TEMAS DE FÍSICA

MECÁNICA CONTINUA , CONTINUACIÓN I

Cinemática: movimiento y deformación [ editar ]

Figura 2. Movimiento de un cuerpo continuo.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo da como resultado un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación . Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio de forma y / o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada$${\ displaystyle \ \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})} a una configuración actual o deformada $${\ displaystyle \ \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})} (Figura 2).

El movimiento de un cuerpo continuo es una secuencia temporal continua de desplazamientos. Por lo tanto, el cuerpo material ocupará diferentes configuraciones en diferentes momentos, de modo que una partícula ocupa una serie de puntos en el espacio que describen una línea de trayectoria.

Hay continuidad durante el movimiento o la deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

• Los puntos de material que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
• Los puntos de material que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

Es conveniente identificar una configuración de referencia o una condición inicial a partir de la cual se haga referencia a todas las configuraciones posteriores. La configuración de referencia no tiene por qué ser una que el cuerpo ocupará nunca. A menudo, la configuración en$${\ displaystyle \ t = 0} Se considera la configuración de referencia, $${\ displaystyle \ \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}. Los componentes$${\ displaystyle \ X_ {i}} del vector de posicion $${\ displaystyle \ \ mathbf {X}} de una partícula, tomada con respecto a la configuración de referencia, se llama material o coordenadas de referencia.

Al analizar el movimiento o la deformación de los sólidos, o el flujo de fluidos, es necesario describir la secuencia o evolución de las configuraciones a lo largo del tiempo. Una descripción del movimiento se realiza en términos del material o coordenadas de referencia, llamada descripción del material o descripción lagrangiana.

Descripción lagrangiana [ editar ]

En la descripción lagrangiana, la posición y las propiedades físicas de las partículas se describen en términos del material o las coordenadas de referencia y el tiempo. En este caso la configuración de referencia es la configuración en$${\ displaystyle \ t = 0}. Un observador que se encuentra en el marco de referencia observa los cambios en la posición y las propiedades físicas a medida que el cuerpo material se mueve en el espacio a medida que avanza el tiempo. Los resultados obtenidos son independientes de la elección del tiempo inicial y la configuración de referencia,$${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}. Esta descripción se usa normalmente en mecánica de sólidos .

En la descripción lagrangiana, el movimiento de un cuerpo continuo se expresa mediante la función de mapeo $${\ displaystyle \ \ chi (\ cdot)} (Figura 2),

$${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = \ chi (\ mathbf {X}, t)}

que es un mapeo de la configuración inicial $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})} en la configuración actual $${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}, dando una correspondencia geométrica entre ellos, es decir, dando el vector de posición $${\ displaystyle \ \ mathbf {x} = x_ {i} \ mathbf {e} _ {i}} que una partícula $${\ displaystyle \ X}, con un vector de posicion $${\ displaystyle \ \ mathbf {X}} en la configuración no reformada o de referencia $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}, ocupará en la configuración actual o deformada. $${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})} en el momento $${\ displaystyle \ t}. Los componentes$${\ displaystyle \ x_ {i}} Se llaman las coordenadas espaciales.

Propiedades físicas y cinemáticas. $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}}, es decir, las propiedades termodinámicas y la velocidad del flujo, que describen o caracterizan las características del cuerpo material, se expresan como funciones continuas de posición y tiempo, es decir $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots} = P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t)}.

El material derivado de cualquier propiedad. $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}}de un continuo, que puede ser un escalar, un vector o un tensor, es la tasa de tiempo de cambio de esa propiedad para un grupo específico de partículas del cuerpo continuo en movimiento. El derivado material también se conoce como el derivado sustancial , o derivado de desarrollo , o derivado de convección . Se puede pensar como la velocidad a la que cambia la propiedad cuando se mide por un observador que viaja con ese grupo de partículas.

En la descripción lagrangiana, el derivado material de $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}} es simplemente la derivada parcial con respecto al tiempo, y el vector de posición $${\ displaystyle \ \ mathbf {X}}Se mantiene constante ya que no cambia con el tiempo. Así, tenemos

$${\ displaystyle \ {\ frac {d} {dt}} [P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t)] = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} [P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t)]}

La posicion instantanea $${\ displaystyle \ \ mathbf {x}}es una propiedad de una partícula, y su derivado material es la velocidad de flujo instantánea $${\ displaystyle \ \ mathbf {v}}de la partícula. Por lo tanto, el campo de velocidad de flujo del continuo está dado por

$${\ displaystyle \ \ mathbf {v} = {\ dot {\ mathbf {x}}} = {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = {\ frac {\ partial \ chi (\ mathbf { X}, t)} {\ parcial t}}}

Del mismo modo, el campo de aceleración está dado por

$${\ displaystyle \ \ mathbf {a} = {\ dot {\ mathbf {v}}} = {\ ddot {\ mathbf {x}}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {x}} { dt ^ {2}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ chi (\ mathbf {X}, t)} {\ partial t ^ {2}}}}

La continuidad en la descripción lagrangiana se expresa mediante la continuidad espacial y temporal del mapeo desde la configuración de referencia hasta la configuración actual de los puntos materiales. Todas las cantidades físicas que caracterizan el continuo se describen de esta manera. En este sentido, la función.$${\ displaystyle \ chi (\ cdot)} y $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots} (\ cdot)} son de un solo valor y continuos, con derivadas continuas con respecto al espacio y el tiempo a cualquier orden que se requiera, generalmente al segundo o al tercero.

Descripción de Euler [ editar ]

La continuidad permite lo inverso de $${\ displaystyle \ chi (\ cdot)} para rastrear hacia atrás donde la partícula se encuentra actualmente en $${\ displaystyle \ mathbf {x}} Se ubicó en la configuración inicial o referenciada. $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}. En este caso, la descripción del movimiento se realiza en términos de las coordenadas espaciales, en cuyo caso se denomina descripción espacial o descripción euleriana, es decir, la configuración actual se toma como la configuración de referencia .

La descripción euleriana, introducida por d'Alembert , se centra en la configuración actual$${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})}, prestando atención a lo que ocurre en un punto fijo en el espacio a medida que avanza el tiempo, en lugar de prestar atención a las partículas individuales a medida que se mueven a través del espacio y el tiempo. Este enfoque se aplica convenientemente en el estudio del flujo de fluidos donde la propiedad cinemática de mayor interés es la velocidad a la que se produce el cambio en lugar de la forma del cuerpo del fluido en un momento de referencia. ^[dieciséis]

Matemáticamente, el movimiento de un continuo que utiliza la descripción euleriana se expresa mediante la función de mapeo

$${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ chi ^ {- 1} (\ mathbf {x}, t)}

que proporciona un trazado de la partícula que ahora ocupa la posición $${\ displaystyle \ mathbf {x}} en la configuracion actual $${\ displaystyle \ kappa _ {t} ({\ mathcal {B}})} a su posición original $${\ displaystyle \ mathbf {X}} en la configuracion inicial $${\ displaystyle \ kappa _ {0} ({\ mathcal {B}})}.

Una condición necesaria y suficiente para que exista esta función inversa es que el determinante de la Matriz jacobiana , a menudo denominado simplemente jacobiano, debe ser diferente de cero. Así,

$${\ displaystyle \ J = \ left | {\ frac {\ partial \ chi _ {i}} {\ partial X_ {J}}} \ right | = \ left | {\ frac {\ partial x_ {i}} { \ partial X_ {J}}} \ right | \ neq 0}

En la descripción euleriana, las propiedades físicas. $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}} se expresan como

$${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots} = P_ {ij \ ldots} (\ mathbf {X}, t) = P_ {ij \ ldots} [\ chi ^ {- 1} (\ mathbf {x}, t) , t] = p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}

donde la forma funcional de $${\ displaystyle \ P_ {ij \ ldots}} en la descripción lagrangiana no es la misma que la forma de $${\ displaystyle \ p_ {ij \ ldots}} en la descripción euleriana.

El material derivado de $${\ displaystyle \ p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}, usando la regla de la cadena, es entonces

$${\ displaystyle \ {\ frac {d} {dt}} [p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)] = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} [p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)] + {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} [p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)] {\ frac { dx_ {k}} {dt}}}

El primer término en el lado derecho de esta ecuación da la tasa de cambio local de la propiedad$${\ displaystyle \ p_ {ij \ ldots} (\ mathbf {x}, t)}ocurriendo en la posición $${\ displaystyle \ \ mathbf {x}}. El segundo término del lado derecho es la tasa de cambio por convección y expresa la contribución de la posición de cambio de partícula en el espacio (movimiento).

La continuidad en la descripción euleriana se expresa por la continuidad espacial y temporal y la diferenciabilidad continua del campo de velocidad de flujo. Todas las cantidades físicas se definen de esta manera en cada instante de tiempo, en la configuración actual, como una función de la posición del vector.$${\ displaystyle \ \ mathbf {x}}.

Campo de desplazamiento [ editar ]

El vector que une las posiciones de una partícula. $${\ displaystyle \ P}en la configuración no deformada y la configuración deformada se llama el vector de desplazamiento $${\ displaystyle \ \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = u_ {i} \ mathbf {e} _ {i}}, en la descripción lagrangiana, o $${\ displaystyle \ \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = U_ {J} \ mathbf {E} _ {J}}, en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento para todas las partículas en el cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente hacer el análisis de la deformación o movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como

$${\ displaystyle \ \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = \ mathbf {b} + \ mathbf {x} (\ mathbf {X}, t) - \ mathbf {X} \ qquad {\ text {o}} \ qquad u_ {i} = \ alpha _ {iJ} b_ {J} + x_ {i} - \ alpha _ {iJ} X_ {J}}

o en términos de las coordenadas espaciales como

$${\ displaystyle \ \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {b} + \ mathbf {x} - \ mathbf {X} (\ mathbf {x}, t) \ qquad {\ text {o}} \ qquad U_ {J} = b_ {J} + \ alpha _ {Ji} x_ {i} -X_ {J} \,}

dónde $${\ displaystyle \ \ alpha _ {Ji}} son los cosenos de dirección entre el material y los sistemas de coordenadas espaciales con vectores unitarios $${\ displaystyle \ \ mathbf {E} _ {J}} y $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}, respectivamente. Así

$${\ displaystyle \ \ mathbf {E} _ {J} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ alpha _ {Ji} = \ alpha _ {iJ}}

y la relación entre $${\ displaystyle \ u_ {i}} y $${\ displaystyle \ U_ {J}} entonces es dado por

$${\ displaystyle \ u_ {i} = \ alpha _ {iJ} U_ {J} \ qquad {\ text {o}} \ qquad U_ {J} = \ alpha _ {Ji} u_ {i}}

Sabiendo que

$${\ displaystyle \ \ mathbf {e} _ {i} = \ alpha _ {iJ} \ mathbf {E} _ {J}}

entonces

$${\ displaystyle \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = u_ {i} \ mathbf {e} _ {i} = u_ {i} (\ alpha _ {iJ} \ mathbf {E} _ { J}) = U_ {J} \ mathbf {E} _ {J} = \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t)}

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones no deformadas y deformadas, lo que resulta en $${\ displaystyle \ \ mathbf {b} = 0}, y los cosenos de dirección se convierten en deltas de Kronecker , es decir,

$${\ displaystyle \ \ mathbf {E} _ {J} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} = \ delta _ {Ji} = \ delta _ {iJ}}

Así, tenemos

$${\ displaystyle \ \ mathbf {u} (\ mathbf {X}, t) = \ mathbf {x} (\ mathbf {X}, t) - \ mathbf {X} \ qquad {\ text {o}} \ qquad u_ {i} = x_ {i} - \ delta _ {iJ} X_ {J}}

o en términos de las coordenadas espaciales como

$${\ displaystyle \ \ mathbf {U} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {x} - \ mathbf {X} (\ mathbf {x}, t) \ qquad {\ text {o}} \ qquad U_ {J} = \ delta _ {Ji} x_ {i} -X_ {J}}

Ecuaciones gobernantes [ editar ]

La mecánica de continuo se ocupa del comportamiento de los materiales que pueden aproximarse como continuos para ciertas escalas de longitud y tiempo. Las ecuaciones que gobiernan la mecánica de tales materiales incluyen las leyes de equilibrio para la masa , el impulso y la energía . Se necesitan relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas para completar el sistema de ecuaciones de gobierno. Las restricciones físicas en la forma de las relaciones constitutivas pueden aplicarse al exigir que se cumpla la segunda ley de la termodinámica en todas las condiciones. En la mecánica continua de sólidos, la segunda ley de la termodinámica se satisface si Clausius-Duhem Se satisface la forma de entropía de la desigualdad.

Las leyes de equilibrio expresan la idea de que la tasa de cambio de una cantidad (masa, impulso, energía) en un volumen debe surgir de tres causas:

1. la cantidad física en sí misma fluye a través de la superficie que limita el volumen,
2. hay una fuente de la cantidad física en la superficie del volumen, y / o,
3. Hay una fuente de la cantidad física dentro del volumen.

Dejar $${\ displaystyle \ Omega} ser el cuerpo (un subconjunto abierto del espacio euclidiano) y dejar $${\ displaystyle \ partial \ Omega} ser su superficie (el límite de $${\ displaystyle \ Omega}).

Deje que el movimiento de los puntos materiales en el cuerpo sea descrito por el mapa.

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ boldsymbol {\ chi}} (\ mathbf {X}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {X})}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {X}} Es la posición de un punto en la configuración inicial y $${\ displaystyle \ mathbf {x}} Es la ubicación del mismo punto en la configuración deformada.

El gradiente de deformación está dado por

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial \ mathbf {X}}} = \ nabla {\ boldsymbol {\ mathbf {x}}} ~.}

Leyes de equilibrio [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, t)}Ser una cantidad física que está fluyendo a través del cuerpo. Dejar$${\ displaystyle g (\ mathbf {x}, t)} Ser fuentes en la superficie del cuerpo y dejar $${\ displaystyle h (\ mathbf {x}, t)}Ser fuentes dentro del cuerpo. Dejar$${\ displaystyle \ mathbf {n} (\ mathbf {x}, t)} Ser la unidad exterior normal a la superficie. $${\ displaystyle \ partial \ Omega}. Dejar$${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t)}Sé la velocidad de flujo de las partículas físicas que transportan la cantidad física que está fluyendo. Además, deje que la velocidad a la que la superficie delimitada$${\ displaystyle \ partial \ Omega} se está moviendo $${\ displaystyle u_ {n}} (en la dirección $${\ displaystyle \ mathbf {n}}).

Entonces, las leyes de equilibrio se pueden expresar en la forma general.

$${\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ left [\ int _ {\ Omega} f (\ mathbf {x}, t) ~ {\ text {dV}} \ right] = \ int _ {\ parcial \ Omega} f (\ mathbf {x}, t) [u_ {n} (\ mathbf {x}, t) - \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t) \ cdot \ mathbf {n} (\ mathbf {x}, t)] ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ partial \ Omega} g (\ mathbf {x}, t) ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} h (\ mathbf {x}, t) ~ {\ text {dV}} ~.}

Tenga en cuenta que las funciones $${\ displaystyle f (\ mathbf {x}, t)}, $${\ displaystyle g (\ mathbf {x}, t)}y $${\ displaystyle h (\ mathbf {x}, t)}pueden ser de valor escalar, de vector o de tensor, dependiendo de la cantidad física con la que trata la ecuación de equilibrio. Si hay límites internos en el cuerpo, las discontinuidades de salto también deben especificarse en las leyes de equilibrio.

Si tomamos el punto de vista euleriano , se puede mostrar que las leyes de balance de masa, momento y energía para un sólido se pueden escribir como (suponiendo que el término fuente es cero para las masas y el momento angular de las ecuaciones)

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ dot {\ rho}} + \ rho ~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Mass}} \\ rho ~ {\ dot {\ mathbf {v}}} - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - \ rho ~ \ mathbf {b} & = 0 && \ qquad { \ text {Balance of Linear Momentum (la primera ley de movimiento de Cauchy)}} \\ {\ boldsymbol {\ sigma}} & = {\ boldsymbol {\ sigma}} ^ {T} && \ qquad {\ text {Balance of Angular Momentum (segunda ley del movimiento de Cauchy)}} \\\ rho ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {\ sigma}}: ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v}) + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho ~ s & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Energy.}} \ end {alineado}}}

En las ecuaciones anteriores. $${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}, t)} es la densidad de masa (corriente), $${\ displaystyle {\ dot {\ rho}}} es el material derivado del tiempo $${\ displaystyle \ rho}, $${\ displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {x}, t)} es la velocidad de la partícula, $${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {v}}}} es el material derivado del tiempo $${\ displaystyle \ mathbf {v}}, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (\ mathbf {x}, t)}es el tensor de estrés Cauchy ,$${\ displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x}, t)} es la densidad de fuerza del cuerpo, $${\ displaystyle e (\ mathbf {x}, t)} es la energía interna por unidad de masa, $${\ displaystyle {\ dot {e}}} es el material derivado del tiempo $${\ displaystyle e}, $${\ displaystyle \ mathbf {q} (\ mathbf {x}, t)} es el vector de flujo de calor, y $${\ displaystyle s (\ mathbf {x}, t)} Es una fuente de energía por unidad de masa.

Con respecto a la configuración de referencia (el punto de vista lagrangiano), las leyes de equilibrio se pueden escribir como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho ~ \ det ({\ boldsymbol {F}}) - \ rho _ {0} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Mass}} \\\ rho _ { 0} ~ {\ ddot {\ mathbf {x}}} - {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot {\ boldsymbol {P}} ^ {T} - \ rho _ {0} ~ \ mathbf {b} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Linear Momentum}} \\ {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {P}} ^ {T} & = {\ boldsymbol {P}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} && \ qquad {\ text {Balance of Angular Momentum}} \\\ rho _ {0} ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {P}} ^ {T}: {\ dot {\ boldsymbol {F}}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho _ {0} ~ s & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Energy.}} \ end {alineado}}}

En lo anterior, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}}}es el primer tensor de estrés Piola-Kirchhoff , y $${\ displaystyle \ rho _ {0}}Es la densidad de masa en la configuración de referencia. El primer tensor de tensión Piola-Kirchhoff está relacionado con el tensor de tensión Cauchy por

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {P}} = J ~ {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- T} ~ {\ text {where}} ~ J = \ det ({ \ boldsymbol {F}})}

Alternativamente podemos definir el tensor de tensión nominal. $${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}}} que es la transposición del primer tensor de tensión Piola-Kirchhoff tal que

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} = {\ boldsymbol {P}} ^ {T} = J ~ {\ boldsymbol {F}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} ~.}

Entonces las leyes de equilibrio se convierten

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho ~ \ det ({\ boldsymbol {F}}) - \ rho _ {0} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Mass}} \\\ rho _ { 0} ~ {\ ddot {\ mathbf {x}}} - {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot {\ boldsymbol {N}} - \ rho _ {0} ~ \ mathbf {b} & = 0 && \ qquad {\ text {Balance of Linear Momentum}} \\ {\ boldsymbol {F}} \ cdot {\ boldsymbol {N}} & = {\ boldsymbol {N}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {T} && \ qquad {\ text {Balance of Angular Momentum}} \\\ rho _ {0} ~ {\ dot {e}} - {\ boldsymbol {N}}: {\ dot {\ boldsymbol {F}}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot \ mathbf {q} - \ rho _ {0} ~ s & = 0 && \ qquad {\ text {Balance de energía. }} \ end {alineado}}}

Los operadores en las ecuaciones anteriores se definen como tales que

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {j}} } \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j} = v_ {i, j} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {v} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ partial x_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial S_ {ij}} {\ parcial x_ {j}}} ~ \ mathbf {e} _ {i} = \ sigma _ {ij, j} ~ \ mathbf {e} _ {i} ~.}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {v}} es un campo vectorial, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}} es un campo tensor de segundo orden, y $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}Son los componentes de una base ortonormal en la configuración actual. También,

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ mathbf {v} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i}} {\ parcial X_ {j}}} \ mathbf {E} _ {i} \ otimes \ mathbf {E} _ {j} = v_ {i, j} \ mathbf {E} _ {i} \ otimes \ mathbf {E} _ {j} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot \ mathbf {v} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial v_ {i} } {\ parcial X_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} _ {\ circ} \ cdot {\ boldsymbol {S}} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial S_ {ij}} {\ parcial X_ {j}}} ~ \ mathbf {E} _ {i} = S_ {ij, j} ~ \ mathbf {E } _{yo}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {v}} es un campo vectorial, $${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}} es un campo tensor de segundo orden, y $${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {i}} Son los componentes de una base ortonormal en la configuración de referencia.

El producto interior se define como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}: {\ boldsymbol {B}} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} A_ {ij} ~ B_ {ij} = \ operatorname {trace} ({ \ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {B}} ^ {T}) ~.}

Desigualdad de Clausius-Duhem [ editar ]

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede utilizar para expresar la segunda ley de la termodinámica para materiales elásticos y plásticos. Esta desigualdad es una afirmación sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de la disipación de energía.

Al igual que en las leyes de equilibrio en la sección anterior, asumimos que hay un flujo de una cantidad, una fuente de la cantidad y una densidad interna de la cantidad por unidad de masa. La cantidad de interés en este caso es la entropía. Por lo tanto, asumimos que hay un flujo de entropía, una fuente de entropía, una densidad de masa interna$${\ displaystyle \ rho} y una entropía específica interna (es decir, entropía por unidad de masa) $${\ displaystyle \ eta} en la región de interés.

Dejar $${\ displaystyle \ Omega} ser tal región y dejar $${\ displaystyle \ partial \ Omega}ser su frontera. Entonces, la segunda ley de la termodinámica establece que la tasa de aumento de $${\ displaystyle \ eta} en esta región es mayor que o igual a la suma de la suministrada a $${\ displaystyle \ Omega} (como un flujo o desde fuentes internas) y el cambio de la densidad de entropía interna $${\ displaystyle \ rho \ eta} Debido al material que entra y sale de la región.

Dejar $${\ displaystyle \ partial \ Omega} moverse con una velocidad de flujo $${\ displaystyle u_ {n}} y dejar partículas dentro $${\ displaystyle \ Omega} tener velocidades $${\ displaystyle \ mathbf {v}}. Dejar$${\ displaystyle \ mathbf {n}} Ser la unidad exterior normal a la superficie. $${\ displaystyle \ partial \ Omega}. Dejar$${\ displaystyle \ rho} ser la densidad de materia en la región, $${\ displaystyle {\ bar {q}}} ser el flujo de entropía en la superficie, y $${\ displaystyle r}Ser la fuente de entropía por unidad de masa. Entonces la desigualdad de entropía se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ cfrac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ text {dV}} \ right) \ geq \ int _ {\ partial \ Omega} \ rho ~ \ eta ~ (u_ {n} - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ partial \ Omega} {\ bar {q}} ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} \ rho ~ r ~ {\ text {dV}}.}

El flujo de entropía escalar puede relacionarse con el flujo vectorial en la superficie por la relación $${\ displaystyle {\ bar {q}} = - {\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {n}}. Bajo el supuesto de condiciones isotérmicas incrementales, tenemos

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} (\ mathbf {x}) = {\ cfrac {\ mathbf {q} (\ mathbf {x})} {T}} ~; ~~ r = {\ cfrac { S t}}}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {q}} es el vector de flujo de calor, $${\ displaystyle s} es una fuente de energía por unidad de masa, y $${\ displaystyle T} es la temperatura absoluta de un punto material en $${\ displaystyle \ mathbf {x}} en el momento $${\ displaystyle t}.

Entonces tenemos la desigualdad de Clausius-Duhem en forma integral:

$${\ displaystyle {{\ cfrac {d} {dt}} \ left (\ int _ {\ Omega} \ rho ~ \ eta ~ {\ text {dV}} \ right) \ geq \ int _ {\ partial \ Omega } \ rho ~ \ eta ~ (u_ {n} - \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n}) ~ {\ text {dA}} - \ int _ {\ partial \ Omega} {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot \ mathbf {n}} {T}} ~ {\ text {dA}} + \ int _ {\ Omega} {\ cfrac {\ rho ~ s} {T}} ~ {\ text {dV }}.}}

Podemos demostrar que la desigualdad de entropía puede escribirse en forma diferencial como

$${\ displaystyle {\ rho ~ {\ dot {\ eta}} \ geq - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ cfrac {\ mathbf {q}} {T}} \ right) + { \ cfrac {\ rho ~ s} {T}}}}

En términos del estrés de Cauchy y la energía interna, la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como

$${\ displaystyle {\ rho ~ ({\ dot {e}} - T ~ {\ dot {\ eta}}) - {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} \ leq - {\ cfrac {\ mathbf {q} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} T} {T}}}}