SERIES MATEMÁTICAS

La prueba de sensibilidad de amplitud de Fourier (FAST) es un método de análisis de sensibilidad global basado en la varianza . El valor de sensibilidad se define en función de las variaciones condicionales que indican los efectos individuales o conjuntos de las entradas inciertas en la salida.

FAST primero representa las variaciones condicionales a través de los coeficientes de la expansión múltiple de la función de salida de la serie de Fourier . Entonces el teorema ergódicose aplica para transformar la integral multidimensional en una integral unidimensional en la evaluación de los coeficientes de Fourier. Se requiere un conjunto de frecuencias inconmensurables para realizar la transformación y la mayoría de las frecuencias son irracionales. Para facilitar el cálculo, se selecciona un conjunto de frecuencias enteras en lugar de las frecuencias irracionales. Las frecuencias de enteros no son estrictamente inconmensurables, lo que resulta en un error entre la integral multidimensional y la integral unidimensional transformada. Sin embargo, las frecuencias enteras se pueden seleccionar para que no sean comparables a ningún orden, de modo que el error se pueda controlar cumpliendo cualquier requisito de precisión en teoría. Usando frecuencias enteras en la transformación integral, la función resultante en la integral unidimensional es periódica y la integral solo necesita evaluarse en un solo período. Siguiente,El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon se cumple, la integral unidimensional se evalúa a partir de la suma de los valores de función en los puntos de muestreo generados.

FAST es más eficiente para calcular las sensibilidades que otros métodos de análisis de sensibilidad global basados ​​en la varianza mediante la integración de Monte Carlo . Sin embargo, el cálculo por FAST generalmente se limita a las sensibilidades que se refieren al "efecto principal" o al "efecto total".

Historia [ editar ]

El método FAST se originó en el estudio de sistemas de reacción química acoplados en 1973 ^[1] [2] y el análisis detallado del error computacional se presentó más tarde en 1975. ^[3] Solo se calcularon los índices de sensibilidad de primer orden que se refieren al "efecto principal" En el método original. Un programa de computadora FORTRAN capaz de analizar sistemas de ecuaciones algebraicas o diferenciales se publicó en 1982. ^[4] En la década de 1990, la relación entre los índices de sensibilidad FAST y los de Sobol calculados a partir de la simulación de Monte-Carlo se reveló en el marco general de la descomposición similar a ANOVA ^[5]y se desarrolló un método FAST extendido capaz de calcular índices de sensibilidad que se refieren al "efecto total". ^[6]

Fundación [ editar ]

Basada en la variación de sensibilidad [ editar ]

Artículo principal: Análisis de sensibilidad basado en la varianza.

Los índices de sensibilidad de un método basado en la varianza se calculan mediante la descomposición de la función para análisis ANOVA. Supongamos que la función es$${\ displaystyle Y = f \ left (\ mathbf {X} \ right) = f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right)} dónde $${\ displaystyle 0 \ leq X_ {j} \ leq 1, j = 1, \ dots, n}. La descomposición tipo ANOVA es

$${\ displaystyle f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n} \ right) = f_ {0} + \ sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} \ izquierda (X_ {j} \ derecha) + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} \ sum _ {k = j + 1} ^ {n} f_ {jk} \ left (X_ {j}, X_ {k} \ right) + \ cdots + f_ {12 \ dots n}}

siempre que $${\ displaystyle f_ {0}} es una constante y la integral de cada término en las sumas es cero, es decir,

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} \ left (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, \ puntos, X_ {j_ {r}} \ derecha) dX_ {j_ {k}} = 0, {\ text {}} 1 \ leq k \ leq r.}

La varianza condicional que caracteriza la contribución de cada término a la varianza total de $${\ displaystyle f \ left (\ mathbf {X} \ right)} es

$${\ displaystyle V_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} ^ {2} \ left (X_ {j_ {1}}, X_ {j_ {2}}, \ dots, X_ {j_ {r}} \ right) dX_ {j_ { 1}} dX_ {j_ {2}} \ dots dX_ {j_ {r}}.

La varianza total es la suma de todas las varianzas condicionales.

$${\ displaystyle V = \ sum _ {j = 1} ^ {n} V_ {j} + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} \ sum _ {k = j + 1} ^ {n} V_ {jk} + \ cdots + V_ {12 \ dots n}.}

El índice de sensibilidad se define como la varianza condicional normalizada como

$${\ displaystyle S_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}} = {\ frac {V_ {j_ {1} j_ {2} \ dots j_ {r}}} {V}}}

especialmente la sensibilidad de primer orden

$${\ displaystyle S_ {j} = {\ frac {V_ {j}} {V}}}

Lo que indica el efecto principal de la entrada. $${\ displaystyle X_ {j}}.

Series de Fourier multiples [ editar ]

Una forma de calcular la descomposición de tipo ANOVA se basa en múltiples series de Fourier. La función$${\ displaystyle f \ left (\ mathbf {X} \ right)}en la unidad el hipercubo se puede extender a una función periódica multiplicada y la expansión de la serie de Fourier múltiple es

$${\ displaystyle f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ right) = \ sum _ {m_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ { m_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {m_ {n} = - \ infty} ^ {\ infty} C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n }} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi i \ left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + \ cdots + m_ {n} X_ {n} \ right) {\ bigr]}, {\ text {para enteros}} m_ {1}, m_ {2}, \ dots, m_ {n}}

donde el coeficiente de Fourier es

$${\ displaystyle C_ {m_ {1} m_ {2} ... m_ {n}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ left (X_ { 1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ derecha) \ exp {\ bigl [} -2 \ pi i \ left (m_ {1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + \ dots + m_ {n} X_ {n} \ right) {\ bigr]}.}

La descomposición tipo ANOVA es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} f_ {0} & = C_ {00 \ dots 0} \\ f_ {j} & = \ sum _ {m_ {j} \ neq 0} C_ {0 \ dots m_ {j } \ dots 0} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi im_ {j} X_ {j} {\ bigr]} \\ f_ {jk} & = \ sum _ {m_ {j} \ neq 0} \ sum _ {m_ {k} \ neq 0} C_ {0 \ dots m_ {j} \ dots m_ {k} \ dots 0} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi i \ left (m_ {j} X_ {j } + m_ {k} X_ {k} \ right) {\ bigr]} \\ f_ {12 \ dots n} & = \ sum _ {m_ {1} \ neq 0} \ sum _ {m_ {2} \ neq 0} \ cdots \ sum _ {m_ {n} \ neq 0} C_ {m_ {1} m_ {2} \ dots m_ {n}} \ exp {\ bigl [} 2 \ pi i \ left (m_ { 1} X_ {1} + m_ {2} X_ {2} + \ cdots + m_ {n} X_ {n} \ right) {\ bigr]}. \ End {alineado}}}

La varianza condicional de primer orden es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} V_ {j} & = \ int _ {0} ^ {1} f_ {j} ^ {2} \ left (X_ {j} \ right) dX_ {j} \\ & = \ sum _ {m_ {j} \ neq 0} \ left | C_ {0 \ dots m_ {j} \ dots 0} \ right | ^ {2} \\ & = 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \ end {alineado}}}

dónde $${\ displaystyle A_ {m_ {j}}} y $${\ displaystyle B_ {m_ {j}}} son la parte real e imaginaria de $${\ displaystyle C_ {0 \ dots m_ {j} \ dots 0}} respectivamente

$${\ displaystyle A_ {m_ {j}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ derecha) \ cos \ left (2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ derecha) dX_ {1} dX_ {2} \ dots dX_ {n}}

$${\ displaystyle B_ {m_ {j}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ left (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \ derecha) \ sin \ izquierda (2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ derecha) dX_ {1} dX_ {2} \ dots dX_ {n}}

Teorema ergódico [ editar ]

Se debe evaluar una integral multidimensional para calcular los coeficientes de Fourier. Una forma de evaluar esta integral multidimensional es transformarla en una integral unidimensional expresando cada entrada como una función de una nueva variable independiente.$${\ displaystyle s}, como sigue

$${\ displaystyle X_ {j} \ left (s \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (\ omega _ {j} s {\ text {mod}} 2 \ pi \ right) , j = 1,2, \ puntos, n}

dónde $${\ displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}} es un conjunto de frecuencias inconmensurables, es decir,

$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ gamma _ {j} \ omega _ {j} = 0}

para un conjunto entero de $${\ displaystyle \ left \ {\ gamma _ {j} \ right \}} si y solo si $${\ displaystyle \ gamma _ {j} = 0} para cada $${\ displaystyle j}. Luego, los coeficientes de Fourier se pueden calcular mediante una integral unidimensional de acuerdo con el teorema ergódico ^[7]

$${\ displaystyle A_ {m_ {j}} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f {\ bigl (} X_ { 1} \ left (s \ right), X_ {2} \ left (s \ right), \ dots, X_ {n} \ left (s \ right) {\ bigr)} \ cos {\ bigl (} 2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ left (s \ right) {\ bigr)} ds}

$${\ displaystyle B_ {m_ {j}} = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f {\ bigl (} X_ { 1} \ left (s \ right), X_ {2} \ left (s \ right), \ dots, X_ {n} \ left (s \ right) {\ bigr)} \ sin {\ bigl (} 2 \ pi m_ {j} X_ {j} \ left (s \ right) {\ bigr)} ds}

Implementación [ editar ]

Frecuencias enteras [ editar ]

A lo sumo una de las frecuencias inconmensurables. $${\ displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}}Puede ser racional con todos los demás siendo irracionales. Dado que el valor numérico de un número irracional no puede almacenarse exactamente en una computadora, se requiere una aproximación de las frecuencias inconmensurables por todos los números racionales en la implementación. Sin pérdida de generalidad, las frecuencias se pueden establecer como números enteros en lugar de números racionales. Un conjunto de enteros.$${\ displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}} es aproximadamente inconmensurable al orden de $${\ displaystyle M} Si

$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ gamma _ {j} \ omega _ {j} \ neq 0}

para

$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left | \ gamma _ {j} \ right | \ leq M + 1}

dónde $${\ displaystyle M}es un entero La condición exagerada exacta es un caso extremo cuando$${\ displaystyle M \ to \ infty}.

Al usar las frecuencias de enteros, la función en la integral unidimensional transformada es periódica, por lo que solo la integración durante un período de $${\ displaystyle 2 \ pi}es requerido. Los coeficientes de Fourier se pueden calcular aproximadamente como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A_ {m_ {j}} & \ approx {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f {\ bigl (} X_ {1} \ left (s \ right), X_ {2} \ left (s \ right), \ dots, X_ {n} \ left (s \ right) {\ bigr)} \ cos \ left (m_ { j} \ omega _ {j} s \ right) ds: = {\ hat {A}} _ {m_ {j}} \\ B_ {m_ {j}} & \ approx {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f {\ bigl (} X_ {1} \ left (s \ right), X_ {2} \ left (s \ right), \ dots, X_ {n} \ left (s \ right) {\ bigr)} \ sin \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s \ right) ds: = {\ hat {B}} _ {m_ {j} } \ end {alineado}}}

La aproximación de las frecuencias inconmensurables para un finito. $${\ displaystyle M} resulta en un error de discrepancia entre los verdaderos coeficientes de Fourier $${\ displaystyle A_ {m_ {j}}}, $${\ displaystyle B_ {m_ {j}}} y sus estimaciones $${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {m_ {j}}}, $${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {m_ {j}}}. Cuanto mayor sea el orden$${\ displaystyle M}es más pequeño el error, pero se requieren más esfuerzos computacionales para calcular las estimaciones en el siguiente procedimiento. En la práctica$${\ displaystyle M}con frecuencia se establece en 4 y está disponible una tabla de conjuntos de frecuencias resultantes que tienen hasta 50 frecuencias. (McRae et al., 1982)

Curva de búsqueda [ editar ]

La transformada, $${\ displaystyle X_ {j} \ left (s \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (\ omega _ {j} s {\ text {mod}} 2 \ pi \ right) }, define una curva de búsqueda en el espacio de entrada. Si las frecuencias,$${\ displaystyle \ omega _ {j}, j = 1, \ dots, n}, son inconmensurables, la curva de búsqueda puede pasar a través de cada punto en el espacio de entrada como $${\ displaystyle s} varía de 0 a $${\ displaystyle \ infty}por lo tanto, la integral multidimensional sobre el espacio de entrada se puede transformar con precisión en una integral unidimensional a lo largo de la curva de búsqueda. Sin embargo, si las frecuencias son aproximadamente enteros inconmensurables, la curva de búsqueda no puede pasar a través de cada punto en el espacio de entrada. Si la búsqueda se repite, ya que la función de transformación es periódica, con un período de$${\ displaystyle 2 \ pi}. La integral unidimensional se puede evaluar en un solo período en lugar del intervalo infinito para frecuencias inconmensurables; Sin embargo, surge un error de cálculo debido a la aproximación de la falta de medida.

• Curva de búsqueda
• 

  La curva de búsqueda en el caso de ω ₁ = π y ω ₂ = 7. Dado que las frecuencias son inconmensurables, la curva de búsqueda no se repite y puede pasar por todos los puntos del cuadrado.
• 

  La curva de búsqueda en el caso de ω ₁ = 3 y ω ₂ = 7. Dado que las frecuencias son enteros, que son aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda se repite y no puede pasar a través de todos los puntos del cuadrado.
• 

  La curva de búsqueda en el caso de ω ₁ = 11 y ω ₂ = 7. Dado que las frecuencias son enteros, que son aproximadamente inconmensurables, la curva de búsqueda se repite y no puede pasar a través de todos los puntos del cuadrado.

Muestreo [ editar ]

El Fourier aproximado puede ser expresado como

{\ displaystyle {\ hat {A}} _ {m_ {j}} = {\ begin {cases} 0 & m_ {j} {\ text {odd}} \\ {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s) {\ bigr)} \ cos \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s \ right) ds & m_ {j} {\ text {even}} \ end {cases}}}

y

{\ displaystyle {\ hat {B}} _ {m_ {j}} = {\ begin {cases} {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s) {\ bigr)} \ sin \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s \ right) ds & m_ {j} {\ text {odd} } \\ 0 & m_ {j} {\ text {even}} \ end {cases}}}

Las integrales distintas de cero se pueden calcular a partir de puntos de muestreo.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ hat {A}} _ {m_ {j}} & = {\ frac {1} {2q + 1}} \ sum _ {k = -q} ^ {q} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s_ {k}) {\ bigr)} \ cos \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s_ {k} \ right), m_ {j} { \ text {even}} \\ {\ hat {B}} _ {m_ {j}} & = {\ frac {1} {2q + 1}} \ sum _ {k = -q} ^ {q} f {\ bigl (} \ mathbf {X} (s_ {k}) {\ bigr)} \ sin \ left (m_ {j} \ omega _ {j} s_ {k} \ right), m_ {j} {\ texto {impar}} \ fin {alineado}}}

donde el punto de muestreo uniforme en $${\ displaystyle \ left [- \ pi / 2, \ pi / 2 \ right]} es

$${\ displaystyle s_ {k} = {\ frac {\ pi k} {2q + 1}}, k = -q, \ dots, -1,0,1, \ dots, q.}

El número total de puntos de muestreo es $${\ displaystyle 2q + 1} que debe satisfacer el criterio de muestreo de Nyquist, es decir,

$${\ displaystyle 2q + 1 \ geq N \ omega _ {max} +1}

dónde $${\ displaystyle \ omega _ {max}} es la mayor frecuencia en $${\ displaystyle \ left \ {\ omega _ {k} \ right \}} y $${\ displaystyle N} Es el orden máximo de los coeficientes de Fourier calculados.

Suma parcial [ editar ]

Después de calcular los coeficientes de Fourier estimados, la varianza condicional de primer orden puede aproximarse por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} V_ {j} & = 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ left (A_ {m_ {j}} ^ {2} + B_ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \\ & \ approx 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + {\ hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \\ & \ approx 2 \ sum _ {m_ {j} = 1} ^ {2} \ left ( {\ hat {A}} _ {m_ {j}} ^ {2} + {\ hat {B}} _ {m_ {j}} ^ {2} \ right) \\ & = 2 \ left ({\ hat {A}} _ {m_ {j} = 2} ^ {2} + {\ hat {B}} _ {m_ {j} = 1} ^ {2} \ right) \ end {alineado}}}

donde solo se calcula la suma parcial de los dos primeros términos y $${\ displaystyle N = 2}Para determinar el número de puntos de muestreo. El uso de la suma parcial generalmente puede devolver una buena aproximación adecuada de la suma total, ya que los términos correspondientes a la frecuencia fundamental y las frecuencias de orden bajo generalmente contribuyen más a la suma total. Además, el coeficiente de Fourier en la suma es solo una estimación del valor verdadero y agregar más términos de orden superior no ayudará a mejorar significativamente la precisión computacional. Dado que las frecuencias de enteros no son exactamente inconmensurables, hay dos enteros$${\ displaystyle m_ {j}} y $${\ displaystyle m_ {k}} tal que $${\ displaystyle m_ {j} \ omega _ {j} = m_ {k} \ omega _ {k}.} La interferencia entre las dos frecuencias puede ocurrir si se incluyen términos de orden superior en la suma.

Del mismo modo la varianza total de $${\ displaystyle f \ left (\ mathbf {X} \ right)} se puede calcular como

$${\ displaystyle V \ approx {\ hat {A}} _ {0} \ left [f ^ {2} \ right] - {\ hat {A}} _ {0} \ left [f \ right] ^ {2 }}

dónde $${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {0} \ left [f ^ {2} \ right]} denota el coeficiente de Fourier estimado de la función de $${\ displaystyle f ^ {2}} dentro del soporte y $${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {0} \ left [f \ right] ^ {2}} Es el coeficiente de Fourier cuadrado de la función. $${\ displaystyle f}. Finalmente, la sensibilidad que se refiere al efecto principal de una entrada se puede calcular dividiendo la varianza condicional por la varianza total.