SERIES MATEMÁTICAS

Ocurrencias de la serie de Grandi.

Parábolas [ editar ]

Más información: Grandi , analogía de series matemáticas.

Guido Grandi ilustró la serie con una parábola de dos hermanos que comparten una gema.

La lámpara de Thomson es una supertask en la que una lámpara hipotética se enciende y apaga infinitamente muchas veces en un lapso de tiempo finito. Uno puede pensar en encender la lámpara como sumando 1 a su estado, y apagarla como restando 1. En lugar de preguntar la suma de la serie, uno pregunta el estado final de la lámpara. ^[1]

Una de las parábolas clásicas más conocidas a las que se han aplicado series infinitas, Aquiles y la tortuga , también puede adaptarse al caso de la serie de Grandi. ^[2]

Series numéricas [ editar ]

El producto Cauchy de la serie de Grandi consigo mismo es 1 - 2 + 3 - 4 + · · · . ^[3]

Varias series resultantes de la introducción de ceros en las series de Grandi tienen propiedades interesantes; para éstos ver Summation of Grandi's series # Dilution .

Las series de Grandi son solo un ejemplo de una serie geométrica divergente .

La serie reorganizada 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 - 1 + · · · se produce en el tratamiento de Euler en 1775 del teorema del número pentagonal como el valor de la función de Euler en q  = 1.

Series de potencia [ editar ]

La serie de potencia más famosa asociada con la serie de Grandi es su función de generación ordinaria ,

$${\ displaystyle f (x) = 1-x + x ^ {2} -x ^ {3} + \ cdots = {\ frac {1} {1 + x}}.}

Series de Fourier [ editar ]

Seno hiperbólico [ editar ]

En su Théorie Analytique de la Chaleur de 1822 , Joseph Fourier obtiene lo que actualmente se llama una serie de senos de Fourier para una versión escalada de la función del seno hiperbólico .

$${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ pi} {2 \ sinh \ pi}} \ sinh x.}

Él encuentra que el coeficiente general de pecado nx en la serie es

$${\ displaystyle (-1) ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {n ^ {3}}} + {\ frac {1} {n ^ {5}}} - \ cdots \ right) = (- 1) ^ {n-1} {\ frac {n} {1 + n ^ {2}}}.}

Para n  > 1 la serie anterior converge, mientras que el coeficiente de sen  x aparece como 1 - 1 + 1 - 1 + · · · y por lo tanto se espera que sea ¹ ⁄ ₂ . De hecho, esto es correcto, como se puede demostrar calculando directamente el coeficiente de Fourier a partir de una integral:

$${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} f (x) \ sin x \; dx = \ left. {\ frac {1} {2 \ sinh \ pi}} (\ cosh x \ sin x- \ sinh x \ cos x) \ right | _ {0} ^ {\ pi} = {\ frac {1} {2}}.}^[4]

Dirac peine [ editar ]

La serie de Grandi aparece más directamente en otra serie importante,

$${\ displaystyle \ cos x + \ cos 2x + \ cos 3x + \ cdots = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cos (kx).}

En x = π , la serie se reduce a −1 + 1 - 1 + 1 - · · · y, por lo tanto, se puede esperar que sea igual a ¹ ⁄ ₂ . De hecho, Euler sostuvo que esta serie obedecía a la relación formal Σ cos kx = - ¹ ⁄ ₂ , mientras que d'Alembert rechazaba la relación, y Lagrange se preguntaba si podría ser defendida por una extensión de la serie geométrica similar al razonamiento de Euler con los de Grandi. series numericas. ^[5]

La afirmación de Euler sugiere que

$${\ displaystyle 1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cos (kx) = 0?}

para todos los x . Esta serie es divergente en todas partes, mientras que su suma de Cesàro es ciertamente 0 para casi todas las x . Sin embargo, la serie diverge al infinito en x = 2 π n de manera significativa: es la serie de Fourier de un peine de Dirac . Las sumas ordinarias, Cesàro y Abel de esta serie involucran límites de los núcleos Dirichlet , Fejér y Poisson , respectivamente. ^[6]

Serie de Dirichlet [ editar ]

Artículo principal: Dirichlet eta function

Multiplicando los términos de la serie de Grandi por 1 / n ^z se obtiene la serie de Dirichlet

$${\ displaystyle \ eta (z) = 1 - {\ frac {1} {2 ^ {z}}} + {\ frac {1} {3 ^ {z}}} - {\ frac {1} {4 ^ {z}}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {z}}},}

que converge solo para números complejos z con una parte real positiva. La serie de Grandi se recupera dejando que z  = 0.

A diferencia de las series geométricas, la serie de Dirichlet para η no es útil para determinar qué 1 - 1 + 1 - 1 + · · · "debería" ser. Incluso en el semiplano derecho, η ( z ) no está dada por ninguna expresión elemental, y no hay evidencia inmediata de su límite cuando z se acerca a 0. ^[7] Por otro lado, si uno usa métodos más sólidos de sumabilidad, luego, la serie de Dirichlet para η define una función en todo el plano complejo, la función de Dirichlet eta , y además, esta función es analítica . Para z con parte real> −1 basta con usar la suma de Cesàro, y entonces η (0) =  ¹⁄ ₂ después de todo.

La función η está relacionada con una serie y función de Dirichlet más famosa:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ eta (z) & = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {z}}} + {\ frac {1} {3 ^ {z}}} + {\ frac {1} {4 ^ {z}}} + \ cdots - {\ frac {2} {2 ^ {z}}} \ left (1 + {\ frac {1} {2 ^ {z}}} + \ cdots \ right) \\ [5pt] & = \ left (1 - {\ frac {2} {2 ^ {z}}} \ right) \ zeta (z), \ end {alineado}}}

donde ζ es la función zeta de Riemann . Teniendo en cuenta las series de Grandi, esta relación explica por qué ζ (0) = - ¹ ⁄ ₂ ; véase también 1 + 1 + 1 + 1 + · · · . La relación también implica un resultado mucho más importante. Como η ( z ) y (1 - 2 ^1− z ) son analíticos en todo el plano y el último cero de la última función es un cero simpleen z  = 1, se deduce que ζ ( z ) es meromórfico con solo un polo simple en z  = 1. ^[8]

Características de Euler [ editar ]

Dado un complejo de CW S que contiene un vértice, un borde, una cara y, en general, exactamente una celda de cada dimensión, la fórmula de Euler V - E + F - · · · para la característica de Euler de S devuelve 1 - 1 + 1 - · · · . Existen algunas motivaciones para definir una característica de Euler generalizada para un espacio de este tipo que resulta ser 1/2.

Un enfoque proviene de la geometría combinatoria . El intervalo abierto (0, 1) tiene una característica de Euler de −1, por lo que su conjunto de potencias 2 ^{(0, 1)} debe tener una característica de Euler de 2 ⁻¹ = 1/2. El conjunto de potencias apropiado para tomar es el "pequeño conjunto de potencias" de los subconjuntos finitos del intervalo, que consiste en la unión de un punto (el conjunto vacío), un intervalo abierto (el conjunto de singletons), un triángulo abierto, y así en. Así que la característica de Euler del pequeño conjunto de potencia es 1 - 1 + 1 - · · · . James Propp define una medida de Euler regularizada para conjuntos poliédricos que, en este ejemplo, reemplaza 1 - 1 + 1 - · · · con 1 - t+ t ² - · · · , suma la serie para | t | <1 a="" anal="" contin="" font="" hasta="" nbsp="" ticamente="" y="">t = 1, esencialmente encontrando la suma de Abel de 1 - 1 + 1 - · · · , que es 1/2. En general, encuentra χ (2 ^A ) = 2 ^{χ ( A )} para cualquier conjunto poliédrico A , y la base del exponente se generaliza también a otros conjuntos. ^[9]

El espacio proyectivo real infinito-dimensional RP ^∞ es otra estructura con una celda de cada dimensión y, por lo tanto, una característica de Euler de 1 - 1 + 1 - · · · . Este espacio puede describirse como el cociente de la esfera de dimensión infinita identificando cada par de puntos antípodas . Como la esfera de dimensión infinita es contraíble , su característica de Euler es 1, y su cociente de 2 a 1 debe tener una característica de Euler de 1/2. ^[10]

Esta descripción de RP ^∞ también hace que el espacio clasificador de Z ₂ , el grupo cíclico de orden 2 . Tom Leinster da una definición de la característica de Euler de cualquier categoría que evita el espacio de clasificación y se reduce a 1 / | G | para cualquier grupo cuando se ve como una categoría de un solo objeto. En este sentido, la característica de Euler de Z ₂ es en sí misma ¹ ⁄ ₂ . ^[11]

En física [ editar ]

Las series de Grandi y sus generalizaciones ocurren con frecuencia en muchas ramas de la física; más típicamente en las discusiones de los campos de fermión cuantificados (por ejemplo, el modelo de bolsa quiral ), que tienen valores propios positivos y negativos ; aunque también se producen series similares para los bosones, como en el efecto Casimir .

La serie general se discute con mayor detalle en el artículo sobre asimetría espectral , mientras que los métodos utilizados para resumir se discuten en los artículos sobre regularización y, en particular, el regulador de la función zeta .

Resumen de la serie de Grandi

Consideraciones generales [ editar ]

Estabilidad y linealidad [ editar ]

Las manipulaciones formales que conducen a que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · se le asigne un valor de ¹ ⁄ ₂ incluyen:

• Sumando o restando dos series término por término,
• Multiplicando a través de un término escalar por término,
• "Cambiando" la serie sin cambios en la suma, y
• Aumentar la suma agregando un nuevo término a la cabeza de la serie.

Todas estas son manipulaciones legales para sumas de series convergentes, pero 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no es una serie convergente.

No obstante, hay muchos métodos de resumen que respetan estas manipulaciones y que asignan una "suma" a la serie de Grandi. Dos de los métodos más simples son la suma de Cesàro y la suma de Abel . ^[1]

Cesàro sum [ editar ]

El primer método riguroso para sumar series divergentes fue publicado por Ernesto Cesàro en 1890. La idea básica es similar al enfoque probabilístico de Leibniz: esencialmente, la suma de Cesàro de una serie es el promedio de todas sus sumas parciales. Formalmente, se calcula, para cada n , el promedio σ _n de las primeras n sumas parciales, y toma el límite de estos medios Cesàro cuando n va al infinito.

Para las series de Grandi, la secuencia de medias aritméticas es

1, ¹ ⁄ ₂ , ² ⁄ ₃ , ² ⁄ ₄ , ³ ⁄ ₅ , ³ ⁄ ₆ , ⁴ ⁄ ₇ , ⁴ ⁄ ₈ ,…

o, más sugerentemente,

( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₂ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₆ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₀ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₄ ), ¹ ⁄ ₂ , ...

dónde

$${\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ frac {1} {2}}}por incluso n y$${\ displaystyle \ sigma _ {n} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2n}}}para impar n .

Esta secuencia de medios aritméticos converge a ¹ ⁄ ₂ , por lo que la suma de Cesàro de Σ a _k es ¹ ⁄ ₂ . De manera equivalente, se dice que el límite de Cesàro de la secuencia 1, 0, 1, 0, ... es ¹ ⁄ ₂ . ^[2]

La suma de Cesàro de 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · es ² ⁄ ₃ . Por lo tanto, la suma de Cesàro de una serie puede modificarse insertando infinitos 0 y infinitos paréntesis. ^[3]

La serie también puede sumarse mediante los métodos fraccionales más generales (C, a). ^[4]

Abel sum [ editar ]

La suma de Abel es similar a la definición de Euler de sumas de series divergentes, pero evita las objeciones de Callet y N. Bernoulli mediante la construcción precisa de la función a utilizar. De hecho, Euler probablemente quiso limitar su definición a las series de poder, ^[5] y en la práctica la usó casi exclusivamente ^[6] en una forma ahora conocida como el método de Abel.

Dada una serie a ₀ + a ₁ + a ₂ + · · ·, se forma una nueva serie a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + · · ·. Si la última serie converge para 0 < x <1 a="" con="" font="" funci="" l="" mite="" n="" nbsp="" que="" un="" una="" ya="">x tiende a 1, entonces este límite se denomina la suma de Abel de la serie original, según el teorema de Abel que garantiza que el procedimiento es consistente con la suma ordinaria. Para la serie de Grandi uno tiene

$${\ displaystyle A \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} = \ lim _ {x \ rightarrow 1} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- x) ^ {n} = \ lim _ {x \ rightarrow 1} {\ frac {1} {1 + x}} = {\ frac {1} {2}}.} ^[7]

Series relacionadas [ editar ]

El cálculo correspondiente de que la suma de Abel de 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · es ² ⁄ ₃ implica la función (1 +  x ) / (1 +  x  +  x ² ).

Siempre que una serie es Cesàro sumable, también es abel sumable y tiene la misma suma. Por otro lado, si se toma el producto Cauchy de la serie Grandi's, se obtiene una serie que es Abel sumable pero no Cesàro sumable:

1 - 2 + 3 - 4 + · · ·

tiene Abel suma ¹ ⁄ ₄ . ^[8]

Dilución [ editar ]

Espaciado alterno [ editar ]

Que la suma de Abel ordinaria de 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · es ² ⁄ ₃ también se puede expresar como la suma (A, λ) de la serie original 1 - 1 + 1 - 1 + · · · Donde (λ _n ) = (0, 2, 3, 5, 6,…). Del mismo modo, la suma (A, λ) de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · donde (λ _n ) = (0, 1, 3, 4, 6, ...) es ¹ ⁄ ₃ . ^[9]

Ley de potencias espaciamiento [ editar ]

Espacios exponenciales [ editar ]

La suma de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · puede frustrarse al separar sus términos con grupos de ceros exponencialmente más largos y más largos. El ejemplo más simple de describir es la serie donde (−1) ⁿ aparece en el rango 2 ⁿ :

0 + 1 - 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 - 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + · · ·.

Esta serie no es Cesaro sumable. Después de cada término distinto de cero, las sumas parciales pasan suficiente tiempo en 0 o 1 para que la suma parcial promedio llegue a ese punto desde su valor anterior. En el intervalo 2 ^2 m −1 ≤ n ≤ 2 ^2 m - 1 después de un término (- 1), las medias aritméticas n varían en el rango

$${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ left ({\ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {2m} +2}} \ right) \; \ mathrm {to} \; {\ frac {1} {3}} (1-2 ^ {- 2m}),}

o alrededor de ² ⁄ ₃ a ¹ ⁄ ₃ . ^[10]

De hecho, la serie espaciada exponencialmente tampoco es Abel sumable. Su suma de Abel es el límite cuando x se acerca a 1 de la función.

F ( x ) = 0 + x - x ² + 0 + x ⁴ + 0 + 0 + 0 - x ⁸ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + x + ¹⁶ + 0 + · · ·.

Esta función satisface una ecuación funcional:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} F (x) & = & \ displaystyle xx ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {8} + \ cdots \\ [1em] & = & \ displaystyle x- \ left [(x ^ {2}) - (x ^ {2}) ^ {2} + (x ^ {2}) ^ {4} - \ cdots \ right] \\ [1em] & = & \ displaystyle xF (x ^ {2}). \ end {array}}}

Esta ecuación funcional implica que F ( x ) oscila aproximadamente ¹ ⁄ _{2 a} medida que x se acerca a 1. Para probar que la amplitud de la oscilación no es cero, ayuda a separar F en una parte exactamente periódica y aperiódica:

$${\ displaystyle F (x) = \ Psi (x) + \ Phi (x)}

dónde

$${\ displaystyle \ Phi (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n! (1 + 2 ^ {n})}} \ izquierda (\ log {\ frac {1} {x}} \ derecha) ^ {n}}

satisface la misma ecuación funcional como F . Esto ahora implica que Ψ ( x ) = −Ψ ( x ² ) = Ψ ( x ⁴ ) , por lo que Ψ es una función periódica de loglog (1 / x ). Como F y Φ son funciones diferentes, su diferencia Ψ no es una función constante; oscila con una amplitud finita fija a medida que x se aproxima a 1. ^[11] Como la parte has tiene un límite de ¹ ⁄ ₂ , F también oscila.

Separación de escalas [ editar ]

Dada cualquier función φ (x) tal que φ (0) = 1, el límite de φ en + ∞ es 0, y la derivada de φ es integrable sobre (0, + ∞), entonces la suma generalizada de series de la serie de Grandi existe y es igual a ¹ ⁄ ₂ :

$${\ displaystyle S _ {\ varphi} = \ lim _ {\ delta \ downarrow 0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} \ varphi (\ delta k) = {\ frac {1} {2}}.}

La suma de Cesaro o Abel se recupera al permitir que φ sea una función triangular o exponencial, respectivamente. Si además se supone que φ es continuamente diferenciable, entonces se puede probar la afirmación aplicando el teorema del valor medio y convirtiendo la suma en una integral. Brevemente:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} S _ {\ varphi} & = & \ displaystyle \ lim _ {\ delta \ downarrow 0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ left [\ varphi (2k \ delta) - \ varphi (2k \ delta + \ delta) \ right] \\ [1em] & = & \ displaystyle \ lim _ {\ delta \ downarrow 0} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ varphi '(2k \ delta + c_ {k}) (- \ delta) \\ [1em] & = & \ displaystyle - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ varphi '(x) \, dx = - {\ frac {1} {2}} \ varphi (x) | _ {0} ^ {\ infty} = {\ frac {1} {2}}. \ end {array}}}^[12]

Euler transformar y continuación analítica [ editar ]

Esta sección está vacía. Puedes ayudar añadiéndolo . ( Julio de 2010 )

Borel sum [ editar ]

La suma de Borel de la serie de Grandi es de nuevo ¹ ⁄ ₂ , ya que

$${\ displaystyle 1-x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4 !}} - \ cdots = e ^ {- x}}

y

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} e ^ {- x} \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- 2x} \, dx = {\ frac {1} {2}}.}^[13]

La serie también puede sumarse mediante métodos generalizados (B, r). ^[14]

Asimetría espectral [ editar ]

Las entradas en la serie de Grandi se pueden emparejar con los valores propios de un operador de dimensión infinita en el espacio de Hilbert . Dando a la serie esta interpretación da lugar a la idea de asimetría espectral , que ocurre ampliamente en la física. El valor al que se suma la serie depende del comportamiento asintótico de los valores propios del operador. Así, por ejemplo, vamos a$${\ displaystyle \ {\ omega _ {n} \}}Ser una secuencia de valores propios tanto positivos como negativos. La serie de Grandi corresponde a la suma formal.

$${\ displaystyle \ sum _ {n} \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) \;}

dónde $${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) = \ pm 1}Es el signo del valor propio. A la serie se le pueden dar valores concretos considerando varios límites. Por ejemplo, el regulador de calor del núcleo conduce a la suma

$${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ sum _ {n} \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) e ^ {- t | \ omega _ {n} |}}

que, para muchos casos interesantes, es finito para t cero , y converge a un valor finito en el límite.

Prueba a través de 1 / x series [ editar ]

Las series

$${\ displaystyle 1 / x = 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} - (x-1) ^ {3} + (x-1) ^ {4} -...}

es una serie geométrica en$${\ displaystyle (x-1)}convergente para {\ displaystyle | x-1 | <1 font="">. Formalmente sustituyendo$${\ displaystyle x = 2} da:

$${\ displaystyle 1/2 = 1-1 + 1-1 + 1 -...}

Pero como se puede observar fácilmente, $${\ displaystyle | x-1 |} no es estrictamente inferior a $${\ displaystyle 1} cuando $${\ displaystyle x = 2}, así que en realidad no podemos llegar a esta conclusión

Métodos que fallan [ editar ]

El método de función integral con p _n = exp (- cn ² ) yc > 0. ^[15]

El método de momento constante con

$${\ displaystyle d \ chi = e ^ {- k (\ log x) ^ {2}} x ^ {- 1} dx}

y k > 0.