TEMAS DE GEOMETRÍA

 las líneas paralelas son líneas en un plano que no se encuentran; es decir, dos líneas en un plano que no se intersecan o se tocan entre sí en ningún punto se dice que son paralelas. Por extensión, se dice que una línea y un plano, o dos planos, en el espacio euclidiano tridimensional que no comparten un punto son paralelos. Sin embargo, dos líneas en el espacio tridimensional que no se encuentran deben estar en un plano común para ser consideradas paralelas; De lo contrario se les llama líneas de sesgo . Los planos paralelos son planos en el mismo espacio tridimensional que nunca se encuentran.

Las líneas paralelas son objeto de Euclides 's postulado paralelo . ^{[1] El} paralelismo es principalmente una propiedad de las geometrías afines y la geometría euclidiana es una instancia especial de este tipo de geometría. En algunas otras geometrías, como la geometría hiperbólica , las líneas pueden tener propiedades análogas que se conocen como paralelismo.

Línea de dibujo de líneas paralelas y curvas.

Símbolo [ editar ]

Artículo principal: Operador paralelo.

El símbolo paralelo es $${\ displaystyle \ paralelo}. Por ejemplo,$${\ displaystyle AB \ CD paralelo}indica que la línea AB es paralela a la línea  CD .

En el conjunto de caracteres Unicode , los signos "paralelos" y "no paralelos" tienen puntos de código U + 2225 (∥) y U + 2226 (∦), respectivamente. Además, U + 22D5 (⋕) representa la relación "igual y paralela a". ^[2]

Paralelismo euclidiana [ editar ]

Dos líneas en un plano [ editar ]

Condiciones para el paralelismo [ editar ]

Como muestran las marcas de verificación, las líneas a y b son paralelas. Esto se puede probar porque la t transversal produce ángulos correspondientes congruentes.$${\ displaystyle \ theta}, mostrados aquí a la derecha de la transversal, uno arriba y adyacente a la línea a y el otro arriba y adyacente a la línea b .

Dadas las rectas paralelas l y m en el espacio euclidiano , las siguientes propiedades son equivalentes:

1. Cada punto en la línea m está ubicado exactamente a la misma distancia (mínima) de la línea l ( líneas equidistantes ).
2. La línea m está en el mismo plano que la línea l,pero no se cruza con l (recuerde que las líneas se extienden hasta el infinito en cualquier dirección).
3. Cuando las líneas m y l son a la vez cortadas por una tercera línea recta (una transversal ) en el mismo plano, los ángulos correspondientes de intersección con el transversal son congruentes .

Ya que estas son propiedades equivalentes, cualquiera de ellas podría tomarse como la definición de líneas paralelas en el espacio euclidiano, pero la primera y la tercera propiedades involucran la medición, y por lo tanto, son "más complicadas" que la segunda. Por lo tanto, la segunda propiedad es la elegida generalmente como la propiedad definitoria de líneas paralelas en la geometría euclidiana. ^[3] Las otras propiedades son entonces consecuencias del Postulado Paralelo de Euclides . Otra propiedad que también implica la medición es que las líneas paralelas entre sí tienen el mismo gradiente (pendiente).

Historia [ editar ]

La definición de líneas paralelas como un par de líneas rectas en un plano que no se encuentran aparece como Definición 23 en el Libro I de los Elementos de Euclides . ^[4] Las definiciones alternativas fueron discutidas por otros griegos, a menudo como parte de un intento de probar el postulado paralelo . Proclus atribuye una definición de líneas paralelas como líneas equidistantes a Posidonius y cita a Geminus en una vena similar. Simplicio también menciona la definición de Posidonio, así como su modificación por el filósofo Aganis. ^[4]

A finales del siglo XIX, en Inglaterra, los Elementos de Euclides seguían siendo el libro de texto estándar en las escuelas secundarias. El tratamiento tradicional de la geometría estaba siendo presionado para cambiar por los nuevos desarrollos en la geometría proyectiva y la geometría no euclidiana , por lo que se escribieron varios libros de texto nuevos para la enseñanza de la geometría en este momento. Una diferencia importante entre estos textos de reforma, tanto entre ellos mismos como entre ellos y Euclides, es el tratamiento de líneas paralelas. ^[5] Estos textos de reforma no carecían de críticas y uno de ellos, Charles Dodgson (también conocido como Lewis Carroll ), escribió una obra, Euclid and His Modern Rivals , en la que estos textos son criticados. ^[6]

Uno de los primeros libros de texto de reforma fue la geometría elemental de James Maurice Wilson de 1868. ^[7]Wilson basó su definición de líneas paralelas en la noción primitiva de dirección . Según Wilhelm Killing ^[8], la idea se remonta a Leibniz . ^[9] Wilson, sin definir la dirección, ya que es un término primitivo, usa el término en otras definiciones, como su sexta definición, "Dos líneas rectas que se encuentran entre sí tienen diferentes direcciones, y la diferencia de sus direcciones es el ángulo entre ellas. " Wilson (1868, pag. 2) En la definición 15 él introduce líneas paralelas de esta manera; "Las líneas rectas que tienen la misma dirección , pero no son partes de la misma línea recta, se llaman líneas paralelas ". Wilson (1868 , p. 12) Augustus De Morgan revisó este texto y lo declaró un fracaso, principalmente sobre la base de esta definición y la forma en que Wilson lo usó para probar cosas sobre líneas paralelas. Dodgson también dedica una gran parte de su juego (Act II, Scene VI § 1) a denunciar el trato de Wilson con los paralelos. Wilson editó este concepto de las ediciones tercera y superior de su texto. ^[10]

Otras propiedades, propuestas por otros reformadores, usadas como reemplazos para la definición de líneas paralelas, no obtuvieron mejores resultados. La principal dificultad, según lo señalado por Dodgson, era que para usarlos de esta manera era necesario agregar axiomas adicionales al sistema. La definición de la línea equidistante de Posidonio, expuesta por Francis Cuthbertson en su texto de 1874 Geometría euclidiana, tiene el problema de que los puntos que se encuentran a una distancia determinada de un lado de la línea recta deben mostrarse como una línea recta. Esto no puede ser probado y debe ser asumido como verdadero. ^[11] Los ángulos correspondientes formados por una propiedad transversal, utilizados por WD Cooley en su texto de 1860, Los elementos de la geometría, simplificados y explicados.requiere una prueba del hecho de que si una transversal se encuentra con un par de líneas en ángulos correspondientes congruentes, entonces todas las transversales deben hacerlo. Una vez más, se necesita un nuevo axioma para justificar esta afirmación.

Construcción [ editar ]

Las tres propiedades anteriores llevan a tres métodos diferentes de construcción ^[12] de líneas paralelas.

El problema: traza una recta a través de un paralelo a l .

• 

  Propiedad 1: La línea m tiene en todas partes la misma distancia a la línea l .
 
• 

  Propiedad 2: tome una línea aleatoria a través de una intersección de l en x . Mueve el punto x al infinito.
• 

  Propiedad 3: tanto l como mcomparten una línea transversal a través de una que los interseca a 90 °.

Distancia entre dos líneas paralelas [ editar ]

Artículo principal: Distancia entre dos líneas.

Debido a que las líneas paralelas en un plano euclidiano son equidistantes, existe una distancia única entre las dos líneas paralelas. Dadas las ecuaciones de dos líneas paralelas no verticales, no horizontales,

$${\ displaystyle y = mx + b_ {1} \,}

$${\ displaystyle y = mx + b_ {2} \ ,,}

la distancia entre las dos líneas se puede encontrar al ubicar dos puntos (uno en cada línea) que se encuentran en una perpendicular común a las líneas paralelas y calcular la distancia entre ellas. Como las líneas tienen una pendiente m , una perpendicular común tendría una pendiente de −1 / m y podemos tomar la recta con la ecuación y = - x / m como una perpendicular común. Resuelve los sistemas lineales.

$${\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx + b_ {1} \\ y = -x / m \ end {cases}}}

y

$${\ displaystyle {\ begin {cases} y = mx + b_ {2} \\ y = -x / m \ end {cases}}}

Para obtener las coordenadas de los puntos. Las soluciones a los sistemas lineales son los puntos.

$${\ displaystyle \ left (x_ {1}, y_ {1} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {1} m} {m ^ {2} +1}}, {\ frac {b_ {1}} {m ^ {2} +1}} \ right) \,}

y

$${\ displaystyle \ left (x_ {2}, y_ {2} \ right) \ = \ left ({\ frac {-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}}, {\ frac {b_ {2}} {m ^ {2} +1}} \ derecha).}

Estas fórmulas aún proporcionan las coordenadas correctas del punto incluso si las líneas paralelas son horizontales (es decir, m = 0). La distancia entre los puntos es

$${\ displaystyle d = {\ sqrt {\ left ({\ frac {b_ {1} m-b_ {2} m} {m ^ {2} +1}} \ right) ^ {2} + \ left ({ \ frac {b_ {2} -b_ {1}} {m ^ {2} +1}} \ right) ^ {2}}} \ ,,}

lo que reduce a

$${\ displaystyle d = {\ frac {| b_ {2} -b_ {1} |} {\ sqrt {m ^ {2} +1}}} \ ,.}

Cuando las líneas están dadas por la forma general de la ecuación de una línea (se incluyen las líneas horizontales y verticales):

$${\ displaystyle ax + by + c_ {1} = 0 \,}

$${\ displaystyle ax + by + c_ {2} = 0, \,}

su distancia se puede expresar como

$${\ displaystyle d = {\ frac {| c_ {2} -c_ {1} |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}.}

Dos líneas en el espacio tridimensional [ editar ]

Dos líneas en el mismo espacio tridimensional que no se intersecan no necesitan ser paralelas. Sólo si están en un plano común se llaman paralelos; De lo contrario se les llama líneas de sesgo .

Dos líneas distintas l y m en el espacio tridimensional son paralelas si y sólo si la distancia de un punto P en la línea m para el punto de la línea más cercana l es independiente de la ubicación de P en la línea m . Esto nunca es válido para las líneas sesgadas.

Una línea y un plano [ editar ]

Una línea my un plano q en el espacio tridimensional, la línea que no se encuentra en ese plano, son paralelas si y solo si no se intersecan.

De manera equivalente, son paralelos si y solo si la distancia desde un punto P en la línea m hasta el punto más cercano en el plano q es independiente de la ubicación de P en la línea m .

Dos planos [ editar ]

Al igual que el hecho de que las líneas paralelas deben ubicarse en el mismo plano, los planos paralelos deben situarse en el mismo espacio tridimensional y no tienen ningún punto en común.

Dos planos distintos q y r son paralelos si y solo si la distancia desde un punto P en el plano q hasta el punto más cercano en el plano r es independiente de la ubicación de P en el plano q . Esto nunca se mantendrá si los dos planos no están en el mismo espacio tridimensional.

Extensión a la geometría no euclidiana [ editar ]

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En geometría no euclidiana , es más común hablar de geodésicas que de líneas rectas. Una geodésica es la ruta más corta entre dos puntos en una geometría dada. En física, esto puede interpretarse como el camino que sigue una partícula si no se le aplica ninguna fuerza. En geometría no euclidiana (geometría elíptica o hiperbólica ), las tres propiedades euclidianas mencionadas anteriormente no son equivalentes y solo la segunda (la línea m está en el mismo plano que la línea l pero no se interseca con l), ya que no implica ninguna medida. En geometrías no euclidianas. En la geometría general, las tres propiedades anteriores dan tres tipos diferentes de curvas, curvas equidistantes , geodésicas paralelas yGeodésicas compartiendo una perpendicular común , respectivamente.

Geometría hiperbólica [ editar ]

Ver también: geometría hiperbólica.

Líneas intersectantes , paralelas y ultra paralelas a través de a con respecto a l en el plano hiperbólico. Las líneas paralelas parecen intersecar ljusto fuera de la imagen. Esto es sólo un artefacto de la visualización. En un plano hiperbólico real, las líneas se acercarán entre sí y se "encontrarán" en el infinito.

Mientras que en la geometría euclidiana dos geodésicas pueden intersecarse o ser paralelas, en la geometría hiperbólica, existen tres posibilidades. Dos geodésicas pertenecientes al mismo plano pueden ser:

1. intersección , si se intersecan en un punto común en el plano,
2. paralelo , si no se intersecan en el plano, sino que convergen a un punto límite común en el infinito ( punto ideal ), o
3. Ultra paralelo , si no tienen un punto límite común en el infinito.

En la literatura, las geodésicas ultra paralelas a menudo se llaman no intersecantes . Las geodésicas que se intersecan en el infinito se llaman paralelas limitantes .

Como en la ilustración a través de un punto y no en la línea l, hay dos líneas paralelas limitantes , una para cada dirección, punto ideal de la línea l. Separan las líneas que cruzan la línea l y aquellas que son ultra paralelas a la línea l .

Las líneas ultra paralelas tienen un solo perpendicular común ( teorema ultra paralelo ), y divergen en ambos lados de este común perpendicular.

Geometría esférica o elíptica [ editar ]

Ver también: Geometría esférica y Geometría elíptica.

En la esfera no hay tal cosa como una línea paralela. La línea a es un gran círculo , el equivalente a una línea recta en geometría esférica. La línea c es equidistante a la línea a, pero no es un gran círculo. Es un paralelo de latitud. La línea b es otra geodésica que intersecta a en dos puntos antípodas. Comparten dos perpendiculares comunes (uno se muestra en azul).

En geometría esférica , todas las geodésicas son grandes círculos . Los grandes círculos dividen la esfera en dos hemisferios iguales y todos los grandes círculos se intersecan entre sí. Por lo tanto, no hay geodésicas paralelas a una geodésica determinada, ya que todas las geodésicas se intersecan. Las curvas equidistantes en la esfera se llaman paralelos de latitud análoga a las líneas de latitud en un globo. Se pueden generar paralelos de latitud por la intersección de la esfera con un plano paralelo a un plano a través del centro de la esfera.

Variante reflexiva [ editar ]

Si l, m, n son tres líneas distintas, entonces$${\ displaystyle l \ parallel m \ \ land \ m \ parallel n \ \ implica \ l \ parallel n.}

En este caso, el paralelismo es una relación transitiva . Sin embargo, en el caso de que l = n , las líneas superpuestas no se consideran paralelas en la geometría euclidiana. La relación binaria entre líneas paralelas es evidentemente una relación simétrica . De acuerdo con los principios de Euclides, el paralelismo no es una relación reflexiva y, por lo tanto, deja de ser una relación de equivalencia . Sin embargo, en la geometría afín, un lápiz de líneas paralelas se toma como una clase de equivalencia en el conjunto de líneas donde el paralelismo es una relación de equivalencia.^{[13] [14] [15]}

Para este fin, Emil Artin (1957) adoptó una definición de paralelismo donde dos líneas son paralelas si tienen todos o ninguno de sus puntos en común. ^[16] Luego, una línea es paralela a sí misma, de modo que las propiedades reflexivas y transitivas pertenecen a este tipo de paralelismo, creando una relación de equivalencia en el conjunto de líneas. En el estudio de la geometría de incidencia , esta variante de paralelismo se utiliza en el plano afín .