TEMAS DE GEOMETRÍA

GEOMETRÍA ALGEBRAICA , CONTINUACIÓN

Geometría algebraica real [ editar ]

Artículo principal: Geometría algebraica real.

La geometría algebraica real es el estudio de los puntos reales de las variedades algebraicas.

El hecho de que el campo de los números reales sea un campo ordenado no se puede ignorar en dicho estudio. Por ejemplo, la curva de la ecuación.$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -a = 0} es un circulo si {\ displaystyle a> 0}, pero no tiene ningún punto real si {\ displaystyle a <0 font="">. De ello se deduce que la geometría algebraica real no es solo el estudio de las variedades algebraicas reales, sino que se ha generalizado al estudio de los conjuntos semi-algebraicos , que son las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas y desigualdades polinómicas. Por ejemplo, una rama de la hipérbola de la ecuación.$${\ displaystyle xy-1 = 0} no es una variedad algebraica, pero es un conjunto semi-algebraico definido por $${\ displaystyle xy-1 = 0} y {\ displaystyle x> 0} o por $${\ displaystyle xy-1 = 0} y {\ displaystyle x + y> 0}.

Uno de los problemas desafiantes de la geometría algebraica real es el decimosexto problema no resuelto de Hilbert : decidir qué posiciones respectivas son posibles para los óvalos de una curva de plano no singular de grado 8.

Computational geometría algebraica [ editar ]

Se puede fechar el origen de la geometría algebraica computacional a la reunión EUROSAM'79 (Simposio internacional sobre manipulación simbólica y algebraica) celebrado en Marsella , Francia en junio de 1979. En esta reunión,

• Dennis S. Arnón mostró que George E. Collins 's cilíndricos descomposición algebraica (CAD) permite el cálculo de la topología de conjuntos semi-algebraicas,
• Bruno Buchberger presentó las bases de Gröbner y su algoritmo para calcularlas,
• Daniel Lazard presentó un nuevo algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales homogéneas con una complejidad computacional que es esencialmente polinomial en el número esperado de soluciones y, por lo tanto, simplemente exponencial en el número de las incógnitas. Este algoritmo está fuertemente relacionada con Macaulay 's resultante multivariante .

Desde entonces, la mayoría de los resultados en esta área se relacionan con uno o varios de estos elementos, ya sea mediante el uso o la mejora de uno de estos algoritmos, o mediante la búsqueda de algoritmos cuya complejidad es simplemente exponencial en el número de variables.

Un cuerpo de teoría matemática complementaria a los métodos simbólicos llamados geometría algebraica numérica se ha desarrollado durante las últimas décadas. El principal método computacional es la continuación de la homotopía . Esto admite, por ejemplo, un modelo de cálculo de punto flotante para resolver problemas de geometría algebraica.

Base de Gröbner [ editar ]

Artículo principal: Base de Gröbner.

Una base de Gröbner es un sistema de generadores de un ideal polinomial cuyo cálculo permite la deducción de muchas propiedades de la variedad algebraica afín definida por el ideal.

Dado un ideal que define un conjunto algebraico V :

• V está vacío (sobre una extensión algebraicamente cerrada del campo base), solo si la base de Gröbner para cualquier orden monomial se reduce a {1}.
• Por medio de la serie de Hilbert, uno puede calcular la dimensión y el grado de V de cualquier base de Gröbner de I para un ordenamiento monomial que refine el grado total.
• Si la dimensión de V es 0, uno puede calcular los puntos (en número finito) de V desde cualquier base de Gröbner de I (ver Sistemas de ecuaciones polinómicas ).
• Un cálculo de base de Gröbner permite eliminar de V todos los componentes irreductibles que están contenidos en una hipersuperficie determinada.
• Un cálculo de base de Gröbner permite calcular el cierre de Zariski de la imagen de V mediante la proyección en las primeras coordenadas k , y el subconjunto de la imagen donde la proyección no es correcta.
• De manera más general, los cálculos de base de Gröbner permiten calcular el cierre de Zariski de la imagen y los puntos críticos de una función racional de V en otra variedad afín.

Los cálculos de base de Gröbner no permiten calcular directamente la descomposición primaria de I ni los ideales primarios que definen los componentes irreductibles de V , pero la mayoría de los algoritmos para esto involucran el cálculo de base de Gröbner. Los algoritmos que no están basados ​​en las bases de Gröbner usan cadenas regulares pero pueden necesitar bases de Gröbner en algunas situaciones excepcionales.

Las bases de Gröbner se consideran difíciles de calcular. De hecho, pueden contener, en el peor de los casos, polinomios cuyo grado es doblemente exponencial en el número de variables y un número de polinomios que también es doblemente exponencial. Sin embargo, esto es solo una complejidad del peor de los casos, y el límite de complejidad del algoritmo de Lazard de 1979 puede aplicarse con frecuencia. El algoritmo Faugère F5 se da cuenta de esta complejidad, ya que puede verse como una mejora del algoritmo de 1979 de Lazard. De ello se deduce que las mejores implementaciones permiten calcular de forma casi rutinaria con conjuntos de grados algebraicos de más de 100. Esto significa que, en la actualidad, la dificultad de calcular una base de Gröbner está fuertemente relacionada con la dificultad intrínseca del problema.

Descomposición algebraica cilíndrica (CAD) [ editar ]

CAD es un algoritmo que fue introducido en 1973 por G. Collins para implementar con una complejidad aceptable el teorema de Tarski-Seidenberg sobre la eliminación del cuantificador sobre los números reales.

Este teorema se refiere a las fórmulas de la lógica de primer orden, cuyas fórmulas atómicas son las igualdades o desigualdades polinomiales entre polinomios con coeficientes reales. Estas fórmulas son, por lo tanto, las fórmulas que pueden construirse a partir de las fórmulas atómicas mediante los operadores lógicos y (∧), o (∨), no (¬), para todos (∀) y existen (∃). El teorema de Tarski afirma que, a partir de dicha fórmula, uno puede calcular una fórmula equivalente sin cuantificador (∀, ∃).

La complejidad de CAD es doblemente exponencial en el número de variables. Esto significa que el CAD permite, en teoría, resolver todos los problemas de la geometría algebraica real que pueden expresarse mediante una fórmula de este tipo, que es casi todos los problemas relacionados con variedades y conjuntos semi-algebraicos dados explícitamente.

Si bien el cálculo de la base de Gröbner tiene una complejidad doblemente exponencial solo en casos raros, el CAD tiene casi siempre esta alta complejidad. Esto implica que, a menos que si la mayoría de los polinomios que aparecen en la entrada son lineales, es posible que no resuelva problemas con más de cuatro variables.

Desde 1973, la mayor parte de la investigación sobre este tema está dedicada a mejorar CAD o a encontrar algoritmos alternativos en casos especiales de interés general.

Como ejemplo del estado de la técnica, existen algoritmos eficientes para encontrar al menos un punto en cada componente conectado de un conjunto semi-algebraico y, por lo tanto, para probar si un conjunto semi-algebraico está vacío. Por otro lado, el CAD aún es, en la práctica, el mejor algoritmo para contar el número de componentes conectados.

Complejidad asintótica vs. eficacia práctica [ editar ]

Los algoritmos generales básicos de la geometría computacional tienen una complejidad exponencial de doble caso peor . Más precisamente, si d es el grado máximo de los polinomios de entrada y n el número de variables, su complejidad es como máximo$${\ displaystyle d ^ {2 ^ {cn}}}para alguna constante c , y, para algunas entradas, la complejidad es al menos$${\ displaystyle d ^ {2 ^ {c'n}}}para otra constante c ′.

Durante los últimos 20 años del siglo 20, se han introducido varios algoritmos para resolver subproblemas específicos con una mayor complejidad. La mayoría de estos algoritmos tienen una complejidad.$${\ displaystyle d ^ {O (n ^ {2})}}. ^{[ cita requerida ]}

Entre estos algoritmos que resuelven un subproblema de los problemas resueltos por las bases de Gröbner, uno puede citar las pruebas si una variedad afín está vacía y resolver sistemas polinomiales no homogéneos que tienen un número finito de soluciones. Tales algoritmos rara vez se implementan porque, en la mayoría de las entradas, los algoritmos F4 y F5 de Faugère tienen una mejor eficiencia práctica y probablemente una complejidad similar o mejor ( probablemente debido a que la evaluación de la complejidad de los algoritmos de base de Gröbner en una clase particular de entradas es una tarea difícil que se ha hecho sólo en unos pocos casos especiales).

Los algoritmos principales de la geometría algebraica real que resuelven un problema resuelto por CAD están relacionados con la topología de conjuntos semi-algebraicos. Uno puede citar el conteo de la cantidad de componentes conectados , probar si dos puntos están en los mismos componentes o calcular una estratificaciónde Whitney de un conjunto algebraico real . Tienen una complejidad de $${\ displaystyle d ^ {O (n ^ {2})}}, pero la constante involucrada por la notación O es tan alta que usarlos para resolver cualquier problema no trivial resuelto efectivamente por CAD, es imposible incluso si uno pudiera usar toda la potencia informática existente en el mundo. Por lo tanto, estos algoritmos nunca se han implementado y esta es un área de investigación activa para buscar algoritmos con una buena complejidad asintótica y una buena eficiencia práctica.

Punto de vista moderno abstracto [ editar ]

Los enfoques modernos de la geometría algebraica redefinen y extienden efectivamente la gama de objetos básicos en varios niveles de generalidad a esquemas, esquemas formales , esquemas ind , espacios algebraicos, pilas algebraicas , etc. La necesidad de esto surge ya de las ideas útiles dentro de la teoría de variedades, por ejemplo, las funciones formales de Zariski se pueden acomodar mediante la introducción de elementos nilpotentes en los anillos de estructura; considerar espacios de bucles y arcos, construir cocientes por acciones grupales y desarrollar bases formales para la teoría de la intersección natural y la teoría de la deformación conduce a algunas de las extensiones adicionales.

Más notablemente, a fines de la década de 1950, las variedades algebraicas se incorporaron al concepto de esquema de Alexander Grothendieck . Sus objetos locales son esquemas afines o espectros primarios que son espacios anillados localmente que forman una categoría que es antiequivalente a la categoría de anillos unitales conmutativos, extendiendo la dualidad entre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un campo k , y la categoría de generada finamente. reducido k -algebras. El pegado está a lo largo de la topología de Zariski; se puede pegar dentro de la categoría de espacios localmente anillados, pero también, utilizando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de prejuicios de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido teórico de conjunto se sustituye por unaTopología de grothendieck . Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en cuenta ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y más sensibles que la topología cruda de Zariski, a saber, la topología de cuento , y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc; hoy en día algunos otros ejemplos se hicieron prominentes, incluyendo la topología de Nisnevich . Además, las gavillas se pueden generalizar a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales que conducen a pilas de Artin e, incluso más finas, pilas Deligne-Mumford , ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.

A veces otros sitios algebraicos reemplazan la categoría de esquemas afines. Por ejemplo, Nikolai Durov ha introducido mónadas algebraicas conmutativas como una generalización de objetos locales en una geometría algebraica generalizada. Las versiones de una geometría tropical , de una geometría absoluta sobre un campo de un elemento y un análogo algebraico de la geometría de Arakelov se realizaron en esta configuración.

Otra generalización formal es posible para la geometría algebraica universal en la que cada variedad de álgebrastiene su propia geometría algebraica. El término variedad de álgebras no debe confundirse con variedad algebraica .

El lenguaje de los esquemas, pilas y generalizaciones ha demostrado ser una forma valiosa de tratar los conceptos geométricos y convertirse en piedras angulares de la geometría algebraica moderna.

Las pilas algebraicas se pueden generalizar aún más y para muchas preguntas prácticas como la teoría de la deformación y la teoría de la intersección, este es a menudo el enfoque más natural. Uno puede extender el sitiode Grothendieck de esquemas afines a un sitio categórico más alto de esquemas afines derivados , reemplazando los anillos conmutativos con una categoría infinita de álgebras conmutativas de grado graduado., o de anillos conmutativos simpliciales o una categoría similar con una variante apropiada de una topología de Grothendieck. También se pueden reemplazar los presheaves de conjuntos por presheaves de conjuntos simpliciales (o de groupoids infinito). Luego, en presencia de una maquinaria homotópica apropiada, se puede desarrollar una noción de pila derivada como tal presheaf en la categoría de infinito de esquemas afines derivados, que satisface cierta versión categórica infinita de un axioma de gavilla (y para ser algebraico, inductivamente una secuencia de las condiciones de representabilidad). Las categorías de modelos de Quillen, categorías Segal y quasicategorías son algunas de las herramientas más utilizadas para formalizar esto, dando como resultado la geometría algebraica derivada , introducida por la escuela de Carlos Simpson., incluidos Andre Hirschowitz, Bertrand Toën , Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié y otros; y desarrollado por Jacob Lurie , Bertrand Toën y Gabrielle Vezzosi . Otra versión (no conmutativa) de la geometría algebraica derivada, que utiliza categorías A-infinitas, ha sido desarrollada desde principios de la década de 1990 por Maxim Kontsevich y sus seguidores.

Historia [ editar ]

Antes del siglo XVI [ editar ]

Algunas de las raíces de la geometría algebraica se remontan a la obra de los griegos helenísticos del siglo V aC. El problema de Delian , por ejemplo, fue construir una longitud x para que el cubo del lado x contenga el mismo volumen que la caja rectangular a ² b para los lados a y b dados . Menaechmus (alrededor de 350 aC) consideró el problema geométricamente al intersectar el par de cónicas planas ay  =  x ² y xy  =  ab . ^[1] La obra posterior, en el siglo III aC, deArquímedes y Apolonio estudiaron problemas más sistemáticamente en las secciones cónicas , ^[2] y también involucraron el uso de coordenadas. ^[1] Los matemáticos árabes pudieron resolver de manera puramente algebraica ciertas ecuaciones cúbicas y luego interpretar los resultados geométricamente. Esto fue hecho, por ejemplo, por Ibn al-Haytham en el siglo X DC. ^[3] Posteriormente, elmatemático persa Omar Khayyám (nacido en 1048 dC) descubrió un método para resolver ecuaciones cúbicas al intersectar una parábola con un círculo ^[4]y parece haber sido el primero en concebir una teoría general de las ecuaciones cúbicas. ^[5] A los pocos años después de Omar Khayyám, Sharaf al-Din al-Tusi 's Tratado de ecuaciones se ha descrito como 'inaugurando el comienzo de la geometría algebraica'. ^[6]

Renacimiento [ editar ]

Dichas técnicas de aplicación de construcciones geométricas a problemas algebraicos también fueron adoptadas por varios matemáticos del Renacimiento como Gerolamo Cardano y Niccolò Fontana "Tartaglia" en sus estudios de la ecuación cúbica. El enfoque geométrico de los problemas de construcción, en lugar del algebraico, fue favorecido por la mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII, especialmente Blaise Pascal, quien argumentó en contra del uso de métodos algebraicos y analíticos en geometría. ^[7] Los matemáticos franceses Franciscus Vieta y luego René Descartes y Pierre de Fermat.Revolucionó la forma convencional de pensar los problemas de construcción a través de la introducción de la geometría de coordenadas . Estaban interesados ​​principalmente en las propiedades de las curvas algebraicas , como las definidas por las ecuaciones diofánticas(en el caso de Fermat), y la reformulación algebraica de las obras clásicas griegas sobre cónicas y cúbicas (en el caso de Descartes).

Durante el mismo período, Blaise Pascal y Gérard Desargues abordaron la geometría desde una perspectiva diferente, desarrollando las nociones sintéticas de la geometría proyectiva . Pascal y Desargues también estudiaron curvas, pero desde el punto de vista puramente geométrico: el análogo de la construcción de la regla y la brújula griegas . Finalmente, la geometría analítica de Descartes y Fermat se impuso, ya que proporcionó a los matemáticos del siglo XVIII las herramientas cuantitativas concretas necesarias para estudiar los problemas físicos utilizando el nuevo cálculo de Newton y Leibniz . Sin embargo, a fines del siglo XVIII, la mayor parte del carácter algebraico de la geometría de coordenadas fue subsumido por elCálculo de infinitesimales de Lagrangey Euler .

19 y principios del siglo 20 [ editar ]

Tomó los desarrollos simultáneos del siglo XIX de la geometría no euclidiana y las integrales abelianas para devolver las viejas ideas algebraicas al pliegue geométrico. El primero de estos nuevos desarrollos fue tomado por Edmond Laguerre y Arthur Cayley , quienes intentaron determinar las propiedades métricas generalizadas del espacio proyectivo. Cayley introdujo la idea de formas polinomiales homogéneas , y más específicamente formas cuadráticas , en el espacio proyectivo. Posteriormente, Felix Klein estudió la geometría proyectiva (junto con otros tipos de geometría) desde el punto de vista de que la geometría de un espacio está codificada en una cierta clase de transformaciones.en el espacio A finales del siglo XIX, los geometers proyectivos estaban estudiando tipos más generales de transformaciones en figuras en el espacio proyectivo. En lugar de las transformaciones lineales proyectivas que normalmente se consideraban que daban a la geometría kleinianafundamental en el espacio proyectivo, también se preocupaban por las transformaciones biracionales de mayor grado . Esta noción más débil de congruencia llevaría más tarde a los miembros de la escuela italiana de geometría algebraica del siglo 20 a clasificar las superficies algebraicas hasta el isomorfismo birracional .

El segundo desarrollo de principios del siglo XIX, el de las integrales abelianas, llevaría a Bernhard Riemann al desarrollo de las superficies de Riemann .

En el mismo período comenzó la algebraización de la geometría algebraica a través del álgebra conmutativa . Los resultados mencionados en esta dirección son el teorema de Hilbert base y de Hilbert Nullstellensatz , que son la base de la relación entre la geometría algebraica y álgebra conmutativa, y Macaulay 's resultante multivariante , que es la base de la teoría de la eliminación . Probablemente, debido al tamaño del cómputo que implican los resultados multivariados, la teoría de la eliminación se olvidó a mediados del siglo XX hasta que fue renovada por la teoría de la singularidad y la geometría algebraica computacional. ^[8]

Siglo XX [ editar ]

BL van der Waerden , Oscar Zariski y André Weil desarrollaron una base para la geometría algebraica basada en el álgebra de conmutación contemporánea , incluida la teoría de la valoración y la teoría de los ideales . Uno de los objetivos era proporcionar un marco riguroso para probar los resultados de la escuela italiana de geometría algebraica . En particular, esta escuela utilizó sistemáticamente la noción de punto genérico sin ninguna definición precisa, que estos autores dieron por primera vez durante la década de 1930.

En las décadas de 1950 y 1960, Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck refundieron los fundamentos utilizando la teoría de la gavilla . Más tarde, a partir de aproximadamente 1960, y liderado en gran parte por Grothendieck, se desarrolló la idea de los esquemas , en conjunto con un aparato muy refinado de técnicas homológicas . Después de una década de rápido desarrollo, el campo se estabilizó en la década de 1970, y se hicieron nuevas aplicaciones, tanto a la teoría de números como a preguntas geométricas más clásicas sobre variedades algebraicas, singularidades , módulos y módulos formales .

Una clase importante de variedades, que no se entienden fácilmente directamente a partir de sus ecuaciones definitorias, son las variedades abelianas , que son las variedades proyectivas cuyos puntos forman un grupoabeliano . Los ejemplos prototípicos son las curvas elípticas , que tienen una rica teoría. Fueron instrumentales en la prueba del último teorema de Fermat y también se utilizan en la criptografía de curva elíptica .

Paralelamente a la tendencia abstracta de la geometría algebraica, que se ocupa de las declaraciones generales sobre las variedades, también se han desarrollado métodos para el cálculo efectivo con variedades concretas, que conducen a la nueva área de la geometría algebraica computacional. Uno de los métodos de fundación de esta área es la teoría de las bases de Gröbner , introducida por Bruno Buchberger en 1965. Otro método de fundación, más especialmente dedicado a la geometría algebraica real, es la descomposición algebraica cilíndrica , introducida por George E. Collins en 1973.