TEMAS DE GEOMETRÍA

Para otras aplicaciones, vea Locus (desambiguación) .

Cada curva en este ejemplo es un lugar definido como el concoide del punto P y la línea l . En este ejemplo, P es 8 cm desde l .

En geometría , un locus (plural: loci ) (palabra latina que significa "lugar", "ubicación") es un conjunto de todos los puntos (comúnmente, una línea , un segmento de línea , una curva o una superficie ), cuya ubicación satisface o es determinado por una o más condiciones especificadas. ^[1] [2]

En otras palabras, el conjunto de los puntos que satisfacen alguna propiedad a menudo se llama el lugar de un punto que satisface esta propiedad. El uso del singular en esta formulación es un testimonio de que, hasta finales del siglo XIX, los matemáticos no consideraron conjuntos infinitos. En lugar de ver líneas y curvas como conjuntos de puntos, los vieron como lugares donde un punto puede ubicarse o moverse.

Historia y filosofía [ editar ]

Hasta principios del siglo XX, una forma geométrica (por ejemplo, una curva) no se consideraba como un conjunto infinito de puntos; más bien, se consideró como una entidad en la que se puede ubicar un punto o en el que se mueve. Así, un círculo en el plano euclidiano se definió como el lugar de un punto que se encuentra a una distancia dada de un punto fijo, el centro del círculo. En las matemáticas modernas, los conceptos similares se reformulan más frecuentemente al describir las formas como conjuntos; por ejemplo, uno dice que el círculo es el conjunto de puntos que están a una distancia dada del centro. ^[3]

En contraste con la visión de la teoría de conjuntos, la antigua formulación evita considerar colecciones infinitas, ya que evitar el infinito real era una posición filosófica importante de los matemáticos anteriores. ^[4] [5]

Una vez que la teoría de conjuntos se convirtió en la base universal sobre la cual se construyen las matemáticas completas, ^[6] el término locus se convirtió en algo anticuado. ^[7] Sin embargo, la palabra todavía se usa ampliamente, principalmente para una formulación concisa, por ejemplo:

• Locus crítico , el conjunto de los puntos críticos de una función diferenciable .
• Locus singular , el conjunto de los puntos singulares de una variedad algebraica .
• Locus de conexión , el subconjunto del conjunto de parámetros de una familia de funciones racionales para el cual el conjunto de Julia de la función está conectado.

Más recientemente, técnicas tales como la teoría de esquemas y el uso de la teoría de categorías en lugar de la teoría de conjuntos para dar una base a las matemáticas, han regresado a nociones más como la definición original de un locus como un objeto en sí mismo en lugar de un conjunto. de puntos. ^[5]

Ejemplos en geometría plana [ editar ]

Ejemplos de geometría plana incluyen:

• El conjunto de puntos equidistantes de dos puntos es una bisectriz perpendicular al segmento de línea queconecta los dos puntos. ^[8]
• El conjunto de puntos equidistantes de dos líneas que se cruzan es la bisectriz de ángulo .
• Todas las secciones cónicas son loci: ^[9]
  • Parábola : el conjunto de puntos equidistantes de un punto fijo (el foco ) y una línea (la directriz ).
  • Círculo : el conjunto de puntos para los cuales la distancia desde un solo punto es constante (el radio ). El conjunto de puntos para cada uno de los cuales la relación de las distancias a dos focos dados es una constante positiva (es decir, no 1) se conoce como un círculo de Apolonio .
  • Hipérbola : el conjunto de puntos para cada uno de los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es una constante.
  • Elipse : el conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es una constante. El círculo es el caso especial, en el que los dos focos coinciden entre sí.

Otros ejemplos de loci aparecen en varias áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en dinámica compleja , el conjunto de Mandelbrot es un subconjunto del plano complejo que puede caracterizarse como el locus de conexión de una familia de mapas polinómicos.

Prueba de un locus [ editar ]

Para demostrar que una forma geométrica es el lugar correcto para un conjunto dado de condiciones, generalmente se divide la prueba en dos etapas: ^[10]

• Prueba de que todos los puntos que satisfacen las condiciones están en la forma dada.
• Prueba de que todos los puntos en la forma dada satisfacen las condiciones.

Ejemplos [ editar ]

(distancia PA ) = 3. (distancia PB )

Primer ejemplo [ editar ]

Encontramos el lugar geométrico de los puntos P que tienen una relación dada de distancias k = d ₁ / d ₂ a dos puntos dados.

En este ejemplo, elegimos k = 3, A (−1, 0) y B (0, 2) como puntos fijos.

P ( x ,  y ) es un punto del lugar

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | = 3 | PB |}

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | ^ {2} = 9 | PB | ^ {2}}

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 1) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 9 (x-0) ^ {2} +9 (y-2) ^ {2}}

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow 8 (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x-36y + 35 = 0}

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (x - {\ frac {1} {8}} \ right) ^ {2} + \ left (y - {\ frac {9} {4}} \ right) ^ {2} = {\ frac {45} {64}}.}

Esta ecuación representa un círculo con centro (1/8, 9/4) y radio$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {8}} {\ sqrt {5}}}. Es el círculo de Apolonio definido por estos valores de k , A , y B .

Segundo ejemplo [ editar ]

Locus del punto C

Un triángulo ABC tiene un lado fijo [ AB ] con longitud c . Determinamos el lugar del tercer vértice C de manera que las medianas de A y C sean ortogonales .

Elegimos un sistema de coordenadas ortonormal tal que A (- c / 2, 0), B ( c / 2, 0). C ( x ,  y ) es el tercer vértice variable. El centro de [ BC ] es M((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). La mediana de C tiene una pendiente y / x . La mediana AM tiene pendiente 2 y / (2 x  + 3 c ).

El locus es un círculo.

C ( x ,  y ) es un punto del lugar

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow}Las medianas de A y C son ortogonales.

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow {\ frac {y} {x}} \ cdot {\ frac {2y} {2x + 3c}} = - 1}

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow 2y ^ {2} + 2x ^ {2} + 3cx = 0}

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + (3c / 2) x = 0}

$${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 3c / 4) ^ {2} + y ^ {2} = 9c ^ {2} / 16.}

El lugar del vértice C es un círculo con el centro (−3 c / 4, 0) y el radio 3 c/ 4.

Tercer ejemplo [ editar ]

El punto de intersección de las líneas asociadas k y l describe el círculo

Un locus también puede definirse por dos curvas asociadas dependiendo de un parámetro común . Si el parámetro varía, los puntos de intersección de las curvas asociadas describen el locus.

En la figura, los puntos K y L son puntos fijos en una línea dada m . La línea k es una línea variable a través de K . La línea de la l a la l es perpendicular a k . El ángulo$${\ displaystyle \ alpha}Entre k y m es el parámetro. k y l son líneas asociadas dependiendo del parámetro común. El punto de intersección variable S de k y l describe un círculo. Este círculo es el lugar del punto de intersección de las dos líneas asociadas.

Cuarto ejemplo [ editar ]

Un lugar de puntos no necesita ser unidimensional (como un círculo, una línea, etc.). Por ejemplo, ^[1] el lugar de la desigualdad 2 x + 3 y - 6 <0 font=""> es la porción del plano que está debajo de la línea de la ecuación 2 x + 3 y - 6 = 0 .

Los matemáticos antiguos introdujeron la noción de línea recta o recta para representar objetos rectos (es decir, sin curvatura ) con una anchura y profundidad insignificantes. Las líneas son una idealización de tales objetos. Hasta el siglo XVII, las líneas se definieron como la "[...] primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, es decir, la longitud, sin ancho ni profundidad, y no es más que el flujo o recorrido del punto que [...] Saldrá de su imaginario moviendo algún vestigio de longitud, exento de cualquier ancho. [...] La línea recta es la que se extiende igualmente entre sus puntos ". ^[1]

Euclides describió una línea como "longitud sin pan" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma"; introdujo varios postulados como propiedades básicas no demostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar confusiones con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana , proyectiva y afín) ).

En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de una línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en la geometría analítica , una línea en el plano se define a menudo como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , pero en una configuración más abstracta, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente, distinto de El conjunto de puntos que se encuentran en él.

Cuando una geometría es descrita por un conjunto de axiomas , la noción de una línea generalmente se deja sin definir (un llamado objeto primitivo ). Las propiedades de las líneas son determinadas por los axiomas que se refieren a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que brinda a los usuarios de la geometría. Así, en la geometría diferencial, una línea puede interpretarse como una geodésica (camino más corto entre puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas, una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar en la trayectoria de un rayo de luz como una línea.

Las líneas rojas y azules en este gráfico tienen la misma pendiente (gradiente) ; las líneas roja y verde tienen la misma intersección en y (cruce el eje en el mismo lugar).

Definiciones versus descripciones [ editar ]

Todas las definiciones son, en última instancia, de naturaleza circular , ya que dependen de conceptos que deben tener definiciones, una dependencia que no puede continuarse indefinidamente sin volver al punto de partida. Para evitar este círculo vicioso, ciertos conceptos deben tomarse como conceptos primitivos ; Términos que no tienen definición. ^[2] En geometría, es frecuente que el concepto de línea se tome como primitivo. ^[3] En aquellas situaciones donde una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas , algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es primitivo, los axiomas dictan el comportamiento y las propiedades de las líneas. que deben satisfacer.

En un tratamiento axiomático no axiomático o simplificado de la geometría, el concepto de una noción primitiva puede ser demasiado abstracto para ser tratado. En esta circunstancia, es posible que se proporcione una descripción o imagen mental de una noción primitiva para proporcionar una base para construir la noción sobre la cual se basaría formalmente en los axiomas (no declarados). Algunos autores pueden referirse a las descripciones de este tipo como definiciones en este estilo informal de presentación. Estas no son definiciones verdaderas y no podrían utilizarse en pruebas formales de declaraciones. La "definición" de línea en los Elementos de Euclides cae en esta categoría. ^[4] Incluso en el caso de que se esté considerando una geometría específica (por ejemplo, la geometría euclidiana), no hay un acuerdo generalmente aceptado entre los autores en cuanto a lo que debe ser una descripción informal de una línea cuando el tema no está siendo tratado formalmente.

En geometría euclidiana [ editar ]

Ver también: geometría euclidiana.

Cuando la geometría fue formalizada por primera vez por Euclides en los Elementos , definió una línea general (recta o curva) como "longitud sin pan" con una línea recta que es una línea "que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". ^[5] Estas definiciones tienen poco propósito ya que usan términos que no están definidos por sí mismos. De hecho, Euclid no usó estas definiciones en este trabajo y probablemente las incluyó solo para aclarar al lector lo que se estaba discutiendo. En la geometría moderna, una línea se toma simplemente como un objeto indefinido con propiedades dadas por los axiomas , ^[6] pero a veces se define como un conjunto de puntos que obedecen a una relación lineal cuando algún otro concepto fundamental queda indefinido.

En una formulación axiomática de geometría euclidiana, como la de Hilbert (los axiomas originales de Euclides contenían varios defectos que han sido corregidos por los matemáticos modernos), ^[7] se afirma que una línea tiene ciertas propiedades que la relacionan con otras líneas y puntos . Por ejemplo, para dos puntos distintos, hay una línea única que los contiene y dos líneas distintas se intersecan a lo sumo en un punto. ^[8] En dos dimensiones , es decir, el plano euclidiano , dos líneas que no se intersecan se llaman paralelas . En dimensiones superiores, dos líneas que no se intersecan son paralelas si están contenidas en un plano, o sesgarsi no lo son.

Cualquier colección de finamente muchas líneas divide el plano en polígonos convexos (posiblemente ilimitados); Esta partición es conocida como una disposición de líneas .

En el plano cartesiano [ editar ]

Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines , se pueden describir algebraicamente mediante ecuaciones lineales .

En dos dimensiones , la ecuación para líneas no verticales se da a menudo en la forma de pendiente-intersección :

$${\ displaystyle y = mx + b}

dónde:

m es la pendiente o pendiente de la recta.

b es el intercepto y de la recta.

x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

La pendiente de la recta a través de los puntos. $${\ displaystyle A (x_ {a}, y_ {a})} y $${\ displaystyle B (x_ {b}, y_ {b})}, cuando $${\ displaystyle x_ {a} \ neq x_ {b}}, es dado por $${\ displaystyle m = (y_ {b} -y_ {a}) / (x_ {b} -x_ {a})} y la ecuación de esta línea se puede escribir. $${\ displaystyle y = m (x-x_ {a}) + y_ {a}}.

En $${\ displaystyle \ mathbb {R ^ {2}}}, cada línea $${\ displaystyle L} (incluidas las líneas verticales) se describe mediante una ecuación lineal de la forma

$${\ displaystyle L = \ {(x, y) \ mid ax + by = c \}}

con coeficientes reales fijos a , b y c, de modo que a y b no sean ambos cero. Usando esta forma, las líneas verticales corresponden a las ecuaciones con b = 0.

Hay muchas formas diferentes de escribir la ecuación de una línea que se puede convertir de una a otra mediante la manipulación algebraica. Estas formas (vea la ecuación lineal para otras formas) generalmente se nombran por el tipo de información (datos) sobre la línea que se necesita para escribir la forma. Algunos de los datos importantes de una línea son su pendiente, la intersección x , los puntos conocidos en la línea y la intersección y.

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos diferentes. $${\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})} y $${\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})} puede ser escrito como

$${\ displaystyle (y-y_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) = (y_ {1} -y_ {0}) (x-x_ {0})}.

Si x ₀ ≠ x ₁ , esta ecuación se puede reescribir como

$${\ displaystyle y = (x-x_ {0}) \, {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + y_ {0}}

o

$${\ displaystyle y = x \, {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + {\ frac {x_ {1} y_ {0} -x_ { 0} y_ {1}} {x_ {1} -x_ {0}}} \ ,.}

En tres dimensiones , las líneas no se pueden describir mediante una sola ecuación lineal, por lo que con frecuencia se describen mediante ecuaciones paramétricas :

$${\ displaystyle x = x_ {0} + en}

$${\ displaystyle y = y_ {0} + bt}

$${\ displaystyle z = z_ {0} + ct}

dónde:

x , y y z son todas funciones de la variable independiente t que se extiende sobre los números reales.

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es cualquier punto de la línea.

a , b , yc están relacionados con la pendiente de la línea, de manera que el vector ( a , b , c ) es paralelo a la línea.

También pueden describirse como las soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales.

$${\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z-d_ {1} = 0}

$${\ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z-d_ {2} = 0}

tal que $${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1})} y $${\ displaystyle (a_ {2}, b_ {2}, c_ {2})} no son proporcionales (las relaciones $${\ displaystyle a_ {1} = ta_ {2}, b_ {1} = tb_ {2}, c_ {1} = tc_ {2}} implicar $${\ displaystyle t = 0}). Esto sigue, ya que en tres dimensiones, una sola ecuación lineal describe típicamente un plano y una línea es lo que es común a dos planos de intersección distintos.

En forma normal [ editar ]

Artículo principal: Forma normal de Hesse.

La forma normal (también llamada forma normal de Hesse , ^[9] después del matemático alemán Ludwig Otto Hesse ), se basa en el segmento normal para una línea dada, que se define como el segmento de línea dibujado desde el origen perpendicular a la línea . Este segmento une el origen con el punto más cercano en la línea al origen. La forma normal de la ecuación de una línea recta en el plano viene dada por:

$${\ displaystyle y \ sin \ theta + x \ cos \ theta -p = 0,}

donde θ es el ángulo de inclinación del segmento normal (el ángulo orientado desde el vector unitario del eje x a este segmento), y p es la longitud (positiva) del segmento normal. La forma normal puede derivarse de la forma general.$${\ displaystyle ax + by = c} dividiendo todos los coeficientes por

$${\ displaystyle {\ frac {c} {| c |}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

A diferencia de las formas de intercepción de pendiente e intercepción, esta forma puede representar cualquier línea, pero también requiere solo dos parámetros finitos, θ y p , para ser especificados. Si p > 0, entonces θ se define de forma única el módulo 2 π . Por otro lado, si la línea es a través del origen ( c  = 0, p  = 0), uno deja caer c / | c | término para calcular el pecado θ y cos θ , y θ solo se define módulo π .

En coordenadas polares [ editar ]

En las coordenadas polares en el plano euclidiano, la forma de pendiente-intersección de la ecuación de una línea se expresa como:

$${\ displaystyle r = {\ frac {mr \ cos \ theta + b} {\ sin \ theta}},}

donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto y . Cuando θ = 0 la gráfica estará indefinida. La ecuación se puede reescribir para eliminar las discontinuidades de esta manera:

$${\ displaystyle r \ sin \ theta = mr \ cos \ theta + b.}

En coordenadas polares en el plano euclidiano, la forma de intersección de la ecuación de una línea que no es horizontal, no vertical y que no pasa a través del polo se puede expresar como,

$${\ displaystyle r = {\ frac {1} {{\ frac {\ cos \ theta} {x_ {o}}} + {\ frac {\ sin \ theta} {y_ {o}}}}}}

dónde $${\ displaystyle x_ {o}} y $${\ displaystyle y_ {o}}representan las intersecciones x e y respectivamente. La ecuación anterior no es aplicable para líneas verticales y horizontales porque en estos casos una de las intercepciones no existe. Además, no es aplicable en las líneas que pasan por el polo, ya que en este caso, las interceptaciones x e y son cero (lo que no está permitido aquí ya que$${\ displaystyle x_ {o}} y $${\ displaystyle y_ {o}}son denominadores). Una línea vertical que no pasa a través del polo está dada por la ecuación

$${\ displaystyle r \ cos \ theta = x_ {o}.}

Del mismo modo, una línea horizontal que no pasa a través del polo está dada por la ecuación

$${\ displaystyle r \ sin \ theta = y_ {o}.}

La ecuación de una línea que pasa a través del polo se da simplemente como:

$${\ displaystyle \ tan \ theta = m}

donde m es la pendiente de la recta.

Como una ecuación vectorial [ editar ]

La ecuación vectorial de la línea a través de los puntos A y B está dada por $${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {OA} + \ lambda \, \ mathbf {AB}}(donde λ es un escalar ).

Si a es el vector OA y b es el vector OB , entonces la ecuación de la línea se puede escribir:$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {a} + \ lambda (\ mathbf {b} - \ mathbf {a})}.

Un rayo que comienza en el punto A se describe limitando λ. Se obtiene un rayo si λ ≥ 0, y el rayo opuesto proviene de λ ≤ 0.

En el espacio euclidiano [ editar ]

En el espacio tridimensional , una ecuación de primer grado en las variables x , y y z define un plano, por lo que dos de estas ecuaciones, siempre que los planos a los que dan lugar no sean paralelos, definen una línea que es la intersección de los planos. Más en general, en n espacio dimensional n ecuaciones -1 de primer grado en las n coordenadas variables de definir una línea en condiciones adecuadas.

En el espacio euclídeo más general , R ⁿ (y análogamente en todos los demás espacios afines ), la línea L quepasa a través de dos puntos diferentes a y b (considerados como vectores) es el subconjunto

$${\ displaystyle L = \ {(1-t) \, a + t \, b \ mid t \ in \ mathbb {R} \}}

La dirección de la línea es de a ( t = 0) a b ( t = 1), o en otras palabras, en la dirección del vector b  -  a . Diferentes opciones de una y b pueden producir la misma línea.

Puntos colineales [ editar ]

Artículo principal: Colinealidad.

Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran en la misma línea. Tres puntos generalmente determinan un plano , pero en el caso de tres puntos colineales esto no sucede.

En coordenadas afines , en el espacio n -dimensional los puntos X = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), Y = ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) y Z = ( z ₁ , z ₂ , ..., z _n ) son colineales si la matriz

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {2} & \ dots & x_ {n} \\ 1 & y_ {1} & y_ {2} & \ dots & y_ {n} \\ 1 & z_ {1} & z_ {2 } & \ dots & z_ {n} \ end {bmatrix}}}

tiene un rango menor que 3. En particular, para tres puntos en el plano ( n = 2), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero.

De manera equivalente para tres puntos en un plano, los puntos son colineales si y solo si la pendiente entre un par de puntos es igual a la pendiente entre cualquier otro par de puntos (en cuyo caso la pendiente entre el par de puntos restante será igual a las otras pendientes) . Por extensión, los puntos k en un plano son colineales si y solo si algunos ( k –1) pares de puntos tienen las mismas pendientes en pares.

En la geometría euclidiana , la distancia euclidiana d ( a , b ) entre dos puntos a y b se puede usar para expresar la colinealidad entre tres puntos mediante: ^[10] [11]

Los puntos de un , b y c son colineales si y sólo si d ( x , un ) = d ( c , un ) y d ( x , b ) = d ( c , b ) implica x = c.

Sin embargo, hay otras nociones de distancia (como la distancia de Manhattan ) para las cuales esta propiedad no es cierta.

En las geometrías donde el concepto de una línea es una noción primitiva , como puede ser el caso en algunas geometrías sintéticas , se necesitan otros métodos para determinar la colinealidad.

Tipos de líneas [ editar ]

En cierto sentido, ^[12] todas las líneas en la geometría euclidiana son iguales, en el sentido de que, sin coordenadas, no se pueden distinguir entre sí. Sin embargo, las líneas pueden desempeñar funciones especiales con respecto a otros objetos en la geometría y se pueden dividir en tipos de acuerdo con esa relación. Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo , una elipse , una parábola o una hipérbola ), las líneas pueden ser:

• líneas tangentes , que tocan la cónica en un solo punto;
• líneas secantes , que intersectan la cónica en dos puntos y pasan a través de su interior;
• Líneas exteriores, que no coinciden con la cónica en ningún punto del plano euclidiano; o
• una directriz , cuya distancia desde un punto ayuda a establecer si el punto está en la cónica.

En el contexto de determinar el paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que intersecta otras dos líneas que pueden o no ser paralelas entre sí.

Para curvas algebraicas más generales , las líneas también podrían ser:

• i -líneas secantes, que cumplen la curva en i puntos contados sin multiplicidad, o
• asíntotas , que una curva se acerca arbitrariamente sin tocarla.

Con respecto a los triángulos tenemos:

• la línea de Euler ,
• las líneas Simson , y
• Líneas centrales .

Para un cuadrilátero convexo con a lo sumo dos lados paralelos, la línea de Newton es la línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales .

Para un hexágono con vértices tendidos en una cónica tenemos la línea de Pascal y, en el caso especial donde la cónica es un par de líneas, tenemos la línea de Pappus .

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que nunca se cruzan. Las líneas de intersección comparten un único punto en común. Las líneas coincidentes coinciden entre sí: cada punto que está en cualquiera de ellas está también en la otra.

Las líneas perpendiculares son líneas que se intersecan en ángulos rectos .

En el espacio tridimensional , las líneas sesgadas son líneas que no están en el mismo plano y, por lo tanto, no se intersectan entre sí.

En geometría proyectiva [ editar ]

Más información: Geometría proyectiva.

En muchos modelos de geometría proyectiva , la representación de una línea rara vez se ajusta a la noción de "curva recta" tal como se visualiza en la geometría euclidiana. En la geometría elíptica vemos un ejemplo típico de esto. ^[13] En la representación esférica de la geometría elíptica, las líneas están representadas por grandes círculos de una esfera con puntos diametralmente opuestos identificados. En un modelo diferente de geometría elíptica, las líneas se representan mediante planos euclidianos que pasan por el origen. Aunque estas representaciones son visualmente distintas, satisfacen todas las propiedades (por ejemplo, dos puntos que determinan una línea única) que las hacen representaciones adecuadas para las líneas en esta geometría.

Extensiones [ editar ]

Ray [ editar ]

Dada una línea y cualquier punto A en ella, podemos considerar que A está descomponiendo esta línea en dos partes. Cada una de esas partes se llama rayo (o línea media ) y el punto A se llama punto inicial . El punto A se considera un miembro del rayo. ^[14] Intuitivamente, un rayo consiste en esos puntos en una línea que pasa a través de A y continúa indefinidamente, comenzando en A , en una dirección solo a lo largo de la línea. Sin embargo, para utilizar este concepto de rayo en pruebas, se requiere una definición más precisa.

Dada puntos distintos A y B , que determinan un rayo único con el punto inicial A . Como dos puntos definen una línea única, este rayo consiste en todos los puntos entre A y B (incluyendo A y B ) y todos los puntos C en la línea a través de A y B tal que B está entre A y C . ^[15] Esto es, a veces, también expresaron como el conjunto de todos los puntos C de tal manera que A no es entre B y C .^[16] Un punto D , en la línea determinada por A y B , pero no en el rayo con el punto inicial A determinado por B , determinará otro rayo con el punto inicial A . Con respecto alrayo AB , elrayo AD se llama rayo opuesto .

Por lo tanto, diríamos que dos puntos diferentes, A y B , definen una línea y una descomposición de esta línea en la unión desunida de un segmento abierto ( A ,  B ) y dos rayos, BC y AD (el punto D no está dibujado en el diagrama, pero está a la izquierda de A en la línea AB ). Estos no son rayos opuestos ya que tienen diferentes puntos iniciales.

En la geometría euclidiana, dos rayos con un punto final común forman un ángulo .

La definición de un rayo depende de la noción de intermediación para los puntos en una línea. De ello se deduce que los rayos existen solo para las geometrías para las cuales existe esta noción, típicamente geometría euclidiana o geometría afín sobre un campo ordenado . Por otro lado, los rayos no existen en la geometría proyectiva ni en una geometría sobre un campo no ordenado, como los números complejos o cualquier campo finito .

En topología , un rayo en un espacio X es una incrustación continua R ⁺ → X . Se utiliza para definir el importante concepto de final del espacio.

Segmento de linea [ editar ]

Artículo principal: segmento de línea

Un segmento de línea es una parte de una línea que está delimitada por dos puntos finales distintos y contiene todos los puntos de la línea entre sus puntos finales. Dependiendo de cómo se defina el segmento de línea, cualquiera de los dos puntos finales puede o no ser parte del segmento de línea. Dos o más segmentos de línea pueden tener algunas de las mismas relaciones que las líneas, como ser paralelas, intersectarse o sesgar, pero a diferencia de las líneas, pueden no ser ninguna de estas, si son coplanares y no se intersecan o son colineales .

Geodesica [ editar ]

Artículo principal: geodésicas

La "línea corta" y la "rectitud" de una línea, interpretadas como la propiedad de que la distancia a lo largo de la línea entre cualquiera de sus dos puntos se minimiza (ver desigualdad de triángulos ), se pueden generalizar y conducir al concepto de geodésicos en espacios métricos .