TEMAS DE GEOMETRÍA

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Un cuadrilátero.

En geometría , la fórmula de Bretschneider es la siguiente expresión para el área de un cuadrilátero general :

$${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}

$${\ displaystyle = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {2}} abcd [1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)]}}.}

Aquí, a , b , c , d son los lados del cuadrilátero, s es el semiperímetro , y α y γ son dos ángulos opuestos.

La fórmula de Bretschneider funciona en cualquier cuadrilátero, sea cíclico o no.

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. La fórmula también fue derivada en el mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt .

Prueba [ editar ]

Denotar el área del cuadrilátero por K . Entonces nosotros tenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} K & = {\ text {area of}} \ triangle ADB + {\ text {area of}} \ triangle BDC \\ & = {\ frac {ad \ sin \ alpha} {2} } + {\ frac {bc \ sin \ gamma} {2}}. \ end {alineado}}}

Por lo tanto

$${\ displaystyle 2K = (ad) \ sin \ alpha + (bc) \ sin \ gamma.}

$${\ displaystyle 4K ^ {2} = (anuncio) ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ sin ^ {2} \ gamma + 2abcd \ sin \ alpha \ sin \ gamma .}

La ley de los cosenos implica que

$${\ displaystyle a ^ {2} + d ^ {2} -2ad \ cos \ alpha = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ gamma,}

Porque ambos lados son iguales al cuadrado de la longitud de la diagonal BD . Esto se puede reescribir como

$${\ displaystyle {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} {4}} = (anuncio) ^ {2} \ cos ^ {2} \ alpha + (bc) ^ {2} \ cos ^ {2} \ gamma -2abcd \ cos \ alpha \ cos \ gamma.}

Añadiendo esto a la fórmula anterior para rendimientos de 4 K ²

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 4K ^ {2} + {\ frac {(a ^ {2} + d ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}} { 4}} & = (anuncio) ^ {2} + (bc) ^ {2} -2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd-2abcd \ cos (\ alpha + \ gamma) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -2abcd (\ cos (\ alpha + \ gamma) +1) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ left ({\ frac {\ cos (\ alpha + \ gamma) +1} {2}} \ right) \\ & = (ad + bc) ^ {2} -4abcd \ cos ^ {2} \ left ( {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right). \ end {alineado}}}

Tenga en cuenta que: $${\ displaystyle \ cos ^ {2} {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} = {\ frac {1+ \ cos (\ alpha + \ gamma)} {2}}} (una identidad trigonométrica verdadera para todos $${\ displaystyle {\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}}})

Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta , esto se puede escribir como

$${\ displaystyle 16K ^ {2} = (a + b + cd) (a + b-c + d) (a-b + c + d) (- a + b + c + d) -16abcd \ cos ^ { 2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right).}

Introduciendo el semiperímetro

$${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c + d} {2}},}

lo anterior se convierte

$${\ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (sd) (sc) (sb) (sa) -16abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right) }

$${\ displaystyle K ^ {2} = (sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right)}

y la fórmula de Bretschneider sigue después de sacar la raíz cuadrada de ambos lados:

$${\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd \ cdot \ cos ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha + \ gamma} {2}} \ right )}}}

Fórmulas relacionadas [ editar ]

La fórmula de Bretschneider generaliza la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico , que a su vez generaliza la fórmula de Heron para el área de un triángulo .

El ajuste trigonométrico en la fórmula de Bretschneider para la no ciclicidad del cuadrilátero se puede reescribir de forma no trigonométrica en términos de los lados y las diagonales e y f para dar ^[1] [2]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} K & = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {4e ^ {2} f ^ {2} - (b ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) - {\ tfrac {1} {4}} (ac + bd + ef) (ac + bd-ef)}}. \ end {alineado}}}

La construcción de regla y compás , también conocida como construcción de regla y compás o construcción clásica , es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas que utilizan solo una regla y compás idealizados .

La regla idealizada, conocida como una regla , se supone que tiene una longitud infinita, tiene un solo borde y no tiene marcas. Se supone que la brújula se "colapsa" cuando se levanta de la página, por lo que no se puede usar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción poco importante, ya que, utilizando un procedimiento de múltiples etapas, a una distancia puede ser transferida, incluso con el colapso de la brújula; ver teorema brújula equivalencia .) Más formalmente, las únicas construcciones permisibles son los que otorga Euclides primeras tres 's postulados .

Resulta ser el caso de que cada punto construible utilizando una regla y una brújula también puede construirse utilizando solo una brújula.

Los matemáticos griegos antiguos primero concibieron construcciones de regla y brújula, y una serie de problemas antiguos en la geometría plana imponen esta restricción. Los antiguos griegos desarrollaron muchas construcciones, pero en algunos casos no pudieron hacerlo. Gauss demostró que algunos polígonos son construibles, pero que la mayoría no lo son. Pierre Wantzel, en 1837, demostró que algunos de los problemas más famosos de la regla y la brújula eran imposibles , utilizando la teoríamatemática de los campos .

A pesar de las pruebas de imposibilidad existentes , algunos persisten en tratar de resolver estos problemas. ^[1] Muchos de estos problemas se solucionan fácilmente siempre que se permitan otras transformaciones geométricas: por ejemplo, es posible duplicar el cubo utilizando construcciones geométricas, pero no es posible solo con regla y compás.

En términos de álgebra , una longitud es construible si y solo sirepresenta un número construible , y un ángulo es construible si y solo si su coseno es un número construible. Un número es construible si y solo si puede escribirse usando las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas pero sin raíces de orden superior.

Creando un hexágono regular con una regla y compás.

Regla y compás herramientas [ editar ]

Regla y compás

Un compás

La "regla" y la "brújula" de las construcciones de la regla y la brújula son idealizaciones de los gobernantes y las brújulas en el mundo real:

• La regla es infinitamente larga, pero no tiene marcas y solo tiene un borde recto, a diferencia de los gobernantes comunes. Solo se puede utilizar para dibujar un segmento de línea entre dos puntos o para extender un segmento existente.
• La brújula se puede abrir arbitrariamente ancha, pero (a diferencia de algunas brújulas reales ) no tiene marcas. Los círculos solo se pueden dibujar a partir de dos puntos dados: el centro y un punto en el círculo. La brújula puede o no colapsarse cuando no está dibujando un círculo.

Las brújulas reales no se colapsan y las construcciones geométricas modernas a menudo usan esta función. Una 'brújula que colapsa' parece ser un instrumento menos poderoso. Sin embargo, según el teorema de equivalencia de la brújula en la Proposición 2 del Libro 1 de los Elementos de Euclides , no se pierde poder al usar una brújula que se colapsa. Aunque la proposición es correcta, sus pruebas tienen una historia larga y de cuadros. ^[2]

Cada construcción debe ser exacta . "Observarlo" (esencialmente mirar la construcción y adivinar su precisión, o usar algún tipo de medida, como las unidades de medida en una regla) y acercarse no cuenta como una solución.

Cada construcción debe terminar . Es decir, debe tener un número finito de pasos y no ser el límite de aproximaciones cada vez más cercanas.

Dicho de esta manera, las construcciones de regla y compás parecen ser un juego de salón , en lugar de un problema práctico serio; pero el propósito de la restricción es asegurar que se pueda probar que las construcciones son exactamente correctas.

Historia [ editar ]

Los antiguos matemáticos griegos intentaron por primera vez construcciones de regla y compás, y descubrieron cómo construir sumas, diferencias, productos, proporciones y raíces cuadradas de longitudes dadas. ^{[3] : p. 1}También podrían construir la mitad de un ángulo dado , un cuadrado cuya área es el doble de la de otro cuadrado, un cuadrado que tiene la misma área que un polígono dado y un polígono regular con 3, 4 o 5 lados ^{[3] : p . xi} (o uno con el doble de lados de un polígono dado ^{[3] : pp. 49–50}). Pero no pudieron construir un tercio de un ángulo dado, excepto en casos particulares, o un cuadrado con la misma área que un círculo dado, o un polígono regular con otros números de lados. ^{[3] : p. xi} Tampoco podrían construir el lado de un cubo cuyo volumen sería el doble del volumen de un cubo con un lado dado. ^{[3] : p. 29}

Hipócrates y Menaechmus demostraron que el volumen del cubo se podía duplicar al encontrar las intersecciones de las hipérbolas y parábolas , pero estas no se pueden construir con regla y compás. ^{[3] : p. 30} En el siglo V a. C., Hippias utilizó una curva que llamó cuadratriz para triseclar el ángulo general y cuadrar el círculo, y Nicomedes en el siglo II aC mostró cómo usar un conchoide para obtener un ángulo arbitrario; ^{[3] : p. 37,} pero estos métodos tampoco se pueden seguir solo con regla y compás.

No se hicieron progresos en los problemas sin resolver durante dos milenios, hasta que en 1796 Gauss demostró que se podía construir un polígono regular con 17 lados; Cinco años más tarde, mostró el criterio suficiente para que un polígono regular de n lados sea constructible. ^{[3] : pp. 51 y sigs.}

En 1837, Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de triseccionar un ángulo arbitrario o de duplicar el volumen de un cubo, ^[4] basado en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes. También demostró que la condición de constructibilidad suficiente de Gauss para polígonos regulares también es necesaria. ^[5]

Luego en 1882 Lindemann mostró que$${\ displaystyle \ pi}es un número trascendental , y por lo tanto es imposible por una regla y una brújula construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado. ^{[3] : p. 47}

Las construcciones básicas [ editar ]

Las construcciones básicas.

Todas las construcciones de regla y compás consisten en la aplicación repetida de cinco construcciones básicas utilizando los puntos, líneas y círculos que ya se han construido. Estos son:

• Creando la línea a través de dos puntos existentes.
• Creando el círculo a través de un punto con centro otro punto
• Creando el punto que es la intersección de dos líneas no paralelas existentes
• Crear uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se intersecan)
• Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se intersecan).

Por ejemplo, comenzando con solo dos puntos distintos, podemos crear una línea o cualquiera de dos círculos (a su vez, usando cada punto como centro y pasando por el otro punto). Si dibujamos ambos círculos, se crean dos nuevos puntos en sus intersecciones. Dibujar líneas entre los dos puntos originales y uno de estos nuevos puntos completa la construcción de un triángulo equilátero.

Por lo tanto, en cualquier problema geométrico tenemos un conjunto inicial de símbolos (puntos y líneas), un algoritmo y algunos resultados. Desde esta perspectiva, la geometría es equivalente a un álgebra axiomática , reemplazando sus elementos por símbolos. Probablemente Gauss se dio cuenta de esto por primera vez, y lo usó para probar la imposibilidad de algunas construcciones; Sólo mucho más tarde, Hilbert encontró un conjunto completo de axiomas para la geometría .

Muy utilizado regla y compás construcciones [ editar ]

Las construcciones de regla y compás más utilizadas incluyen:

• Construyendo la bisectriz perpendicular a partir de un segmento.
• Encontrar el punto medio de un segmento.
• Dibujar una línea perpendicular desde un punto a una línea.
• Bisecar un ángulo
• Reflejando un punto en una línea
• Construyendo una línea a través de un punto tangente a un círculo
• Construyendo un círculo a través de 3 puntos no colineales.
• Dibujar una línea a través de un punto dado paralelo a una línea dada.

Puntos y longitudes construibles [ editar ]

Prueba formal [ editar ]

Hay muchas maneras diferentes de probar que algo es imposible. Una prueba más rigurosa sería demarcar el límite de lo posible y demostrar que para resolver estos problemas, se debe transgredir ese límite. Gran parte de lo que se puede construir está cubierto por la teoría de la intersección .

Podríamos asociar un álgebra a nuestra geometría utilizando un sistema de coordenadas cartesiano formado por dos líneas, y representar los puntos de nuestro plano mediante vectores . Finalmente podemos escribir estos vectores como números complejos.

Usando las ecuaciones para líneas y círculos, se puede mostrar que los puntos en los que se intersecan se encuentran en una extensión cuadrática del campo más pequeño F que contiene dos puntos en la línea, el centro del círculo y el radio del círculo. Es decir, que son de la forma x + y √ k , donde x , y , y k están en F .

Como el campo de los puntos construibles está cerrado bajo raíces cuadradas , contiene todos los puntos que pueden obtenerse mediante una secuencia finita de extensiones cuadráticas del campo de los números complejos con coeficientes racionales. Por el párrafo anterior, se puede mostrar que cualquier punto constructible puede obtenerse mediante una secuencia de extensiones de este tipo. Como corolario de esto, uno encuentra que el grado del polinomio mínimo para un punto construible (y por lo tanto de cualquier longitud construible) es un poder de 2. En particular, cualquier punto (o longitud construible) es un número algebraico , aunque no Cada número algebraico es construible; por ejemplo, 3 √ 2 es algebraico pero no construible.

Angulos construibles [ editar ]

Hay una bijección entre los ángulos que son construibles y los puntos que pueden construirse en cualquier círculo construible. Los ángulos que son construibles forman un grupo abeliano bajo la adición del módulo 2π (que corresponde a la multiplicación de los puntos en el círculo unitario visto como números complejos). Los ángulos que son construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalente, seno o coseno) se pueden construir como un número. Por ejemplo, el heptadecágono regular (el polígono regular de diecisiete lados ) es constructible porque

$${\ displaystyle \ cos {\ left ({\ frac {2 \ pi} {17}} \ right)} = - {\ frac {1} {16}} \; + \; {\ frac {1} {16 }} {\ sqrt {17}} \; + \; {\ frac {1} {16}} {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} \; + \; {\ frac {1 } {8}} {\ sqrt {17 + 3 {\ sqrt {17}} - {\ sqrt {34-2 {\ sqrt {17}}}} - 2 {\ sqrt {34 + 2 {\ sqrt {17 }}}}}}

según lo descubierto por Gauss . ^[6]

El grupo de ángulos construibles se cierra bajo la operación que reduce a la mitad los ángulos (lo que corresponde a tomar raíces cuadradas en los números complejos). Los únicos ángulos de orden finito que pueden construirse a partir de dos puntos son aquellos cuyo orden es una potencia de dos o un producto de una potencia de dos y un conjunto de primos Fermat distintos . Además hay un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Regla y compás construcciones como la aritmética complejo [ editar ]

Dado un conjunto de puntos en el plano euclidiano , seleccionar uno de ellos para que se llame 0 y otro para que se llame 1 , junto con una elección arbitraria de orientación nos permite considerar los puntos como un conjunto de números complejos .

Dada cualquiera de las interpretaciones de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos construibles utilizando solo reglas válidas y construcciones de brújula son precisamente los elementos del campomás pequeño que contiene el conjunto original de puntos y se cierran bajo las operaciones complejas de conjugado y raíz cuadrada (para evitar En cuanto a la ambigüedad, podemos especificar la raíz cuadrada con un argumento complejo menor que π). Los elementos de este campo son precisamente aquellos que pueden expresarse como una fórmula en los puntos originales utilizando solo las operaciones de suma , resta , multiplicación , división , conjugado complejo yraíz cuadrada , que se ve fácilmente como un subconjunto denso contable del plano. Cada una de estas seis operaciones corresponde a una simple regla y construcción de compás. A partir de tal fórmula es sencillo producir una construcción del punto correspondiente combinando las construcciones para cada una de las operaciones aritméticas. Las construcciones más eficientes de un conjunto particular de puntos corresponden a atajos en tales cálculos.

De manera equivalente (y sin la necesidad de elegir arbitrariamente dos puntos) podemos decir que, dada una elección arbitraria de orientación, un conjunto de puntos determina un conjunto de relaciones complejas dadas por las relaciones de las diferencias entre dos pares de puntos. El conjunto de relaciones construibles utilizando una regla y una brújula a partir de un conjunto de relaciones de este tipo es precisamente el campo más pequeño que contiene las relaciones originales y se cierra al tomar conjugados complejos y raíces cuadradas.

Por ejemplo, la parte real, la parte imaginaria y el módulo de un punto o relación z (tomando uno de los dos puntos de vista anteriores) son construibles, ya que pueden expresarse como

$${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z) = {\ frac {z + {\ bar {z}}} {2}} \;}

$${\ displaystyle \ mathrm {Im} (z) = {\ frac {z - {\ bar {z}}} {2i}} \;}

$${\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {z {\ bar {z}}}}. \;}

Doblar el cubo y la trisección de un ángulo (a excepción de ángulos especiales, tales como cualquier φ tal que φ / 2π es un número racional con denominador no divisible por 3) requieren relaciones que son la solución a las ecuaciones cúbicas , mientras que la cuadratura del círculo requiere un trascendental proporción. Ninguno de estos está en los campos descritos, por lo tanto, no existe una regla ni una construcción de brújula para estos.

Construcciones imposibles [ editar ]

Los antiguos griegos pensaban que los problemas de construcción que no podían resolver eran simplemente obstinados, no imposibles de resolver. ^[7] Sin embargo, con los métodos modernos, estas construcciones de regla y compás han demostrado ser lógicamente imposibles de realizar. (Sin embargo, los problemas en sí mismos se pueden resolver, y los griegos sabían cómo resolverlos, sin la restricción de trabajar solo con regla y compás).

Cuadrado del círculo [ editar ]

Artículo principal: Cuadrado del círculo.

El más famoso de estos problemas, al cuadrar el círculo , también conocido como la cuadratura del círculo, consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado utilizando solo regla y compás.

Se ha demostrado que cuadrar el círculo es imposible, ya que implica generar un número trascendental , es decir, √ π . Solo ciertos números algebraicos pueden construirse solo con la regla y la brújula, es decir, los construidos a partir de los enteros con una secuencia finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. La frase "cuadrar el círculo" se usa a menudo para significar "hacer lo imposible" por esta razón.

Sin la restricción de requerir una solución solo por la regla y la brújula, el problema se puede resolver fácilmente con una amplia variedad de medios geométricos y algebraicos, y se resolvió muchas veces en la antigüedad. ^[8]

Un método que se aproxima mucho a la aproximación de la "cuadratura del círculo" se puede lograr utilizando un triángulo de Kepler .

Doblando el cubo [ editar ]

Artículo principal: Duplicar el cubo.

Duplicar el cubo es la construcción, utilizando solo un borde recto y una brújula, del borde de un cubo que tiene el doble de volumen que un cubo con un borde determinado. Esto es imposible porque la raíz cúbica de 2, aunque algebraica, no se puede calcular a partir de enteros por suma, resta, multiplicación, división y tomando raíces cuadradas. Esto se debe a que su polinomio mínimo sobre los racionales tiene grado 3. Esta construcción es posible utilizando una regla con dos marcas y un compás.

Trisección del ángulo [ editar ]

Artículo principal: Trisección del ángulo.

La trisección de ángulos es la construcción, utilizando solo una regla y una brújula, de un ángulo que es un tercio de un ángulo arbitrario dado. Esto es imposible en el caso general. Por ejemplo, aunque el ángulo de π / 3 radianes (60 ° ) no se puede triseccionar, el ángulo de 2π / 5 radianes (72 ° = 360 ° / 5) se puede triseccionar. ^[9]El problema general de trisección también se resuelve fácilmente cuando se permite una regla con dos marcas (una construcción de neusis ).

Construyendo polígonos regulares [ editar ]

Artículo principal: Polígono construible.

Construcción de un pentágono regular

Algunos polígonos regulares (por ejemplo, un pentágono ) son fáciles de construir con regla y compás; otros no lo son. Esto llevó a la pregunta: ¿es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás?

Carl Friedrich Gauss en 1796 demostró que se puede construir un polígono regular de 17 lados, y cinco años después se demostró que un polígono regular de n lados se puede construir con regla y compás si los factores primosimpares de n son primos de Fermat distintos . Gauss conjeturó que esta condición también era necesaria , pero no ofreció ninguna prueba de este hecho, que fue proporcionada por Pierre Wantzel en 1837. ^[5]

Los primeros polígonos regulares construibles tienen los siguientes números de lados:

3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272 ... (secuencia A003401 en el OEIS )

No son conocidos por ser una infinidad de polígonos regulares construibles con un número par de lados (porque si un habitual n gon es construible, entonces también lo es un habitual 2 n -gon y por lo tanto un habitual 4 n -gon, 8 n -gon , etc.). Sin embargo, solo hay 31 n -gons regulares construibles conocidos con un número impar de lados.

Construyendo un triángulo a partir de tres puntos o longitudes características dadas [ editar ]

Dieciséis puntos clave de un triángulo son sus vértices , los puntos medios de sus lados , los pies de sus altitudes , los pies de sus bisectrices de ángulos internos , y su circuncentro , centroide , ortocentro e incentivo . Se pueden tomar tres a la vez para generar 139 problemas distintos no triviales de construir un triángulo desde tres puntos. ^[10]De estos problemas, tres involucran un punto que puede construirse de manera única a partir de los otros dos puntos; 23 puede ser construido de forma no única (de hecho para infinitas soluciones) pero solo si las ubicaciones de los puntos obedecen a ciertas restricciones; en 74 el problema es constructible en el caso general; y en el 39 el triángulo requerido existe pero no es construible.

Doce longitudes claves de un triángulo son las longitudes de los tres lados, las tres altitudes , las tres medianas y las tres bisectrices de los ángulos . Junto con los tres ángulos, estos dan 95 combinaciones distintas, 63 de las cuales dan lugar a un triángulo construible, 30 de las cuales no, y dos de las cuales están poco definidas. ^{[11] : pp. 201-203}

Distancia a una elipse [ editar ]

El segmento de línea desde cualquier punto en el plano hasta el punto más cercano en un círculo se puede construir, pero el segmento desde cualquier punto en el plano hasta el punto más cercano en una elipse de excentricidad positiva no se puede construir en general. ^[12]

Construyendo con solo regla o solo compás [ editar ]

Es posible (de acuerdo con el teorema de Mohr-Mascheroni ) construir cualquier cosa con solo una brújula si se puede construir con una regla y una brújula, siempre que los datos proporcionados y los datos que se encuentren consistan en puntos discretos (no líneas o círculos). ). La verdad de este teorema depende de la verdad del axioma de Arquímedes, ^[13] que no es de primer orden en la naturaleza. Es imposible sacar una raíz cuadrada con solo una regla, por lo que algunas cosas que no se pueden construir con una regla se pueden construir con una brújula; pero (según el teorema de Poncelet-Steiner ) dado un solo círculo y su centro, se pueden construir.

Construcciones extendidas [ editar ]

Los antiguos griegos clasificaban las construcciones en tres categorías principales, dependiendo de la complejidad de las herramientas requeridas para su solución. Si una construcción usaba solo una regla y compás, se llamaba planar; si también requería una o más secciones cónicas (distintas del círculo), entonces se llamaba sólido; la tercera categoría incluía todas las construcciones que no correspondían a ninguna de las otras dos categorías. ^[14] Esta categorización se adapta muy bien a nuestro moderno punto de vista algebraico. Un número complejo que se puede expresar utilizando solo las operaciones de campo y las raíces cuadradas (como se describió anteriormente ) tiene una construcción plana. Un número complejo que incluye también la extracción de raíces cúbicas tiene una construcción sólida.

En el lenguaje de los campos, un número complejo que es plano tiene un grado de potencia de dos, y se encuentra en una extensión de campo que se puede dividir en una torre de campos donde cada extensión tiene un grado dos. Un número complejo que tiene una construcción sólida tiene un grado con factores primos de solo dos y tres, y se encuentra en una extensión de campo que se encuentra en la parte superior de una torre de campos donde cada extensión tiene un grado 2 o 3.

Construcciones sólidas [ editar ]

Un punto tiene una construcción sólida si se puede construir utilizando una herramienta de dibujo cónico de regla, compás y (posiblemente hipotética) que puede dibujar cualquier cónica con foco, directriz y excentricidad ya construidos. El mismo conjunto de puntos a menudo se puede construir utilizando un conjunto más pequeño de herramientas. Por ejemplo, al utilizar una brújula, una regla y un papel en el que tenemos la parábola y = x ²junto con los puntos (0,0) y (1,0), se puede construir cualquier número complejo que tenga un sólido construcción. Del mismo modo, una herramienta que puede dibujar cualquier elipse con focos y ejes mayores ya construidos (piense en dos pines y un trozo de cuerda) es igual de potente. ^[15]

Los antiguos griegos sabían que la duplicación del cubo y la selección de un ángulo arbitrario tenían construcciones sólidas. Arquímedes dio una sólida construcción del regular 7-gon. La cuadratura del círculo no tiene una construcción sólida.

Un n- gon regular tiene una construcción sólida si y solo si n = 2 ^j 3 ^k m donde m es un producto de primosdistintos de Pierpont (primos de la forma 2 ^r 3 ^s +1). El conjunto de tal n es la secuencia.

7 , 9 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42 , 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70 , 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90 , 91, 95, 97 ... (secuencia A051913 en el OEIS )

El conjunto de n para el cual un n- gon regular no tiene una construcción sólida es la secuencia

11 , 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50 , 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 ... (secuencia A048136 en el OEIS )

Al igual que la pregunta con los números primos de Fermat, es una pregunta abierta en cuanto a si hay un número infinito de números primos de Pierpont.

Trisección del ángulo [ editar ]

¿Qué pasaría si, junto con la regla y la brújula, tuviéramos una herramienta que pudiera (solo) trisectar un ángulo arbitrario? Dichas construcciones son construcciones sólidas, pero existen números con construcciones sólidas que no pueden construirse utilizando una herramienta de este tipo. Por ejemplo, no podemos duplicar el cubo con una herramienta de este tipo. ^[16] Por otro lado, cada n-gon regular que tiene una construcción sólida se puede construir utilizando una herramienta de este tipo.

Origami [ editar ]

Artículo principal: Axiomas Huzita – Hatori.

La teoría matemática del origami es más poderosa que la construcción de regla y compás. Los pliegues que satisfacen los axiomas Huzita-Hatori pueden construir exactamente el mismo conjunto de puntos que las construcciones extendidas utilizando una herramienta de dibujo cónico y brújula. Por lo tanto, el origami también se puede usar para resolver ecuaciones cúbicas (y, por lo tanto, para ecuaciones quárticas), y así resolver dos de los problemas clásicos. ^[17]

Reglas marcables [ editar ]

Artículo principal: construcción de Neusis.

Arquímedes , Nicomedes y Apolonio dieron construcciones que involucraban el uso de una regla marcable. Esto les permitiría, por ejemplo, tomar un segmento de línea, dos líneas (o círculos) y un punto; y luego dibuje una línea que pase por el punto dado e intersecte tres líneas, y de tal manera que la distancia entre los puntos de intersección sea igual al segmento dado. Esto es lo que los griegos llamaron neusis ("inclinación", "tendencia" o "borde"), porque la nueva línea tiende al punto. En este esquema ampliado, podemos triseccionar un ángulo arbitrario (ver trisección de Arquímedes ) o extraer una raíz de cubo arbitraria (debido a Nicomedes). Por lo tanto,Se puede construir una ecuación cúbica o quártica . Usando una regla marcable, los polígonos regulares con construcciones sólidas, como el heptágono , son construibles; y John H. Conway y Richard K. Guy dan construcciones para varios de ellos. ^[18]

La construcción de neusis es más poderosa que una herramienta de dibujo cónico, ya que uno puede construir números complejos que no tienen construcciones sólidas. De hecho, al usar esta herramienta, se pueden resolver algunos métodos quínticos que no se pueden resolver con radicales . ^[19] Se sabe que no se puede resolver un polinomio irreducible de grado primario mayor o igual a 7 utilizando la construcción de neusis, por lo que no es posible construir un 23-gon regular o 29-gon utilizando esta herramienta. Benjamin y Snyder demostraron que es posible construir el 11-gon regular, pero no dio una construcción. ^[20] Aún está abierto si un constructor regular de 25 gones o 31 gones es construible con esta herramienta.

Cálculo de dígitos binarios [ editar ]

En 1998, Simon Plouffe proporcionó un algoritmo de regla y compás que se puede usar para calcular dígitos binarios de ciertos números. ^[21] El algoritmo implica la duplicación repetida de un ángulo y se vuelve físicamente poco práctico después de unos 20 dígitos binarios.