SERIES MATEMÁTICAS

serie trigonométrica es una serie de la forma:

$${\ displaystyle {\ frac {A_ {0}} {2}} + \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (A_ {n} \ cos {nx} + B_ {n} \ sin { nx}).}

Se llama una serie de Fourier si los términos$${\ displaystyle A_ {n}} y $${\ displaystyle B_ {n}} tener la forma:

$${\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! f (x) \ cos {nx} \, dx \ qquad ( n = 0,1,2,3 \ puntos)}

$${\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! f (x) \ sin {nx} \, dx \ qquad ( n = 1,2,3, \ dots)}

dónde $${\ displaystyle f}Es una función integrable .

Los ceros de una serie trigonométrica [ editar ]

La singularidad y los ceros de las series trigonométricas fueron un área activa de investigación en la Europa del siglo XIX. Primero, Georg Cantor demostró que si una serie trigonométrica es convergente a una función$${\ displaystyle f (x)} en el intervalo $${\ displaystyle [0,2 \ pi]}, que es idénticamente cero, o más generalmente, es distinto de cero en la mayoría de los puntos, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. ^[1]

Más tarde Cantor demostró que incluso si el conjunto S en el que$${\ displaystyle f}es distinto de cero es infinito, pero el conjunto derivado S ' de S es finito, entonces los coeficientes son todos cero. De hecho, demostró un resultado más general. Sea S ₀ = S y sea S _{k + 1} el conjunto derivado de S _k . Si hay un número finito n para el cual S _n es finito, entonces todos los coeficientes son cero. Más tarde, Lebesgue demostró que si hay un α ordinal infinitamente contable tal que S _αes finito, entonces los coeficientes de la serie son todos cero. El trabajo de Cantor sobre el problema de la singularidad lo llevó a inventar números ordinales transfinitos , que aparecían como los subíndices α en S _α . ^[2]

El libro de Zygmund [ editar ]

Antoni Zygmund escribió un conjunto clásico de dos volúmenes titulado Serie trigonométrica, que analiza muchos aspectos diferentes de esta serie. La primera edición fue un volumen único, publicado en 1935 (bajo el título ligeramente diferente "serie trigonométrica"). La segunda edición de 1959 se amplió enormemente, ocupando dos volúmenes, aunque luego se reimprimió como un libro en rústica de un solo volumen. La tercera edición de 2002 es similar a la segunda edición, con la adición de un prefacio de Robert A. Fefferman sobre desarrollos más recientes, en particular el teorema de Carleson sobre la convergencia casi puntual en todas partes para funciones cuadradas integrables.

 integral de Weyl es un operador definido, como ejemplo de cálculo fraccional , en las funciones f en el círculo unitario que tiene una integral de 0 y una serie de Fourier . En otras palabras, hay una serie de Fourier para f de la forma.

$${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {in \ theta}}

con un ₀  = 0.

Entonces el operador integral de Weyl de orden s se define en la serie de Fourier por

$${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (in) ^ {s} a_ {n} e ^ {in \ theta}}

donde esta definido. Aquí s puede tomar cualquier valor real, y para los valores enteros k de s la expansión de la serie es la derivada kesperada , si k  > 0, o (- k ) la integral indefinida normalizada por integración de  θ  = 0.

La condición a ₀  = 0 aquí juega el papel obvio de excluir la necesidad de considerar la división por cero. La definición se debe a Hermann Weyl (1917).

álgebra de Wiener , que lleva el nombre de Norbert Wiener y generalmente se denota por A ( T ) , es el espacio de la serie de Fourier absolutamente convergente . ^[1] Aquí T denota el grupo del círculo .

Estructura de álgebra de Banach [ editar ]

La norma de una función f  ∈  A ( T ) está dada por

$${\ displaystyle \ | f \ | = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | {\ hat {f}} (n) |, \,}

dónde

$${\ displaystyle {\ hat {f}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- int} \ dt

Es el coeficiente de Fourier n de f . El álgebra de Wiener A ( T ) se cierra mediante la multiplicación puntual de las funciones. En efecto,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} f (t) g (t) & = \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (m) e ^ {imt} \, \ cdot \, \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {g}} (n) e ^ {int} \\ & = \ sum _ {n, m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (m) {\ hat {g}} (n) e ^ {i (m + n) t} \\ & = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left \ {\ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (nm) {\ hat {g}} (m) \ right \} e ^ {int}, \ qquad f, g \ en A (\ mathbb {T}); \ end {alineado}}}

por lo tanto

$${\ displaystyle \ | fg \ | = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ left | \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z}} {\ hat {f}} (nm) {\ hat {g}} (m) \ right | \ leq \ sum _ {m} | {\ hat {f}} (m) | \ sum _ {n} | {\ hat {g}} (n) | = \ | f \ | \, \ | g \ |. \,}

Así, el álgebra de Wiener es un álgebra de Banach conmutativa unitaria . Además, A ( T ) es isomorfo al álgebra de Banach l ₁ ( Z ) , con el isomorfismo dado por la transformada de Fourier.

Propiedades [ editar ]

La suma de una serie de Fourier absolutamente convergente es continua, por lo que

$${\ displaystyle A (\ mathbb {T}) \ subconjunto C (\ mathbb {T})}

donde C ( T ) es el anillo de funciones continuas en el círculo unitario.

Por otro lado, una integración por partes , junto con la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la fórmula de Parseval , muestra que

$${\ displaystyle C ^ {1} (\ mathbb {T}) \ subconjunto A (\ mathbb {T}). \,}

Más generalmente,

$${\ displaystyle \ mathrm {Lip} _ {\ alpha} (\ mathbb {T}) \ subconjunto A (\ mathbb {T}) \ subconjunto C (\ mathbb {T})}

para {\ displaystyle \ alpha> 1/2}(ver Katznelson (2004) ).

Teorema de Wiener 1 / f [ editar ]

Artículo principal: Teorema tauberiano de Wiener.

Wiener ( 1932 , 1933 ) demostró que si f tiene una serie de Fourier absolutamente convergente y nunca es cero, entonces su inversa 1 / f también tiene una serie de Fourier absolutamente convergente. Muchas otras pruebas han aparecido desde entonces, incluyendo una primaria de Newman  ( 1975 ).

Gelfand ( 1941 , 1941b ) utilizó la teoría de álgebras de Banach que desarrolló para mostrar que los ideales máximos de A ( T ) son de la forma

$${\ displaystyle M_ {x} = \ left \ {f \ in A (\ mathbb {T}) \, \ mid \, f (x) = 0 \ right \}, \ quad x \ in \ mathbb {T} ~,}

que es equivalente al teorema de Wiener.