede verse como el resultado de la convolución de una función de escalón de Heaviside (si no se requiere periodicidad) o una onda cuadrada (si es periódica) con una función sinc: las oscilaciones en la función sinc causan las fluctuaciones en la salida.

La integral sinusoidal , que muestra el fenómeno de Gibbs para una función escalonada en la línea real.

En el caso de convolucionar con una función escalonada de Heaviside, la función resultante es exactamente la integral de la función sinc, la integral sinusoidal ; para una onda cuadrada la descripción no es tan simple. Para la función de escalón, la magnitud del subimpulso es, por lo tanto, exactamente la integral de la cola (izquierda), que se integra al primer cero negativo: para el período normalizado de muestreo de la unidad, esto es$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {- 1} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \, dx.} El rebasamiento es, en consecuencia, de la misma magnitud: la integral de la cola derecha o, lo que equivale a la misma cosa, la diferencia entre la integral desde el infinito negativo hasta el primer cero positivo, menos 1 (el valor de no rebasamiento).

El rebasamiento y el subimpulso pueden entenderse así: los núcleos generalmente se normalizan para tener la integral 1, por lo que dan como resultado un mapeo de funciones constantes a funciones constantes; de lo contrario, tienen ganancia . El valor de una convolución en un punto es una combinación lineal de la señal de entrada, con coeficientes (ponderaciones) de los valores del núcleo. Si un kernel no es negativo, como en el caso de un kernel gaussiano , el valor de la señal filtrada será una combinación convexade los valores de entrada (los coeficientes (el núcleo) se integran a 1 y no son negativos) y, por lo tanto, se ubicarán entre el mínimo y el máximo de la señal de entrada, no subestimará ni rebasará. Si, por otro lado, el kernel asume valores negativos, como la función sinc, entonces el valor de la señal filtrada será una combinación afín de los valores de entrada, y puede caer fuera del mínimo y máximo de la señal de entrada. , lo que resulta en subestimación y rebasamiento, como en el fenómeno de Gibbs.

Tomar una expansión más larga (cortar a una frecuencia más alta) corresponde en el dominio de la frecuencia a ampliar la pared de ladrillos, que en el dominio del tiempo corresponde a reducir la función sinc y aumentar su altura en el mismo factor, dejando las integrales entre los puntos correspondientes sin cambios. . Esta es una característica general de la transformada de Fourier: la ampliación en un dominio corresponde al estrechamiento y al aumento de la altura en el otro. Esto da como resultado que las oscilaciones de sinc sean más estrechas y altas y, en la función filtrada (después de la convolución), produce oscilaciones que son más estrechas y, por lo tanto, tienen menos área, pero no reducen la magnitud:el corte en cualquier frecuencia finita da como resultado una función sinc, aunque sea estrecha, con las mismas integrales de cola. Esto explica la persistencia del rebasamiento y el subimpulso.

• 

  Las oscilaciones se pueden interpretar como convolución con un sinc.
 
• 

  Un corte más alto hace que el sinc sea más estrecho pero más alto, con integrales de cola de la misma magnitud, produciendo oscilaciones de mayor frecuencia, pero cuya magnitud no se desvanece.

Así, las características del fenómeno de Gibbs se interpretan de la siguiente manera:

• el reborde se debe a que la respuesta al impulso tiene una integral de cola negativa, lo cual es posible porque la función toma valores negativos;
• el rebasamiento compensa esto, por simetría (la integral general no cambia bajo el filtrado);
• la persistencia de las oscilaciones se debe a que al aumentar el corte se reduce la respuesta al impulso, pero no reduce su integral, por lo que las oscilaciones se mueven hacia la discontinuidad, pero no disminuyen en magnitud.

El ejemplo onda cuadrada [ editar ]

Animación de la síntesis aditiva de una onda cuadrada con un número creciente de armónicos. El fenómeno de Gibbs es visible, especialmente cuando el número de armónicos es grande.

En el caso de onda cuadrada, el período L es$${\ displaystyle 2 \ pi}la discontinuidad $${\ displaystyle x_ {0}}está en cero, y el salto a es igual a$${\ displaystyle \ pi / 2}. Por simplicidad, solo tratemos el caso cuando N es par (el caso de N impar es muy similar). Entonces nosotros tenemos

$${\ displaystyle S_ {N} f (x) = \ sin (x) + {\ frac {1} {3}} \ sin (3x) + \ cdots + {\ frac {1} {N-1}} \ sin ((N-1) x).}

Sustituyendo $${\ displaystyle x = 0}, obtenemos

$${\ displaystyle S_ {N} f (0) = 0 = {\ frac {- {\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ pi} {4}}} {2}} = {\ frac {f (0 ^ {-}) + f (0 ^ {+})} {2}}}

como se afirma anteriormente. A continuación, calculamos

$${\ displaystyle S_ {N} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) = \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {N}} \ right) + {\ frac {1} {3}} \ sin \ left ({\ frac {3 \ pi} {N}} \ right) + \ cdots + {\ frac {1} {N-1}} \ sin \ left ({\ frac {(N-1) \ pi} {N}} \ derecha).}

Si introducimos la función sinc normalizada ,$${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (x) \,}, podemos reescribir esto como

$${\ displaystyle S_ {N} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left [{\ frac {2} {N} } \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {1} {N}} \ right) + {\ frac {2} {N}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {3} {N} } \ right) + \ cdots + {\ frac {2} {N}} \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {(N-1)} {N}} \ right) \ right].}

Pero la expresión entre corchetes es una suma de Riemann aproximada a la integral$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \ dx}(Más precisamente, es una aproximación de regla de punto medio con espaciado$${\ displaystyle 2 / N}). Como la función sinc es continua, esta aproximación converge a la integral real como$${\ displaystyle N \ to \ infty}. Asi tenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {N \ a \ infty} S_ {N} f \ left ({\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) & = {\ frac {\ pi } {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \, dx \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {x = 0 } ^ {1} {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}} \, d (\ pi x) \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin (t)} {t}} \ dt \ quad = \ quad {\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {\ pi} { 2}} \ cdot (0.089489872236 \ dots), \ end {alineado}}}

que era lo que se reclamaba en el apartado anterior. Un cálculo similar muestra

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ a \ infty} S_ {N} f \ left (- {\ frac {2 \ pi} {2N}} \ right) = - {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ operatorname {sinc} (x) \ dx = - {\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot (0.089489872236 \ puntos).

Consecuencias [ editar ]

En el procesamiento de la señal, el fenómeno de Gibbs no es deseable porque causa artefactos, a saber, recortedel rebasamiento y subimpulso, y artefactos que suenan a partir de las oscilaciones. En el caso del filtrado de paso bajo, estos pueden reducirse o eliminarse utilizando diferentes filtros de paso bajo.

En la RM , el fenómeno de Gibbs causa artefactos en presencia de regiones adyacentes de intensidad de señal notablemente diferente. Esto es más frecuente en la RM espinal, donde el fenómeno de Gibbs puede simular la aparición de siringomielia .

El fenómeno de Gibbs se manifiesta como un artefacto de patrón cruzado en la transformada discreta de Fourierde una imagen, ^[14] donde la mayoría de las imágenes (p. Ej., Micrografías o fotografías) tienen una discontinuidad aguda entre los límites en la parte superior / inferior e izquierda / derecha de una imagen. Cuando se imponen condiciones de frontera periódicas en la transformada de Fourier, esta discontinuidad de salto se representa por un continuo de frecuencias a lo largo de los ejes en el espacio recíproco (es decir, un patrón cruzado de intensidad en la transformada de Fourier).