TEMAS DE GEOMETRÍA

Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 supuestos propuestos por David Hilbert en 1899 en su libro Grundlagen der Geometrie ^{[1] [2] [3] [4]} (tr. The Foundations of Geometry ) como la base para un tratamiento moderno de la geometría euclidiana. . Otras conocidas axiomatizaciones modernas de la geometría euclidiana son las de Alfred Tarski y de George Birkhoff .

Los axiomas [ editar ]

El sistema de axiomas de Hilbert está construido con seis nociones primitivas : tres términos primitivos: ^[5]

• punto ;
• línea ;
• avión ;

y tres relaciones primitivas : ^[6]

• La intermediación , una relación ternaria que une los puntos;
• Se encuentra en (Contención) , tres relaciones binarias , un punto de enlace y líneas rectas, uno de puntos de conexión y planos, y uno de enlace de líneas rectas y planos;
• Congruencia , dos relaciones binarias, una línea que une segmentos y una que une ángulos , cada uno denotado por un infijo ≅ .

Los segmentos de línea, los ángulos y los triángulos pueden definirse en términos de puntos y líneas rectas, utilizando las relaciones de intermediación y contención. Todos los puntos, líneas rectas y planos en los siguientes axiomas son distintos a menos que se indique lo contrario.

I. Incidencia [ editar ]

1. Por cada dos puntos A y B existe una línea a que los contiene a ambos. Escribimos AB = a o BA = a . En lugar de "contiene", también podemos emplear otras formas de expresión; por ejemplo, podemos decir que " A se encuentra sobre a ", " A es un punto de a ", " a pasa por A y por B ", " a une A a B ", etc. Si A se encuentra sobre a y mismo tiempo en otra líneab , también utilizamos la expresión: "Las líneas a y btienen el punto A en común", etc.
2. Por cada dos puntos no existe más de una línea que los contenga a ambos; en consecuencia, si AB = a y AC = a , donde B ≠ C , entonces también BC = a .
3. Existen al menos dos puntos en una línea. Existen al menos tres puntos que no se encuentran en la misma línea.
4. Por cada tres puntos A , B , C no situados en la misma línea, existe un plano α que los contiene a todos. Para cada plano existe un punto que se encuentra en él. Escribimos ABC = α . Empleamos también las expresiones: " A , B , C se encuentran en α "; " A , B , C son puntos de α ", etc.
5. Por cada tres puntos A , B , C que no se encuentran en la misma línea, no existe más de un plano que los contenga a todos.
6. Si dos puntos A , B de una línea a se encuentran en un plano α , entonces cada punto de a se encuentra en α . En este caso decimos: "La línea a se encuentra en el plano α ", etc.
7. Si dos planos α , β tienen un punto A en común, entonces tienen al menos un segundo punto B en común.
8. Existen al menos cuatro puntos que no están en un plano.

II. Orden [ editar ]

1. Si un punto B se encuentra entre los puntos A y C , B también es de entre C y A , y no existe una línea que contiene el puntos distintos A , B , C .
2. Si A y C son dos puntos, entonces existe al menos un punto B en la línea de AC tal que C está entre A y B . ^[7]
3. De los tres puntos situados en una línea, no hay más de uno que se encuentra entre los otros dos. ^[8]
4. Axioma de Pascua : Vamos A , B , el C sea tres puntos no se extiende en la misma línea y dejar que unser una línea situada en el plano ABC y no pasa a través de cualquiera de los puntos A , B , C . Luego, si la línea a pasa por un punto del segmento AB , también pasará por un punto del segmento BC o un punto del segmento AC .

III. Congruencia [ editar ]

1. Si A , B son dos puntos en una línea a , y si A 'es un punto en la misma u otra línea a ', entonces, en un lado dado de A 'en la línea recta a ', siempre podemos encontrar un punto B 'para que el segmento ABsea ​​congruente con el segmento A ' B '. Indicamos esta relación escribiendo AB ≅ A ′ B ′ . Cada segmento es congruente consigo mismo; Es decir, siempre tenemos AB ≅ AB .
   Podemos afirmar brevemente el axioma anterior diciendo que cada segmento se puede separar en un lado determinado de un punto dado de una línea recta dada en al menos una forma.
2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A ′ B ′ y también con el segmento A ″ B ″, entonces el segmento A ′ B ′ es congruente con el segmento A ″ B ″; es decir, si AB ≅ A ′ B ′ y AB ≅ A ″ B ″ , entonces A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
3. Sean AB y BC dos segmentos de una línea a que no tienen puntos en común aparte del punto B y, además, sean A ′ B ′ y B ′ C ′ dos segmentos de la misma línea o de otra línea a ′. , igualmente, no hay otro punto que B ′ en común. Entonces, si AB ≅ A ′ B ′ y BC ≅ B ′ C ′ , tenemos AC ≅ A ′ C ′ .
4. Deja un ángulo ∠ ( h , k ) se dará en el plano α y dejar una línea un 'se dará en un plano α '. Supongamos también que, en el plano α ′, se asigna un lado definido de la línea recta a ′. Denote por h ′ un rayo de la línea recta a ′ que emana de un punto O ′ de esta línea. Luego, en el plano α ′ hay uno y solo un rayo k ′ tal que el ángulo ∠ ( h , k ) o ( k , h ), es congruente con el ángulo ∠ ( h ′, k ′) y al mismo tiempo todos los puntos interiores del ángulo ∠ ( h ′, k ′) se encuentran en el lado dado de a ′. Expresamos esta relación mediante la notación ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
5. Si el ángulo ∠ ( h , k ) es congruente con el ángulo ∠ ( h ′, k ′) y con el ángulo ∠ ( h ″, k ″) , entonces el ángulo ∠ ( h ′, k ′) es congruente con el ángulo ∠ ( h ″, k ″) ; es decir, si ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) y ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k″) , Luego ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″) .
6. Si, en los dos triángulos ABC y A ' B ' C 'las congruencias AB ≅ A ' B ' , AC ≅ A ' C ' , ∠ BAC ≅ ∠ B ' A ' C 'de retención, entonces la congruencia ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ se mantiene (y, por un cambio de notación, se deduce que ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′B ′ también tiene).

IV. Paralelos [ editar ]

1. El axioma de Euclides ^[9] Sea a cualquier línea y A un punto que no esté en ella. Luego, hay como máximo una línea en el plano, determinada por a y A , que pasa por A y no se cruza con a .

V. Continuidad [ editar ]

1. Axioma de Arquímedes . Si AB y CD son cualquiera de los segmentos entonces existe un número n tal que n segmentos CD construida contigua desde A , a lo largo del rayo desde A a través de B , pasará más allá del punto B .
2. Axioma de línea completa . Una extensión ^{[ definición necesaria ]} de un conjunto de puntos en una línea con sus relaciones de orden y congruencia que preservarían las relaciones existentes entre los elementos originales, así como las propiedades fundamentales de orden y congruencia de líneas que se desprenden de los Axiomas I-III y de V-1 es imposible.

De Hilbert desechado axioma [ editar ]

Hilbert (1899) incluyó un axioma 21 que decía lo siguiente:

II.4. Los cuatro puntos A , B , C , D de una línea siempre se pueden etiquetar de modo que B se sitúe entre Ay C y también entre A y D , y, además, que C se sitúe entre A y D y también entre B y D .

EH Moore y RL Moore demostraron de forma independiente que este axioma es redundante, y el primero publicó este resultado en un artículo que apareció en las Transacciones de la American Mathematical Society en 1902. ^[10]

Ediciones y traducciones de Grundlagen der Geometrie [ editar ]

La monografía original, basada en sus propias conferencias, fue organizada y escrita por Hilbert para un discurso conmemorativo dado en 1899. Esto fue seguido rápidamente por una traducción al francés, en la que Hilbert agregó V.2, el Axioma de Integridad. EJ Townsend realizó una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, con derechos de autor en 1902. Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción al francés, por lo que se considera una traducción de la 2ª edición. Hilbert continuó haciendo cambios en el texto y varias ediciones aparecieron en alemán. La séptima edición fue la última en aparecer en la vida de Hilbert. En el Prefacio de esta edición, Hilbert escribió:

"La presente séptima edición de mi libro Foundations of Geometry trae mejoras considerables y adiciones a la edición anterior, en parte de mis conferencias posteriores sobre este tema y en parte de las mejoras realizadas por otros escritores. El texto principal del libro ha sido revisado. en consecuencia."

Las nuevas ediciones siguieron a la séptima, pero el texto principal no fue esencialmente revisado. Las modificaciones en estas ediciones se producen en los apéndices y en los suplementos. Los cambios en el texto fueron grandes en comparación con el original y una nueva traducción en inglés fue encargada por Open Court Publishers, que había publicado la traducción de Townsend. Así, la segunda edición en inglés fue traducida por Leo Unger de la décima edición alemana en 1971. Esta traducción incorpora varias revisiones y ampliaciones de las últimas ediciones alemanas de Paul Bernays.

La traducción de Unger se diferencia de la traducción de Townsend con respecto a los axiomas de las siguientes maneras:

• El antiguo axioma II.4 se renombra como Teorema 5 y se mueve.
• El antiguo axioma II.5 (Axioma de Pasch) se renumerará como II.4.
• V.2, el Axioma de Integridad de Línea, reemplazó:

Axioma de la integridad . Para un sistema de puntos, líneas rectas y planos, es imposible agregar otros elementos de tal manera que el sistema generalizado forme una nueva geometría que obedezca a los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, si consideramos que los cinco grupos de axiomas son válidos.

• El antiguo axioma V.2 es ahora el teorema 32.

Las dos últimas modificaciones se deben a P. Bernays.

Otros cambios de nota son:

• El término línea recta utilizada por Townsend ha sido reemplazado por línea en toda su extensión.
• Los Axiomas de Incidencia fueron llamados Axiomas de Conexión por Townsend.

Aplicación [ editar ]

Estos axiomas axiomatizan la geometría sólida euclidiana . La eliminación de cinco axiomas que mencionan "plano" de una manera esencial, concretamente I.4–8, y la modificación de III.4 y IV.1 para omitir la mención de planos, produce una axiomatización de la geometría del plano euclidiano .

Los axiomas de Hilbert, a diferencia de los axiomas de Tarski , no constituyen una teoría de primer orden porque los axiomas V.1–2 no pueden expresarse en la lógica de primer orden .

El valor de Grundlagen de Hilbert era más metodológico que sustantivo o pedagógico. Otras contribuciones importantes a la axiomática de la geometría fueron las de Moritz Pasch , Mario Pieri , Oswald Veblen , Edward Vermilye Huntington , Gilbert Robinson y Henry George Forder . El valor de Grundlagen es su enfoque pionero en cuestiones metamatemáticas , incluido el uso de modelos para demostrar que los axiomas son independientes; y la necesidad de demostrar la consistencia y la integridad de un sistema de axiomas.

Las matemáticas en el siglo XX se convirtieron en una red de sistemas formales axiomáticos . Esto fue, en gran parte, influenciado por el ejemplo de Hilbert establecido en el Grundlagen . Sin embargo, un esfuerzo realizado en 2003 (Meikle y Fleuriot) para formalizar el Grundlagen con una computadora, encontró que algunas de las pruebas de Hilbert parecen basarse en diagramas e intuición geométrica, y como tal revelaron algunas ambigüedades y omisiones potenciales en sus definiciones.

 punto se refiere generalmente a un elemento de un conjunto llamado espacio .

Más específicamente, en la geometría euclidiana , un punto es una noción primitiva sobre la cual se construye la geometría, lo que significa que un punto no puede definirse en términos de objetos definidos previamente. Es decir, un punto está definido solo por algunas propiedades, llamadas axiomas , que debe satisfacer. En particular, los puntos geométricos no tienen ninguna longitud , área, volumen o cualquier otro atributo dimensional . Una interpretación común es que el concepto de un punto pretende capturar la noción de una ubicación única en el espacio euclidiano .

Puntos en geometría euclidiana [ editar ]

Un conjunto finito de puntos (azul) en el espacio euclidiano bidimensional .

Los puntos, considerados dentro del marco de la geometría euclidiana , son uno de los objetos más fundamentales. Euclid originalmente definió el punto como "aquello que no tiene parte". En el espacio euclidianobidimensional , un punto está representado por un par ordenado ( x ,  y ) de números, donde el primer número representa convencionalmente la horizontal y con frecuencia se denota por x , y el segundo número convencionalmente representa la vertical y a menudo se denota por y. Esta idea se generaliza fácilmente al espacio euclidiano tridimensional, donde un punto está representado por un triplete ordenado ( x ,  y ,  z ) con el tercer número adicional que representa la profundidad y, a menudo, se denota por z . Otras generalizaciones están representadas por un tuplet ordenado de n términos, ( a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n ) donde n es la dimensión del espacio en el que se encuentra el punto.

Muchas construcciones dentro de la geometría euclidiana consisten en una colección infinita de puntos que se ajustan a ciertos axiomas. Esto suele estar representado por un conjuntode puntos; Como ejemplo, una línea es un conjunto infinito de puntos de la forma$${\ displaystyle \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_ {1}, a_ {2}, ... a_ {n}) | a_ {1} c_ {1} + a_ {2} c_ {2} + .. .a_ {n} c_ {n} = d \ rbrace}}, donde c ₁ a c _n y d son constantes y n es la dimensión del espacio. Existen construcciones similares que definen el plano , segmento de línea y otros conceptos relacionados. Un segmento de línea que consta de un solo punto se llama segmento de línea degenerado .

Además de definir puntos y construcciones relacionadas con los puntos, Euclid también postuló una idea clave acerca de los puntos, de que cualquiera de los dos puntos se puede conectar por una línea recta. Esto se confirma fácilmente bajo las extensiones modernas de la geometría euclidiana, y tuvo consecuencias duraderas en su introducción, lo que permitió la construcción de casi todos los conceptos geométricos conocidos en ese momento. Sin embargo, la postulación de puntos por parte de Euclides no fue completa ni definitiva, y ocasionalmente asumió hechos sobre puntos que no se derivaron directamente de sus axiomas, como el ordenamiento de puntos en la línea o la existencia de puntos específicos. A pesar de esto, las expansiones modernas del sistema sirven para eliminar estas suposiciones.

Dimensión de un punto [ editar ]

Hay varias definiciones de dimensión desigual en matemáticas. En todas las definiciones comunes, un punto es 0-dimensional.

Dimensión del espacio vectorial [ editar ]

Artículo principal: Dimensión (espacio vectorial)

La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente . En un espacio vectorial que consiste en un solo punto (que debe ser el vector cero 0 ), no hay un subconjunto linealmente independiente. El vector cero no es en sí mismo linealmente independiente, porque hay una combinación lineal no trivial que lo hace cero:$${\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}.

Dimensión topológica [ editar ]

Artículo principal: Lebesgue cubriendo dimensión.

La dimensión topológica de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n , de manera que cada cubierta abierta finita $${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}de X admite una tapa abierta finita$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}de X que refina $${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}en el que no se incluye ningún punto en más de n +1 elementos. Si no existe tal n mínima , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.

Un punto es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura porque cada cubierta abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en un solo conjunto abierto.

Dimensión de Hausdorff [ editar ]

Sea X un espacio métrico . Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el contenido de Hausdorff d- dimensional de S es el infimumdel conjunto de números δ ≥ 0 de tal manera que hay alguna colección (indexada) de bolas $${\ displaystyle \ {B (x_ {i}, r_ {i}): i \ in I \}}cubriendo S con r _i > 0 para cada i ∈ I que satisfaga{\ displaystyle \ sum _ {i \ en I} r_ {i} ^ {d} <\ delta}.

La dimensión de Hausdorff de X se define por

$${\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 \}.}

Un punto tiene una dimensión 0 de Hausdorff porque se puede cubrir con una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.

Geometría sin puntos [ editar ]

Aunque la noción de un punto generalmente se considera fundamental en la geometría y la topología convencionales, hay algunos sistemas que lo renuncian, por ejemplo, la geometría no conmutativa y la topología sin sentido . Un espacio "sin punto" o "sin puntos" se define no como un conjunto , sino a través de alguna estructura ( algebraica o lógica respectivamente) que se parece a un espacio de funciones bien conocido en el conjunto: un álgebra de funciones continuas o un álgebra de conjuntos respectivamente . Más precisamente, tales estructuras generalizan espacios bien conocidos de funciones de manera que la operación "tome un valor en este punto" no se puede definir.AN Whitehead en la que la noción de región se asume como una primitiva junto con la de inclusión o conexión .

Masas puntuales y la función delta de Dirac [ editar ]

Artículo principal: Función delta de Dirac.

A menudo, en física y matemáticas, es útil pensar que un punto tiene una masa o carga no nula (esto es especialmente común en el electromagnetismo clásico , donde los electrones se idealizan como puntos con carga no nula). La función delta de Dirac , o δ función , es (informalmente) una función generalizada en la línea número real que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno sobre toda la línea real. ^{[2] [3] [4]} La función delta a veces se considera como una punta infinitamente alta, infinitamente delgada en el origen, con un área total debajo de la punta, y representa físicamente una masa puntual idealizada opunto de carga . ^[5] Fue introducido por el físico teórico Paul Dirac . En el contexto del procesamiento de la señal , a menudo se lo denomina símbolo de unidad de impulso (o función). ^[6] Su análogo discreto es la función delta de Kronecker que generalmente se define en un dominio finito y toma los valores 0 y 1.