SERIES MATEMÁTICAS

 prueba de convergencia de Cauchy es un método utilizado para probar serie infinita de convergencia . Se basa en la suma de los términos de la serie. Este criterio de convergencia lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy, quien lo publicó en su libro de texto Cours d'Analyse 1821.

Declaración [ editar ]

Una serie

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}} es convergente si y solo si para cada {\ displaystyle \ varepsilon> 0}Hay un número natural N tal que

{\ displaystyle | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + \ cdots + a_ {n + p} | <\ varepsilon}

se mantiene para todos n > N y p ≥ 1 . ^[2]

Explicación [ editar ]

(a) La trama de una secuencia de Cauchy. $${\ displaystyle (x_ {n}),} mostrado en azul, como $${\ displaystyle x_ {n}} versus $${\ displaystyle n}Si el espacio que contiene la secuencia está completo, existe el "destino final" de esta secuencia (es decir, el límite).

(b) Una secuencia que no es Cauchy. Los elementos de la secuencia no pueden acercarse arbitrariamente entre sí a medida que avanza la secuencia.

La prueba funciona porque el espacio R de los números reales y el espacio C de los números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto) están ambos completos . Entonces la serie es convergente si y solo si la suma parcial

$${\ displaystyle s_ {n}: = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i}}

Es una secuencia de Cauchy .

Una secuencia de números reales o complejos.$${\ displaystyle s_ {n}} es una secuencia de Cauchy si y solo si $${\ displaystyle s_ {n}}converge (hasta cierto punto a en R o C ). ^[3] La definición formal establece que para cada{\ displaystyle \ varepsilon> 0}hay un número N , tal que para todos n , m > N se mantiene

{\ displaystyle | s_ {m} -s_ {n} | <\ varepsilon.}

Asumiremos m > n y, por lo tanto, estableceremos p = m  -  n .

{\ displaystyle | s_ {n + p} -s_ {n} | = | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + \ cdots + a_ {n + p} | <\ varepsilon.}

Mostrar que una secuencia es una secuencia de Cauchy es útil, ya que no necesitamos conocer el límite de la secuencia en cuestión. La prueba de convergencia de Cauchy solo se puede utilizar en espacios métricos completos (como R y C ), que son espacios donde convergen todas las secuencias de Cauchy. Solo necesitamos mostrar que sus elementos se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí después de una progresión finita en la secuencia. Existen aplicaciones informáticas de la secuencia de Cauchy, en las que se puede configurar un proceso iterativo para crear tales secuencias.

Prueba [ editar ]

Podemos usar los resultados sobre la convergencia de la secuencia de sumas parciales de las series infinitas y aplicarlas a la convergencia de las mismas series infinitas. La prueba de criterio de Cauchy es una de esas aplicaciones. Para cualquier secuencia real.$${\ displaystyle a_ {k}}, los resultados anteriores sobre convergencia implican que las series infinitas

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k}}

converge si y solo si por cada{\ displaystyle \ varepsilon> 0}hay un numero n , tal que

m ≥ n ≥ N implica

{\ displaystyle | s_ {m} -s_ {n} | = \ left | \ sum _ {k = n + 1} ^ {m} a_ {k} \ right | <\ varepsilon}^[4]

Probablemente la parte más interesante de [este teorema] es que la condición de Cauchy implica la existencia del límite: esto está relacionado con la integridad de la línea real. El criterio de Cauchy se puede generalizar a una variedad de situaciones, que se pueden resumir a la ligera como "una condición de oscilación que desaparece es equivalente a la convergencia". ^[5]

Este artículo incorpora material del criterio de Cauchy para la convergencia en PlanetMath , que está licenciado bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike .

pruebas de Dini y Dini-Lipschitz son pruebas altamente precisas que pueden usarse para probar que la serie de Fourier de una función converge en un punto determinado. Estas pruebas llevan el nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz .

Definición [ editar ]

Sea f una función en [0,2 π ], t sea ​​algún punto y δ sea ​​un número positivo. Definimos el módulo de continuidad local en el punto t por

$${\ displaystyle \ left. \ right. \ omega _ {f} (\ delta; t) = \ max _ {| \ varepsilon | \ leq \ delta} | f (t) -f (t + \ varepsilon) |}

Tenga en cuenta que aquí consideramos que f es una función periódica, por ejemplo, si t = 0 y ε es negativo, definimos f ( ε ) = f (2π + ε ) .

El módulo de continuidad global (o simplemente el módulo de continuidad ) se define por

$${\ displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = \ max _ {t} \ omega _ {f} (\ delta; t)}

Con estas definiciones podemos indicar los principales resultados:

Teorema (prueba de Dini): Supongamos que una función f satisface en un punto t que

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1} {\ delta}} \ omega _ {f} (\ delta; t) \, \ mathrm {d} \ delta <\ infty. }

Entonces la serie de Fourier de f converge de t a f ( t ) .

Por ejemplo, el teorema se mantiene con ω _f = log ⁻² ( 1/δ ) pero no se mantiene con log ⁻¹ ( 1/δ ) .

Teorema (la prueba de Dini-Lipschitz): Supongamos que una función f satisface

$${\ displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = o \ left (\ log {\ frac {1} {\ delta}} \ right) ^ {- 1}.}

Entonces la serie de Fourier de f converge uniformemente a f .

En particular, cualquier función de una clase de Hölder ^{[ aclaración necesaria ]} satisface la prueba de Dini-Lipschitz.

Precisión [ editar ]

Ambas pruebas son las mejores de su tipo. Para la prueba Dini-Lipschitz, es posible construir una función f con su módulo de continuidad que satisfaga la prueba con O en lugar de o , es decir

$${\ displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = O \ left (\ log {\ frac {1} {\ delta}} \ right) ^ {- 1}.}

y la serie de Fourier de f diverges. Para la prueba de Dini, la declaración de precisión es ligeramente más larga: dice que para cualquier función Ω tal que

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {1} {\ delta}} \ Omega (\ delta) \, \ mathrm {d} \ delta = \ infty}

existe una función f tal que

{\ displaystyle \ omega _ {f} (\ delta; 0) <\ Omega (\ delta)}

y la serie de Fourier de f diverge en 0.

prueba de comparación , a veces llamada prueba de comparación directa para distinguirla de pruebas relacionadas similares (especialmente la prueba de comparación límite ), proporciona una forma de deducir la convergencia o divergencia de una serie infinita o una integral inadecuada . En ambos casos, la prueba funciona comparando la serie dada o la integral con una cuyas propiedades de convergencia son conocidas.

Para series [ editar ]

En el cálculo , la prueba de comparación para series generalmente consiste en un par de declaraciones sobre series infinitas con términos no negativos (valor real ): ^[1]

• Si la serie infinita $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} converge y $${\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} \ leq b_ {n}}para todos suficientemente grande n (es decir, para todos{\ displaystyle n> N}para algún valor fijo N ), entonces la serie infinita$${\ displaystyle \ sum a_ {n}} También converge.
• Si la serie infinita $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} diverges y $${\ displaystyle 0 \ leq b_ {n} \ leq a_ {n}}para todos los suficientemente grandes n , entonces la serie infinita$${\ displaystyle \ sum a_ {n}} también diverge.

Tenga en cuenta que a veces se dice que las series que tienen términos más grandes dominan (o eventualmente dominan ) las series con términos más pequeños. ^[2]

Alternativamente, la prueba puede establecerse en términos de convergencia absoluta , en cuyo caso también se aplica a series con términos complejos : ^[3]

• Si la serie infinita $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} es absolutamente convergente y $${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}para todos los suficientemente grandes n , entonces la serie infinita$${\ displaystyle \ sum a_ {n}} También es absolutamente convergente.
• Si la serie infinita $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} no es absolutamente convergente y $${\ displaystyle | b_ {n} | \ leq | a_ {n} |}para todos los suficientemente grandes n , entonces la serie infinita$${\ displaystyle \ sum a_ {n}} Tampoco es absolutamente convergente.

Tenga en cuenta que en esta última afirmación, la serie. $${\ displaystyle \ sum a_ {n}}Todavía podría ser condicionalmente convergente; para series de valor real, esto podría suceder si la a _n no son todas negativas.

El segundo par de sentencias es equivalente al primero en el caso de series de valores reales porque $${\ displaystyle \ sum c_ {n}}converge absolutamente si y solo si $${\ displaystyle \ sum | c_ {n} |}, una serie con términos no negativos, converge.

Prueba [ editar ]

Las pruebas de todas las afirmaciones dadas anteriormente son similares. Aquí está una prueba de la tercera declaración.

Dejar $${\ displaystyle \ sum a_ {n}} y $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} ser infinitas series tales que $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} converge absolutamente (por lo tanto $${\ displaystyle \ sum | b_ {n} |}converge), y sin pérdida de generalidad suponemos que$${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}para todos los enteros positivos n . Considera las sumas parciales

$${\ displaystyle S_ {n} = | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ ldots + | a_ {n} |, \ T_ {n} = | b_ {1} | + | b_ {2} | + \ ldots + | b_ {n} |.}

Ya que $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} converge absolutamente, $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} T_ {n} = T}para algun numero real t . Para todo n ,

$${\ displaystyle 0 \ leq S_ {n} = | a_ {1} | + | a_ {2} | + \ ldots + | a_ {n} | \ leq | a_ {1} | + \ ldots + | a_ {n } | + | b_ {n + 1} | + \ ldots = S_ {n} + (T-T_ {n}) \ leq T.}

$${\ displaystyle S_ {n}} Es una secuencia no decreciente y $${\ displaystyle S_ {n} + (T-T_ {n})}no es intensificante Dado{\ displaystyle m, n> N} entonces ambos $${\ displaystyle S_ {n}, S_ {m}} pertenecen al intervalo $${\ displaystyle [S_ {N}, S_ {N} + (T-T_ {N})]}cuya longitud $${\ displaystyle T-T_ {N}} disminuye a cero como $${\ displaystyle N}va al infinito. Esto muestra que$${\ displaystyle (S_ {n}) _ {n = 1,2, \ ldots}}Es una secuencia de Cauchy , por lo que debe converger a un límite. Por lo tanto,$${\ displaystyle \ sum a_ {n}} Es absolutamente convergente.

Para integrales [ editar ]

La prueba de comparación para integrales se puede establecer como sigue, asumiendo funciones continuas de valores reales f y g en$${\ displaystyle [a, b)}con b tampoco$${\ displaystyle + \ infty}o un número real en el que f y g tienen cada uno una asíntota vertical: ^[4]

• Si la integral impropia $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx} converge y $${\ displaystyle 0 \ leq f (x) \ leq g (x)} para {\ displaystyle a \ leq x , entonces la integral impropia $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx} tambien converge con $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}
• Si la integral impropia $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx} diverges y $${\ displaystyle 0 \ leq g (x) \ leq f (x)} para {\ displaystyle a \ leq x , entonces la integral impropia $${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx} también diverge.

Prueba de comparación de proporciones [ editar ]

Otra prueba para la convergencia de series de valores reales, similar tanto a la prueba de comparación directa anterior como a la prueba de relación , se llama prueba de comparación de relación : ^[5]

• Si la serie infinita $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} converge y {\ displaystyle a_ {n}> 0}, {\ displaystyle b_ {n}> 0}y $${\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ leq {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}}}para todos los suficientemente grandes n , entonces la serie infinita$${\ displaystyle \ sum a_ {n}} También converge.
• Si la serie infinita $${\ displaystyle \ sum b_ {n}} diverges y {\ displaystyle a_ {n}> 0}, {\ displaystyle b_ {n}> 0}y $${\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ geq {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n}}}}para todos los suficientemente grandes n , entonces la serie infinita$${\ displaystyle \ sum a_ {n}} también diverge.