SERIES MATEMÁTICAS

serie armónica es la serie infinita divergente :

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots}

Su nombre deriva del concepto de matices , o armónicos de la música : las longitudes de onda de los armónicos de una cuerda vibrante son 1/2 , 1/3 , 1/4 , etc., de la cadena de longitud de onda fundamental . Cada término de la serie después de la primera es la media armónica de los términos vecinos; la frase " significado armónico" también deriva de la música.

Historia [ editar ]

El hecho de que la serie armónica diverge fue comprobada por primera vez en el siglo XIV por Nicole Oresme , ^[1]pero este logro cayó en la oscuridad. Las pruebas se dan en el siglo 17 por Pietro Mengoli , ^[2] Johann Bernoulli , ^[3] y Jacob Bernoulli . ^[4] [5]

Históricamente, las secuencias armónicas han tenido cierta popularidad entre los arquitectos. Esto sucedió particularmente en el período barroco , cuando los arquitectos los utilizaron para establecer las proporciones de los planos de los pisos , de las elevaciones y para establecer relaciones armónicas entre los detalles arquitectónicos interiores y exteriores de las iglesias y los palacios. ^[6]

Aplicaciones [ editar ]

La serie armónica puede ser contrario a la intuición de los estudiantes que encuentran primero, porque se trata de una serie divergente a pesar de que el límite de la n º período como n tiende a infinito es cero. La divergencia de las series armónicas es también la fuente de algunas paradojas aparentes . Un ejemplo de esto es el " gusano en la banda de goma ". ^[7] Supongamos que un gusano se arrastra a lo largo de una banda de goma de un metro de elasticidad infinita al mismo tiempo que la banda de goma se estira uniformemente. Si el gusano se desplaza 1 centímetro por minuto y la banda se estira 1 metro por minuto, ¿llegará el gusano al final de la banda de goma? La respuesta, contraintuitivamente, es "sí", para después.n minutos, la relación entre la distancia recorrida por el gusano y la longitud total de la banda de goma es

$${\ displaystyle {\ frac {1} {100}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.

(De hecho, la relación real es un poco menor que esta suma, ya que la banda se expande continuamente).

Debido a que la serie se vuelve arbitrariamente grande a medida que n se hace más grande, eventualmente esta relación debe exceder de 1, lo que implica que el gusano llega al final de la banda de goma. Sin embargo, el valor de n en el que esto ocurre debe ser extremadamente grande: aproximadamente e ¹⁰⁰ , un número que excede los 10 ⁴³ minutos (10 ³⁷ años). Aunque la serie de armónicos divergen, lo hace muy lentamente.

Otro problema relacionado con la serie de armónicos es el problema del Jeep , que (en una forma) pregunta cuánto combustible total se requiere para que un jeep con una capacidad limitada de transporte de combustible cruce un desierto, posiblemente dejando gotas de combustible a lo largo de la ruta. La distancia que se puede recorrer con una cantidad determinada de combustible está relacionada con las sumas parciales de las series armónicas, que crecen logarítmicamente. Y así, el combustible requerido aumenta exponencialmente con la distancia deseada.

El problema del apilamiento de bloques: bloques alineados de acuerdo con la serie armónica que une las escisiones de cualquier ancho.

Otro ejemplo es el problema de apilar bloques : dada una colección de dominós idénticos, es claramente posible apilarlos en el borde de una mesa para que cuelguen sobre el borde de la mesa sin caerse. El resultado contrario a la intuición es que uno puede apilarlos de tal manera que el saliente sea arbitrariamente grande, siempre que haya suficientes fichas de dominó. ^[7] [8]

Un ejemplo más simple, por otro lado, es el nadador que continúa agregando más velocidad al tocar las paredes de la piscina. El nadador comienza a cruzar una piscina de 10 metros a una velocidad de 2 m / s, y con cada cruce, se agregan otros 2 m / s a ​​la velocidad. En teoría, la velocidad del nadador es ilimitada, pero la cantidad de cruces de piscina necesarios para llegar a esa velocidad es muy grande; por ejemplo, para alcanzar la velocidad de la luz (ignorando la relatividad especial ), el nadador necesita cruzar la piscina 150 millones de veces. Al contrario de este gran número, el tiempo requerido para alcanzar una velocidad determinada depende de la suma de la serie en cualquier número dado de cruces de grupo (iteraciones):

$${\ displaystyle {\ frac {10} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.}

Calcular la suma (iterativamente) muestra que para alcanzar la velocidad de la luz, el tiempo requerido es de solo 97 segundos. Al continuar más allá de este punto (que excede la velocidad de la luz, nuevamente ignorando la relatividad especial ), el tiempo necesario para cruzar la piscina se acercará a cero a medida que el número de iteraciones se vuelve muy grande, y aunque el tiempo requerido para cruzar la piscina parece ser mayor. tienden a cero (en un número infinito de iteraciones), la suma de iteraciones (tiempo tomado para el total de cruces de agrupación) todavía divergirá a una velocidad muy lenta.

Divergencia [ editar ]

Hay varias pruebas conocidas de la divergencia de las series armónicas. Algunos de ellos se dan a continuación.

Prueba de comparación [ editar ]

Una forma de probar la divergencia es comparar las series armónicas con otras series divergentes, donde cada denominador se reemplaza con la siguiente potencia más grande de dos :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {9} } + \ cdots \\ [12pt]> {} & 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {4}}}} + {\ frac { 1} {4}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {\ color {rojo} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {\ color {rojo} {\ mathbf { 16}}}} + \ cdots \ end {alineado}}}

Cada término de la serie armónica es mayor o igual que el término correspondiente de la segunda serie, y por lo tanto la suma de la serie armónica debe ser mayor que la suma de la segunda serie. Sin embargo, la suma de la segunda serie es infinita:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} 1+ \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {4}} \! + \! { \ frac {1} {4}} \ derecha) + \ left ({\ frac {1} {8}} \! + \! {\ frac {1} {8}} \! + \! {\ frac { 1} {8}} \! + \! {\ Frac {1} {8}} \ derecha) + \ left ({\ frac {1} {16}} \! + \! \ Cdots \! + \! {\ frac {1} {16}} \ derecha) + \ cdots \\ [12pt] = {} & 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + \ cdots = \ infty \ end {alineado}}}

De ello se deduce (mediante la prueba de comparación ) que la suma de las series armónicas también debe ser infinita. Más precisamente, la comparación anterior demuestra que

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {2 ^ {k}} {\ frac {1} {n}} \ geq 1 + {\ frac {k} {2}}}

por cada entero positivo k . 

Esta prueba, propuesta por Nicole Oresme alrededor de 1350, es considerada por muchos en la comunidad matemática ^{[¿ por quién? ]} para ser un punto alto de las matemáticas medievales . Todavía es una prueba estándar que se enseña hoy en las clases de matemáticas. La prueba de condensación de Cauchy es una generalización de este argumento.

Prueba integral [ editar ]

Ilustración de la prueba integral.

Es posible probar que la serie armónica difiere comparando su suma con una integral impropia . Específicamente, considere la disposición de los rectángulos que se muestra en la figura de la derecha. Cada rectángulo tiene 1 unidad de ancho y 1/n unidades de altura, por lo que el área total del número infinito de rectángulos es la suma de las series armónicas:

$${\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area of}} \\ {\ text {rectangles}} \ end {array}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + { \ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots}

Además, el área total bajo la curva y = 1/x desde 1 hasta el infinito viene dada por una integral impropia divergente :

$${\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area under}} \\ {\ text {curve}} \ end {array}} = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ infty.}

Como esta área está completamente contenida dentro de los rectángulos, el área total de los rectángulos también debe ser infinita. Más precisamente, esto demuestra que

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}}> \ int _ {1} ^ {k + 1} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ ln (k + 1).}

La generalización de este argumento se conoce como la prueba integral .

Vía la convergencia dominada (por contradicción) [ editar ]

Una prueba por contradicción, que utiliza el teorema de convergencia dominado en el espacio de secuencia ℓ ^1,es el siguiente. Considere la siguiente secuencia de elementos unidad-norma u _n de ℓ ¹ :

$${\ displaystyle u_ {1}: = {\ big (} 1,0,0, \ dots {\ big)}}

$${\ displaystyle u_ {2}: = {\ Big (} {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}}, 0,0, \ dots {\ Big)}}

$${\ displaystyle u_ {3}: = {\ Big (} {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {3}}, 0,0 , \ dots {\ Big)},}

y así. Claramente, la secuencia u _n converge puntualmente a 0 ; además está dominado por

$${\ displaystyle h: = {\ Big (} 1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {4}}, \ dots {\ Grande )}}

Si las series armónicas fuesen convergentes, es decir, si h fuera un elemento de ℓ ¹ , por convergencia dominada, concluiríamos

$${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} u_ {n, k} \ a 0} como $${\ displaystyle n \ to + \ infty}, una contradicción.

Tasa de divergencia [ editar ]

La serie armónica diverge muy lentamente. Por ejemplo, la suma de los primeros 10 ⁴³ términos es menor que 100. ^[9] Esto se debe a que las sumas parciales de la serie tienen un crecimiento logarítmico . En particular,

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}} = \ ln k + \ gamma + \ varepsilon _ {k} \ leq (\ ln k) +1}

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y ε _k ~ 1/2 k que se aproxima a 0 como k tiende a infinito. Leonhard Euler demostró esto y también el hecho más sorprendente de que la suma que incluye solo los recíprocos de números primos también es diferente.

$${\ displaystyle \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} { 17}} + \ cdots = \ infty.}

Sumas parciales [ editar ]

Artículo principal: Número de armónicos

Los primeros treinta números armónicos esconder

norte	Suma parcial de la serie armónica, H n.
	expresado como una fracción		decimal	tamano relativo
1	1		1
2	3	/ 2	1.5
3	11	/ 6	~ 1.83333
4	25	/ 12	~ 2.08333
5	137	/ 60	~ 2.28333
6	49	/ 20	2.45
7	363	/ 140	~ 2.59286
8	761	/ 280	~ 2.71786
9	7 129	/2 520	~ 2.82897
10	7 381	/2 520	~ 2.92897
11	83 711	/27 720	~ 3.01988
12	86 021	/27 720	~ 3.10321
13	1 145 993	/360 360	~ 3.18013
14	1 171 733	/360 360	~ 3.25156
15	1 195 757	/360 360	~ 3.31823
dieciséis	2 436 559	/720 720	~ 3.38073
17	42 142 223	/12 252 240	~ 3.43955
18	14 274 301	/4 084 080	~ 3.49511
19	275 295 799	/77 597 520	~ 3.54774
20	55 835 135	/15 519 504	~ 3.59774
21	18 858 053	/5 173 168	~ 3.64536
22	19 093 197	/5 173 168	~ 3.69081
23	444 316 699	/118 982 864	~ 3.73429
24	1 347 822 955	/356 948 592	~ 3.77596
25	34 052 522 467	/8 923 714 800	~ 3.81596
26	34 395 742 267	/8 923 714 800	~ 3.85442
27	312 536 252 003	/80 313 433 200	~ 3.89146
28	315 404 588 903	/80 313 433 200	~ 3.92717
29	9 227 046 511 387	/2 329 089 562 800	~ 3.96165
30	9 304 682 830 147	/2 329 089 562 800	~ 3.99499

Las sumas parciales finitas de las series armónicas divergentes,

$${\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}},}

Se llaman números armónicos .

La diferencia entre H _n y ln n converge a la constante de Euler-Mascheroni . La diferencia entre dos números armónicos nunca es un número entero. No hay números armónicos que sean enteros, excepto para H ₁ = 1 . ^{[10] : p. 24 [11] : Thm. 1}

Series relacionadas [ editar ]

Series armónicas alternantes [ editar ]

Ver también: Teorema de la serie de Riemann § Cambiar la suma

Las primeras catorce sumas parciales de las series armónicas alternas (segmentos de línea negra) mostradas convergen al logaritmo natural de 2 (línea roja).

Las series

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + { \ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots}

Es conocida como la serie armónica alternante . Esta serie converge por la prueba de la serie alterna . En particular, la suma es igual al logaritmo natural de 2 :

$${\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots = \ ln 2.}

La serie de armónicos alternos, aunque condicionalmente convergente , no es absolutamente convergente : si los términos de la serie se reorganizan sistemáticamente, en general la suma se vuelve diferente y, dependiendo de la reorganización, posiblemente incluso infinita.

La fórmula de la serie armónica alterna es un caso especial de la serie Mercator , la serie de Taylor para el logaritmo natural.

Una serie relacionada se puede derivar de la serie de Taylor para la arcotangente :

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

Esto se conoce como la serie Leibniz .

Series armónicas generales [ editar ]

La serie armónica general es de la forma.

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {an + b}},}

donde a ≠ 0 y b son números reales, y b/a no es cero o un entero negativo.

Por la prueba de comparación de límites con la serie de armónicos, también divergen todas las series de armónicos generales.

p -series [ editar ]

Una generalización de la serie armónica es el p -series (o serie hyperharmonic ), definido como

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p}}}}

para cualquier número real p . Cuando p = 1 , la serie p es la serie armónica, que diverge. Ya sea la prueba integral o la prueba de condensación de Cauchy muestran que la serie p converge para todas las p > 1 (en cuyo caso se denomina serie sobrearmónica ) y difiere para todas las p ≤ 1 . Si p > 1 , la suma de la serie p es ζ ( p ), es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p .

El problema de encontrar la suma para p = 2 se llama el problema de Basilea ; Leonhard Euler mostró se ¸ ²/6 . El valor de la suma para p = 3 se llama constante de Apéry .

ln-series [ editar ]

En cuanto a los p -series es el ln-serie , que se define como

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (\ ln n) ^ {p}}}}

para cualquier número real positivo p . La prueba integral puede mostrar que esto difiere para p ≤ 1, pero converge para todo p > 1 .

φ -serie [ editar ]

Para cualquier función convexa y de valor real φ tal que

{\ displaystyle \ limsup _ {u \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ varphi (u / 2)} {\ varphi (u)}} <{\ frac {1} {2}},}

las series $${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ varphi (1 / n)}es convergente ^{[ cita requerida ]}

Serie armónica al azar [ editar ]

La serie armónica aleatoria.

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {s_ {n}} {n}},}

donde la s _n son independientes , idénticamente distribuidas variables aleatorias que toman los valores +1 y -1 con igual probabilidad 1/2 , es un ejemplo bien conocido en la teoría de probabilidad para una serie de variables aleatorias que converge con probabilidad 1 . El hecho de esta convergencia es una consecuencia fácil, ya sea del teorema de tres series de Kolmogorov o de la desigualdad máxima estrechamente relacionada de Kolmogorov . Byron Schmuland de la Universidad de Alberta examinó con más detalle ^[12] las propiedades de las series armónicas aleatorias, y mostró que las series convergentes son una variable aleatoriaCon algunas propiedades interesantes. En particular, la función de densidad de probabilidad de esta variable aleatoria evaluada en +2 o en -2 toma el valor0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764..., que difiere de 1/8 por menos de 10 ^-42 . El artículo de Schmuland explica por qué esta probabilidad es tan cerca, pero no exactamente, 1/8 . El valor exacto de esta probabilidad viene dado por el producto coseno infinito integral C ₂ ^[13] dividido por π .

Series armónicas empobrecidas [ editar ]

Artículo principal: Serie Kempner.

La serie de armónicos agotada en la que se eliminan todos los términos en los que aparece el dígito 9 en cualquier lugar del denominador puede mostrarse como convergentes y su valor es menor que 80. ^[14] De hecho, cuando todos los términos que contienen una cadena de dígitos en particular (En cualquier base ) se eliminan las series que convergen.