TEMAS DE GEOMETRÍA

Este artículo es sobre los ángulos en geometría. Para otras aplicaciones, vea Ángulo (desambiguación) .

Un ángulo formado por dos rayos que emanan de un vértice.

En la geometría plana , un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado el vértice del ángulo. ^{[1] Los} ángulos formados por dos rayos se encuentran en un plano, pero este plano no tiene que ser un plano euclidiano . Los ángulos también están formados por la intersección de dos planos en espacios euclidianos y otros . Estos se llaman ángulos diedros . Los ángulos formados por la intersección de dos curvas en un plano se definen como el ángulo determinado por los rayos tangentes en el punto de intersección. Declaraciones similares se mantienen en el espacio, por ejemplo, el ángulo esférico.formado por dos grandes círculos en una esfera es el ángulo diedro entre los planos determinados por los grandes círculos.

El ángulo también se utiliza para designar la medida de un ángulo o de una rotación . Esta medida es la relación entre la longitud de un arco circular y su radio . En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación, el arco se centra en el centro de la rotación y está delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

La palabra ángulo proviene de la palabra latina angulo , que significa "esquina"; las palabras cognadas son el griego ἀγκύλος (ankylοs) , que significa "torcido, curvado", y la palabra inglesa " tobillo ". Ambos están conectados con el proto-indoeuropeo de la raíz * ank- , que significa "doblar" o "arco". ^[2]

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran, y no están rectas una con respecto a la otra. Según Proclus, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus , quien consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta ; el segundo por Carpus de Antioquía , que lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos y obtusos son ciertamente cuantitativas. 

Identificando angulos [ editar ]

En las expresiones matemáticas, es común usar letras griegas ( α , β , γ , θ , φ , ...) para servir como variables que representan el tamaño de algún ángulo. (Para evitar confusiones con su otro significado, el símbolo πgeneralmente no se usa para este propósito). Las letras romanas en minúscula ( a ,  b ,  c , ...) también se usan, como las letras romanas en mayúscula en el contexto de polígonos . Vea las figuras en este artículo para ejemplos.

En las figuras geométricas, los ángulos también pueden identificarse por las etiquetas adjuntas a los tres puntos que los definen. Por ejemplo, el ángulo en el vértice A encerrado por los rayos AB y AC (es decir, las líneas desde el punto A al punto B y el punto A al punto C) se denota como ∠BAC (en Unicode U + 2220 ∠ ÁNGULO ) o$${\ displaystyle {\ widehat {\ rm {BAC}}}}. A veces, donde no hay riesgo de confusión, el ángulo puede ser referido simplemente por su vértice ("ángulo A").

Potencialmente, un ángulo denotado, por ejemplo, ∠BAC puede referirse a cualquiera de los cuatro ángulos: el ángulo en el sentido de las agujas del reloj desde B hasta C, el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj desde B hasta C, el ángulo en el sentido de las agujas del reloj desde C hasta B o el ángulo en sentido antihorario desde C hasta B , donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (consulte Ángulos positivos y negativos ). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas es obvio, desde el contexto, que el ángulo positivo es menor o igual a 180 grados, y no existe ambigüedad. De lo contrario, se puede adoptar una convención para que ∠BAC siempre se refiera al ángulo contrario a las agujas del reloj (positivo) de B a C, y a ∠CAB al ángulo contrario a las agujas del reloj (positivo) de C a B.

Tipos de angulos [ editar ]

El "ángulo oblicuo" redirige aquí. Para la técnica cinematográfica, ver ángulo holandés .

Angulos individuales [ editar ]

• Un ángulo igual a 0 ° o no girado se denomina ángulo cero.
• Los ángulos más pequeños que un ángulo recto (menos de 90 °) se llaman ángulos agudos ("agudo" significa "agudo").
• Un ángulo igual a 1/4 de vuelta (90 ° o π/2 radianes) se llama un ángulo recto . Se dice que dos líneas que forman un ángulo recto son normales , ortogonales o perpendiculares .
• Los ángulos más grandes que un ángulo recto y más pequeños que un ángulo recto (entre 90 ° y 180 °) se llaman ángulos obtusos ("obtuso" que significa "contundente").
• Un ángulo igual a 1/2 giro (180 ° o pi radianes) se llama un ángulo recto .
• Los ángulos más grandes que un ángulo recto pero menos de 1 vuelta (entre 180 ° y 360 °) se denominan ángulos reflejos .
• Un ángulo igual a 1 vuelta (360 ° o 2 pi radianes) se llama un ángulo completo , ángulo completo , ángulo redondo o una Perigon .
• Los ángulos que no son ángulos rectos o un múltiplo de un ángulo recto se llaman ángulos oblicuos .

Los nombres, intervalos y unidades medidas se muestran en la siguiente tabla:

Ángulo recto

Ángulos agudos ( a ), obtusos ( b ) y rectos ( c ). Los ángulos agudos y obtusos también se conocen como ángulos oblicuos.

Ángulo reflexivo

Nombre	cero	agudo	ángulo recto	obtuso	Derecho	reflejo	Perigon
Unidades	Intervalo
Vueltas	0	(0,  1/4)	1/4	( 1/4 ,  1/2)	1/2	( 1/2 , 1)	1
Radianes	0	(0, 1/2π)	1/2π	( 1/2π ,π )	π	( π , 2π )	2 π
Grados	0 °	(0, 90) °	90 °	(90, 180) °	180 °	(180, 360) °	360 °
Gons	0 g	(0, 100) g	100 g	(100, 200) g	200 g	(200, 400) g	400 g

Pares de ángulos de equivalencia [ editar ]

• Los ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) se dice que son iguales o congruentes . Un ángulo se define por su medida y no depende de la longitud de los lados del ángulo (por ejemplo, todos los ángulos rectos son iguales en medida).
• Dos ángulos que comparten lados terminales, pero difieren en tamaño por un múltiplo entero de un giro, se denominan ángulos coterminales .
• Un ángulo de referencia es la versión aguda de cualquier ángulo determinado restando repetidamente o la adición de ángulo recto ( 1/2 a su vez, 180 °, o pi radianes), a los resultados como sea necesario, hasta que la magnitud de resultado es un ángulo agudo, un valor entre 0 y 1/4 a su vez, 90 °, o pi/2 radianes. Por ejemplo, un ángulo de 30 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados, y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados (180-150). Un ángulo de 750 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados (750–720). ^[4]

Pares de ángulos verticales y adyacentes [ editar ]

Los ángulos A y B son un par de ángulos verticales; Los ángulos C y D son un par de ángulos verticales.

Cuando dos líneas rectas se intersecan en un punto, se forman cuatro ángulos. Por pares, estos ángulos se nombran de acuerdo con su ubicación relativa entre sí.

• Un par de ángulos opuestos entre sí, formados por dos líneas rectas que se intersectan y forman una forma de "X", se denominan ángulos verticales o opuestoso ángulos verticalmente opuestos . Se abrevian como vert. opp ∠s . ^[5]

La igualdad de los ángulos verticalmente opuestos se denomina teorema del ángulo vertical . Eudemus de Rodas atribuyó la prueba a Thales de Mileto . ^[6] [7] La proposición mostró que dado que ambos pares de ángulos verticales son suplementarios a los dos ángulos adyacentes, los ángulos verticales son iguales en medida. Según una nota histórica, ^[7]cuando Thales visitó Egipto, observó que cada vez que los egipcios dibujaban dos líneas que se cruzaban, medían los ángulos verticales para asegurarse de que eran iguales. Thales concluyó que uno podría probar que todos los ángulos verticales son iguales si aceptara algunas nociones generales, tales como: todos los ángulos rectos son iguales, los iguales sumados a iguales son iguales, y los iguales restados de iguales son iguales.

En la figura, asume la medida del ángulo A = x . Cuando dos ángulos adyacentes forman una línea recta, son suplementarios. Por lo tanto, la medida del ángulo C = 180 - x . Del mismo modo, la medida del ángulo D = 180 - x . Tanto el ángulo C como el ángulo D tienen medidas iguales a 180 - x y son congruentes. Desde ángulo B es complementario a ambos ángulos C y D , cualquiera de estas medidas de los ángulos se pueden usar para determinar la medida del ángulo B . Usando la medida del ángulo C o del ángulo Dencontramos la medida del ángulo B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Por lo tanto, tanto el ángulo A como el ángulo Btienen medidas iguales a x y son iguales en medida.

Los ángulos A y B son adyacentes.

• Ángulos adyacentes , a menudo abreviados como adj. ∠s , son ángulos que comparten un vértice y un borde comunes pero no comparten ningún punto interior. En otras palabras, son ángulos que están lado a lado, o adyacentes, compartiendo un "brazo". Ángulos adyacentes que suma a un ángulo recto, ángulo recto o el ángulo completo son especiales y se denominan respectivamente complementarios , suplementarios y explementary ángulos (véase "Combinar pares de ángulos" a continuación).

Una transversal es una línea que intersecta un par de líneas (a menudo paralelas) y está asociada con ángulos alternos internos , ángulos correspondientes , ángulos interiores y ángulos exteriores . ^[8]

Combinando pares de ángulos [ editar ]

Hay tres pares de ángulos especiales que involucran la suma de los ángulos:

Los ángulos complementarios a y b ( bes el complemento de a , y a es el complemento de b ).

• Los ángulos complementarios son pares de ángulos cuyas medidas resumir a un ángulo recto ( 1/4 a su vez, 90 °, o pi/2 radianes). Si los dos ángulos complementarios son adyacentes, sus lados no compartidos forman un ángulo recto. En la geometría euclidiana, los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 grados, y el ángulo recto en sí mismo es de noventa grados.

El adjetivo complementario es del latín complementum , asociado con el verbo complere , "para rellenar". Un ángulo agudo se "llena" por su complemento para formar un ángulo recto.

La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina complemento del ángulo. ^[9]

Si los ángulos A y B son complementarios, las siguientes relaciones son válidas:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B = 1 && \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B = 1 \\ [3pt] & \ tan A = \ cot B && \ sec A = \ csc B \ end {alineado}}}

(La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento y su secante es igual a la cosecantede su complemento.)

El prefijo " co- " en los nombres de algunas relaciones trigonométricas se refiere a la palabra "complementario".

Los ángulos a y b son ángulos suplementarios .

• Dos ángulos que resumen a un ángulo recto ( 1/2 a su vez, 180 °, o π radianes) se denominan ángulos suplementarios .

Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice común y comparten solo un lado), sus lados no compartidos forman una línea recta . Tales ángulos son llamados pares lineales de ángulos . ^[10] Sin embargo, los ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma línea y se pueden separar en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios, y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (uno cuyos vértices caen todos en un solo círculo) son suplementarios.

Si un punto P es exterior a un círculo con centro O, y si las líneas tangentes de P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠TPQ y ∠TOQ son suplementarios.

Los senos de los ángulos suplementarios son iguales. Sus cosenos y tangentes (a menos que no estén definidos) son iguales en magnitud pero tienen signos opuestos.

En la geometría euclidiana, cualquier suma de dos ángulos en un triángulo es complementaria del tercero, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo recto.

La suma de dos ángulos suplementarioses un ángulo completo .

• Dos ángulos que se suman a un ángulo completo (1 giro, 360 ° o 2 π radianes) se denominan ángulos complementarios o ángulos conjugados .

  La diferencia entre un ángulo y un ángulo completo se denomina el complemento del ángulo o conjugado de un ángulo.

Ángulos relacionados poligonal [ editar ]

Angulos internos y externos.

• Un ángulo que forma parte de un polígono simple se denomina ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior que es un ángulo reflejo.

  En la geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman a piradianes, 180 °, o 1/2 a su vez; Las medidas de los ángulos interiores de un simple cuadrilátero convexosuman 2 π radianes, 360 ° o 1 vuelta. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígonoconvexo simple con n lados se suman a ( n  - 2) πradianes, o 180 ( n  - 2) grados, (2 n  - 4) ángulos rectos, o ( n/2  - 1) girar.

• El complemento de un ángulo interior se denomina ángulo exterior , es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par de ángulos lineales . Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado al extender uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son ángulos verticales y por lo tanto son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que uno tiene que hacer en un vértice para trazar el polígono. ^[11] Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo . Incluso en un polígono no simple puede ser posible definir el ángulo exterior, pero uno tendrá que elegir una orientación del plano(o superficie ) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.

  En la geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple será una vuelta completa (360 °). El ángulo exterior aquí podría llamarse un ángulo exterior suplementario . Los ángulos exteriores se usan comúnmente en Logo Turtle Geometry cuando se dibujan polígonos regulares.

• En un triángulo , las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se encuentran en un solo punto). ^{[12] : p. 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de ángulo externo con el lado extendido opuesto , son colineales . ^{[12] : p. 149}
• En un triángulo, tres puntos de intersección, dos de ellos entre una bisectriz de ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz de ángulo exterior y el lado opuesto extendido, son colineales. ^{[12] : p. 149}
• Algunos autores usan el nombre de ángulo exterior de un polígono simple para significar simplemente el ángulo exterior del complemento (¡ no el complemento!) Del ángulo interior. ^[13] Esto entra en conflicto con el uso anterior.

Ángulos relacionados planas- [ editar ]

• El ángulo entre dos planos (como dos caras adyacentes de un poliedro ) se denomina ángulo diedro . ^[9]Puede definirse como el ángulo agudo entre dos líneas normales a los planos.
• El ángulo entre un plano y una línea recta de intersección es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea de intersección y la línea que atraviesa el punto de intersección y es normal al plano.

Ángulos de medición [ editar ]

El tamaño de un ángulo geométrico se caracteriza generalmente por la magnitud de la rotación más pequeña que mapea uno de los rayos en el otro. Se dice que los ángulos que tienen el mismo tamaño son iguales o congruentes o iguales en medida .

En algunos contextos, como identificar un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones en relación con una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de un giro completo son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como identificar un punto en una curva en espiral o describir la rotación acumulada de un objeto en dos dimensiones en relación con una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo no cero de un giro completo no son equivalentes.

La medida del ángulo θ (en radianes) es el cociente de s y r .

Para medir un ángulo θ , se dibuja un arco circular centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un par de brújulas . La relación de la longitud s del arco por el radio r del círculo es la medida del ángulo en radianes .

La medida del ángulo en otra unidad angular se obtiene luego multiplicando su medida en radianes por el factor de escala k/2 π , donde kes la medida de un giro completo en la unidad elegida (por ejemplo, 360 para grados o 400 para gradianes). ):

$${\ displaystyle \ theta = k {\ frac {s} {2 \ pi r}}.}

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s / r no se modifica. (Prueba. La fórmula anterior se puede reescribir como k = theta r/s . Una vez, para los que θ = n unidades, corresponde a un arco de longitud igual a la del círculo circunferencia , que es 2 π r , por lo que s = 2 π r Sustituyendo n por θ y 2 π rpara s en la fórmula, los resultados en k = nr/2 π r = n/2 π . ) ^{[Nota 1]}

Además de ángulo postulado [ editar ]

El postulado de adición de ángulo indica que si B está en el interior del ángulo AOC , entonces

$${\ displaystyle m \ angle AOC = m \ angle AOB + m \ angle BOC}

La medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC . En este postulado, no importa en qué unidad se mida el ángulo siempre que cada ángulo se mida en la misma unidad.

Unidades [ editar ]

Ver también: unidad angular.

Las unidades utilizadas para representar ángulos se enumeran a continuación en orden de magnitud descendente. De estas unidades, el grado y el radio son, con mucho, los más utilizados. Los ángulos expresados ​​en radianes son adimensionales para los propósitos del análisis dimensional .

La mayoría de las unidades de medición angular se definen de manera que un giro (es decir, un círculo completo) es igual a n unidades, para algún número entero n . Las dos excepciones son el radián y la parte de diámetro.

Giro ( n  = 1)

El giro , también el ciclo , el círculo completo , la revolución y la rotación , es un movimiento o medida circular completa (como para regresar al mismo punto) con círculo o elipse. Un giro se abrevia τ , cyc , rev o rotdependiendo de la aplicación, pero en el acrónimo rpm (revoluciones por minuto), solo se usa r . A su vez de n unidades se obtiene mediante el establecimiento de k = 1/2 π en la fórmula anterior. La equivalencia de 1 vuelta.es 360 °, 2 π rad, 400 grados y 4 ángulos rectos. El símbolo τ también se puede usar como una constante matemática para representar 2 π radianes. Utilizado de esta manera ( k = τ/2π ) permite que los radianes se expresen como una fracción de un giro. Por ejemplo, la mitad de un turno es τ/2 = π .

Cuadrante ( n  = 4)

El cuadrante es 1/4 de vuelta, es decir, un ángulo recto . Es la unidad utilizada en los Elementos de Euclides . 1 quad. = 90 ° = π/2  rad = 1/4 vuelta = 100 grad. En alemán, el símbolo ^∟ se ha utilizado para denotar un cuadrante.

Sextante ( n  = 6)

El sextante ( ángulo del triángulo equilátero ) es 1/6 de vuelta. Fue la unidad utilizada por los babilonios , ^[15] y es especialmente fácil de construir con regla y compás. El grado, minuto de arco y segundo de arco son subunidades sexagesimales de la unidad babilónica. 1 unidad babilónica = 60 ° = π / 3 rad ≈ 1.047197551 rad.

θ = s / r rad = 1 rad.

Radián ( n  = 2 π  = 6.283...)

El radián es el ángulo subtendido por un arco de un círculo que tiene la misma longitud que el radio del círculo. El caso de radian para la fórmula dada anteriormente, un radian de n = 2 unidades π se obtiene estableciendo k = 2 π/2 π = 1. Un turno es 2 π radianes, y un radian es 180/π grados, o aproximadamente 57.2958 grados. El radián se abrevia rad, aunque este símbolo a menudo se omite en los textos matemáticos, donde los radianes se asumen a menos que se especifique lo contrario. Cuando se usan radianes, los ángulos se consideran adimensionales. El radián se utiliza en prácticamente todo trabajo matemático más allá de la simple geometría práctica, debido, por ejemplo, a las propiedades agradables y "naturales" que muestran las funciones trigonométricas cuando sus argumentos están en radianes. El radián es la unidad (derivada) de medición angular en el sistema SI .

Posición del reloj ( n  = 12)

Una posición de reloj es la dirección relativa de un objeto descrito utilizando la analogía de un reloj de 12 horas . Uno imagina una esfera de reloj en posición vertical o plana frente a uno mismo, e identifica las marcas de doce horas con las direcciones en las que apuntan.

Ángulo de la hora ( n  = 24)

El astronómico ángulo horas es 1/24 de vuelta. Como este sistema es capaz de medir objetos que realizan ciclos una vez al día (como la posición relativa de las estrellas), las subunidades sexagesimales se denominan minuto del tiempo y segundo del tiempo . Estos son distintos de, y 15 veces más grandes que, minutos y segundos de arco. 1 hora = 15 ° = π/12  rad = 1/6  quad. = 1/24 a su vez = 16 2/3   grad.

(Brújula) punto o viento ( n  = 32)

El punto , que se utiliza en la navegación , es 1/32 de vuelta. 1 punto = 1/8 de un ángulo recto = 11,25 ° = 12,5 grad. Cada punto se subdivide en cuatro cuartos de punto, de modo que 1 giro es igual a 128 cuartos de punto.

Hexacontade ( n  = 60)

El hexacontenido es una unidad de 6 ° que usó Eratóstenes , de modo que un turno completo se dividió en 60 unidades.

Pechus ( n  = 144-180)

El pechus era un Babilonia unidad igual a aproximadamente 2 ° o 2 1/2  °.

Grado binario ( n  = 256)

El grado binario , también conocido como el radián binario (o Brad ), es 1/256 de vuelta. ^[16] El grado binario se utiliza en computación para que un ángulo pueda representarse de manera eficiente en un solo byte (aunque con una precisión limitada). Otras medidas de ángulo utilizadas en la computación pueden basarse en dividir un giro completo en 2 ⁿ partes iguales para otros valores de n . ^[17]

Grado ( n  = 360)

El grado , indicado por un pequeño círculo superíndice (°), es 1/360 de vuelta, por lo que una vuelta es 360 °. En el caso de los grados para la fórmula dada anteriormente, se obtiene un grado de n = 360 ° unidades estableciendo k = 360 °/2 π . Una ventaja de esta antigua subunidad sexagesimal es que muchos ángulos comunes en geometría simple se miden como un número entero de grados. Las fracciones de un grado pueden escribirse en notación decimal normal (por ejemplo, 3.5 ° para tres grados y medio), pero las subunidades sexagesimales de "minuto" y "segundo" también se utilizan, especialmente para coordenadas geográficasy en astronomía y balística .

Parte del diámetro ( n  = 376.99...)

La parte de diámetro (de vez en cuando se utiliza en las matemáticas islámicas) es 1/60 radianes. Una "parte de diámetro" es de aproximadamente 0.95493 °. Hay alrededor de 376.991 partes de diámetro por vuelta.

Grad ( n  = 400)

El grad , también llamado grado , centesimales , o gon , es 1/400 de un giro, por lo que un ángulo recto es 100 grados centesimales. Es una subunidad decimal del cuadrante. Un kilómetro históricamente se define como un centi -grad arco a lo largo de un gran círculo de la tierra, por lo que el kilómetro es el análogo decimal a la sexagesimal milla náutica. El grad se utiliza principalmente en triangulación .

Miliradiano

El miliradiano (mil o mrad) se define como la milésima parte de un radián, lo que significa que una rotación de un giro consta de 2000π mil (o aproximadamente 6283.185 ... mil), y casi todas las miras de alcance para armas de fuego están calibradas según esta definición . Además, hay otras tres definiciones derivadas utilizadas para artillería y navegación que son aproximadamente iguales a un miliradian. Bajo estas otras tres definiciones, un giro compensa exactamente 6000, 6300 o 6400 milésimas de pulgada, lo que equivale a abarcar el rango de 0.05625 a 0.06 grados (3.375 a 3.6 minutos). En comparación, el verdadero milliradiano es aproximadamente 0.05729578 ... grados (3.43775 ... minutos). Una " mil de la OTAN " se define como 1/6400de un círculo. Al igual que con el verdadero milliradiano, cada una de las otras definiciones explota la propiedad de sutileza de las mil, es decir, que el valor de un miliradiano es aproximadamente igual al ángulo subtendido por un ancho de 1 metro visto desde 1 km de distancia (2 π/6400 = 0.0009817 ... ≈1/1000 ).

Minuto de arco ( n  = 21,600)

El minuto de arco (o MOA , minuto de arco , o simplemente minuto ) es 1/60 de un grado = 1/21.600 a su vez. Se denota por una sola prima (′). Por ejemplo, 3 ° 30 'es igual a 3 x 60 + 30 = 210 minutos o 3 +  30/60 = 3,5 grados. También se usa un formato mixto con fracciones decimales, por ejemplo, 3 ° 5.72 ′ = 3 +  5.72/60 grados. Una milla náutica se definió históricamente como un minuto de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra.

Segundo de arco ( n  = 1,296,000)

El segundo de arco (o segundo de arco , o simplemente segundos ) es 1/60 de un minuto de arco y 1/3.6 mil de un grado. Se denota por una prima doble (″). Por ejemplo, 3 ° 7 '30 "es igual a 3 + 7/60 + 30/3.600 grados, o 3,125 grados.

Milliarcsecond ( n  = 1,296,000,000)

mas

Microarcsegundo ( n  = 1,296,000,000,000)

µas

Angulos positivos y negativos [ editar ]

Aunque la definición de la medición de un ángulo no admite el concepto de un ángulo negativo, con frecuencia es útil imponer una convención que permita que los valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y / o rotaciones en direcciones opuestas con respecto a alguna referencia.

En un sistema de coordenadas cartesiano bidimensional , un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo , mientras que el otro lado o lado terminal se define por la medida desde el lado inicial en radianes, grados o giros. Con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje y positivo y ángulos negativos que representan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas están representadas por una posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y la y- Eje hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido contrario a las agujas del reloj y las rotaciones negativas son hacia la derecha .

En muchos contextos, un ángulo de - θ es efectivamente equivalente a un ángulo de "una vuelta completa menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como −45 ° es efectivamente equivalente a una orientación representada como 360 ° - 45 ° o 315 °. Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de −45 ° no es lo mismo que una rotación de 315 ° (por ejemplo, la rotación de una persona que sostiene una escoba apoyada en un suelo polvoriento dejaría trazas visualmente diferentes) de regiones barridas en el suelo).

En geometría tridimensional, "en el sentido de las agujas del reloj" y "en sentido contrario a las agujas del reloj" no tienen un significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en relación con alguna referencia, que es típicamente un vector que pasa a través del vértice del ángulo y es perpendicular al plano en En el que se encuentran los rayos del ángulo.

En la navegación , los rodamientos o azimut se miden en relación al norte. Por convención, visto desde arriba, los ángulos de los cojinetes son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45 ° corresponde a una orientación noreste. Los rodamientos negativos no se utilizan en la navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315 °.

Formas alternativas de medir el tamaño de un ángulo [ editar ]

Existen varias alternativas para medir el tamaño de un ángulo según el ángulo de rotación. El grado de una pendiente o gradiente es igual a la tangente del ángulo, o algunas veces (raramente) el seno . Un gradiente se expresa a menudo como un porcentaje. Para valores muy pequeños (menos del 5%), el grado de una pendiente es aproximadamente la medida del ángulo en radianes.

En geometría racional, la extensión entre dos líneas se define como el cuadrado del seno del ángulo entre las líneas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son los mismos, cualquier ángulo de rotación que asigne una de las líneas a la otra lleva al mismo valor para la dispersión entre las líneas.

Aproximaciones astronómicos [ editar ]

Los astrónomos miden la separación angular de los objetos en grados desde su punto de observación.

• 0.5 ° es aproximadamente el ancho del sol o la luna.
• 1 ° es aproximadamente el ancho de un dedo meñique a la longitud del brazo.
• 10 ° es aproximadamente el ancho de un puño cerrado en la longitud del brazo.
• 20 ° es aproximadamente el ancho de un palmo en el brazo.

Estas medidas dependen claramente del sujeto individual, y lo anterior debe tratarse como aproximaciones aproximadas de la pulgar solamente.

Angulos entre curvas [ editar ]

El ángulo entre las dos curvas en Pse define como el ángulo entre las tangentes A y B en P .

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas que se intersectan (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Varios nombres (ahora raramente, si es que alguna vez se usan) han sido dados a casos particulares: - amphyryrtic (Gr. Ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convex) o cissoidal (Gr. Κισσός, hiedra), biconvexo; xystroidal o sistroidal (Gr. ξυστρίς, una herramienta para raspar), concavo-convexo; Amphicoelic (Gr. κοίλη, un hueco) o angulus lunularis , bicóncavo. ^[18]

Ángulos de bisección y trisección [ editar ]

Artículos principales: Bisección § Ángulo bisectriz , y Trisección del ángulo.

Los matemáticos griegos antiguos sabían cómo bisecar un ángulo (dividirlo en dos ángulos de igual medida) usando solo una brújula y una regla , pero solo podían triseccionar ciertos ángulos. En 1837, Pierre Wantzeldemostró que para la mayoría de los ángulos no se puede realizar esta construcción.

Dot producto y generalizaciones [ editar ]

En el espacio euclidiano , el ángulo θ entre dos vectores euclidianas u y v se relaciona con su producto escalar y sus longitudes por la fórmula

$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ cos (\ theta) \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

Esta fórmula proporciona un método fácil para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) de sus vectores normales y entre las líneas de sesgo de sus ecuaciones de vectores.

Producto interno [ editar ]

Para definir los ángulos en un espacio abstracto de producto interno real , reemplazamos el producto de punto euclidiano ( · ) por el producto interno$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}es decir

$${\ displaystyle \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = \ cos (\ theta) \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ \ left \ | \ mathbf {v} \ derecho \ |.}

En un espacio de producto interno complejo , la expresión del coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza por

$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ left (\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right) = \ cos (\ theta) \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

o, más comúnmente, usando el valor absoluto, con

$${\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = | \ cos (\ theta) | \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

La última definición ignora la dirección de los vectores y, por lo tanto, describe el ángulo entre subespacios unidimensionales. $${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {u})} y $${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {v})} atravesado por los vectores $${\ displaystyle \ mathbf {u}} y $${\ displaystyle \ mathbf {v}} correspondientemente

Angulos entre subespacios [ editar ]

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales. $${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {u})} y $${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {v})} dada por

$${\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = | \ cos (\ theta) | \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |}

en un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de cualquier dimensión finita. Dados dos subespacios$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}, $${\ displaystyle {\ mathcal {W}}} con $${\ displaystyle \ dim ({\ mathcal {U}}): = k \ leq \ dim ({\ mathcal {W}}): = l}, esto conduce a una definición de $${\ displaystyle k}ángulos llamados ángulos canónicos o principales entre subespacios.

Ángulos en la geometría de Riemann [ editar ]

En la geometría riemanniana , el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son vectores tangentes y g _ij son los componentes del tensor métrico G ,

$${\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {g_ {ij} U ^ {i} V ^ {j}} {\ sqrt {\ left | g_ {ij} U ^ {i} U ^ {j} \ right | \ left | g_ {ij} V ^ {i} V ^ {j} \ right |}}}.

Ángulo hiperbólico [ editar ]

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica, así como el ángulo circular es el argumento de una función circular . La comparación se puede visualizar como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular, ya que las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes de los ángulos en cada caso. A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico es ilimitado. Cuando las funciones circular e hiperbólica se ven como series infinitas en su argumento de ángulo, las circulares son series alternasFormas de las funciones hiperbólicas. Este tejido de los dos tipos de ángulo y función fue explicado por Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito .

Angulos en geografía y astronomía [ editar ]

En geografía , la ubicación de cualquier punto de la Tierra se puede identificar mediante un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendidos en el centro de la Tierra, utilizando el ecuador y (generalmente) el meridiano de Greenwichcomo referencias.

En astronomía , un punto dado en la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) puede identificarse utilizando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían según el sistema en particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro de la Tierra , cada una de las cuales se interseca con una de las estrellas. El ángulo entre esas líneas se puede medir, y es la separación angular entre las dos estrellas.

Tanto en geografía como en astronomía, una dirección de observación se puede especificar en términos de un ángulo vertical , como la altitud / elevación con respecto al horizonte , así como el azimut con respecto al norte .