TEMAS DE FÍSICA

La mecánica continua es una rama de la mecánica que trata el comportamiento mecánico de los materiales modelados como una masa continua en lugar de como partículas discretas. El matemático francés Augustin-Louis Cauchy fue el primero en formular tales modelos en el siglo XIX.

Explicación [ editar ]

Parte de una serie de artículos sobre
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Modelar un objeto como un continuo supone que la sustancia del objeto llena completamente el espacio que ocupa. Modelar objetos de esta manera ignora el hecho de que la materia está hecha de átomos , y por lo tanto no es continua; sin embargo, en escalas de longitud mucho mayores que las distancias interatómicas, tales modelos son altamente precisos. Las leyes físicas fundamentales como la conservación de la masa , la conservación del impulso y la conservación de la energía pueden aplicarse a dichos modelos para derivar ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de tales objetos, y se agrega información sobre el material en particular estudiado a través de relaciones constitutivas..

La mecánica de continuo se ocupa de las propiedades físicas de sólidos y fluidos que son independientes de cualquier sistema de coordenadas particular en el que se observan. Estas propiedades físicas se representan a continuación mediante tensores , que son objetos matemáticos que tienen la propiedad requerida de ser independientes del sistema de coordenadas. Estos tensores pueden expresarse en sistemas de coordenadas para la conveniencia computacional.

Concepto de un continuo [ editar ]

Los materiales, como sólidos, líquidos y gases, están compuestos de moléculas separadas por espacio. En una escala microscópica, los materiales tienen grietas y discontinuidades. Sin embargo, ciertos fenómenos físicos pueden modelarse asumiendo que los materiales existen como un continuo, lo que significa que la materia en el cuerpo se distribuye continuamente y llena toda la región del espacio que ocupa . Un continuo es un cuerpo que puede subdividirse continuamente en elementos infinitesimales con propiedades que son las del material a granel.

La validez del supuesto de continuidad puede verificarse mediante un análisis teórico, en el que se identifica cierta periodicidad clara o existe homogeneidad estadística y ergodicidad de la microestructura . Más específicamente, la hipótesis / suposición continua se basa en los conceptos de un volumen elemental representativo y la separación de escalas basadas en la condición de Hill-Mandel . Esta condición proporciona un vínculo entre el punto de vista de un experimentalista y el de un teórico sobre ecuaciones constitutivas (campos elásticos / inelásticos o lineales lineales y no lineales), así como una forma de promediado espacial y estadístico de la microestructura. ^[1]

Cuando la separación de escalas no se cumple, o cuando se quiere establecer un continuo de resolución más fina que la del tamaño del elemento de volumen representativo (RVE), se emplea un elemento de volumen estadístico (SVE), que, a su vez, conduce a campos continuos aleatorios. Estos últimos proporcionan una base micromecánica para los elementos finitos estocásticos (SFE). Los niveles de SVE y RVE vinculan la mecánica continua a la mecánica estadística . La RVE se puede evaluar solo de forma limitada mediante pruebas experimentales: cuando la respuesta constitutiva se vuelve espacialmente homogénea.

Específicamente para fluidos , el número de Knudsen se utiliza para evaluar hasta qué punto se puede hacer la aproximación de continuidad.

El tráfico de coches como un ejemplo de introducción [ editar ]

Considere el tráfico de automóviles en una carretera, con un solo carril para simplificar. Sorprendentemente, y en un tributo a su efectividad, la mecánica continua modela efectivamente el movimiento de los automóviles a través de una ecuación diferencial parcial (PDE) para la densidad de los automóviles. La familiaridad de esta situación nos permite comprender un poco de la dicotomía discreto-continuo que subyace en el modelado continuo en general.

Para empezar a modelar define que: $${\ displaystyle x} medir la distancia (en km) a lo largo de la carretera; $${\ displaystyle t} es tiempo (en minutos); $${\ displaystyle \ rho (x, t)}es la densidad de automóviles en la carretera (en automóviles / km en el carril); y$${\ displaystyle u (x, t)}es la velocidad de flujo ( velocidad promedio) de la posición "at" de esos autos$${\ displaystyle x}.

La conservación deriva una PDE ( ecuación diferencial parcial ) [ editar ]

Los coches no aparecen y desaparecen. Considere cualquier grupo de autos: del auto en particular en la parte posterior del grupo ubicado en$${\ displaystyle x = a (t)} al coche particular en el frente ubicado en $${\ displaystyle x = b (t)}. El número total de coches en este grupo.$${\ displaystyle N = \ int _ {a (t)} ^ {b (t)} \ rho (x, t) \, dx}. Como los autos se conservan (si hay adelantamientos, entonces el 'auto en la parte delantera / trasera' puede convertirse en un auto diferente)$${\ displaystyle dN / dt = 0}. Pero a través de la regla integral de Leibniz.

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {dN} {dt}} & = & {\ frac {d} {dt}} \ int _ {a (t)} ^ {b (t) } \ rho (x, t) \, dx \\ & = & \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \, dx + \ rho (b, t ) {\ frac {db} {dt}} - \ rho (a, t) {\ frac {da} {dt}} \\ & = & \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ parcial \ rho} {\ partial t}} \, dx + \ rho (b, t) u (b, t) - \ rho (a, t) u (a, t) \\ & = & \ int _ {a} ^ {b} \ left [{\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ rho u) \ right] dx \ end {array} }}

Esta integral es cero para todos los grupos, es decir, para todos los intervalos. $${\ displaystyle [a, b]}. La única forma en que una integral puede ser cero para todos los intervalos es si el entero es cero para todos$${\ displaystyle x}. En consecuencia, la conservación deriva la PDE de conservación no lineal de primer orden.

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (\ rho u) = 0}

Para todas las posiciones en la carretera.

Esta PDE de conservación se aplica no solo al tráfico de automóviles, sino también a fluidos, sólidos, multitudes, animales, plantas, incendios forestales, comerciantes financieros, etc.

La observación cierra el problema [ editar ]

La PDE anterior es una ecuación con dos incógnitas, por lo que se necesita otra ecuación para formar un problema bien planteado . Una ecuación adicional de este tipo suele ser necesaria en la mecánica de continuidad y generalmente proviene de experimentos. Para el tráfico de automóviles, está bien establecido que los automóviles generalmente viajan a una velocidad que depende de la densidad,$${\ displaystyle u = V (\ rho)} para alguna función determinada experimentalmente $${\ displaystyle V}Esa es una función decreciente de la densidad. Por ejemplo, los experimentos en el túnel Lincoln encontraron que un buen ajuste (excepto en baja densidad) se obtiene al$${\ displaystyle u = V (\ rho) = 27.5 \ ln (142 / \ rho)}(km / h para densidad en coches / km). ^[2]

Así, el modelo continuo continuo para el tráfico de automóviles es el PDE.

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} [\ rho V (\ rho)] = 0}

para la densidad del coche $${\ displaystyle \ rho (x, t)} en la autopista.

Áreas principales [ editar ]

Mecánica continua.  El estudio de la física de materiales continuos.	Mecánica sólida  El estudio de la física de materiales continuos con una forma de descanso definida.	Elasticidad  Describe los materiales que vuelven a su forma de descanso después deeliminar las tensiones aplicadas .
		Plasticidad  Describe materiales que se deforman permanentemente después de una tensión aplicada suficiente.	Reología  El estudio de materiales con características tanto sólidas como fluidas.
	Mecánica de fluidos  El estudio de la física de materiales continuos que se deforman cuando se someten a una fuerza.	Los fluidos no newtonianos no sufren tasas de deformación proporcionales al esfuerzo de cizallamiento aplicado.
		Los fluidos newtonianos experimentan tasas de deformación proporcionales al esfuerzo de cizallamiento aplicado.

Un área adicional de la mecánica continua comprende las espumas elastoméricas, que muestran una curiosa relación de tensión-deformación hiperbólica. El elastómero es un verdadero continuo, pero una distribución homogénea de huecos le confiere propiedades inusuales. ^[3]

Formulación de modelos [ editar ]

Figura 1. Configuración de un cuerpo continuo.

Los modelos de mecánica de continuo comienzan asignando una región en el espacio euclidiano tridimensional al cuerpo material$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}siendo modelado Los puntos dentro de esta región se llaman partículas o puntos materiales. Las diferentes configuraciones o estados del cuerpo corresponden a diferentes regiones en el espacio euclidiano. La región correspondiente a la configuración del cuerpo en el momento.$${\ displaystyle \ t} está etiquetado $${\ displaystyle \ \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}.

Una partícula particular dentro del cuerpo en una configuración particular se caracteriza por un vector de posición 

$${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} x_ {i} \ mathbf {e} _ {i},}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}son los vectores de coordenadas en algunos marcos de referencia elegidos para el problema (Ver figura 1). Este vector se puede expresar en función de la posición de la partícula.$${\ displaystyle \ mathbf {X}}en alguna configuración de referencia , por ejemplo, la configuración en el momento inicial, de modo que

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ kappa _ {t} (\ mathbf {X}).}

Esta función debe tener varias propiedades para que el modelo tenga sentido físico. $${\ displaystyle \ kappa _ {t} (\ cdot)} necesita ser:

• continua en el tiempo, para que el cuerpo cambie de una manera que sea realista,
• Invertible globalmente en todo momento, para que el cuerpo no pueda intersecarse,
• La conservación de la orientación , ya que las transformaciones que producen reflejos del espejo no son posibles en la naturaleza.

Para la formulación matemática del modelo, $${\ displaystyle \ \ kappa _ {t} (\ cdot)}también se supone que es dos veces continuamente diferenciable , de modo que se pueden formular ecuaciones diferenciales que describen el movimiento.

Fuerzas en un continuo [ editar ]

Ver también: tensión (mecánica) y tensor de tensión Cauchy.

La mecánica continua trata con cuerpos deformables, a diferencia de los cuerpos rígidos . Un sólido es un cuerpo deformable que posee resistencia al corte, sc. un sólido puede soportar fuerzas de corte (fuerzas paralelas a la superficie del material sobre la que actúan). Los fluidos, por otro lado, no sostienen las fuerzas de corte. Para el estudio del comportamiento mecánico de sólidos y fluidos, se supone que estos son cuerpos continuos, lo que significa que la materia ocupa toda la región del espacio que ocupa, a pesar de que la materia está hecha de átomos, tiene vacíos y es discreta. Por lo tanto, cuando la mecánica continua se refiere a un punto o partícula en un cuerpo continuo, no describe un punto en el espacio interatómico o una partícula atómica, sino una parte idealizada del cuerpo que ocupa ese punto.

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se suponen de dos tipos: fuerzas de superficie$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {C}} y fuerzas del cuerpo $${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {B}}. ^[4] Así, la fuerza total.$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}} Aplicado a un cuerpo o a una porción del cuerpo puede expresarse como:

$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ mathbf {F} _ {C} + \ mathbf {F} _ {B}}

Las fuerzas de la superficie o las fuerzas de contacto , expresadas como fuerza por unidad de área, pueden actuar sobre la superficie delimitada del cuerpo, como resultado del contacto mecánico con otros cuerpos, o sobre superficies internas imaginarias que unen partes del cuerpo, como resultado de la interacción mecánica entre las partes del cuerpo a cada lado de la superficie ( principio de estrés de Euler-Cauchy ). Cuando un cuerpo es accionado por fuerzas de contacto externas, las fuerzas de contacto internas se transmiten de un punto a otro dentro del cuerpo para equilibrar su acción, de acuerdo con la tercera ley de movimiento de Newton de la conservación del momento lineal y el momento angular (para los cuerpos continuos estas leyes son llamados losEcuaciones de movimiento de euler ). Las fuerzas internas de contacto están relacionadas con la deformacióndel cuerpo a través de ecuaciones constitutivas . Las fuerzas internas de contacto pueden describirse matemáticamente por la forma en que se relacionan con el movimiento del cuerpo, independientemente de la composición material del cuerpo. ^[5]

Se supone que la distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo es continua. Por lo tanto, existe una densidad de fuerza de contacto o un campo de tracción de Cauchy ^[4] $${\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {n}, \ mathbf {x}, t)} que representa esta distribución en una configuración particular del cuerpo en un momento dado $${\ displaystyle t \, \!}. No es un campo vectorial porque no solo depende de la posición.$${\ displaystyle \ mathbf {x}} de un punto material particular, pero también en la orientación local del elemento de superficie como lo define su vector normal $${\ displaystyle \ mathbf {n}}. ^[6]

Cualquier área diferencial $${\ displaystyle dS \, \!} con vector normal $${\ displaystyle \ mathbf {n}} de un área superficial interna dada $${\ displaystyle S \, \!}Al delimitar una parte del cuerpo, experimenta una fuerza de contacto. $${\ displaystyle d \ mathbf {F} _ {C} \, \!} derivado del contacto entre ambas partes del cuerpo a cada lado de $${\ displaystyle S \, \!}, y es dado por

$${\ displaystyle d \ mathbf {F} _ {C} = \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})} \, dS}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})}}es la tracción de la superficie , ^[7] también llamado vector de tensión , ^[8] tracción , ^[9] o vector de tracción . ^[10] El vector de tensión es un vector indiferente al cuadro (ver el principio de tensión de Euler-Cauchy ).

La fuerza de contacto total en la superficie interna particular. $${\ displaystyle S \, \!}luego se expresa como la suma ( integral de superficie ) de las fuerzas de contacto en todas las superficies diferenciales$${\ displaystyle dS \, \!}:

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {C} = \ int _ {S} \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {n})} \, dS}

En la mecánica continua, un cuerpo se considera libre de estrés si las únicas fuerzas presentes son aquellas fuerzas interatómicas (fuerzas iónicas , metálicas y van der Waals ) requeridas para mantener el cuerpo unido y mantener su forma en ausencia de todas las influencias externas , incluida la atracción gravitacional. ^{[10] [11] Las}tensiones generadas durante la fabricación del cuerpo a una configuración específica también se excluyen cuando se consideran las tensiones en un cuerpo. Por lo tanto, las tensiones consideradas en la mecánica de continuidad son solo aquellas producidas por la deformación del cuerpo, sc. solo se consideran los cambios relativos en el estrés, no los valores absolutos del estrés.

Las fuerzas corporales son fuerzas que se originan en fuentes externas al cuerpo ^[12] que actúan sobre el volumen (o masa) del cuerpo. Decir que las fuerzas del cuerpo se deben a fuentes externas implica que la interacción entre diferentes partes del cuerpo (fuerzas internas) se manifiesta a través de las fuerzas de contacto solo. ^[7] Estas fuerzas surgen de la presencia del cuerpo en los campos de fuerza, por ejemplo , campo gravitacional ( fuerzas gravitacionales ) o campo electromagnético ( fuerzas electromagnéticas ), o de fuerzas inercialescuando los cuerpos estan en movimiento Como se supone que la masa de un cuerpo continuo está continuamente distribuida, cualquier fuerza que se origina a partir de la masa también se distribuye continuamente. Por lo tanto, las fuerzas del cuerpo se especifican mediante campos vectoriales que se supone que son continuos en todo el volumen del cuerpo, ^[13], es decir, que actúan en cada punto del mismo. Las fuerzas corporales están representadas por una densidad de fuerza corporal.$${\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x}, t)} (por unidad de masa), que es un campo vectorial indiferente al cuadro.

En el caso de las fuerzas gravitacionales, la intensidad de la fuerza depende de, o es proporcional a, la densidad de masa $${\ displaystyle \ mathbf {\ rho} (\ mathbf {x}, t) \, \!} del material, y se especifica en términos de fuerza por unidad de masa ($${\ displaystyle b_ {i} \, \!}) o por unidad de volumen ($${\ displaystyle p_ {i} \, \!}). Estas dos especificaciones están relacionadas a través de la densidad del material por la ecuación$${\ displaystyle \ rho b_ {i} = p_ {i} \, \!}. De manera similar, la intensidad de las fuerzas electromagnéticas depende de la fuerza ( carga eléctrica ) del campo electromagnético.

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo se expresa como

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {B} = \ int _ {V} \ mathbf {b} \, dm = \ int _ {V} \ rho \ mathbf {b} \, dV}

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo conducen a los correspondientes momentos de fuerza ( pares ) en relación con un punto dado. Así, el par aplicado total.$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}} sobre el origen viene dado por

$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ mathbf {M} _ {C} + \ mathbf {M} _ {B}}

En ciertas situaciones, que no se consideran comúnmente en el análisis del comportamiento mecánico de los materiales, se hace necesario incluir otros dos tipos de fuerzas: estas son tensiones de par ^[14] [15] (pares de superficie, ^[12] pares de contacto ^[13] ) y los momentos corporales . Las tensiones de pareja son momentos por unidad de área aplicada sobre una superficie. Los momentos corporales, o parejas corporales, son momentos por unidad de volumen o por unidad de masa aplicados al volumen del cuerpo. Ambos son importantes en el análisis de la tensión para un sólido dieléctrico polarizado bajo la acción de un campo eléctrico, materiales donde se toma en cuenta la estructura molecular ( por ejemplo,huesos), sólidos bajo la acción de un campo magnético externo y la teoría de la dislocación de los metales. ^{[8] [9] [12]}

Los materiales que exhiben parejas corporales y tensiones de pareja además de los momentos producidos exclusivamente por fuerzas se llaman materiales polares . ^[9] [13] Los materiales no polares son entonces aquellos materiales con solo momentos de fuerzas. En las ramas clásicas de la mecánica del continuo, el desarrollo de la teoría de las tensiones se basa en materiales no polares.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) en el cuerpo puede ser dada por

$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ int _ {V} \ mathbf {a} \, dm = \ int _ {S} \ mathbf {T} \, dS + \ int _ {V} \ rho \ mathbf {b} \, dV}

$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ int _ {S} \ mathbf {r} \ times \ mathbf {T} \, dS + \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ rho \ mathbf { b} \, dV}