SERIES MATEMÁTICAS

 teorema de F. y M. Riesz es el resultado de los hermanos Frigyes Riesz y Marcel Riesz , sobre medidas analíticas . Indica que para una medida μ en el círculo , cualquier parte de μ que no sea absolutamente continua con respecto a la medida d θ de Lebesgue puede detectarse mediante los coeficientesde Fourier . Más precisamente, establece que si los coeficientes de Fourier-Stieltjes de$${\ displaystyle \ mu} satisfacer

$${\ displaystyle {\ hat {\ mu}} _ {n} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ rm {e}} ^ {- in \ theta} {\ frac {d \ mu ( \ theta)} {2 \ pi}} = 0, \}

para todos {\ displaystyle n <0 font="">, entonces μ es absolutamente continuo con respecto a d θ.

Las declaraciones originales son bastante diferentes (ver Zygmund, Trigonometric Series , VII.8). La formulación aquí es como en Walter Rudin , Real and Complex Analysis , p. 335. La prueba dada utiliza el núcleo de Poissony la existencia de valores de límite para el espacio Hardy H ¹ .

James E. Weatherbee realizó las ampliaciones de este teorema en su disertación de 1968: Algunas extensiones del teorema de F. y M. Riesz sobre medidas absolutamente continuas.

kernel de Fejér es un kernel de suma que se utiliza para expresar el efecto de la suma de Cesàro en la serie de Fourier . Es un núcleo no negativo, dando lugar a una identidad aproximada . Lleva el nombre del matemático húngaro Lipót Fejér (1880–1959).

Parcela de varios núcleos de Fejér.

Definición [ editar ]

El núcleo de Fejér se define como

$${\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} D_ {k} (x),}

dónde

$${\ displaystyle D_ {k} (x) = \ sum _ {s = -k} ^ {k} {\ rm {e}} ^ {isx}}

Es el orden k kernel de dirichlet . También se puede escribir en forma cerrada como

$${\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {\ sin {\ frac {nx} {2}}} {\ sin {\ frac {x} {2}}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {1- \ cos (nx)} {1- \ cos x}} \ right) },

donde se define esta expresión. ^[1]

El núcleo de Fejér también se puede expresar como

$${\ displaystyle F_ {n} (x) = \ sum _ {| j | \ leq n-1} \ left (1 - {\ frac {| j |} {n}} \ right) e ^ {ijx}}.

Propiedades [ editar ]

El kernel de Fejér es un kernel de suma positiva. Una propiedad importante del núcleo Fejér es$${\ displaystyle F_ {n} (x) \ geq 0} con valor promedio de $${\ displaystyle 1}.

Convolución [ editar ]

La convolución F _n es positiva: para$${\ displaystyle f \ geq 0} de periodo $${\ displaystyle 2 \ pi} satisface

$${\ displaystyle 0 \ leq (f * F_ {n}) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y) F_ {n } (xy) \, dy.}

Ya que $${\ displaystyle f * D_ {n} = S_ {n} (f) = \ sum _ {| j | \ leq n} {\ widehat {f}} _ {j} e ^ {ijx}}, tenemos $${\ displaystyle f * F_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} S_ {k} (f)}, que es Cesàro resumen de la serie de Fourier.

Por la desigualdad de convolución de Young ,

$${\ displaystyle \ | F_ {n} * f \ | _ {L ^ {p} ([- \ pi, \ pi])} \ leq \ | f \ | _ {L ^ {p} ([- \ pi ,\Pi ])}} para cada $${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}

para $${\ displaystyle f \ in L ^ {p}}.

Además, si $${\ displaystyle f \ en L ^ {1} ([- \ pi, \ pi])}, entonces

$${\ displaystyle f * F_ {n} \ rightarrow f} ae

Ya que $${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]} es finito, $${\ displaystyle L ^ {1} ([- \ pi, \ pi]) \ supset L ^ {2} ([- \ pi, \ pi]) \ supset \ cdots \ supset L ^ {\ infty} ([- \ pi, \ pi])}, así que el resultado vale para otros $${\ displaystyle L ^ {p}} espacios $${\ displaystyle p \ geq 1} también.

Si $${\ displaystyle f}es continua, entonces la convergencia es uniforme, lo que proporciona una prueba del teorema de Weierstrass .

• Una consecuencia de la convergencia puntual es la singularidad de los coeficientes de Fourier: si $${\ displaystyle f, g \ en L ^ {1}}con $${\ displaystyle {\ hat {f}} = {\ hat {g}}}, entonces $${\ displaystyle f = g} ae Esto se sigue de la escritura $${\ displaystyle f * F_ {n} = \ sum _ {| j | \ leq n} \ left (1 - {\ frac {| j |} {n}} \ right) {\ hat {f}} _ { j} e ^ {ijt}}, que depende solo de los coeficientes de Fourier.
• Una segunda consecuencia es que si $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} (f)} existe ae, entonces $${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} F_ {n} (f) = f} Ae, ya que Cesáro significa. $${\ displaystyle F_ {n} * f} convergen al límite de secuencia original si existe.

el teorema de Fejér , llamado así por el matemático húngaro Lipót Fejér , establece que si f : R →  C es una función continua con el período 2π, entonces la secuencia (σ _n ) de Cesàro significa la secuencia ( s _n ) de sumas parciales de la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en [-π, π].

Explícitamente,

$${\ displaystyle s_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} e ^ {ikx},}

dónde

$${\ displaystyle c_ {k} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- ikt} dt,}

y

$${\ displaystyle \ sigma _ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} (x) = {\ frac {1 } {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (xt) F_ {n} (t) dt,}

siendo F _n el orden n kernel de Fejér .

Una forma más general del teorema se aplica a las funciones que no son necesariamente continuas ( Zygmund 1968 , Teorema III.3.4). Supongamos que f está en L ¹ (-π, π). Si los límites izquierdo y derecho f ( x ₀ ± 0) de f ( x ) existen en x ₀ , o si ambos límites son infinitos del mismo signo, entonces

$${\ displaystyle \ sigma _ {n} (x_ {0}) \ to {\ frac {1} {2}} \ left (f (x_ {0} +0) + f (x_ {0} -0) \ Correcto).}

La existencia o divergencia al infinito de la media de Cesàro también está implícita. Según un teorema de Marcel Riesz , el teorema de Fejér se sostiene exactamente como se indica si la media (C, 1) σ _n se reemplaza por la media (C, α) de la serie de Fourier ( Zygmund 1968 , Teorema III.5.1).

transformada de Fourier finita puede referirse a

• otro nombre para la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de una serie de longitud finita. Por ejemplo, FJ Harris (p. 52) describe la transformada de Fourier finita como una "función periódica continua" y la transformada de Fourier discreta (DFT) como "un conjunto de muestras de la transformada de Fourier finita". ^[1]   En la implementación real, eso no es dos pasos separados; El DFT reemplaza el DTFT. ^{[nota 1]}   Así que J. Cooley (páginas 77 y 78) describe la implementación como una transformada de Fourier finita discreta. ^[2]

o

• Otro nombre para los coeficientes de la serie de Fourier . ^[3]

o

• otro nombre para una instantánea de una transformada de Fourier de corta duración .