SERIES MATEMÁTICAS

 serie de Fourier de rango medio es una serie de Fourier definida en un intervalo$${\ displaystyle [0, L]} en lugar de los más comunes $${\ displaystyle [-L, L]}, con la implicación de que la función analizada. $${\ displaystyle f (x), x \ en [0, L]} debe extenderse a $${\ displaystyle [-L, 0]}como una función par (f (-x) = f (x)) o impar (f (-x) = - f (x)). Esto permite la expansión de la función en una serie únicamente de senos (impares) o cosenos (pares). La elección entre impar y par suele estar motivada por condiciones de contorno asociadas con una ecuación diferencial satisfecha por$${\ displaystyle f (x)}.

Ejemplo

Calcule el rango medio de la serie de senos de Fourier para la función. $${\ displaystyle f (x) = \ cos (x)} dónde {\ displaystyle 0 .

Ya que estamos calculando una serie de seno, $${\ displaystyle a_ {n} = 0 \ \ quad \ forall n} Ahora, $${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (x) \ sin (nx) \, \ mathrm {d} x = { \ frac {2n ((- 1) ^ {n} +1)} {\ pi (n ^ {2} -1)}} \ quad \ forall n \ geq 2}

Cuando n es impar, $${\ displaystyle b_ {n} = 0} Cuando n es par $${\ displaystyle b_ {n} = {4n \ over \ pi (n ^ {2} -1)}} así $${\ displaystyle b_ {2k} = {8k \ over \ pi (4k ^ {2} -1)}}

Con el caso especial $${\ displaystyle b_ {1} = 0}, por lo tanto la serie de seno de Fourier requerida es

$${\ displaystyle \ cos (x) = {{8 \ over \ pi} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {n \ over (4n ^ {2} -1)} \ sin (2nx)} }

la identidad de Parseval , llamada así por Marc-Antoine Parseval , es un resultado fundamental sobre la suma de las series de Fourier de una función. Geométricamente, es el teorema de Pitágoras para los espacios del producto interior .

Informalmente, la identidad afirma que la suma de los cuadrados de los coeficientes de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función,

$${\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {L_ {p} ^ {2} (- \ pi, \ pi)} ^ {2} = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | f (x) | ^ {2} \, dx = 2 \ pi \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | c_ {n} | ^ {2}}

donde los coeficientes de Fourier c _n de ƒ están dados por

$${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- inx} \, dx.}

Más formalmente, el resultado se mantiene como se indica siempre que ƒ es cuadrada-integrable o, más generalmente, en L ² [−π, π] . Un resultado similar es el teorema de Plancherel , que afirma que la integral del cuadrado de la transformada de Fourier de una función es igual a la integral del cuadrado de la función en sí. En una dimensión, para ƒ ∈ L ² ( R ) ,

$${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | ^ {2} \, dx.}

Generalización del teorema de Pitágoras [ editar ]

La identidad está relacionada con el teorema de Pitágoras en la configuración más general de un espacio de Hilbert separable de la siguiente manera. Supongamos que H es un espacio de Hilbert con producto interno 〈•, •〉. Sea ( e _n ) una base ortonormal de H ; es decir, el intervalo lineal de la e _n es denso en H , y la e _n son mutuamente ortonormales:

{\ displaystyle \ langle e_ {m}, e_ {n} \ rangle = {\ begin {cases} 1 & {\ mbox {if}} \ m = n \\ 0 & {\ mbox {if}} \ m \ not = n. \ end {cases}}}

Entonces, la identidad de Parseval afirma que para cada x  ∈  H ,

$${\ displaystyle \ sum _ {n} | \ langle x, e_ {n} \ rangle | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2}.}

Esto es directamente análogo al teorema de Pitágoras, que afirma que la suma de los cuadrados de las componentes de un vector en una base ortonormal es igual a la longitud al cuadrado del vector. Uno puede recuperar la versión de la serie de Fourier de la identidad de Parseval dejando que H sea el espacio de Hilbert L ² [-π, π], y el establecimiento e _n  = e ^-i nx para n ∈ Z .

Más generalmente, la identidad de Parseval se mantiene en cualquier espacio del producto interno , no solo en los espacios de Hilbert separables. Supongamos, pues, que H es un espacio de producto interno. Sea B una base ortonormal de H ; es decir, un conjunto ortonormal que es total de en el sentido de que la envolvente lineal de B es denso en H . Entonces

$${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ langle x, x \ rangle = \ sum _ {v \ en B} \ left | \ langle x, v \ rangle \ right | ^ {2}.}

El supuesto de que B es total es necesario para la validez de la identidad. Si B no es total, entonces la igualdad en la identidad de Parseval debe reemplazarse por ≥, produciendo la desigualdad de Bessel . Esta forma general de la identidad de Parseval se puede probar utilizando el teorema de Riesz-Fischer .

fenómeno Pinsky es un resultado en el análisis de Fourier . ^[1] Este fenómeno fue descubierto por Mark Pinsky de Northwestern University . Implica la inversión esférica de la transformada de Fourier . Los fenómenos implican una falta de convergencia en un punto debido a una discontinuidad en el límite. Esta falta de convergencia en el fenómeno de Pinsky ocurre muy lejos del límite de la discontinuidad, en lugar de en la discontinuidad misma vista en el fenómeno de Gibbs . Este fenómeno no local es causado por un efecto de lente.

Ejemplo prototípico [ editar ]

Vamos a una función g ( x ) = 1 para | x | <  c en 3 dimensiones, con g ( x ) = 0 en otros lugares. El salto en | x | = C causarán un comportamiento oscilatorio de las sumas parciales esféricas, lo que impide la convergencia en el centro de la bola, así como la posibilidad de inversión de Fourier en x = 0. Dicho de otra manera, sumas parciales esféricas de una integral de Fourier de la función de indicador de una pelota es divergente en el centro de la pelotapero convergente en otro lugar a la función indicadora deseada. Este prototipo de ejemplo fue acuñado el "fenómeno Pinsky" por Jean-Pierre Kahane , CRAS, 1995.

Generalizaciones [ editar ]

Este ejemplo de prototipo puede generalizarse adecuadamente a expansiones integrales de Fourier en dimensiones más altas, tanto en el espacio euclidiano como en otros espacios simétricos de rango uno no compactos . También se relacionan las expansiones de funciones propias en una bola geodésica en un espacio simétrico de rango uno, pero se deben considerar las condiciones de contorno. Pinsky y otros también representan algunos resultados sobre el comportamiento asintótico de la aproximación de Fejer en una dimensión, inspirados en el trabajo de Bump, Persi Diaconis y J. B. Keller.

teorema de Riesz-Fischer en el análisis real es cualquiera de una serie de resultados estrechamente relacionados con las propiedades del espacio L ² de funciones integrables cuadradas . El teorema fue probado independientemente en 1907 por Frigyes Riesz y Ernst Sigismund Fischer .

Para muchos autores, el teorema de Riesz-Fischer se refiere al hecho de que los espacios L ^p de la teoría de integración de Lebesgue están completos .

Las formas modernas del teorema [ editar ]

La forma más común del teorema establece que una función medible en [- π , π ] es cuadrada integrable si y solo si la serie de Fourier correspondiente converge en el espacio L ² . Esto significa que si el N º suma parcial de la serie de Fourier correspondiente a una función cuadrada integrable f viene dada por

$${\ displaystyle S_ {N} f (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} \, \ mathrm {e} ^ {inx},}

donde F _n , el coeficiente n de Fourier , está dado por

$${\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, \ mathrm {e} ^ {- inx} \ , \ mathrm {d} x,}

entonces

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ Vert S_ {N} ff \ right \ | _ {2} = 0,}

dónde $${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}es el L ² - norma .

A la inversa, si $${\ displaystyle \ {a_ {n} \} \,}es una secuencia de dos caras de números complejos (es decir, sus índices varían desde infinito negativo a infinito positivo) de manera que

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right \ vert ^ {2} <\ infty,}

entonces existe una función f tal que f es cuadrado-integrable y los valores$${\ displaystyle a_ {n}}son los coeficientes de Fourier de f.

Esta forma del teorema de Riesz-Fischer es una forma más fuerte de la desigualdad de Bessel y se puede usar para probar la identidad de Parseval para las series de Fourier .

Otros resultados a menudo se denominan teorema de Riesz-Fischer ( Dunford & Schwartz 1958 , §IV.16). Entre ellos se encuentra el teorema de que, si A es un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H , y x  ∈  H , entonces

$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}

para todos menos muchos y  ∈  A , y

$${\ displaystyle \ sum _ {y \ en A} | \ langle x, y \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}.}

Además, si A es una base ortonormal para H y x un vector arbitrario, la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {y \ en A} \ langle x, y \ rangle \, y}

converge conmutativamente (o incondicionalmente ) a x . Esto es equivalente a decir que para cada ε  > 0, existe un conjunto finito B ₀ en A tal que

{\ displaystyle \ | x- \ sum _ {y \ en B} \ langle x, y \ rangle y \ | <\ varepsilon}

para cada conjunto finito B que contiene B ₀ . Además, las siguientes condiciones en el conjunto A son equivalentes:

• El conjunto A es una base ortonormal de H.
• para cada vector x  ∈ H ,

$${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ sum _ {y \ en A} | \ langle x, y \ rangle | ^ {2}.}

Otro resultado, que a veces también lleva el nombre de Riesz y Fischer, es el teorema de que L ² (o más generalmente L ^p , 0 <  p  ≤ ∞) está completo .

Ejemplo [ editar ]

El teorema de Riesz-Fischer también se aplica en un contexto más general. Sea R un espacio de producto interno que consta de funciones (por ejemplo, funciones medibles en la línea, funciones analíticas en el disco de la unidad; en la literatura antigua, a veces llamada Espacio Euclidiano), y$${\ displaystyle \ {\ varphi _ {n} \}}ser un sistema ortonormal en R(por ejemplo, bases de Fourier, polinomios de Hermite o Laguerre , etc. - ver polinomios ortogonales ), no necesariamente completo (en un espacio del producto interno, un conjunto ortonormal está completo si no hay un vector distinto de cero ortogonal a cada vector en el conjunto). El teorema afirma que si el espacio normado Restá completo (por lo tanto, R es un espacio de Hilbert ), entonces cualquier secuencia$${\ displaystyle \ {c_ {n} \}}que tiene finito ℓ ²norma define una función f en el espacio R .

La función f está definida por $${\ displaystyle f = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} \ varphi _ {k}}, límite en R -norm.

Combinado con la desigualdad de Bessel , también sabemos lo contrario: si f es una función en R , entonces los coeficientes de Fourier$${\ displaystyle (f, \ varphi _ {n})}tienen finita ℓ ² norma .

Historia: la Nota de Riesz y la Nota de Fischer (1907) [ editar ]

En su Nota, Riesz (1907 , p. 616) declara el siguiente resultado (traducido aquí al lenguaje moderno en un punto: la notación L ² ([ a ,  b ]) no se usó en 1907).

Sea { φ _n  } un sistema ortonormal en L ² ([ a ,  b ]) y { a _n  } una secuencia de reales. La convergencia de la serie.$${\ displaystyle \ sum a_ {n} ^ {2}}es una condición necesaria y suficiente para la existencia de una función f tal que

$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varphi _ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = a_ {n}}

por cada n .

Hoy en día, este resultado de Riesz es un caso especial de hechos básicos sobre series de vectores ortogonales en espacios de Hilbert.

La nota de Riesz apareció en marzo. En mayo, Fischer (1907 , p. 1023) declara explícitamente en un teorema (casi con palabras modernas) que una secuencia de Cauchy en L ² ([ a ,  b ]) converge en L ² -norma a alguna función f   en L ² ( [ a ,  b ]). En esta nota, las secuencias de Cauchy se denominan " secuencias que convergen en la media " y L ² ([ a ,  b ]) se denota con Ω. Además, la convergencia a un límite en L ² –norm se llama "convergencia en la media hacia una función ". Aquí está la declaración, traducida del francés:

Teorema. Si una secuencia de funciones que pertenece a Ω converge en la media, existe en Ω una función f hacia la cual la secuencia converge en la media.

Fischer continúa demostrando el resultado anterior de Riesz, como consecuencia de la ortogonalidad del sistema y de la integridad de L ² .

La prueba de integridad de Fischer es algo indirecta. Utiliza el hecho de que las integrales indefinidas de las funciones g _n en la secuencia de Cauchy dada, a saber

$${\ displaystyle G_ {n} (x) = \ int _ {a} ^ {x} g_ {n} (t) \, \ mathrm {d} t,}

convergen uniformemente en [ a ,  b ] a alguna función G , continua con variación acotada. La existencia del límite g  ∈ L ² para la secuencia de Cauchy se obtiene aplicando a los teoremas de diferenciación G de la teoría de Lebesgue. 
Riesz usa un razonamiento similar en su Nota, pero no hace una mención explícita a la integridad de L ² , aunque su resultado puede interpretarse de esta manera. Dice que al integrar término a término una serie trigonométrica con coeficientes sumables cuadrados dados, obtiene una serie que converge uniformemente a una función continua F   con variación acotada. El derivado f  de F , definido en casi todas partes, es cuadrado sumable y tiene para los coeficientes de Fourier los coeficientes dados.

Integridad de L ^p , 0 < p  ≤ ∞ [ editar ]

Para algunos autores, notablemente Royden, ^[1] el Teorema de Riesz-Fischer es el resultado de que L ^p está completa : que cada secuencia de funciones de Cauchy en L ^p converge a una función en L ^p , bajo la métrica inducida por la p -norma . La siguiente prueba se basa en los teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue ; El resultado también se puede obtener para$${\ displaystyle p \ en [1, \ infty]}al mostrar que cada secuencia de Cauchytiene una subsecuencia de Cauchy rápidamente, que cada secuencia de Cauchy con una subsecuencia convergente converge, y que cada secuencia de Cauchy rápidamente en L ^p converge en L ^p .

Cuando 1 ≤ p  ≤ ∞, la desigualdad de Minkowski implica que el espacio L ^p es un espacio normado. Con el fin de demostrar que L ^p es completa, es decir que L ^p es un espacio de Banach , es suficiente (véase por ejemplo Banach espacio # Definición ) para demostrar que cada serie Σ  u _n de funciones en L ^p ( μ ) tal que

{\ displaystyle \ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} <\ infty}

converge en la L ^p -norma a alguna función f  ∈  L ^p ( μ ). Para p  <∞, la desigualdad de Minkowski y el teorema de convergencia monótono implican que

{\ displaystyle \ int {\ Bigl (} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | u_ {n} | {\ Bigr)} ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ leq { \ Bigl (} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ | u_ {n} \ | _ {p} {\ Bigr)} ^ {p} <\ infty, \ \ {\ text {por lo tanto} } \ \ f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n}}

se define μ –casi en todas partes y f  ∈  L ^p ( μ ). El teorema de convergencia dominado se usa para probar que las sumas parciales de la serie convergen a f en la L ^p -norma,

{\ displaystyle \ int \ left | f- \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int \ left (\ suma _ {\ ell> n} | u _ {\ ell} | \ derecha) ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ rightarrow 0 {\ text {as}} n \ rightarrow \ infty.}

El caso 0 < p  <1 algunas="" font="" la="" modificaciones="" nbsp="" porque="" requiere="">p -norma ya no es subaditiva. Uno comienza con el supuesto más fuerte de que

{\ displaystyle \ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} ^ {p} <\ infty}

y usa repetidamente que

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right | ^ {p} \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {n} | u_ {k} | ^ {p} {\ text {when}} p <1 font="">

El caso p  = ∞ se reduce a una pregunta simple acerca de la convergencia uniforme fuera de un conjunto no flexible μ .