SERIES MATEMÁTICAS

serie de Grandi , en honor al matemático, filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi , quien dio un tratamiento memorable a la serie en 1703. Es una serie divergente , lo que significa que carece de una suma en el sentido habitual. Por otro lado, su suma de Cesàro es de 1/2.

Métodos poco rigurosos [ editar ]

Un método obvio para atacar la serie.

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Es tratarlo como una serie telescópica y realizar las restas en su lugar:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

Por otro lado, un procedimiento de paréntesis similar conduce al resultado aparentemente contradictorio

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Por lo tanto, al aplicar paréntesis a las series de Grandi de diferentes maneras, se puede obtener 0 o 1 como un "valor". (Las variaciones de esta idea, llamada estafa de Eilenberg-Mazur , a veces se usan en la teoría de nudosy el álgebra ).

Tratar las series de Grandi como series geométricas divergentes y usar los mismos métodos algebraicos que evalúan series geométricas convergentes para obtener un tercer valor:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..., entonces

1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S

1 - S = S

1 = 2 S ,

resultando en S = 1/2 . La misma conclusión resulta de calcular - S , restando el resultado de S y resolviendo 2 S = 1. ^[1]

Las manipulaciones anteriores no consideran lo que realmente significa la suma de una serie y cómo dichos métodos algebraicos pueden aplicarse a series geométricas divergentes . Aún así, en la medida en que es importante poder agrupar series a voluntad, y que es más importante poder realizar aritmética con ellos, se pueden llegar a dos conclusiones:

• La serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... no tiene suma. ^[1] [2]
• ... pero su suma debe ser 1/2 . ^[2]

De hecho, estas dos afirmaciones pueden ser precisas y formalmente comprobadas, pero solo utilizando conceptos matemáticos bien definidos que surgieron en el siglo XIX. Después de la introducción del cálculo en Europa a fines del siglo XVII , pero antes de la llegada del rigor moderno , la tensión entre estas respuestas alimentó lo que se ha caracterizado como una disputa "sin fin" y "violenta" entre los matemáticos . ^[3] [4]

La fórmula para la suma hasta el infinito de una serie geométrica es a/1 - r , aunque la derivación para la suma solo es válida cuando{\ displaystyle | r | <1 font=""> (porque si {\ displaystyle | r | <1 font="">luego, los términos de la serie se reducirán a cero a medida que naumente y la serie convergerá). En el caso de G = 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ con a  = 1 y r  = −1, la fórmula anterior equivaldría a

$${\ displaystyle {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {1} {1 - (- 1)}} = {\ frac {1} {2}}}

pero como la serie no converge, es engañoso hablar de su "suma".

Ideas tempranas [ editar ]

Artículo principal: Historia de las series de Grandi.

Divergencia [ editar ]

En las matemáticas modernas, la suma de una serie infinita se define como el límite de la secuencia de sus sumas parciales , si existe. La secuencia de sumas parciales de las series de Grandi es 1, 0, 1, 0, ..., que claramente no se aproxima a ningún número (aunque tiene dos puntos de acumulación en 0 y 1). Por lo tanto, la serie de Grandi es divergente .

Se puede demostrar que no es válido realizar muchas operaciones aparentemente inocuas en una serie, como reordenar términos individuales, a menos que la serie sea absolutamente convergente . De lo contrario, estas operaciones pueden alterar el resultado de la suma. ^[5] Además, los términos de la serie de Grandi se pueden reorganizar para tener sus puntos de acumulación en cualquier intervalo de dos o más números enteros consecutivos, no solo 0 o 1. Por ejemplo, la serie

$${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1 + 1 + 1-1-1 + 1 + 1-1-1 + 1 + 1- \ cdots}

(en el que, después de cinco términos +1 iniciales, los términos se alternan en pares de términos +1 y −1) es una permutación de la serie de Grandi en la que cada valor de la serie reorganizada corresponde a un valor que está a más de cuatro posiciones de distancia en la serie original; Sus puntos de acumulación son 3, 4 y 5.

Historia de las series de Grandi.

Geometría y ceros infinitos [ editar ]

Grandi [ editar ]

Guido Grandi (1671–1742) proporcionó un relato simplista de la serie en 1703. Notó que insertar paréntesis en 1 - 1 + 1 - 1 + · · · produjo resultados variables:

$${\ displaystyle (1-1) + (1-1) + \ cdots = 0}

o

$${\ displaystyle 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \ cdots = 1.}

La explicación de Grandi de este fenómeno se hizo bien conocida por sus connotaciones religiosas:

Al poner paréntesis en la expresión 1 - 1 + 1 - 1 + · · · de diferentes maneras, puedo, si quiero, obtener 0 o 1. Pero entonces la idea de la creación ex nihilo es perfectamente plausible. ^[1]

De hecho, la serie no era un tema ocioso para Grandi, y no creía que se resumiera en 0 o 1. Más bien, como muchos matemáticos a seguir, pensaba que el verdadero valor de la serie era ¹ ⁄ ₂ para una variedad de razones.

(1, ¹ ⁄ ₂ ) sobre la bruja de Agnesi

El tratamiento matemático de Grandi de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · se produce en su libro de 1703 Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita . Al interpretar ampliamente el trabajo de Grandi, derivó 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ _{2 a} través del razonamiento geométrico relacionado con su investigación de la bruja de Agnesi . Los matemáticos del siglo XVIII tradujeron inmediatamente y resumieron su argumento en términos analíticos: para un círculo generador con diámetro a , la ecuación de la bruja y = a ³ / ( a ² + x ² ) tiene la expansión de la serie

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {a ^ {2n-1}}} = a - {\ frac {x ^ {2}} {a}} + {\ frac {x ^ {4}} {a ^ {3}}} - {\ frac {x ^ {6}} {a ^ {5}}} + \ cdots}

y configurando a = x = 1, uno tiene 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ . ^[2]

• Según Morris Kline , Grandi comenzó con la expansión binomial.

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x}} = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + \ cdots}

y sustituyó x = 1 para obtener 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ . Grandi "también argumentó que, dado que la suma era a la vez 0 y ¹ / ₂ , se había demostrado que el mundo podría ser creado de la nada." ^[3]

Grandi ofreció una nueva explicación de que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ en 1710, tanto en la segunda edición de la Cuadratura circula ^[4] como en un nuevo trabajo, De Infinitis infinitorum, et infinite parvorum ordinibus disquisitio geometrica . ^[5] Dos hermanos heredan una gema invaluable de su padre, cuya voluntad les prohíbe venderla, por lo que están de acuerdo en que residirán en los museos del otro en años alternos. Si este acuerdo dura toda la eternidad entre los descendientes del hermano, entonces las dos familias tendrán cada una la mitad de la posesión de la gema, aunque cambie de manos infinitamente a menudo. Este argumento fue más tarde criticado por Leibniz. ^[6]

La parábola de la gema es la primera de las dos adiciones a la discusión del corolario que Grandi agregó a la segunda edición. El segundo repite el vínculo entre la serie y la creación del universo por Dios:

¿Cuáles son los requisitos: agregato de infinitis diferente infinitum ipsi DV æqualium, sive continuè, sive alternè sumptarum, est demum summa ex infinitis nullitatibus, seu 0, quomodo ergo quantitatem notabilem aggreget? En el informe, en Infiniti vim agnoscendam, en el nullam degenerare, en nullam degenerare, en: end per infinitam Dei Creatoris potentiam omnia ex nihlo facta, omniaque en este restaurante. absurdum esse, quantitatem aliquam, ut ita dicam, creari per infinitam vel multiplationem, vel addem ipsius nihili, aut quodvis quantum infinita divisione, aut subductione en nihilum redigit. ^[7]

Marchetti [ editar ]

Después de que Grandi publicara la segunda edición de la Quadratura , su compatriota Alessandro Marchetti seconvirtió en uno de sus primeros críticos. Un historiador afirma que Marchetti estaba motivado más por los celos que por cualquier otra razón. ^[8] Marchetti consideró que la afirmación de que un número infinito de ceros podía sumarse a una cantidad finita era absurda, e infirió del tratamiento de Grandi el peligro planteado por el razonamiento teológico. Los dos matemáticos comenzaron a atacarse entre sí en una serie de cartas abiertas; su debate terminó solo con la muerte de Marchetti en 1714.

Leibniz [ editar ]

Con la ayuda y el aliento de Antonio Magliabechi , Grandi envió una copia de la Quadratura 1703 a Leibniz, junto con una carta en la que expresaba elogios y admiración por el trabajo del maestro. Leibniz recibió y leyó esta primera edición en 1705, y la llamó un "intento" poco original y menos avanzado en su cálculo. ^[9] El tratamiento de Grandi de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no atrajo la atención de Leibniz hasta 1711, casi al final de su vida, cuando Christian Wolff le envió una carta en representación de Marchetti describiendo el problema y pidiendo la opinión de Leibniz . ^[10]

Fondo [ editar ]

Ya en 1674, en una escritura menor, menos conocida, De Triangulo Harmonico sobre el triángulo armónico , Leibniz mencionó 1 - 1 + 1 - 1 + · · · muy brevemente en un ejemplo:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + 1}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {1 + 1}}. \; \ mathrm {Ergo} \; { \ frac {1} {1 + 1}} = 1-1 + 1-1 + 1-1 \; \ mathrm {etc.}}^[11]

Presumiblemente llegó a esta serie por sustitución repetida:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + 1}} = 1- (1 - {\ frac {1} {1 + 1}})}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + 1}} = 1- (1- (1- (1 - {\ frac {1} {1 + 1}})))}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + 1}} = 1- (1- (1- (1- (1- (1 - {\ frac {1} {1 + 1}}))))) }

Y así.

La serie 1 - 1 + 1 - 1 + · · · también aparece indirectamente en una discusión con Tschirnhaus en 1676. ^[12]

Leibniz ya había considerado la serie alterna divergente 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - · · · ya en 1673. En ese caso argumentó que al restar ya sea a la izquierda o a la derecha, uno podría producir positivo o negativo. Infinito, y por lo tanto ambas respuestas son incorrectas y el todo debe ser finito. Dos años después de eso, Leibniz formuló la primera prueba de convergencia en la historia de las matemáticas, la prueba de series alternas , en la que aplicó implícitamente la definición moderna de convergencia. ^[13]

Soluciones [ editar ]

Inicio de la carta publicada de Leibniz-Wolff.

En la década de 1710, Leibniz describió las series de Grandi en su correspondencia con otros matemáticos. ^[14] La carta con el impacto más duradero fue su primera respuesta a Wolff, que publicó en el Acta Eruditorum . En esta carta, Leibniz atacó el problema desde varios ángulos.

En general, Leibniz creía que los algoritmos de cálculo eran una forma de "razonamiento ciego" que, en última instancia, debía basarse en interpretaciones geométricas. Por lo tanto, estuvo de acuerdo con Grandi en que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ , alegando que la relación estaba bien fundada porque existía una demostración geométrica. ^[15]

Por otro lado, Leibniz criticó duramente el ejemplo de Grandi de la gema compartida, afirmando que la serie 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no tiene relación con la historia. Señaló que para cualquier número finito, par de años, los hermanos tienen la misma posesión, pero la suma de los términos correspondientes de la serie es cero. ^[6]

Leibniz pensó que el argumento de 1 / (1 + x ) era válido; lo tomó como un ejemplo de su ley de continuidad . Dado que la relación 1 - x + x ² - x ³ + · · · = 1 / (1 + x ) se mantiene para todos los x menos que 1, también se debe mantener para x igual a 1. Aún así, Leibniz pensó que uno debería poder encontrar la suma de la serie 1 - 1 + 1 - 1 + · · · directamente, sin necesidad de referirse a la expresión 1 / (1 + x )de donde vino Este enfoque puede parecer obvio para los estándares modernos, pero es un paso significativo desde el punto de vista de la historia de sumar series divergentes. ^[16] En el siglo XVIII, el estudio de series estuvo dominado por series de potencias, y se consideró que la suma de una serie numérica expresándola como f (1) de algunas series de potencias de función es la estrategia más natural. ^[17]

Leibniz comienza observando que al tomar un número par de términos de la serie, el último término es −1 y la suma es 0:

1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 0.

Tomando un número impar de términos, el último término es +1 y la suma es 1:

1 = 1 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1.

Ahora, la serie infinita 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no tiene ni un número par ni un número impar de términos, por lo que no produce ni 0 ni 1; al llevar la serie al infinito, se convierte en algo entre esas dos opciones. No hay más razones por las que la serie deba tomar un valor que la otra, por lo que la teoría de la "probabilidad" y la "ley de la justicia" dictan que uno debe tomar la media aritmética de 0 y 1, que es (0 + 1) / 2 = 1/2. ^[18]

Eli Maor dice de esta solución: "Un razonamiento tan descarado y descuidado nos parece realmente increíble hoy en día ..." ^[19] Kline presenta a Leibniz como más consciente de sí mismo: "Leibniz admitió que su argumento era más metafísico que matemático, pero dijo que Es más la verdad metafísica en matemáticas de lo que generalmente se reconoce ". ^[20]

Charles Moore dice que Leibniz difícilmente habría tenido tanta confianza en su estrategia metafísica si no hubiera dado el mismo resultado (es decir, ¹ ⁄ ₂ ) que otros enfoques. ^[21] Matemáticamente, esto no fue un accidente: el tratamiento de Leibniz se justificaría parcialmente cuando la compatibilidad de las técnicas de promediación y las series de potencias se probara finalmente en 1880. ^[22]

Reacciones [ editar ]

Cuando había planteado por primera vez la cuestión de la serie de Grandi a Leibniz, Wolff se inclinaba hacia el escepticismo junto con Marchetti. Al leer la respuesta de Leibniz a mediados de 1712, ^[23] Wolff estaba tan complacido con la solución que trató de extender el método de la media aritmética a series más divergentes, como 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - · · · . La intuición de Leibniz le impidió forzar su solución hasta el momento, y le contestó que la idea de Wolff era interesante pero no válida por varias razones. Por un lado, los términos de una serie sumable deberían disminuir a cero; incluso 1 - 1 + 1 - 1 + · · · podría expresarse como un límite de dichas series. ^[24]

Leibniz describió la serie de Grandi junto con el problema general de convergencia y divergencia en las cartas a Nicolaus I Bernoulli en 1712 y principios de 1713. J. Dutka sugiere que esta correspondencia, junto con el interés de Nicolaus I Bernoulli en la probabilidad, lo motivó a formular el San Petersburgo La paradoja , otra situación que involucra una serie divergente, en septiembre de 1713. ^[25]

Según Pierre-Simon Laplace en su Essai Philosophique sur les Probabilités , la serie de Grandi se relacionó con Leibniz al ver "una imagen de la Creación en su aritmética binaria", y así Leibniz escribió una carta al misionero jesuita Claudio Filippo Grimaldi , matemático de la corte en China. , con la esperanza de que el interés de Claudio Filippo Grimaldi en la ciencia y el "emblema matemático de la creación" se combinen para convertir a la nación al cristianismo . Laplace comenta: "Grabo esta anécdota solo para mostrar hasta qué punto los prejuicios de la infancia pueden engañar a los grandes hombres". ^[26]

Divergencia [ editar ]

Jacob Bernoulli [ editar ]

Comienzo de la parte 3 de Positiones , como se reimprimió en 1744.

Jacob Bernoulli (1654–1705) trató una serie similar en 1696 en la tercera parte de sus Positiones arithmeticae de seriebus infinitis . ^[27] Aplicando el método de Nicholas Mercator para la división polinomial larga a la relación k / ( m + n ) , notó que uno siempre tenía un resto. ^[28] Si m > n,entonces este resto disminuye y "finalmente es menor que cualquier cantidad dada", y uno tiene

$${\ displaystyle {\ frac {k} {m + n}} = {\ frac {k} {m}} - {\ frac {kn} {m ^ {2}}} + {\ frac {kn ^ {2 }} {m ^ {3}}} - {\ frac {kn ^ {3}} {m ^ {4}}} + \ cdots.}

Si m = n , entonces esta ecuación se convierte en

$${\ displaystyle {\ frac {k} {2m}} = {\ frac {k} {m}} - {\ frac {k} {m}} + {\ frac {k} {m}} - {\ frac {k} {m}} + \ cdots.}

Bernoulli llamó a esta ecuación una "paradoja no poco elegante". ^[27] [29]

Varignon [ editar ]

Pierre Varignon (1654–1722) trató las series de Grandi en su informe Précautions à prendre dans l'usage des Suites ou Series infinies résultantes… . El primero de sus propósitos para este artículo fue señalar la divergencia de la serie de Grandi y ampliar el tratamiento de Jacob Bernoulli en 1696.

(Matemáticas de Varignon ...)

La versión final del artículo de Varignon está fechada el 16 de febrero de 1715, y apareció en un volumen de Mémories de la Academia Francesa de Ciencias que no se publicó hasta 1718. Para un tratamiento relativamente tardío de la serie de Grandi, es sorprendente que El informe de Varignon ni siquiera menciona el trabajo anterior de Leibniz. ^[30] Pero la mayoría de las Precauciones fueron escritas en octubre de 1712, mientras que Varignon estaba lejos de París . El libro de Abbé Poignard de 1704 sobre cuadrados mágicos , Traité des Quarrés sublimes, se había convertido en un tema popular en la Academia, y la segunda edición revisada y ampliada tenía un peso de 336 páginas. Para hacer el tiempo para leer el Traité , Varignon tuvo que escapar al campo durante casi dos meses, donde escribió sobre el tema de la serie de Grandi en un aislamiento relativo. Al regresar a París y registrarse en la Academia, Varignon pronto descubrió que el gran Leibniz había fallado a favor de Grandi. Habiendo sido separado de sus fuentes, Varignon todavía tenía que revisar su artículo mirando hacia arriba e incluyendo la cita a Jacob Bernoulli. En lugar de tener en cuenta también el trabajo de Leibniz, Varignon explica en una posdata a su informe que la cita fue la única revisión que había hecho en París, y que sisurgieron otras investigaciones sobre el tema, sus pensamientos al respecto tendrían que esperar un informe futuro. ^[31]

(Cartas entre Varignon y Leibniz…)

En la Encyclopédie de 1751 , Jean le Rond d'Alembert se hace eco de la opinión de que el razonamiento de Grandi basado en la división había sido refutado por Varignon en 1715. (En realidad, d'Alembert atribuye el problema a " Guido Ubaldus ", un error que todavía se propaga ocasionalmente hoy.) ^[32]

Riccati y Bougainville [ editar ]

En una carta de 1715 a Jacopo Riccati , Leibniz mencionó la cuestión de la serie de Grandi y anunció su propia solución en el Acta Eruditorum . ^[33] Más tarde, Riccati criticaría el argumento de Grandi en su Saggio intorno al sistema delluniverso de 1754 , diciendo que causa contradicciones. Argumenta que uno podría escribir n - n + n - n + · · · = n / (1 + 1), pero que esta serie tiene "la misma cantidad de ceros" que la serie de Grandi. Estos ceros carecen de cualquier carácter evanescente de n , ya que Riccati señala que la igualdad 1 - 1 = n- nestá garantizado por 1 + n = n + 1. Concluye que el error fundamental es usar una serie divergente para comenzar con:

De hecho, no sucede que si detenemos esta serie, los siguientes términos se pueden ignorar en comparación con los términos anteriores; esta propiedad se verifica solo para series convergentes ". ^[34]

Otra publicación de 1754 también criticó la serie de Grandi debido a su colapso a 0. Louis Antoine de Bougainville trata brevemente la serie en su aclamado libro de texto de 1754 Traité du calcul intégral . Explica que una serie es "verdadera" si su suma es igual a la expresión desde la cual se expande; De lo contrario es "falso". Así, la serie de Grandi es falsa porque 1 / (1 + 1) = 1/2 y aún (1 - 1) + (1 - 1) + · · · = 0 . ^[35]

Euler [ editar ]

Más información: Euler en series infinitas.

Leonhard Euler trata 1 - 1 + 1 - 1 + · · · junto con otras series divergentes en su De seriebus divergentibus , un artículo de 1746 que se leyó en la Academia en 1754 y se publicó en 1760. Identifica la serie como considerada primero por Leibniz, y revisa el argumento de Leibniz de 1713 basado en la serie 1 - a + a ² - a ³ + a ⁴ - a ⁵ + · · ·, llamándolo "razonamiento bastante sólido", y también menciona el argumento de la mediana par / impar . Euler escribe que la objeción habitual al uso de 1 / (1 + a ) es que no es igual1 - a + a ² - a ³ + a ⁴ - a ⁵ + · · · a menos que a sea ​​menor que 1; de lo contrario, todo lo que uno puede decir es que

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + a}} = 1-a + a ^ {2} -a ^ {3} + \ cdots \ pm a ^ {n} \ mp {\ frac {a ^ { n + 1}} {1 + a}},}

donde el último término restante no se desvanece y no se puede ignorar ya que n es llevado al infinito. Aún escribiendo en tercera persona, Euler menciona una posible refutación a la objeción: esencialmente, dado que una serie infinita no tiene un último término, no hay lugar para el resto y debe ser descuidada. ^[36] Después de revisar series más divergentes como 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , donde juzga a sus oponentes por tener un apoyo más firme, Euler busca definir el problema:

Sin embargo, por muy sustancial que parezca ser esta disputa en particular, ninguna de las partes puede ser condenada por ningún error por la otra parte, siempre que el uso de tales series ocurra en el análisis, y este debe ser un fuerte argumento de que ninguna de las partes está en error, sino que Todo desacuerdo es únicamente verbal. Porque si en un cálculo llego a esta serie 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1, etc. y si en su lugar sustituyo 1/2, nadie me imputará un error, lo cual, sin embargo, todos harían. Puse algún otro número en el lugar de esta serie. De donde no cabe duda que de hecho la serie 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + etc.y la fracción 1/2 son cantidades equivalentes y que siempre está permitido sustituir una por la otra sin error. De este modo toda la cuestión es visto reducir a esto, si llamamos a la fracción 1/2 de la suma correcta de 1 - 1 + 1 - 1 + etc ; y se debe temer firmemente que aquellos que insisten en negar esto y que al mismo tiempo no se atreven a negar la equivalencia hayan tropezado en una batalla por las palabras.

Pero creo que todas estas disputas se pueden terminar fácilmente si debemos prestar atención a lo que sigue ... ^[37]

Euler también usó diferencias finitas para atacar 1 - 1 + 1 - 1 + · · · . En la terminología moderna, tomó la transformada de Euler de la secuencia y encontró que era igual a ¹ ⁄ ₂ . ^[38] En 1864, De Morgan afirma que "esta transformación siempre ha aparecido como una de las presunciones más fuertes a favor de 1 - 1 + 1 - ... siendo ¹⁄ ₂ ". ^[39]

Dilución y nuevos valores [ editar ]

A pesar del tono confiado de sus papeles, Euler expresó dudas sobre series divergentes en su correspondencia con Nicolaus I Bernoulli. Euler afirmó que su intento de definición nunca le había fallado, pero Bernoulli señaló una clara debilidad: no especifica cómo se debe determinar "la" expresión finita que genera una serie infinita dada. No solo es una dificultad práctica, sino que sería teóricamente fatal si se generara una serie al expandir dos expresiones con valores diferentes. El tratamiento de Euler de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · se basa en su firme creencia de que ¹ ⁄ ₂ es el único valor posible de la serie; ¿Y si hubiera otro?

En una carta de 1745 a Christian Goldbach , Euler afirmó que no estaba al tanto de ningún contraejemplo, y en cualquier caso Bernoulli no lo había proporcionado. Varias décadas más tarde, cuando Jean-Charles Calletfinalmente afirmó un contraejemplo, estaba dirigido a 1 - 1 + 1 - 1 + · · · . El trasfondo de la nueva idea comienza con Daniel Bernoulli en 1771. ^[40]

Daniel Bernoulli [ editar ]

• Bernoulli, Daniel (1771). "De summationibus serierum quarunduam incongrue veris earumque interprete atque usu". Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 16 : 71–90.

Daniel Bernoulli, quien aceptó el argumento probabilístico de que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ , notó que al insertar 0s en la serie en los lugares correctos, podría alcanzar cualquier valor entre 0 y 1. En particular , el argumento sugiere que

1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · = ² ⁄ ₃ . ^[41]

Callet y Lagrange [ editar ]

En un memorándum enviado a Joseph Louis Lagrange hacia finales de siglo, Callet señaló que 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·también podría obtenerse de la serie

$${\ displaystyle {\ frac {1 + x} {1 + x + x ^ {2}}} = 1-x ^ {2} + x ^ {3} -x ^ {5} + x ^ {6} - x ^ {8} + \ cdots;}

sustituyendo x = 1 ahora sugiere un valor de ² ⁄ ₃ , no ¹ ⁄ ₂ . Lagrange aprobó la presentación de Callet para su publicación en los Mémoires de la Academia Francesa de Ciencias , pero nunca se publicó directamente. En cambio, Lagrange (junto con Charles Bossut ) resumió el trabajo de Callet y lo respondió en los Mémoires de 1799. Defendió a Euler sugiriendo que la serie de Callet en realidad debería escribirse con los 0 términos restantes:

$${\ displaystyle 1 + 0-x ^ {2} + x ^ {3} + 0-x ^ {5} + x ^ {6} + 0-x ^ {8} + \ cdots,}

lo que reduce a

1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · ·

en lugar. ^[42]

Siglo XIX [ editar ]

El siglo XIX es recordado como el período aproximado de la exitosa prohibición de Cauchy y Abel del uso de series divergentes, pero la serie de Grandi continuó apareciendo ocasionalmente. Algunos matemáticos no siguieron el ejemplo de Abel, en su mayoría fuera de Francia, y los matemáticos británicos tomaron "mucho tiempo" especialmente para comprender el análisis proveniente del continente. ^[43]

En 1803, Robert Woodhouse propuso que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · sumado a algo llamado

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + 1}},}

que podría distinguirse de ¹ ⁄ ₂ . Ivor Grattan-Guinness comenta sobre esta propuesta, "... R. Woodhouse ... escribió con admirable honestidad sobre los problemas que no entendió ... Por supuesto, no hay daño en la definición de nuevos símbolos como ¹ ⁄ _{1 + 1} ; La idea es "formalista" en el sentido poco halagüeño, y no tiene nada que ver con el problema de la convergencia de series ". ^[44]

Razonamiento algebraico [ editar ]

En 1830, un matemático identificado solo como "MRS" escribió en Annales de Gergonne sobre una técnica para encontrar numéricamente puntos fijos de funciones de una variable. Si uno puede transformar un problema en la forma de una ecuación x = A + f (x) , donde A puede elegirse a voluntad, entonces

$${\ displaystyle x = A + f (A + f (A + f (\ cdots)))}

debería ser una solución, y truncar esta expresión infinita da como resultado una secuencia de aproximaciones. Por el contrario, dada la serie x = a - a + a - a + · · · , el autor recupera la ecuación

$${\ displaystyle x = ax,}

para lo cual la solución es ( ¹ ⁄ ₂ ) a .

MRS señala que las aproximaciones en este caso son a , 0, a , 0, ..., pero no hay necesidad del "razonamiento sutil" de Leibniz. Además, el argumento para promediar las aproximaciones es problemático en un contexto más amplio. Para las ecuaciones no de la forma x = A + f (x) , las soluciones de MRS se fracciones continuas , radicales continuas , y otras expresiones infinitas. En particular, la expresión a / ( a / ( a / · · ·))) debe ser una solución de la ecuación x = a / x . Aquí, MRS escribe que, basándose en el razonamiento de Leibniz, uno está tentado a concluir quex es el promedio de los truncamientos a , 1, a , 1,…. Este promedio es (1 + a ) / 2 , pero la solución a la ecuación es la raíz cuadrada de a . ^[45]

Bernard Bolzano criticó la solución algebraica de la serie de MRS. En referencia al paso.

$${\ displaystyle x = a-a + a-a + \ cdots = a- (a-a + a- \ cdots),}

Bolzano cargado,

La serie entre paréntesis claramente no tiene el mismo conjunto de números que originalmente se indicó con x , ya que falta el primer término a .

Este comentario ejemplifica los puntos de vista intuitivamente atractivos pero profundamente problemáticos de Bolzano sobre el infinito. En su defensa, el propio Cantor señaló que Bolzano trabajó en una época en la que el concepto de cardinalidad de un conjunto estaba ausente. ^[46]

De Morgan y compañía [ editar ]

En 1844, Augustus De Morgan comentó que si una sola instancia en la que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no fuera igual a ¹ ⁄ _{2 se} pudiera dar, estaría dispuesto a rechazar toda la teoría de las series trigonométricas. ^[47]

No discuto con aquellos que rechazan todo lo que no está dentro de la providencia de la aritmética, sino solo con aquellos que abandonan el uso de series infinitamente divergentes y, sin embargo, parecen emplear series finamente divergentes con confianza. Tal parece ser la práctica, tanto en casa como en el extranjero. Parecen perfectamente reconciliados con 1 - 1 + 1 - 1 + · · · , pero no pueden admitir 1 + 2 + 4 + · · · = −1 . ^[48]

Todo el tejido de series e integrales periódicas ... caería instantáneamente si se demostrara que es posible que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · pueda ser una cantidad como una forma limitante de A ₀ - A ₁ + A ₂ - · · · Y otra como una forma limitante de A ₀ - A ₁ + A ₂ - · · ·. ^[49]

El mismo volumen contiene artículos de Samuel Earnshaw y JR Young que tratan en parte con 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·. GH Hardy rechaza a estos dos como "poco más que tonterías", en contraste con la "notable mezcla de agudeza y confusión" de De Morgan; ^[48] en cualquier caso, Earnshaw llamó la atención de De Morgan con los siguientes comentarios:

... no es muy raro lanzar un manto de misterio sobre este tema, introduciendo ceros en la expansión de ¹ ⁄ _{1 + 1 + 1} . Pero tal dispositivo, por mucho que pueda servir para satisfacer el ojo, no puede satisfacer la cabeza ... ^[50]

De Morgan volvió a disparar en 1864 en el mismo diario:

No puedo aprobar la introducción de cifras para satisfacer el ojo, pero para mí siempre se presentaron. ... aquellos que rechazan evanescentes ocasionales fuera de una rutina de operación no tienen derecho a cobrar a aquellos que no rechazan con la introducción. ^[51]

Frobenius y las matemáticas modernas [ editar ]

Artículo principal: Resumen de las series de Grandi.

El último artículo académico motivado por 1 - 1 + 1 - 1 + · · · podría identificarse como el primer artículo en la historia moderna de series divergentes. ^[52] Georg Frobenius publicó un artículo titulado "Ueber die Leibnitzsche Reihe" ( En la serie de Leibniz ) en 1880. Había encontrado la vieja carta de Leibniz a Wolff, citándola junto con un artículo de 1836 de Joseph Ludwig Raabe , quien a su vez dibujaba ideas. Por Leibniz y Daniel Bernoulli. ^[53]

El papel corto de Frobenius, apenas dos páginas, comienza con una cita del tratamiento de Leibniz de 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·. Él infiere que Leibniz en realidad estaba declarando una generalización del Teorema de Abel . El resultado, ahora conocido como el teorema de Frobenius , ^[54] tiene una declaración simple en términos modernos: cualquier serie que sea Cesàro sumable también es Abel sumable a la misma suma. El historiador Giovanni Ferraro enfatiza que Frobenius en realidad no estableció el teorema en tales términos, y Leibniz no lo dijo en absoluto. Leibniz defendía la asociación de las series divergentes 1 - 1 + 1 - 1 + · · · con el valor ¹ ⁄ ₂, mientras que el teorema de Frobenius se expresa en términos de secuencias convergentes y la formulación épsilon-delta del límite de una función . ^[55]

Otto Hölder y Thomas Joannes Stieltjes siguieron el teorema de Frobenius en 1882. Una vez más, para un lector moderno su trabajo sugiere nuevas definiciones de la suma de una serie divergente, pero esos autores aún no dieron ese paso. Ernesto Cesàro propuso una definición sistemática por primera vez en 1890. ^[56] Desde entonces, los matemáticos han explorado muchos métodos de sumabilidad diferentes para series divergentes. La mayoría de estos, especialmente los más simples con paralelos históricos, suman las series de Grandi a ¹ ⁄ ₂ . Otros, motivados por el trabajo de Daniel Bernoulli, suman la serie a otro valor, y algunos no la suman en absoluto.