La cuadratura del círculoes un problema propuesto por los antiguos geometristas . Es el desafío de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo un número finito de pasos con brújula y regla . Cabe preguntarse si los axiomasespecificados de la geometría euclidianarelativos a la existencia de líneas y círculos implican la existencia de tal cuadrado.
En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass que demuestra que pi ( π ) es un número trascendental , más que algebraico irracional; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales . Se sabía desde hace algunas décadas antes de esa fecha que la construcción sería imposible si π eran trascendental, pero π no fue probada trascendental hasta 1882. cuadratura aproximada a cualquier exactitud no perfecta dado, por el contrario, es posible en un número finito de pasos , ya que hay números racionales arbitrariamente cercanos a π.
La expresión "cuadrar el círculo" se usa a veces como una metáfora para tratar de hacer lo imposible. [1]
El término cuadratura del círculo a veces se usa para significar lo mismo que cuadrar el círculo, pero también puede referirse a métodos aproximados o numéricos para encontrar el área de un círculo.
Cuadrado del círculo: las áreas de este cuadrado y este círculo son iguales a π . En 1882, se demostró que esta figura no se puede construir en un número finito de pasos con una brújula y regla idealizadas .
Algunas soluciones parciales aparentes dieron falsas esperanzas durante mucho tiempo. En esta figura, la figura sombreada es la Luna de Hipócrates . Su área es igual al área del triángulo ABC (encontrado por Hipócrates de Chios ).
Historia [ editar ]
Los matemáticos babilónicos ya conocían los métodos para aproximar el área de un círculo dado con un cuadrado, que se puede considerar como un problema precursor para cuadrar el círculo . El egipcio papiro Rhindde 1800 BC da el área de un círculo como 6481 d 2 , donde d es el diámetro del círculo. En términos modernos, esto es equivalente a la aproximación de π como 25681 (aproximadamente 3,1605), un número que aparece en la mayor Papiro de Moscú y se utiliza para aproximaciones de volumen (es decir hekat ). Matemáticos indiosTambién se encontró un método aproximado, aunque menos preciso, documentado en los Shulba Sutras . [2] Arquímedes demostró la fórmula para el área de un círculo ( A = π r 2 , donde r es el radio del círculo) y mostró que el valor de π se extendía entre 3 17 (aproximadamente 3,1429) y 3 1071 (aproximadamente 3.1408). Ver aproximaciones numéricas de π para más información sobre la historia.
El primer griego conocido relacionado con el problema fue Anaxágoras , que trabajó en él mientras estaba en prisión. Hipócrates de Quíos cuadró cierto lunes , con la esperanza de que condujera a una solución, ver Lune of Hippocrates . Antiphon the Sophist creía que la inscripción de polígonos regulares dentro de un círculo y la duplicación del número de lados eventualmente llenaría el área del círculo, y como un polígono puede ser cuadrado, significa que el círculo puede ser cuadrado. Incluso entonces hubo escépticos: Eudemus argumentó que las magnitudes no se pueden dividir sin límite, por lo que el área del círculo nunca se utilizará. [3] El problema fue mencionado incluso en Aristófanes.'s jugar a los pájaros .
Se cree que Oenopides fue el primer griego que requirió una solución plana (es decir, usando solo una brújula y una regla). James Gregory intentó una prueba de su imposibilidad en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y la hipérbola) en 1667. [4] Aunque su prueba era defectuosa, fue el primer trabajo para intentar resolver el problema utilizando Propiedades algebraicas de π . No fue hasta 1882 cuando Ferdinand von Lindemann demostró rigurosamente su imposibilidad.
El matemático, lógico y autor de la era victoriana, Charles Lutwidge Dodgson (mejor conocido bajo el seudónimo de "Lewis Carroll") también expresó interés en desacreditar las teorías ilógicas de cuadratura de círculo. En una de las entradas de su diario para 1855, Dodgson enumeró libros que esperaba escribir, incluido uno llamado "Hechos sencillos para los cuadrantes del círculo". En la introducción de "Una nueva teoría de los paralelos", Dodgson relató un intento de demostrar errores lógicos a un par de cuadrantes de círculo, declarando: [6]
Una ridiculización de la cuadratura de círculo aparece en A Budget of Paradoxes, de Augustus de Morgan , publicada póstumamente por su viuda en 1872. Habiendo publicado originalmente la obra como una serie de artículos en el Athenæum , la estaba revisando para su publicación en el momento de su publicación. muerte. La cuadratura de círculos fue muy popular en el siglo XIX, pero casi nadie se entrega hoy en día y se cree que el trabajo de Morgan ayudó a lograrlo. [7]
Imposibilidad [ editar ]
La solución del problema de cuadrar el círculo con una brújula y una regla requiere la construcción del número √ π . Si √ π es construible , se sigue de las construcciones estándar que π también sería construible. En 1837, Pierre Wantzel demostró que las longitudes que podían construirse con brújula y regla tenían que ser soluciones de ciertas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. [8] [9] Por lo tanto, las longitudes construibles deben ser números algebraicos . Si el problema de la cuadratura del círculo podría resolverse usando solo la brújula y la regla, entonces πTendría que ser un número algebraico. Johann Heinrich Lambert conjeturó que π no era algebraico, es decir, un número trascendental , en 1761. [10] Lo hizo en el mismo documento en el que demostró su irracionalidad , incluso antes de que se hubiera demostrado la existencia general de los números trascendentales. No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró la trascendencia de π y mostró la imposibilidad de esta construcción. [11]
La trascendencia de π implica la imposibilidad de "rodear" exactamente el cuadrado, así como de cuadrar el círculo.
Es posible construir un cuadrado con un área arbitrariamente cercana a la de un círculo dado. Si se usa un número racional como una aproximación de π , entonces es posible cuadrar el círculo, dependiendo de los valores elegidos. Sin embargo, esto es solo una aproximación y no cumple con las restricciones de las antiguas reglas para resolver el problema. Varios matemáticos han demostrado procedimientos viables basados en una variedad de aproximaciones.
Doblar las reglas al permitir un número infinito de operaciones de brújula y regla o al realizar las operaciones en ciertas geometrías no euclidianas también hace posible cuadrar el círculo en algún sentido. Por ejemplo, aunque el círculo no puede cuadrarse en el espacio euclidiano , a veces puede estar en geometría hiperbólica bajo interpretaciones adecuadas de los términos. [12] [13] Como no hay cuadrados en el plano hiperbólico, su papel debe ser tomado por cuadriláteros regulares, lo que significa cuadriláteros con todos los lados congruentes y todos los ángulos congruentes (pero estos ángulos son estrictamente más pequeños que los ángulos rectos). Existen, en el plano hiperbólico, (contable) infinitos pares de círculos construibles y cuadriláteros regulares construibles de igual área, que, sin embargo, se construyen simultáneamente. No hay un método para comenzar con un cuadrilátero regular y construir el círculo de área igual, y no hay un método para comenzar con un cuadrilátero regular y construir un cuadrilátero regular de área igual (incluso cuando el círculo tiene un radio lo suficientemente pequeño como para que un cuadrilátero regular de área igual existe).
Construcciones modernas aproximativos [ editar ]
Aunque cuadrar el círculo es un problema imposible usando solo la brújula y la regla, las aproximaciones para cuadrar el círculo se pueden dar construyendo longitudes cercanas a π . Solo se requiere un conocimiento mínimo de la geometría elemental para convertir cualquier aproximación racional de π en una construcción de compás y regla correspondiente , pero las construcciones hechas de esta manera tienden a ser muy largas en comparación con la precisión que logran. Después de que el problema exacto se demostró que no podía resolverse, algunos matemáticos aplicaron su ingenio para encontrar aproximaciones elegantes para cuadrar el círculo, definidas de manera aproximada e informal como construcciones que son particularmente simples entre otras construcciones imaginables que dan una precisión similar.
Entre las construcciones aproximadas modernas se encontraba una de EW Hobson en 1913. [14] Esta fue una construcción bastante precisa que se basó en la construcción del valor aproximado de 3.14164079 ..., que es exacta a 4 decimales (es decir, difiere de π en aproximadamente4.8 × 10 −5 ).
El matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1913, [15] Carl Olds en 1963, Martin Gardner en 1966 y Benjamin Bold en 1982 dieron construcciones geométricas para
que es exacto a seis lugares decimales de π .
Srinivasa Ramanujan en 1914 dio una construcción de regla y compás que fue equivalente a tomar el valor aproximado de π para ser
![{\ displaystyle \ left (9 ^ {2} + {\ frac {19 ^ {2}} {22}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} = {\ sqrt [{4}] { \ frac {2143} {22}}} = 3.1415926525826461252 \ dots}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2364bb27e01be0835d7fcf5603514f8d5192ad)
dando ocho decimales de π . [16] Describe su construcción hasta la línea del segmento OS como sigue. [17]
En esta cuadratura, Ramanujan no construyó la longitud del lado del cuadrado, fue suficiente para que él mostrara el segmento de línea OS . En la siguiente continuación de la construcción, el OS del segmento de línea se utiliza junto con el OB de segmento de línea para representar las medias proporcionales (segmento de línea roja OE ).
Continuación de la construcción hasta la longitud del lado buscado a del cuadrado:
Extienda AB más allá de A y supere el arco circular b 1 alrededor de O con el radio OS, se obtiene S ′. Bisecte el segmento de línea BS ′ en D y dibuje el semicírculo b 2sobre D. Dibuje una línea recta de O a C hasta el semicírculo b 2 , corta b 2 en E. El segmento de línea OE es la media proporcional entre OS y OB , también llamado media geométrica . Extienda el segmento de línea EO más allá de O y transfiera EO dos veces más, lo que da como resultado F y A 1 , y por lo tanto la longitud del segmento de línea EA1con el valor de aproximación descrito anteriormente de π , la mitad de la circunferencia del círculo. Bisecte el segmento de línea EA 1 en G y dibuje el semicírculo b 3 sobre G. Transfiera la distancia OB de A 1 al segmento de línea EA 1 , el resultado es H. Cree una vertical desde H hasta el semicírculo b 3 en EA 1 , resulta B 1 . Conectar un 1 a B 1 , por lo tanto el lado buscado una del cuadrado A 1 B 1 C 1 D 1 está construido, que tiene casi la misma área que el círculo dado.
Ejemplos para ilustrar los errores:
- En un círculo de radio r = 10,000 km sería la falla de la longitud del lado a ≈ −2.8 mm
- En el caso de un círculo con el radio r = 10 m sería el error de la superficie A ≈ −0.1 mm 2
Otro ejemplo de una moderna cuadratura del círculo.
siete decimales son iguales a los de √ π respectivamente iguales a los de π .
Cuadrado o cuadratura como integración [ editar ]
Encontrar el área bajo una curva, conocida como integración en el cálculo , o cuadratura en el análisis numérico , se conoció como la cuadratura antes de la invención del cálculo. Dado que las técnicas de cálculo eran desconocidas, en general se presumía que la cuadratura se debía realizar a través de construcciones geométricas, es decir, por compás y regla. Por ejemplo, Newton escribió a Oldenburg en 1676: "Creo que a M. Leibnitz no le disgustará el Teorema hacia el comienzo de mi carta, página 4 para cuadrar las líneas curvasgeométricamente" (énfasis agregado). [18] Después de Newton y Leibniz. inventado cálculo, todavía se referían a este problema de integración como cuadrar una curva.
Las reclamaciones de círculo de escuadrado [ editar ]
Conexión con el problema de longitud [ editar ]
La prueba matemática de que la cuadratura del círculo es imposible utilizando solo la brújula y la regla no ha demostrado ser un obstáculo para las muchas personas que han invertido años en este problema de todos modos. Haber cuadrado el círculo es una famosa afirmación de manivela . ( Ver también pseudomatemáticas ). En su vejez, el filósofo inglés Thomas Hobbes se convenció a sí mismo de que había logrado cuadrar el círculo.
Durante los siglos XVIII y XIX, la idea de que el problema de la cuadratura del círculo se relacionaba de alguna manera con el problema de la longitud parece haberse generalizado entre los posibles cuadrantes del círculo. Usando el "ciclómetro" para el círculo cuadrado, Augustus de Morgan escribió en 1872:
Aunque entre 1714 y 1828 el gobierno británico patrocinó un premio de £ 20,000 por encontrar una solución al problema de la longitud, no está claro exactamente por qué se hizo la conexión para cuadrar el círculo; sobre todo porque a finales de la década de 1760 se habían encontrado dos métodos no geométricos (el métodoastronómico de distancias lunares y el cronómetro mecánico ). De Morgan continúa diciendo que "el problema de la longitud no depende en absoluto de la solución perfecta; las aproximaciones existentes son suficientes para un punto de precisión mucho más allá de lo que se puede desear". En su libro, De Morgan también menciona haber recibido muchas cartas amenazadoras de los posibles cuadrantes del círculo, acusándolo de intentar "engañarles".
Otras demandas modernas [ editar ]
Incluso después de que se hubiera demostrado que era imposible, en 1894, el matemático aficionado Edwin J. Goodwin afirmó que había desarrollado un método para cuadrar el círculo. La técnica que desarrolló no cuadró con precisión el círculo, y proporcionó un área incorrecta del círculo que esencialmente redefinió pi como igual a 3.2. Goodwin luego propuso el Proyecto de Ley de Indiana Pi en la legislatura del estado de Indiana que le permite al estado usar su método en la educación sin pagarle regalías. El proyecto de ley fue aprobado sin objeciones en la Cámara de Representantes del Estado, pero se presentó y nunca se votó en el Senado, en medio del creciente ridículo de la prensa. [20]
La manivela matemática Carl Theodore Heisel también afirmó haber cuadrado el círculo en su libro: "¡Mirad! El gran problema ya no está resuelto: el círculo se cuadró más allá de la refutación". [21] Paul Halmos se refirió al libro como un "libro de manivela clásico". [22]
En la literatura [ editar ]
El problema de cuadrar el círculo ha sido mencionado por poetas como Dante y Alexander Pope , con variados significados metafóricos . Su uso literario se remonta al menos a 414 aC, cuando se realizó por primera vez la obra The Birds by Aristophanes . En él, el personaje de Metón de Atenas menciona la cuadratura del círculo, posiblemente para indicar la naturaleza paradójica de su ciudad utópica. [24]
El canto XXXIII de Dante's Paradise, líneas 133-135, contiene los versos:
Como el geómetro que aplica su mente
para cuadrar el círculo, ni para todo su ingenio
encuentra la fórmula correcta, sin embargo, él intenta
para cuadrar el círculo, ni para todo su ingenio
encuentra la fórmula correcta, sin embargo, él intenta
Para Dante, cuadrar el círculo representa una tarea más allá de la comprensión humana, que compara con su propia incapacidad de comprender el Paraíso. [25]
En 1742, cuando Alexander Pope publicó el cuarto libro de su Dunciad , los intentos de cuadrar en círculo se consideraron "salvajes e infructuosos": [26]
Mad Mathesis solo no estaba confinado,
demasiado loco por las meras cadenas materiales para unir,
ahora al espacio puro levanta su mirada extática,
ahora, corriendo alrededor del círculo, lo encuentra cuadrado.
demasiado loco por las meras cadenas materiales para unir,
ahora al espacio puro levanta su mirada extática,
ahora, corriendo alrededor del círculo, lo encuentra cuadrado.
De manera similar, la ópera cómica de Gilbert y Sullivan , la Princesa Ida,presenta una canción que satíricamente enumera los objetivos imposibles de la universidad femenina dirigida por el personaje del título, como encontrar un movimiento perpetuo . Uno de estos objetivos es "Y el círculo: lo cuadrarán / Algún buen día". [27]
Se dice que la sestina , una forma poética utilizada por primera vez en el siglo XII por Arnaut Daniel , cuadró el círculo en su uso de un número cuadrado de líneas (seis estrofas de seis líneas cada una) con un esquema circular de seis palabras repetidas. Spanos (1978) escribe que esta forma invoca un significado simbólico en el que el círculo representa el cielo y la plaza representa la tierra. [28] Una metáfora similar se usó en "Squaring The Circle", un cuento de 1908 escrito por O. Henry , acerca de una larga disputa familiar. En el título de esta historia, el círculo representa el mundo natural, mientras que la plaza representa la ciudad, el mundo del hombre. [29]
En la novela Ulises de James Joyce , Leopold Bloom sueña con ser rico al cuadrar el círculo, sin saber que la cuadratura del círculo había sido imposible 22 años antes y que el gobierno británico nunca había ofrecido una recompensa por su solución. [30]
En Thomas Mann 's La montaña mágica , Abogado Paravant es trágicamente obsesionado con la cuadratura del círculo, probablemente en respuesta a una historia de amor fracasado. Se pierde en su "intento obsesivo de cuadrar el círculo, una operación imposible que cree que podrá realizar en el Berghof, debido a la vertiginosa elevación del sanatorio por encima de la" llanura "". Su esfuerzo "toma un giro disipador, y eventualmente es denunciado en el sanatorio como 'poción mística'".
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