SERIES MATEMÁTICAS

teorema de Denjoy-Luzin , introducido independientemente por Denjoy  ( 1912 ) y Luzin  ( 1912 ), establece que si una serie trigonométrica converge absolutamente en un conjunto de medidas positivas, entonces la suma de sus coeficientes converge absolutamente, y en particular la trigonometría. La serie converge absolutamente en todas partes.

 el criterio de Dini es una condición para la convergencia puntual de las series de Fourier , introducida por Ulisse Dini  ( 1880 ).

Declaración [ editar ]

El criterio de Dini establece que si una función periódica f tiene la propiedad de$${\ displaystyle (f (t) + f (-t)) / t}es localmente integrable cerca de 0 , entonces la serie de Fourier de f converge a 0 en$${\ displaystyle t = 0}.

El criterio de Dini es, en cierto sentido, lo más fuerte posible: si g ( t ) es una función continua positiva tal que g ( t ) / t no es integrable localmente cerca de 0 , hay una función continua f con | f ( t ) | ≤  g ( t ) cuya serie de Fourier no converge en 0 .

criterio Dini-Lipschitz es una condición suficiente para la serie de Fourier de una función periódica a converger de manera uniforme en todos los números reales . Fue introducido por Ulisse Dini  ( 1872 ), como un refuerzo de un criterio más débil introducido por Rudolf Lipschitz  ( 1864 ). El criterio establece que la serie de Fourier de una función periódica f converge uniformemente en la línea real si

$${\ displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0 ^ {+}} \ omega (\ delta, f) \ log (\ delta) = 0}

dónde $${\ displaystyle \ omega}es el módulo de continuidad de f con respecto a$${\ displaystyle \ delta}.

condiciones de Dirichlet son condiciones suficientes para que una función periódica convalores reales f sea ​​igual a la suma de sus series de Fourier en cada punto donde f es continua . Además, el comportamiento de la serie de Fourier en los puntos de discontinuidad también se determina (es el punto medio de los valores de la discontinuidad). Estas condiciones llevan el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Las condiciones son ^[1] :

1. f debe ser absolutamente integrable durante un período.
2. f debe ser de variación acotada en cualquier intervalo acotado dado.
3. f debe tener un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo limitado, y las discontinuidades no pueden ser infinitas.

Teorema de Dirichlet para series de Fourier tridimensionales [ editar ]

Establecemos el teorema de Dirichlet suponiendo que f es una función periódica del período 2π con la expansión de la serie de Fourier donde

$${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- inx} \, dx.}

La declaración análoga se mantiene independientemente de cuál sea el período de f , o de qué versión de la expansión de Fourier se elige (ver series de Fourier ). 

Teorema de Dirichlet: si f satisface las condiciones de Dirichlet, entonces para todo x , tenemos que la serie obtenida al conectar x en la serie de Fourier es convergente, y está dada por

$${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx} = {\ frac {f (x ^ {+}) + f (x ^ {-})} {2}},}

donde la notación

$${\ displaystyle f (x ^ {+}) = \ lim _ {y \ a x ^ {+}} f (y)}

$${\ displaystyle f (x ^ {-}) = \ lim _ {y \ a x ^ {-}} f (y)}

denota los límites derecho / izquierdo de f .

Una función que satisfaga las condiciones de Dirichlet debe tener los límites derecho e izquierdo en cada punto de discontinuidad, o de lo contrario la función tendría que oscilar en ese punto, violando la condición en máximos / mínimos. Tenga en cuenta que en cualquier punto donde f es continua,

$${\ displaystyle {\ frac {f (x ^ {+}) + f (x ^ {-})} {2}} = f (x)}

Así, el teorema de Dirichlet dice en particular que bajo las condiciones de Dirichlet, la serie de Fourier para fconverge y es igual a f donde f es continua.

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En análisis matemático , el núcleo de Dirichlet es la colección de funciones.

$${\ displaystyle D_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ cos (kx) \ right) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + 1/2 \ right ) x \ right)} {2 \ pi \ sin (x / 2)}}.}

Lleva el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Diagrama de los primeros núcleos de Dirichlet que muestran su convergencia a la distribución del delta de Dirac .

La importancia del núcleo de Dirichlet proviene de su relación con la serie de Fourier . La convolución de D _n ( x ) con cualquier función ƒ del período 2 π es la aproximación de la serie de Fourier de n º grado a ƒ , es decir, tenemos

$${\ displaystyle (D_ {n} * f) (x) = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y) D_ {n} (xy) \, dy = \ sum _ {k = - n} ^ {n} {\ hat {f}} (k) e ^ {ikx},}

dónde

$${\ displaystyle {\ widehat {f}} (k) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) e ^ {- ikx} \ dx

es el k ésimo coeficiente de Fourier de  ƒ . Esto implica que para estudiar la convergencia de las series de Fourier es suficiente estudiar las propiedades del núcleo de Dirichlet.

Parcela de los primeros núcleos de Dirichlet

L ¹ norma de la función del kernel [ editar ]

De particular importancia es el hecho de que la norma L ¹ de D _n en$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}diverge al infinito como n → ∞. Se puede estimar que

$${\ displaystyle \ | D_ {n} \ | _ {L ^ {1}} = \ Omega (\ log n). \,}

Usando un argumento de suma de Riemann para estimar la contribución en el vecindario más grande de cero en el que $${\ displaystyle D_ {n}} es positiva, y la desigualdad de Jensen para la parte restante, también es posible demostrar que:

$${\ displaystyle \ | D_ {n} \ | _ {L ^ {1}} \ geq 4 \ operatorname {Si} (\ pi) + {\ frac {8} {\ pi}} \ log n.}

Esta falta de integrabilidad uniforme está detrás de muchos fenómenos de divergencia para la serie de Fourier. Por ejemplo, junto con el principio de delimitación uniforme , se puede usar para mostrar que la serie de Fourier de una función continua puede no converger en forma puntual, de manera bastante dramática. Ver la convergencia de la serie de Fourier para más detalles.

Una prueba precisa del primer resultado que $${\ displaystyle \ | D_ {n} \ | _ {L ^ {1} [0,2 \ pi]} = \ Omega (\ log n)} es dado por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | D_ {n} (x) | \, dx & \ geq \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac { | \ sin [(2n + 1) x] |} {x}} \, dx \\ [5pt] & \ geq \ sum _ {k = 0} ^ {2n} \ int _ {k \ pi} ^ { (k + 1) \ pi} {\ frac {| \ sin (s) |} {s}} \, ds \\ [5pt] & \ geq \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {2n} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {\ sin (s)} {(k + 1) \ pi}} \, ds \ right | \\ [5pt] & = {\ frac {2} {\ pi}} H_ {2n + 1} \\ [5pt] & \ geq {\ frac {2} {\ pi}} \ log (2n + 1), \ end {alineado}}}

donde hemos utilizado la identidad de la serie de Taylor que $${\ displaystyle 2 / x \ leq 1 / | \ sin (x / 2) |} y donde $${\ displaystyle H_ {n}}Son los números armónicos de primer orden .

Relación con la función delta [ editar ]

Tome la función periódica delta de Dirac , ^{[ aclaración necesaria ]} que no es una función de una variable real, sino una " función generalizada ", también denominada "distribución", y multiplique por 2 π . Obtenemos el elemento de identidad para convolución en funciones del periodo 2 π . En otras palabras, tenemos

$${\ displaystyle f * (2 \ pi \ delta) = f}

Para cada función ƒ del periodo 2 π . La representación de esta "función" en la serie de Fourier es

$${\ displaystyle 2 \ pi \ delta (x) \ sim \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {ikx} = \ left (1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} \ cos (kx) \ right).}

Por lo tanto, el kernel de Dirichlet, que es solo la secuencia de sumas parciales de esta serie, puede considerarse como una identidad aproximada . En resumen, no es, sin embargo, una identidad aproximada de elementos positivos (de ahí los fallos mencionados anteriormente).

La prueba de la identidad trigonométrica [ editar ]

La identidad trigonométrica.

$${\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {\ sin ((n + 1/2) x)} {\ sin (x / 2)}}}

mostrado en la parte superior de este artículo se puede establecer de la siguiente manera. Primero recordamos que la suma de una serie geométrica finita es

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} ar ^ {k} = a {\ frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}.

En particular, tenemos

$${\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} r ^ {k} = r ^ {- n} \ cdot {\ frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r}} .}

Multiplica tanto el numerador como el denominador por $${\ displaystyle r ^ {- 1/2}}, consiguiendo

$${\ displaystyle {\ frac {r ^ {- n-1/2}} {r ^ {- 1/2}}} \ cdot {\ frac {1-r ^ {2n + 1}} {1-r} } = {\ frac {r ^ {- n-1/2} -r ^ {n + 1/2}} {r ^ {- 1/2} -r ^ {1/2}}}.}

En el caso $${\ displaystyle r = e ^ {ix}} tenemos

$${\ displaystyle \ sum _ {k = -n} ^ {n} e ^ {ikx} = {\ frac {e ^ {- (n + 1/2) ix} -e ^ {(n + 1/2) ix}} {e ^ {- ix / 2} -e ^ {ix / 2}}} = {\ frac {-2i \ sin ((n + 1/2) x)} {- 2i \ sin (x / 2)}} = {\ frac {\ sin ((n + 1/2) x)} {\ sin (x / 2)}}}

según sea necesario.

Prueba alternativa de la identidad trigonométrica [ editar ]

Empieza con la serie.

$${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ cos (kx).}

Multiplica ambos lados de lo anterior por

$${\ displaystyle 2 \ sin (x / 2)}

y usar la identidad trigonométrica

$${\ displaystyle \ cos (a) \ sin (b) = {\ frac {\ sin (a + b) - \ sin (ab)} {2}}}

para reducir el lado derecho a

$${\ displaystyle \ sin ((n + 1/2) x).}

Variante de identidad [ editar ]

Si la suma es solo sobre enteros no negativos (que pueden surgir al calcular una DFT que no está centrada), entonces, utilizando técnicas similares, podemos mostrar la siguiente identidad:

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} e ^ {ikx} = e ^ {i (N-1) x / 2} {\ frac {\ sin (N \, x / 2) } {\ sin (x / 2)}}}