TEMAS DE GEOMETRÍA

la geometría analítica , también conocida como geometría de coordenadas o geometría cartesiana , es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas . Esto contrasta con la geometría sintética .

La geometría analítica se usa ampliamente en física e ingeniería , y también en aviación , cohetes , ciencias espaciales y vuelos espaciales . Es la base de la mayoría de los campos modernos de la geometría, incluida la geometría algebraica , diferencial , discretay computacional .

Por lo general, el sistema de coordenadas cartesiano se aplica para manipular ecuaciones para planos , líneas rectas y cuadrados , a menudo en dos y, a veces, en tres dimensiones. Geométricamente, uno estudia el plano euclidiano ( dos dimensiones ) y el espacio euclidiano ( tres dimensiones ). Tal como se enseña en los libros escolares, la geometría analítica se puede explicar de manera más simple: se refiere a definir y representar formas geométricas de forma numérica y extraer información numérica de las definiciones y representaciones numéricas de las formas. Que el álgebra de los números reales.puede emplearse para obtener resultados sobre el continuo lineal de la geometría que se basa en el axioma Cantor-Dedekind .

Historia [ editar ]

Grecia antigua [ editar ]

El matemático griego Menaechmus resolvió problemas y probó teoremas usando un método que se parecía mucho al uso de coordenadas y algunas veces se ha mantenido que él había introducido la geometría analítica. ^[1]

Apolonio de Perga , en la sección Determinada , se ocupó de los problemas de una manera que podría llamarse una geometría analítica de una dimensión; con la cuestión de encontrar puntos en una línea que estaban en proporción con los demás. ^[2] Apollonius in the Conics desarrolló un método que es tan similar a la geometría analítica que a veces se cree que su trabajo anticipó el trabajo de DescartesPor unos 1800 años. Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no es esencialmente diferente de nuestro uso moderno de un marco de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre El eje y la curva son las ordenadas. Además desarrolló relaciones entre las abscisas y las ordenadas correspondientes que son equivalentes a las ecuaciones retóricas de las curvas. Sin embargo, aunque Apolonio se acercó al desarrollo de la geometría analítica, no logró hacerlo ya que no tuvo en cuenta las magnitudes negativas y, en todos los casos, el sistema de coordenadas se superpuso a una curva dada a posteriori en lugar de a priori.. Es decir, las ecuaciones se determinaron mediante curvas, pero las curvas no se determinaron mediante ecuaciones. Las coordenadas, variables y ecuaciones eran nociones subsidiarias aplicadas a una situación geométrica específica. ^[3]

Persia [ editar ]

El matemático persa del siglo XI, Omar Khayyám, vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra, y se estaba moviendo en la dirección correcta cuando ayudó a cerrar la brecha entre el álgebra numérica y geométrica ^[4] con su solución geométrica de las ecuaciones cúbicas generales , ^{[5 ]} Pero el paso decisivo llegó después con Descartes. ^{[4] A} Omar Khayyam se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica y su libro El Tratado sobre demostraciones de problemas de álgebra (1070), que estableció los principios del álgebra, es parte del cuerpo de las matemáticas persas que finalmente se transmitió a Europa. . ^[6]Debido a su enfoque geométrico completo de las ecuaciones algebraicas, Khayyam puede considerarse un precursor de Descartes en la invención de la geometría analítica. ^[7] : 248

Europa occidental [ editar ]

La geometría analítica fue inventada de forma independiente por René Descartes y Pierre de Fermat , ^[8] [9],aunque a veces a Descartes se le otorga crédito exclusivo. ^[10] [11] Geometría cartesiana , el término alternativo utilizado para la geometría analítica, se nombra después de Descartes.

Descartes hizo un progreso significativo con los métodos en un ensayo titulado La Geometría (Geometría) , uno de los tres ensayos adjuntos (apéndices) publicados en 1637 junto con su Discurso sobre el método para dirigir correctamente la razón y la búsqueda de la verdad en las ciencias . referido como Discurso sobre el Método . Este trabajo, escrito en su lengua nativa francesa , y sus principios filosóficos, proporcionó una base para el cálculo en Europa. Inicialmente, el trabajo no fue bien recibido, debido, en parte, a las muchas brechas en los argumentos y las ecuaciones complicadas. Solo después de la traducción al latín y la adición de comentarios por van Schootenen 1649 (y el trabajo posterior) la obra maestra de Descartes recibió el debido reconocimiento. ^[12]

Pierre de Fermat también fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica. Aunque no se publicó en su vida, una forma manuscrita de Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a Plane y Solid Loci) circuló en París en 1637, justo antes de la publicación del Discurso de Descartes . ^{[13] [14] [15]} Escrito claramente y bien recibido, la IntroducciónTambién sentó las bases para la geometría analítica. La diferencia clave entre los tratamientos de Fermat y Descartes es una cuestión de punto de vista: Fermat siempre comenzó con una ecuación algebraica y luego describió la curva geométrica que la satisfacía, mientras que Descartes comenzó con curvas geométricas y produjo sus ecuaciones como una de varias propiedades de las curvas. . ^[12] Como consecuencia de este enfoque, Descartes tuvo que lidiar con ecuaciones más complicadas y tuvo que desarrollar los métodos para trabajar con ecuaciones polinomiales de mayor grado. Fue Leonhard Euler quien primero aplicó el método de coordenadas en un estudio sistemático de curvas y superficies espaciales.

Coordenadas [ editar ]

Artículo principal: Sistemas de coordenadas.

Ilustración de un plano de coordenadas cartesianas. Cuatro puntos están marcados y etiquetados con sus coordenadas: (2,3) en verde, (−3,1) en rojo, (−1.5, −2.5) en azul, y el origen (0,0) en púrpura.

En geometría analítica, al plano se le da un sistema de coordenadas, por el cual cada punto tiene un par de coordenadas de números reales . De manera similar, al espacio euclidiano se le dan coordenadas donde cada punto tiene tres coordenadas. El valor de las coordenadas depende de la elección del punto de origen inicial. Se utilizan diversos sistemas de coordenadas, pero los más comunes son los siguientes: ^[16]

Coordenadas cartesianas (en un plano o espacio) [ editar ]

Artículo principal: Sistema de coordenadas cartesianas.

El sistema de coordenadas más común a usar es el sistema de coordenadas cartesiano , donde cada punto tiene una coordenada x que representa su posición horizontal y una coordenada y querepresenta su posición vertical. Estos normalmente se escriben como un par ordenado ( x ,  y ). Este sistema también se puede usar para geometría tridimensional, donde cada punto en el espacio euclidiano está representado por un triple ordenado de coordenadas ( x ,  y ,  z ).

Coordenadas polares (en un plano) [ editar ]

Artículo principal: Coordenadas polares.

En coordenadas polares , cada punto del plano está representado por su distancia r desde el origen y su ángulo θ desde el eje polar.

Coordenadas cilíndricas (en un espacio) [ editar ]

Artículo principal: Coordenadas cilíndricas.

En coordenadas cilíndricas , cada punto del espacio está representado por su altura z , su radio r desde el eje zyel ángulo θ que hace su proyección en el plano xy con respecto al eje horizontal.

Coordenadas esféricas (en un espacio) [ editar ]

Artículo principal: Coordenadas esféricas.

En coordenadas esféricas , cada punto en el espacio está representado por su distancia ρ desde el origen, el ángulo θ su proyección sobre el xy un plano hace con respecto al eje horizontal, y el ángulo φ que hace con respecto a la z eje x . Los nombres de los ángulos a menudo se invierten en la física. ^[dieciséis]

Ecuaciones y curvas [ editar ]

Artículos principales: Conjunto de soluciones y Locus (Matemáticas).

En la geometría analítica, cualquier ecuación que involucre las coordenadas especifica un subconjunto del plano, es decir, el conjunto de soluciones para la ecuación, o locus . Por ejemplo, la ecuación y  =  x corresponde al conjunto de todos los puntos en el plano cuya coordenada x y coordenada y son iguales. Estos puntos forman una línea , y se dice que y  =  x es la ecuación de esta línea. En general, las ecuaciones lineales que involucran xe y especifican líneas, las ecuaciones cuadráticas especifican secciones cónicas, y las ecuaciones más complicadas describen figuras más complicadas. ^[17]

Por lo general, una sola ecuación corresponde a una curva en el plano. Este no es siempre el caso: la ecuación trivial x  =  x especifica todo el plano, y la ecuación x ²  +  y ²  = 0 especifica solo el punto único (0, 0). En tres dimensiones, una sola ecuación generalmente da una superficie , y una curva debe especificarse como la intersección de dos superficies (ver más abajo), o como un sistema de ecuaciones paramétricas . ^[18] La ecuación x ²  +  y ²  =  r ² es la ecuación para cualquier círculo centrado en el origen (0, 0) con un radio de r.

Líneas y planos [ editar ]

Artículos principales: Línea (geometría) y Plano (geometría).

Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines , se pueden describir algebraicamente mediante ecuaciones lineales . En dos dimensiones, la ecuación para líneas no verticales se da a menudo en la forma de pendiente-intersección :

$${\ displaystyle y = mx + b \,}

dónde:

m es la pendiente o pendiente de la recta.

b es el intercepto y de la recta.

x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

De manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma de punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural que usa un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, vamos $${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}} Ser el vector de posición de algún punto. $${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}, y deja $${\ displaystyle \ mathbf {n} = (a, b, c)}ser un vector distinto de cero. El plano determinado por este punto y vector consiste en esos puntos.$${\ displaystyle P}, con vector de posicion $${\ displaystyle \ mathbf {r}}, de modo que el vector extraído de $${\ displaystyle P_ {0}} a $${\ displaystyle P} es perpendicular a $${\ displaystyle \ mathbf {n}}. Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto de punto es cero, se sigue que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos$${\ displaystyle \ mathbf {r}} tal que

$${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0.}

(El punto aquí significa un producto de puntos , no una multiplicación escalar). Expandido esto se convierte en

$${\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}

que es la forma puntual normal de la ecuación de un plano. ^[19] Esta es solo una ecuación lineal :

$${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0, {\ text {where}} d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}).}

A la inversa, se muestra fácilmente que si a , b , c y d son constantes y a , b y c no son todos cero, entonces la gráfica de la ecuación

$${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

es un plano que tiene el vector $${\ displaystyle \ mathbf {n} = (a, b, c)}como un normal ^[20] Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano. ^[21]

En tres dimensiones, las líneas no se pueden describir mediante una sola ecuación lineal, por lo que con frecuencia se describen mediante ecuaciones paramétricas :

$${\ displaystyle x = x_ {0} + en \,}

$${\ displaystyle y = y_ {0} + bt \,}

$${\ displaystyle z = z_ {0} + ct \,}

dónde:

x , y y z son todas funciones de la variable independiente t que se extiende sobre los números reales.

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es cualquier punto de la línea.

a , b , yc están relacionados con la pendiente de la línea, de manera que el vector ( a , b , c ) es paralelo a la línea.