La geometría absoluta es una geometría basada en un sistema de axiomas para la geometría euclidiana sin el postulado paralelo o cualquiera de sus alternativas. Tradicionalmente, esto ha significado usar solo los primeros cuatro postulados de Euclides , pero como estos no son suficientes como base de la geometría euclidiana , se usan otros sistemas, como los axiomas de Hilbert sin el axioma paralelo. [1] El término fue introducido por János Bolyai en 1832. [2] A veces se lo conoce como geometría neutral , [3] ya que es neutral con respecto al postulado paralelo.
Propiedades [ editar ]
Podría imaginarse que la geometría absoluta es un sistema bastante débil, pero ese no es el caso. De hecho, en los Elementosde Euclides , las primeras 28 proposiciones y la Proposición 31 evitan el uso del postulado paralelo, y por lo tanto son válidas en geometría absoluta. También se puede probar en geometría absoluta el teorema del ángulo exterior (un ángulo exterior de un triángulo es más grande que cualquiera de los ángulos remotos), así como el teorema de Saccheri-Legendre , que establece que la suma de las medidas de los ángulos en una El triángulo tiene como máximo 180 °. [4]
La Proposición 31 es la construcción de una línea paralela a una línea dada a través de un punto que no está en la línea dada. [5] Como la prueba solo requiere el uso de la Proposición 27 (el Teorema del ángulo interior alternativo), es una construcción válida en geometría absoluta. Más precisamente, dada cualquier línea l y cualquier punto P no en l , hay al menos una línea a través de P que es paralela a l . Esto se puede probar usando una construcción familiar: dado que una línea l y un punto P no están en l , deja caer la perpendicular mde P a l, Entonces erigir una perpendicular n a m a través de P . Por el teorema de ángulo interior alternativo, l es paralelo a n . (El teorema del ángulo interior alternativo indica que si las líneas a y b se cortan con una t transversal, de modo que hay un par de ángulos internos alternos congruentes, entonces a y b son paralelos). La construcción anterior y el teorema del ángulo interior alternos No dependa del postulado paralelo y, por lo tanto, son válidos en geometría absoluta. [6]
En geometría absoluta también es demostrable que dos líneas perpendiculares a la misma línea no pueden intersecarse (lo que hace que las dos líneas sean paralelas por definición de líneas paralelas), lo que demuestra que los ángulos de la cumbre de un cuadrilátero de Saccheri no pueden ser obtusos , y que la geometría esféricano es Una geometría absoluta.
Relación con otras geometrías [ editar ]
Los teoremas de la geometría absoluta se mantienen en la geometría hiperbólica , que es una geometría no euclidiana , así como en la geometría euclidiana . [7]
La geometría absoluta es inconsistente con la geometría elíptica : en esa teoría, no hay líneas paralelas en absoluto, pero es un teorema de la geometría absoluta que existen líneas paralelas. Sin embargo, es posible modificar el sistema de axiomas para que la geometría absoluta, tal como se define en el sistema modificado, incluya geometrías esféricas y elípticas, que no tengan líneas paralelas. [8]
La geometría absoluta es una extensión de la geometría ordenada y, por lo tanto, todos los teoremas de la geometría ordenada se mantienen en la geometría absoluta. Lo contrario no es cierto. La geometría absoluta asume que los cuatro primeros de los Axiomas de Euclides (o sus equivalentes) se contrastan con la geometría afín , que no asume los axiomas tercero y cuarto de Euclides. (3: "Para describir un círculo con cualquier radio decentro y distancia .", 4: "Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.") La geometría ordenada es una base común de la geometría absoluta y afín. [9]
La geometría de la relatividad especial se ha desarrollado a partir de nueve axiomas y once proposiciones de geometría absoluta. [10] [11] Los autores Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis continúan más allá de la geometría absoluta cuando introducen la rotación hiperbólica como la transformación que relaciona dos marcos de referencia .
Planos de Hilbert [ editar ]
Un plano que satisface los axiomas de Incidencia , Entreess y Congruencia de Hilbert se denomina plano de Hilbert . [12] Los planos de Hilbert son modelos de geometría absoluta. [13]
Incompletitud [ editar ]
La geometría absoluta es un sistema axiomático incompleto , en el sentido de que uno puede agregar axiomas independientes adicionales sin hacer que el sistema de axiomas sea inconsistente. Uno puede extender la geometría absoluta agregando diferentes axiomas sobre líneas paralelas y obtener sistemas de axiomas incompatibles pero consistentes, dando lugar a una geometría euclidiana o hiperbólica. Por lo tanto, todo teorema de la geometría absoluta es un teorema de la geometría hiperbólica y la geometría euclidiana. Sin embargo, lo contrario no es cierto.
geometría afín es lo que queda de la geometría euclidiana cuando no se usa (los matemáticos a menudo dicen "al olvidar" [1] [2] ) las nociones métricas de distancia y ángulo.
Como la noción de líneas paralelas es una de las propiedades principales que es independiente de cualquier métrica, la geometría afín a menudo se considera como el estudio de líneas paralelas. Por lo tanto, el axioma de Playfair ( dada una línea L y un punto P no en L, hay exactamente una línea paralela a L que pasa a través de P ) es fundamental en la geometría afín. Las comparaciones de figuras en geometría afín se hacen con transformaciones afines , que son mapeos que preservan la alineación de puntos y el paralelismo de líneas.
La geometría afín se puede desarrollar de dos maneras que son esencialmente equivalentes. [3]
En la geometría sintética , un espacio afín es un conjunto de puntosal que se asocia un conjunto de líneas, que satisfacen algunos axiomas (como el axioma de Playfair).
La geometría afín también se puede desarrollar sobre la base del álgebra lineal . En este contexto, un espacio afín es un conjunto de puntos equipados con un conjunto de transformaciones (es decir, asignaciones biyectivas ), las traducciones, que forman un espacio vectorial (sobre un campo dado , comúnmente los números reales ), y tales que para cualquier par de puntos ordenados hay una traducción única que envía el primer punto al segundo; La composición de dos traducciones es su suma en el espacio vectorial de las traducciones.
En términos más concretos, esto equivale a tener una operación que se asocia a cualquier par de puntos ordenados de un vector y otra operación que permite la traducción de un punto por un vector para dar otro punto; estas operaciones son necesarias para satisfacer una serie de axiomas (en particular, que dos traducciones sucesivas tienen el efecto de traducción por el vector suma). Al elegir cualquier punto como "origen", los puntos están en correspondencia uno a uno con los vectores, pero no hay una opción preferida para el origen; por lo tanto, un espacio afín puede verse como obtenido de su espacio vectorial asociado "olvidando" el origen (vector cero).
Aunque este artículo solo trata sobre los espacios afines , la noción de "olvidar la métrica" es mucho más general y se puede aplicar a múltiples arbitrarias , en general. Esta extensión de la noción de espacios afines a múltiples en general se desarrolla en el artículo sobre la conexión afín .
Historia [ editar ]
En 1748, Leonhard Euler introdujo el término afines [4] [5] (latín affinis , "relacionados") en su libro Introducción en analisina infinitorum (volumen 2, capítulo XVIII). En 1827, August Möbius escribió sobre geometría afín en su Der barycentrische Calcul (capítulo 3).
Después de Felix Klein 's programa de Erlangen , geometría afín fue reconocido como una generalización de la geometría euclidiana . [6]
En 1912, Edwin B. Wilson y Gilbert N. Lewis desarrollaron una geometría afina [7] [8] para expresar la teoría especial de la relatividad .
En 1918, Hermann Weyl se refirió a la geometría afín para su texto Space, Time, Matter . Utilizó la geometría afín para introducir la suma y la resta de vectores [9] en las primeras etapas de su desarrollo de la física matemática . Más tarde, ET Whittaker escribió: [10]
- La geometría de Weyl es interesante desde el punto de vista histórico, ya que fue la primera de las geometrías afines que se elaboró en detalle: se basa en un tipo especial de transporte paralelo [...] que utiliza líneas mundiales de señales luminosas en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Un elemento corto de una de estas líneas del mundo puede llamarse vector nulo ; entonces el transporte paralelo en cuestión es tal que transporta cualquier vector nulo en un punto a la posición de un vector nulo en un punto vecino.
En 1984, "el plano afín asociado al espacio vectorial lorentziano L 2 " fue descrito por Graciela Birman y Katsumi Nomizu en un artículo titulado "Trigonometría en geometría lorentziana". [11]
Sistemas de axiomas [ editar ]
Se han propuesto varios enfoques axiomáticos a la geometría afín:
La ley de Pappus [ editar ]
Como la geometría afín se ocupa de las líneas paralelas, una de las propiedades de los paralelos señalados por Pappus de Alejandría se ha tomado como premisa: [12] [13]
- Si están en una línea y en otro, entonces
El sistema completo de axiomas propuesto tiene puntos , líneas y líneas que contienen puntos como nociones primitivas :
- Dos puntos están contenidos en una sola línea.
- Para cualquier línea l y cualquier punto P , no en l , solo hay una línea que contiene P y no contiene ningún punto de l . Se dice que esta línea es paralela a l .
- Cada línea contiene al menos dos puntos.
- Hay al menos tres puntos que no pertenecen a una línea.
- El interés de estos cinco axiomas se ve incrementado por el hecho de que pueden desarrollarse en un vasto cuerpo de proposiciones, que se mantienen no solo en la geometría euclidiana sino también en la geometríadel tiempo y el espacio de Minkowski (en el caso simple de 1 + 1 dimensiones, mientras que La teoría especial de la relatividad necesita 1 + 3). La extensión a la geometría euclidiana o minkowskiana se logra agregando varios axiomas adicionales de ortogonalidad, etc. [14]
Los distintos tipos de geometría afines corresponden a la interpretación que se toma para la rotación . La geometría euclidiana corresponde a la idea ordinaria de rotación , mientras que la geometría de Minkowski corresponde a la rotación hiperbólica . Con respecto a las líneas perpendiculares , permanecen perpendiculares cuando el plano está sujeto a rotación ordinaria. En la geometría de Minkowski, las líneas que son hiperbólicas-ortogonales permanecen en esa relación cuando el plano está sujeto a una rotación hiperbólica.
Estructura ordenada [ editar ]
Un tratamiento axiomático de la geometría afín plana se puede construir a partir de los axiomas de geometría ordenada mediante la adición de dos axiomas adicionales: [15]
- ( Axioma afín del paralelismo ) Dado un punto A y una línea r, no a través de A, hay a lo sumo una línea a través de A que no cumple con r.
- ( Desargues ) Dados siete puntos distintos A, A ', B, B', C, C ', O, de manera que AA', BB 'y CC' son líneas distintas a través de O y AB es paralela a A'B 'y BC es paralelo a B'C ', entonces AC es paralelo a A'C'.
El concepto afín de paralelismo forma una relación de equivalencia en líneas. Dado que los axiomas de la geometría ordenada, tal como se presentan aquí, incluyen propiedades que implican la estructura de los números reales, esas propiedades se transfieren aquí, de modo que se trata de una axiomatización de la geometría afina sobre el campo de los números reales.
Anillos ternarios [ editar ]
El primer plano no desarguesiano fue observado por David Hilbert en sus Fundamentos de Geometría . [16] El plano de Moulton es una ilustración estándar. Con el fin de proporcionar un contexto para tal geometría, así como aquellos en los que el teorema de Desargues es válido, se ha desarrollado el concepto de un anillo ternario.
Los planos afines rudimentarios se construyen a partir de pares ordenados tomados de un anillo ternario. Se dice que un plano tiene la "propiedad de Desargues afines menores" cuando dos triángulos en perspectiva paralela, que tienen dos lados paralelos, también deben tener los terceros lados paralelos. Si esta propiedad se mantiene en el plano afín rudimentario definido por un anillo ternario, entonces hay una relación de equivalencia entre "vectores" definidos por pares de puntos desde el plano. [17] Además, los vectores forman un grupo abeliano bajo adición, el anillo ternario es lineal y satisface la distribución correcta:
- ( a + b ) c = ac + bc .
Transformaciones afines [ editar ]
Geométricamente, las transformaciones afines (afinidades) conservan la colinealidad: por lo tanto, transforman las líneas paralelas en líneas paralelas y preservan las proporciones de distancias a lo largo de las líneas paralelas.
Identificamos como teoremas afines cualquier resultado geométrico que sea invariante bajo el grupo afín (en el programa Erlangen de Felix Klein , este es el grupo subyacente de transformaciones de simetría para la geometría afín). Considere en un espacio vectorial V , el grupo lineal general GL ( V ). No es todo el grupo afínporque hay que permitir también traducciones de vectores de v en V . (Tal traducción mapea cualquier w en V a w + v.) El grupo afín es generado por el grupo lineal general y las traducciones y es de hecho su producto semidirecto. . (Aquí pensamos en V como un grupo bajo su operación de adición, y usamos la representación definitoria de GL ( V ) en V para definir el producto semidirecto).
Por ejemplo, el teorema de la geometría plana de los triángulos acerca de la concurrencia de las líneas que unen cada vértice al punto medio del lado opuesto (en el centroide o baricentro ) depende de las nociones de punto medio y centroide como invariantes afines. Otros ejemplos incluyen los teoremas de Ceva y Menelao .
Los invariantes afines también pueden ayudar a los cálculos. Por ejemplo, las líneas que dividen el área de un triángulo en dos mitades iguales forman una envoltura dentro del triángulo. La relación entre el área de la envolvente y el área del triángulo es afín invariante, por lo que solo debe calcularse a partir de un caso simple, como una unidad isósceles triángulo rectángulo para dar es decir, 0.019860 ... o menos del 2%, para todos los triángulos.
Fórmulas familiares, como la mitad de la base por la altura del área de un triángulo, o una tercera parte de la altura por el volumen de una pirámide, también son invariantes afines. Mientras que el último es menos obvio que el anterior para el caso general, se ve fácilmente para la sexta parte del cubo unitario formado por una cara (área 1) y el punto medio del cubo (altura 1/2). Por lo tanto, es válido para todas las pirámides, incluso las inclinadas cuyo ápice no está directamente sobre el centro de la base, y las que tienen una base de paralelogramo en lugar de un cuadrado. La fórmula generaliza aún más a las pirámides cuya base se puede diseccionar en paralelogramos, incluidos los conos, permitiendo infinitos paralelogramos (con la debida atención a la convergencia). El mismo enfoque muestra que una pirámide de cuatro dimensiones tiene un volumen 4D de una cuarta parte del volumen 3D de suLa base de paralelepípedo multiplica la altura, y así sucesivamente para dimensiones más altas.
Espacio afín [ editar ]
Geometría afín puede ser vista como la geometría de un espacio afín de una dimensión dada n , coordinatized sobre un campo K . También existe (en dos dimensiones) una generalización combinatoria del espacio afín coordinado, como se desarrolló en geometría finita sintética . En la geometría proyectiva, el espacio afín significa el complemento de un hiperplano en el infinito en un espacio proyectivo . El espacio afín también se puede ver como un espacio vectorial cuyas operaciones se limitan a aquellas combinaciones lineales cuyos coeficientes suman uno, por ejemplo 2 x - y , x - y + z , ( x + y + z ) / 3, i x + (1 - i ) y , etc.
Sintéticamente, los planos afines son geometrías afines bidimensionales definidas en términos de las relaciones entre puntos y líneas (o, a veces, en dimensiones más altas, hiperplanos ). Al definir las geometrías afines (y proyectivas) como configuraciones de puntos y líneas (o hiperplanos) en lugar de usar coordenadas, se obtienen ejemplos sin campos de coordenadas. Una propiedad importante es que todos estos ejemplos tienen dimensión 2. Los ejemplos finitos en dimensión 2 ( planos afines finitos ) han sido valiosos en el estudio de configuraciones en infinitos espacios afines, en teoría de grupos y en combinatoria .
A pesar de ser menos general que el enfoque de configuración, los otros enfoques analizados han tenido mucho éxito en iluminar las partes de la geometría que están relacionadas con la simetría .
Vista proyectiva [ editar ]
En la geometría tradicional , la geometría afín se considera un estudio entre la geometría euclidiana y la geometría proyectiva . Por un lado, la geometría afín es una geometría euclidiana con congruencia omitida; por otro lado, la geometría afín se puede obtener de la geometría proyectiva mediante la designación de una línea o plano en particular para representar los puntos en el infinito . [18] En geometría afín, no hay una estructura métrica , pero el postulado paralelo se mantiene. La geometría afín proporciona la base para la estructura euclidiana cuando se definen líneas perpendiculares , o la base para la geometría de Minkowski a través de la noción deOrtogonalidad hiperbólica . [19] En este punto de vista, una transformación afín es una transformación proyectiva que no permuta puntos finitos con puntos en el infinito, y la geometría de transformación afín es el estudio de las propiedades geométricas a través de la acción del grupo de transformaciones afines.
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