SERIES MATEMÁTICAS

 álgebra de Beurling se usa para diferentes álgebras introducidas por Arne Beurling ( 1949 ), generalmente es un álgebra de funciones periódicas con series de Fourier.

$${\ displaystyle f (x) = \ sum a_ {n} e ^ {inx}}

Ejemplo Podemos considerar el álgebra de las funciones f , donde los majorants

$${\ displaystyle c_ {k} = \ sup _ {| n | \ geq k} | a_ {n} |}

De los coeficientes de Fourier a _n son sumables. En otras palabras

{\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 0} c_ {k} <\ infty.}

Ejemplo Podemos considerar una función de peso w de$${\ displaystyle \ mathbb {Z}} tal que

$${\ displaystyle w (m + n) \ leq w (m) w (n), \ quad w (0) = 1}

en ese caso {\ displaystyle A_ {w} (\ mathbb {T}) = \ {f: f (t) = \ sum _ {n} a_ {n} e ^ {int}, \, \ | f \ | _ {w } = \ sum _ {n} | a_ {n} | w (n) <\ infty \} \, (\ sim \ ell _ {w} ^ {1} (\ mathbb {Z}))} Es un álgebra de Banach conmutativa unitaria .

Estos álgebras están estrechamente relacionados con el álgebra de Wiener .

las series conjugadas de Fourier surgen al realizar formalmente las series de Fourier como los valores límite de la parte real de una función holomórfica en el disco unitario . La parte imaginaria de esa función define las series conjugadas. Zygmund (1968) estudió las delicadas cuestiones de la convergencia de esta serie y su relación con la transformada de Hilbert .

En detalle, considere una serie trigonométrica de la forma

$${\ displaystyle f (\ theta) = {\ tfrac {1} {2}} a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} \ cos n \ theta + b_ {n} \ sin n \ theta \ right)}

en el que los coeficientes a _n y b _n son números reales . Esta serie es la parte real de la serie de poder.

$${\ displaystyle F (z) = {\ tfrac {1} {2}} a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} -ib_ {n}) z ^ { norte}}

a lo largo del círculo unitario con$${\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}. La parte imaginaria de F ( z ) se llama la serie conjugada de f , y se denota

$${\ displaystyle {\ tilde {f}} (\ theta) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} \ sin n \ theta -b_ {n} \ cos n \ theta \Correcto).}

 serie de Fourier de una función periódica converge a la función dada se investiga en un campo conocido como análisis armónico clásico , una rama de las matemáticas puras . La convergencia no se da necesariamente en el caso general, y se deben cumplir ciertos criterios para que se produzca la convergencia.

La determinación de la convergencia requiere la comprensión de la convergencia puntual , la convergencia uniforme , la convergencia absoluta , los espacios L ^p , los métodos de sumabilidad y la media de Cesàro .

Preliminares [ editar ]

Considere ƒ una función integrable en el intervalo [0,2 π ]. Para tal ƒ los coeficientes de Fourier $${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n)} se definen por la fórmula

$${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (t) e ^ {- int} \, dt, \ quad n \ in \ mathbf {Z}.}

Es común describir la conexión entre ƒ y su serie de Fourier por

$${\ displaystyle f \ sim \ sum _ {n} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int}.}

La notación ~ aquí significa que la suma representa la función en algún sentido. Para investigar esto con más cuidado, se deben definir las sumas parciales:

$${\ displaystyle S_ {N} (f; t) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ widehat {f}} (n) e ^ {int}.}

La pregunta aquí es: hacer las funciones $${\ displaystyle S_ {N} (f)}(¿cuáles son funciones de la variable t que omitimos en la notación) convergen a ƒ y en qué sentido? ¿Existen condiciones para ƒ garantizar este o ese tipo de convergencia? Este es el principal problema discutido en este artículo.

Antes de continuar, debe introducirse el kernel de Dirichlet . Tomando la formula para$${\ displaystyle {\ widehat {f}} (n)}, insertándolo en la fórmula para $${\ displaystyle S_ {N}} y haciendo un poco de álgebra da eso

$${\ displaystyle S_ {N} (f) = f * D_ {N} \,}

donde ∗ representa la convolución periódica y$${\ displaystyle D_ {N}} es el kernel de Dirichlet, que tiene una fórmula explícita,

$${\ displaystyle D_ {n} (t) = {\ frac {\ sin ((n + {\ frac {1} {2}}) t)} {\ sin (t / 2)}}.}

El kernel de Dirichlet no es un kernel positivo, y de hecho, su norma difiere, a saber:

$${\ displaystyle \ int | D_ {n} (t) | \, dt \ to \ infty}

Un hecho que juega un papel crucial en la discusión. La norma de D _n en L ¹ ( T ) coincide con la norma del operador de convolución con D _n , actuando sobre el espacio C ( T ) de las funciones continuas periódicas, o con la norma de la función lineal ƒ  → ( S _n ƒ ) (0) en C ( T ). Por lo tanto, esta familia de funciones lineales en C ( T ) es ilimitada, cuando n  → ∞.

Magnitud de los coeficientes de Fourier [ editar ]

En las aplicaciones, a menudo es útil conocer el tamaño del coeficiente de Fourier.

Si $${\ displaystyle f}Es una función absolutamente continua ,

$${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {K \ over | n |}}

para $${\ displaystyle K} una constante que solo depende de $${\ displaystyle f}.

Si $${\ displaystyle f}es una función de variación acotada ,

$${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {{\ rm {var}} (f) \ over 2 \ pi | n |}.}

Si $${\ displaystyle f \ en C ^ {p}}

$${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {\ | f ^ {(p)} \ | _ {L_ {1}} \ over | n | ^ {p}} .}

Si $${\ displaystyle f \ en C ^ {p}} y $${\ displaystyle f ^ {(p)}}tiene módulo de continuidad ^{[ cita requerida ]}$${\ displaystyle \ omega _ {p}},

$${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {\ omega (2 \ pi / n) \ over | n | ^ {p}}}

y por lo tanto, si $${\ displaystyle f}está en la clase α- Hölder

$${\ displaystyle \ left | {\ widehat {f}} (n) \ right | \ leq {K \ over | n | ^ {\ alpha}}.}

Convergencia puntual [ editar ]

La superposición de las funciones de base de onda sinusoidal (parte inferior) para formar una onda de diente de sierra (parte superior); las funciones básicas tienen longitudes de onda λ / k( k = entero) más cortas que la longitud de onda λ del diente de sierra en sí (excepto para k = 1). Todas las funciones básicas tienen nodos en los nodos del diente de sierra, pero todas menos las fundamentales tienen nodos adicionales. La oscilación sobre el diente de sierra se llama fenómeno de Gibbs.

Existen muchas condiciones suficientes conocidas para que la serie de Fourier de una función converja en un punto determinado x , por ejemplo, si la función es diferenciable en x . Incluso una discontinuidad de salto no plantea un problema: si la función tiene derivadas izquierda y derecha en x , entonces la serie de Fourier converge al promedio de los límites izquierdo y derecho (pero vea el fenómeno de Gibbs ).

El criterio de Dirichlet-Dini establece que: si ƒ es 2 π –periódico, localmente integrable y cumple

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ Bigl |} {\ frac {f (x_ {0} + t) + f (x_ {0} -t)} {2}} - \ ell {\ Bigr |} \, {\ frac {\ mathrm {d} t} {t}} <\ infty,}

entonces (S _n ƒ ) ( x ₀ ) converge a ℓ. Esto implica que para cualquier función ƒ de cualquier clase Hölder α  > 0, la serie de Fourier converge en todas partes a ƒ ( x ).

También se sabe que para cualquier función periódica de variación acotada , la serie de Fourier converge en todas partes. Véase también la prueba de Dini . En general, los criterios más comunes para la convergencia puntual de una función periódica f son los siguientes:

• Si f satisface una condición de Titular, entonces su serie de Fourier converge uniformemente.
• Si f es de variación acotada, entonces su serie de Fourier converge en todas partes.
• Si f es continua y sus coeficientes de Fourier son absolutamente sumables, entonces la serie de Fourier converge de manera uniforme.

Existen funciones continuas cuyas series de Fourier convergen puntualmente pero no uniformemente; ver Antoni Zygmund, Trigonometric Series, vol. 1, Capítulo 8, Teorema 1.13, pág. 300.

Sin embargo, la serie de Fourier de una función continua no tiene por qué converger en un sentido. Quizás la prueba más sencilla es la falta de delimitación del núcleo de Dirichlet en L ¹ ( T ) y el principio de delimitación uniforme de Banach-Steinhaus . Como es típico de los argumentos de existencia que invocan el teorema de la categoría de Baire , esta prueba no es constructiva. Muestra que la familia de funciones continuas cuya serie de Fourier converge en una x dada es de la primera categoría de Baire , en el espacio de Banach de funciones continuas en el círculo. Entonces, en cierto sentido, la convergencia puntual es atípica.y, para la mayoría de las funciones continuas, la serie de Fourier no converge en un punto dado. Sin embargo, el teorema de Carlesonmuestra que para una función continua dada, la serie de Fourier converge en casi todas partes.

Convergencia uniforme [ editar ]

Suponer $${\ displaystyle f \ en C ^ {p}}y $${\ displaystyle f ^ {(p)}}tiene módulo de continuidad $${\ displaystyle \ omega} (asumimos aquí que $${\ displaystyle \ omega}también no disminuye), entonces la suma parcial de la serie de Fourier converge a la función con velocidad ^[1]

$${\ displaystyle | f (x) - (S_ {N} f) (x) | \ leq K {\ ln N \ sobre N ^ {p}} \ omega (2 \ pi / N)}

por una constante $${\ displaystyle K} eso no depende de $${\ displaystyle f}, ni $${\ displaystyle p}, ni $${\ displaystyle N}.

Este teorema, probado por primera vez por D Jackson, dice, por ejemplo, que si $${\ displaystyle f} satisface el $${\ displaystyle \ alpha}- Condición de Hölder , entonces.

$${\ displaystyle | f (x) - (S_ {N} f) (x) | \ leq K {\ ln N \ sobre N ^ {\ alpha}}.}

Si $${\ displaystyle f} es $${\ displaystyle 2 \ pi} periódico y absolutamente continuo en $${\ displaystyle [0,2 \ pi]}, luego la serie de Fourier de $${\ displaystyle f} converge uniformemente, pero no necesariamente absolutamente, a $${\ displaystyle f}. ^[2]

Convergencia absoluta [ editar ]

Una función ƒ tiene una serie de Fourier absolutamente convergente si

{\ displaystyle \ | f \ | _ {A}: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ widehat {f}} (n) | <\ infty.}

Obviamente, si esta condición se mantiene entonces $${\ displaystyle (S_ {N} f) (t)}converge absolutamente para cada t y por otro lado, es suficiente que$${\ displaystyle (S_ {N} f) (t)}converge absolutamente para incluso una t , entonces esta condición se mantiene. En otras palabras, para la convergencia absoluta no hay problema de dónde la suma converge absolutamente; si converge absolutamente en un punto, entonces lo hace en todas partes.

La familia de todas las funciones con series de Fourier absolutamente convergentes es un álgebra de Banach (la operación de la multiplicación en el álgebra es una simple multiplicación de funciones). Se llama álgebra de Wiener , después de Norbert Wiener , quien demostró que si ƒ tiene una serie de Fourier absolutamente convergente y nunca es cero, 1 / ƒ tiene una serie de Fourier absolutamente convergente. La prueba original del teorema de Wiener era difícil; Israel Gelfand dio una simplificación utilizando la teoría de álgebras de Banach . Finalmente, Donald J. Newman dio una breve prueba elemental en 1975.

Si $${\ displaystyle f} pertenece a una clase α-Hölder para α> 1/2 entonces

$${\ displaystyle \ | f \ | _ {A} \ leq c _ {\ alpha} \ | f \ | _ {{\ rm {Labios}} _ {\ alpha}}, \ qquad \ | f \ | _ {K }: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | n || {\ widehat {f}} (n) | ^ {2} \ leq c _ {\ alpha} \ | f \ | _ {{\ rm {Labios}} _ {\ alpha}} ^ {2}}

para $${\ displaystyle \ | f \ | _ {{\ rm {Lip}} _ {\ alpha}}}la constante en la condición de Hölder ,$${\ displaystyle c _ {\ alpha}} una constante solo dependiente de $${\ displaystyle \ alpha}; $${\ displaystyle \ | f \ | _ {K}}Es la norma del álgebra de Kerin. Tenga en cuenta que la 1/2 aquí es esencial: hay funciones 1/2-Hölder, que no pertenecen al álgebra de Wiener. Además, este teorema no puede mejorar el límite mejor conocido sobre el tamaño del coeficiente de Fourier de una función α-Hölder, es decir, solo$${\ displaystyle O (1 / n ^ {\ alpha})} Y luego no es sumable.

Si ƒ es de variación acotada y pertenece a una clase α-Hölder para algunos α> 0, pertenece al álgebra de Wiener.

Norma de convergencia [ editar ]

El caso más simple es el de L ² , que es una transcripción directa de los resultados generales del espacio de Hilbert . De acuerdo con el teorema de Riesz-Fischer , si ƒ es cuadrado-integrable entonces

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f (x) -S_ {N} (f) \ right | ^ {2} \, dx = 0}

es decir ,  $${\ displaystyle S_ {N} f}converge a ƒ en la norma de L ² . Es fácil ver que lo contrario también es cierto: si el límite anterior es cero, ƒ debe estar en L ² . Así que esta es una condición si y solo si .

Si 2 en los exponentes de arriba se reemplaza con algo de p , la pregunta se vuelve mucho más difícil. Resulta que la convergencia sigue siendo válida si 1 < p  <∞. En otras palabras, para ƒ en L ^p ,  $${\ displaystyle S_ {N} (f)}converge a ƒ en la norma L ^p . La prueba original utiliza las propiedades de las funciones holomorfas y los espacios de Hardy , y otra prueba, debido a que Salomon Bochner se basa en el teorema de interpolación de Riesz-Thorin . Para p  = 1 e infinito, el resultado no es verdadero. La construcción de un ejemplo de divergencia en L ¹ fue hecha primero por Andrey Kolmogorov (ver abajo). Para el infinito, el resultado es un corolario del principio de delimitación uniforme.

Si el operador de suma parcial S _N se reemplaza por un núcleo de sumabilidad adecuado (por ejemplo, la suma de Fejér obtenida por convolución con el núcleo de Fejér ), se pueden aplicar técnicas analíticas funcionales básicas para mostrar que la convergencia de normas se mantiene para 1 ≤  p  <∞.

Convergencia en casi todas partes [ editar ]

Nikolai Lusin planteó el problema de si la serie de Fourier de cualquier función continua converge en casi todas partes en la década de 1920. Fue resuelto positivamente en 1966 por Lennart Carleson . Su resultado, ahora conocido como el teorema de Carleson , dice que la expansión de Fourier de cualquier función en L ² converge en casi todas partes. Más tarde, Richard Hunt generalizó esto a L ^p para cualquier p  > 1.

Por el contrario, Andrey Kolmogorov , como estudiante a la edad de 19 años, en su primer trabajo científico, construyó un ejemplo de una función en L ¹ cuya serie de Fourier difiere casi en todas partes (más tarde mejoró para divergir en todas partes).

Podría ser interesante tener en cuenta que Jean-Pierre Kahane y Yitzhak Katznelson demostraron que para cualquier conjunto dado E de medida cero, existe una función continua ƒ tal que la serie de Fourier de ƒ no converge en cualquier punto de E .

Sumabilidad [ editar ]

¿La secuencia 0,1,0,1,0,1, ... (las sumas parciales de las series de Grandi ) converge a ½? Esto no parece una generalización muy irrazonable de la noción de convergencia. Por eso decimos que cualquier secuencia.$${\ displaystyle a_ {n}}es Cesàro sumable a algunos un caso

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} = a.}

No es difícil ver que si una secuencia converge a algún un entonces también es Cesàro sumable a ella.

Para discutir la sumabilidad de las series de Fourier, debemos reemplazar $${\ displaystyle S_ {N}}Con una noción apropiada. Por eso definimos

$${\ displaystyle K_ {N} (f; t) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} S_ {n} (f; t), \ quad N \ geq 1,}

y preguntar: hace $${\ displaystyle K_ {N} (f)}convergen a f ?$${\ displaystyle K_ {N}}ya no se asocia con el núcleo de Dirichlet, sino con el núcleo de Fejér , a saber

$${\ displaystyle K_ {N} (f) = f * F_ {N} \,}

dónde $${\ displaystyle F_ {N}} es el núcleo de Fejér,

$${\ displaystyle F_ {N} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} D_ {n}.}

La principal diferencia es que el kernel de Fejér es un kernel positivo. El teorema de Fejér establece que la secuencia anterior de sumas parciales converge uniformemente a ƒ . Esto implica propiedades de convergencia mucho mejores.

• Si ƒ es continuo en t, entonces la serie de Fourier de ƒ se puede sumar en t a ƒ ( t ). Si ƒ es continuo, su serie de Fourier es uniformemente sumable (es decir,$${\ displaystyle K_ {N} f}converge uniformemente a ƒ ).
• Para cualquier ƒ integrable ,$${\ displaystyle K_ {N} f}converge a ƒ en el$${\ displaystyle L ^ {1}} norma.
• No hay fenómeno de Gibbs.

Los resultados sobre la sumabilidad también pueden implicar resultados sobre la convergencia regular. Por ejemplo, aprendemos que si ƒ es continuo en t , entonces la serie de Fourier de ƒ no puede converger a un valor diferente de ƒ ( t ). Puede converger a ƒ ( t ) o divergir. Esto es porque si$${\ displaystyle S_ {N} (f; t)}converge a algún valor x , también es sumable a él, por lo que a partir de la primera propiedad de suma arriba, x  = ƒ ( t ).

Orden de crecimiento [ editar ]

El orden de crecimiento del kernel de Dirichlet es logarítmico, es decir,

$${\ displaystyle \ int | D_ {N} (t) | \, dt = {\ frac {4} {\ pi ^ {2}}} \ log N + O (1).}

Ver la notación Big O para la notación O (1). Cabe señalar que el valor real$${\ displaystyle 4 / \ pi ^ {2}}es difícil de calcular (ver Zygmund 8.3) y casi no sirve de nada. El hecho de que por alguna constante c tengamos

{\ displaystyle \ int | D_ {N} (t) | \, dt> c \ log N + O (1)}

Es bastante claro cuando uno examina la gráfica del núcleo de Dirichlet. La integral sobre el pico n es más grande que c / n y, por lo tanto, la estimación de la suma armónica da la estimación logarítmica.

Esta estimación implica versiones cuantitativas de algunos de los resultados anteriores. Para cualquier función continua f y cualquier t tiene

$${\ displaystyle \ lim _ {N \ a \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ log N}} = 0.}

Sin embargo, para cualquier orden de crecimiento ω ( n ) más pequeño que log, esto ya no se cumple y es posible encontrar una función continua f tal que para algunos t ,

$${\ displaystyle \ varlimsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ omega (N)}} = \ infty.}

El problema equivalente para la divergencia en todas partes está abierto. Sergei Konyagin logró construir una función integrable de tal manera que por cada t uno tiene

$${\ displaystyle \ varlimsup _ {N \ to \ infty} {\ frac {S_ {N} (f; t)} {\ sqrt {\ log N}}} = \ infty.}

No se sabe si este ejemplo es mejor posible. El único límite conocido desde la otra dirección conocida es log n .

Dimensiones múltiples [ editar ]

Al examinar el problema equivalente en más de una dimensión, es necesario especificar el orden exacto de suma que se usa. Por ejemplo, en dos dimensiones, uno puede definir

$${\ displaystyle S_ {N} (f; t_ {1}, t_ {2}) = \ sum _ {| n_ {1} | \ leq N, | n_ {2} | \ leq N} {\ widehat {f }} (n_ {1}, n_ {2}) e ​​^ {i (n_ {1} t_ {1} + n_ {2} t_ {2})}}

que se conocen como "sumas parciales cuadradas". Reemplazando la suma de arriba con

$${\ displaystyle \ sum _ {n_ {1} ^ {2} + n_ {2} ^ {2} \ leq N ^ {2}}}

conducir a "sumas parciales circulares". La diferencia entre estas dos definiciones es bastante notable. Por ejemplo, la norma del kernel de Dirichlet correspondiente para las sumas parciales cuadradas es del orden de$${\ displaystyle \ log ^ {2} N} mientras que para las sumas parciales circulares es del orden de $${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}.

Muchos de los resultados verdaderos para una dimensión son incorrectos o desconocidos en múltiples dimensiones. En particular, el equivalente del teorema de Carleson todavía está abierto para sumas parciales circulares. Cerca de 1970, Charles Fefferman estableció la convergencia de las "sumas parciales cuadradas" (así como las sumas parciales poligonales más generales) en múltiples dimensiones .