TEMAS DE GEOMETRÍA

La geometría elíptica es un ejemplo de una geometría en la que el postulado paralelo de Euclides no se sostiene. En cambio, como en la geometría esférica , no hay líneas paralelas, ya que dos líneas deben intersecarse. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, normalmente se supone que dos líneas se intersecan en un solo punto (en lugar de dos). Debido a esto, la geometría elíptica descrita en este artículo a veces se denomina geometría elíptica simple, mientras que la geometría esférica a veces se denomina geometría elíptica doble .

La aparición de esta geometría en el siglo XIX estimuló el desarrollo de la geometría no euclidiana en general, incluida la geometría hiperbólica .

La geometría elíptica tiene una variedad de propiedades que difieren de las de la geometría del plano euclidiano clásico. Por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulosiempre es mayor que 180 °.

Definiciones [ editar ]

En la geometría elíptica, dos líneas perpendiculares a una línea dada deben intersecarse. De hecho, las perpendiculares de un lado se cruzan en un solo punto llamado polo absoluto de esa línea. Las perpendiculares del otro lado también se intersecan en un punto. Sin embargo, a diferencia de la geometría esférica, los polos de cada lado son los mismos. Esto se debe a que no hay puntos antípodas en la geometría elíptica. Por ejemplo, esto se logra en el modelo hiperesférico (descrito a continuación) al hacer que los "puntos" en nuestra geometría sean pares de puntos opuestos en una esfera. La razón para hacer esto es que permite que la geometría elíptica satisfaga el axioma de que hay una línea única que pasa a través de cualquiera de los dos puntos.

Cada punto corresponde a una línea polar absoluta de la cual es el polo absoluto. Cualquier punto en esta línea polar forma un par absoluto conjugado con el polo. Tal par de puntos es ortogonal , y la distancia entre ellos es un cuadrante . ^[1] : 89

La distancia entre un par de puntos es proporcional al ángulo entre sus polares absolutos. ^[1] : 101

Según lo explicado por HSM Coxeter

El nombre "elíptico" es posiblemente engañoso. No implica ninguna conexión directa con la curva llamada elipse, sino solo una analogía bastante inverosímil. Una cónica central se llama elipse o hipérbola, ya que no tiene asíntota o dos asíntotas . Análogamente, se dice que un plano no euclidiano es elíptico o hiperbólico, ya que cada una de sus líneas no contiene ningún punto en el infinito o dos puntos en el infinito. ^[2]

Dos dimensiones [ editar ]

Plano elíptico [ editar ]

El plano elíptico es el plano proyectivo real provisto de una métrica : Kepler y Desargues utilizaron la proyección gnomónica para relacionar un plano σ con puntos en un hemisferio tangente a él. Con O en el centro del hemisferio, un punto P en σ determina una línea OP que interseca con el hemisferio, y cualquier línea L ⊂ σ determina un plano OL que corta el hemisferio en la mitad de un gran círculo . El hemisferio está limitado por un plano a través de O y paralelo a σ. Ninguna línea ordinaria de σ corresponde a este plano; en lugar de una línea en el infinitoSe anexa a σ. Como cualquier línea en esta extensión de σ corresponde a un plano a través de O, y dado que cualquier par de dichos planos se interseca en una línea a través de O, se puede concluir que cualquier par de líneas en la extensión se interseca: el punto de intersección se encuentra donde el plano la intersección se encuentra con σ o la línea en el infinito. Por lo tanto, se confirma el axioma de la geometría proyectiva, que requiere que todos los pares de líneas en un plano se intersecten. ^[3]

Dados P y Q en σ, la distancia elíptica entre ellos es la medida del ángulo POQ , generalmente tomada en radianes. Arthur Cayley inició el estudio de la geometría elíptica cuando escribió "Sobre la definición de distancia". ^[4] : 82 Esta incursión en la abstracción en geometría fue seguida por Felix Klein y Bernhard Riemann, que llevaron a la geometría no euclidiana y la geometría riemanniana .

Comparación con la geometría euclidiana [ editar ]

En la geometría euclidiana, una figura puede ampliarse o reducirse indefinidamente, y las figuras resultantes son similares, es decir, tienen los mismos ángulos y las mismas proporciones internas. En geometría elíptica este no es el caso. Por ejemplo, en el modelo esférico podemos ver que la distancia entre dos puntos cualquiera debe ser estrictamente menor que la mitad de la circunferencia de la esfera (porque se identifican los puntos antípodas). Por lo tanto, un segmento de línea no se puede ampliar indefinidamente. Un geómetro que mide las propiedades geométricas del espacio que él o ella habita puede detectar, mediante mediciones, que hay una cierta escala de distancia que es una propiedad del espacio. En escalas mucho más pequeñas que esta, el espacio es aproximadamente plano, la geometría es aproximadamente euclidiana, y las figuras se pueden escalar hacia arriba y hacia abajo mientras se mantienen aproximadamente similares.

Una gran cantidad de geometría euclidiana se traslada directamente a la geometría elíptica. Por ejemplo, el primero y el cuarto de los postulados de Euclides, que hay una línea única entre cualquiera de los dos puntos y que todos los ángulos rectos son iguales, se mantienen en la geometría elíptica. El postulado 3, que se puede construir un círculo con cualquier centro y radio dados, falla si se toma "cualquier radio" como "cualquier número real", pero se mantiene si se toma el significado de "la longitud de cualquier segmento de línea dado". Por lo tanto, cualquier resultado en la geometría euclidiana que se desprenda de estos tres postulados se mantendrá en la geometría elíptica, como la proposición 1 del libro I de los Elementos , que establece que, dado un segmento de línea, se puede construir un triángulo equilátero con el segmento como su base.

La geometría elíptica también es como la geometría euclidiana en el sentido de que el espacio es continuo, homogéneo, isotrópico y sin límites. La isotropía está garantizada por el cuarto postulado, que todos los ángulos rectos son iguales. Para un ejemplo de homogeneidad, tenga en cuenta que la proposición I.1 de Euclides implica que el mismo triángulo equilátero se puede construir en cualquier ubicación, no solo en ubicaciones que son especiales de alguna manera. La falta de límites se desprende del segundo postulado, la extensibilidad de un segmento de línea.

Una forma en que la geometría elíptica difiere de la geometría euclidiana es que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que 180 grados. En el modelo esférico, por ejemplo, se puede construir un triángulo con vértices en las ubicaciones donde los tres ejes de coordenadas cartesianas positivas se intersecan con la esfera, y los tres de sus ángulos internos son 90 grados, sumando 270 grados. Para triángulos suficientemente pequeños, el exceso de más de 180 grados se puede hacer arbitrariamente pequeño.

El teorema de Pitágoras falla en la geometría elíptica. En el triángulo de 90 ° –90 ° –90 ° descrito anteriormente, los tres lados tienen la misma longitud y, por lo tanto, no satisfacen$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}. El resultado de Pitágoras se recupera en el límite de triángulos pequeños.

La relación de la circunferencia de un círculo a su área es menor que en la geometría euclidiana. En general, el área y el volumen no se escalan como las potencias segunda y tercera de las dimensiones lineales.

Espacio elíptico [ editar ]

El espacio elíptico puede construirse de manera similar a la construcción de un espacio vectorial tridimensional: con clases de equivalencia . Uno usa arcos dirigidos en grandes círculos de la esfera. Como los segmentos de línea dirigida son equipolentes cuando son paralelos, de la misma longitud y están orientados de manera similar, los arcos dirigidos que se encuentran en grandes círculos son equipolentes cuando tienen la misma longitud, orientación y gran círculo. Estas relaciones de equipolencia producen espacio vectorial en 3D y espacio elíptico, respectivamente.

El acceso a la estructura espacial elíptica se proporciona a través del álgebra vectorial de William Rowan Hamilton : imaginó una esfera como un dominio de raíces cuadradas de menos uno. Entonces la fórmula de Euler $${\ displaystyle \ exp (\ theta r) = \ cos \ theta + r \ sin \ theta}(donde r está en la esfera) representa el gran círculo en el plano perpendicular a r . Los puntos opuestos r y - r corresponden a círculos dirigidos en sentido contrario. Un arco entre θ y φ está dotado de uno entre 0 y φ - θ. En el espacio elíptico, la longitud del arco es menor que π, por lo que los arcos se pueden parametrizar con θ en [0, π) o (–π / 2, π / 2]. ^[5]

por $${\ displaystyle z = \ exp (\ theta r), \ z ^ {*} = \ exp (- \ theta r) \ implica zz ^ {*} = 1.}Se dice que el módulo o norma de z es uno (Hamilton lo llamó tensor de z). Pero como r se extiende sobre una esfera en 3 espacios, exp (θ r) se extiende sobre una esfera en 4 espacios, ahora llamada la esfera 3 , ya que su superficie tiene tres dimensiones. Hamilton llamó a sus cuaterniones de álgebra y rápidamente se convirtió en una herramienta útil y célebre de las matemáticas. Su espacio de cuatro dimensiones se desarrolla en coordenadas polares.$${\ displaystyle t \ exp (\ theta r),}con t en los números reales positivos .

Cuando se realiza una trigonometría en la Tierra o en la esfera celeste , los lados de los triángulos son grandes arcos circulares. El primer éxito de los cuaterniones fue una representación de la trigonometría esférica al álgebra. ^[6] Hamilton llamó un cuaternión de la norma un versor , y estos son los puntos del espacio elíptico.

Con r fijo, los versores.

{\ displaystyle e ^ {ar}, \ quad 0 \ leq a <\ pi}

Forma una línea elíptica . La distancia desde$${\ displaystyle e ^ {ar}}a 1 es a . Para un versor arbitrario  u , la distancia será θ para la cual cos θ = ( u + u ^∗ ) / 2, ya que esta es la fórmula para la parte escalar de cualquier cuaternión.

Un movimiento elíptico es descrito por el mapeo cuaternión

$${\ displaystyle q \ mapsto uqv,}donde U y V son versors fijo.

Las distancias entre los puntos son las mismas que entre los puntos de imagen de un movimiento elíptico. En el caso de que u y v sean conjugados cuaternión entre sí, el movimiento es una rotación espacial , y su parte vectorial es el eje de rotación. En el caso de que u = 1, el movimiento elíptico se denomina traducción correcta de Clifford o parataxy . El caso v = 1 corresponde a la traducción de Clifford a la izquierda.

Las líneas elípticas a través de versor  u pueden ser de la forma

{\ displaystyle \ lbrace ue ^ {ar}: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace} o {\ displaystyle \ lbrace e ^ {ar} u: 0 \ leq a <\ pi \ rbrace}para una r fija  .

Ellos son el derecho e izquierdo traducciones de Clifford  T a lo largo de una línea elíptica a través 1. El espacio elíptico está formado por de S ³ mediante la identificación de puntos antípodas. ^[7]

El espacio elíptico tiene estructuras especiales llamadas paralelos de Clifford y superficies de Clifford .

Los puntos más importantes del espacio elíptico se asignan mediante la transformación de Cayley a ³ para una representación alternativa del espacio.

Espacios de mayor dimensión [ editar ]

Modelo hiperesférico [ editar ]

El modelo hiperesférico es la generalización del modelo esférico a dimensiones más altas. Los puntos de nespacio elíptica -dimensional son los pares de vectores unitarios ( x , - x ) en R ^n +1 , es decir, pares de puntos opuestos en la superficie de la bola unidad en ( n  + 1) espacio -dimensional ( la hiperesfera n- dimensional). Las líneas en este modelo son grandes círculos , es decir, intersecciones de la hiperesfera con hipersuperficies planas de dimensión n que pasan por el origen.

Proyectiva geometría elíptica [ editar ]

En el modelo proyectivo de la geometría elíptica, los puntos del espacio proyectivo real n- dimensional se utilizan como puntos del modelo. Esto modela una geometría elíptica abstracta que también se conoce como geometría proyectiva .

Los puntos del espacio proyectivo n- dimensional pueden identificarse con líneas a través del origen en el espacio tridimensional ( n  + 1) , y pueden representarse de forma no única por vectores distintos a cero en R ^n +1, con el entendimiento de que u y λ u , para cualquier λ escalar que no sea cero  , representa el mismo punto. La distancia se define utilizando la métrica.

$${\ displaystyle d (u, v) = \ arccos \ left ({\ frac {| u \ cdot v |} {\ | u \ | \ \ | v \ |}} \ right);}

es decir, la distancia entre dos puntos es el ángulo entre sus líneas correspondientes en R ^n +1 . La fórmula de la distancia es homogénea en cada variable, con d (λ u , μ v ) = d ( u ,  v ) si λ y μ son escalas no cero, por lo que define una distancia en los puntos del espacio proyectivo.

Una propiedad notable de la geometría elíptica proyectiva es que, para las dimensiones pares, como el plano, la geometría no es orientable . Borra la distinción entre la rotación en sentido horario y antihorario al identificarlos.

Modelo estereográfico [ editar ]

Un modelo que representa el mismo espacio que el modelo hiperesférico puede obtenerse mediante proyección estereográfica . Supongamos que E ⁿ representa R ⁿ ∪ {∞}, es decir, el espacio real n- dimensional extendido por un solo punto en el infinito. Podemos definir una métrica, la métrica de la cuerda , en E ⁿ por

$${\ displaystyle \ delta (u, v) = {\ frac {2 \ | uv \ |} {\ sqrt {(1+ \ | u \ | ^ {2}) (1+ \ | v \ | ^ {2 })}}}}

donde u y v son cualesquiera dos vectores en R ⁿ y$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}Es la norma euclidiana habitual. También definimos

$${\ displaystyle \ delta (u, \ infty) = \ delta (\ infty, u) = {\ frac {2} {\ sqrt {1+ \ | u \ | ^ {2}}}}.}

El resultado es un espacio métrico en E ⁿ , que representa la distancia a lo largo de un acorde de los puntos correspondientes en el modelo hiperesférico, al cual se mapea biyectivamente por proyección estereográfica. Obtenemos un modelo de geometría esférica si utilizamos la métrica.

$${\ displaystyle d (u, v) = 2 \ arcsin \ left ({\ frac {\ delta (u, v)} {2}} \ right).}

La geometría elíptica se obtiene de esto identificando los puntos u y - u , y tomando la distancia de v a este par como el mínimo de las distancias de v a cada uno de estos dos puntos.

Autoconsistencia [ editar ]

Como la geometría elíptica esférica se puede modelar como, por ejemplo, un subespacio esférico de un espacio euclidiano, se deduce que si la geometría euclidiana es autoconsistente, también lo es la geometría elíptica esférica. Por lo tanto, no es posible probar el postulado paralelo basado en los otros cuatro postulados de la geometría euclidiana.

Tarski demostró que la geometría euclidiana elemental está completa : hay un algoritmo que, para cada proposición, puede mostrar que es verdadero o falso. ^[8] (Esto no viola el teorema de Gödel , porque la geometría euclidiana no puede describir una cantidad aritmética suficiente para que se aplique el teorema. ^[9] ) Por lo tanto, se deduce que la geometría elíptica elemental también es coherente y completa.

geometría enumerativa es la rama de la geometría algebraica relacionada con el conteo de números de soluciones a preguntas geométricas, principalmente por medio de la teoría de intersecciones .

Historia [ editar ]

Circulos de apolonio

El problema de Apolonio es uno de los primeros ejemplos de geometría enumerativa. Este problema solicita el número y la construcción de círculos que son tangentes a tres círculos, puntos o líneas dados. En general, el problema para tres círculos dados tiene ocho soluciones, que pueden verse como 2 ³ , y cada condición de tangencia impone una condición cuadrática en el espacio de los círculos. Sin embargo, para arreglos especiales de los círculos dados, el número de soluciones también puede ser cualquier número entero de 0 (sin soluciones) a seis; no hay ningún arreglo para el cual haya siete soluciones para el problema de Apolonio.

Herramientas clave [ editar ]

Una serie de herramientas, que van desde lo elemental hasta lo más avanzado, incluyen:

• Conteo de dimensiones
• Teorema de Bézout
• Cálculo de Schubert y clases más generalmente características en cohomología
• La conexión de las intersecciones de conteo con la cohomología es la dualidad de Poincaré.
• El estudio de los espacios de módulos de curvas, mapas y otros objetos geométricos, a veces a través de la teoría de la cohomología cuántica . El estudio de la cohomología cuántica , las invariantes de Gromov-Witteny la simetría del espejo dio un progreso significativo en la conjetura de Clemens .

La geometría enumerativa está muy ligada a la teoría de la intersección .

Schubert cálculo [ editar ]

La geometría enumerativa experimentó un desarrollo espectacular hacia finales del siglo XIX, a manos de Hermann Schubert . ^[1] Con este propósito, introdujo el cálculo de Schubert , que ha demostrado tener un valor geométrico y topológico fundamental en áreas más amplias. Las necesidades específicas de la geometría enumerativa no se abordaron hasta que se les prestó más atención en los años sesenta y setenta (como señaló, por ejemplo, Steven Kleiman ). Los números de intersección se definieron rigurosamente (por André Weil como parte de su programa fundacional 1942–6, y nuevamente nuevamente), pero esto no agotó el dominio adecuado de las preguntas enumerativas.

Factores de Fudge y el decimoquinto problema de Hilbert [ editar ]

La aplicación ingenua del conteo de dimensiones y el teorema de Bézout arrojan resultados incorrectos, como muestra el siguiente ejemplo. En respuesta a estos problemas, los geometristas algebraicos introdujeron vagos "factores de fudge", que se justificaron rigurosamente décadas más tarde.

Como ejemplo, cuente las secciones cónicas tangentes a cinco líneas dadas en el plano proyectivo . ^[2] Las cónicas constituyen un espacio proyectivo de dimensión 5, tomando sus seis coeficientes como coordenadas homogéneas , y cinco puntos determinan una cónica , si los puntos están en posición lineal general , ya que el paso a través de un punto dado impone una condición lineal. De manera similar, la tangencia a una línea L dada (la tangencia es una intersección con la multiplicidad dos) es una condición cuadrática, por lo que se determina una cuadrícula en P ⁵ . Sin embargo el sistema lineal de divisores.que consiste en todas esas cuadráticas no es sin un lugar de base . De hecho, cada cuadriculado contiene la superficie veronesa , que parametriza las cónicas.

( aX + bY + cZ ) ² = 0

llamadas 'líneas dobles'. Esto se debe a que una línea doble intersecta cada línea en el plano, ya que las líneas en el plano proyectivo se intersecan, con la multiplicidad dos porque se duplica y, por lo tanto, satisface la misma condición de intersección (intersección de la multiplicidad dos) como una cónica no degenerada que es tangentea la línea.

El teorema general de Bézout dice que 5 cuadráticas generales en 5 espacios se intersecarán en 32 = 2 ⁵puntos. Pero las cuadráticas relevantes aquí no están en posición general . De 32, 31 debe ser restado y atribuido al veronese, para dejar la respuesta correcta (desde el punto de vista de la geometría), es decir 1. Este proceso de atribución de intersecciones a casos "degenerados" es una introducción geométrica típica de un " fudge ". factor '.

El decimoquinto problema de Hilbert fue superar la naturaleza aparentemente arbitraria de estas intervenciones; este aspecto va más allá de la cuestión fundamental del propio cálculo de Schubert.

Clemens conjetura [ editar ]

En 1984, H. Clemens estudió el recuento del número de curvas racionales en una triple quíntica $${\ displaystyle X \ subconjunto P ^ {4}} Y llegó a la siguiente conjetura.

Dejar $${\ displaystyle X \ subconjunto P ^ {4}} ser un quíntico triple en general, $${\ displaystyle d} un entero positivo, entonces solo hay un número finito de curvas racionales con grado $${\ displaystyle d} en $${\ displaystyle X}.

Esta conjetura se ha resuelto en el caso. $${\ displaystyle d \ leq 9}, pero sigue abierto para mayores $${\ displaystyle d}.

En 1991, el artículo ^[3] sobre la simetría del espejo en el quíntico se triplica en$${\ displaystyle P ^ {4}} Desde el punto de vista teórico de la cadena da números de grado d curvas racionales en $${\ displaystyle X} para todos {\ displaystyle d> 0}. Antes de esto, los geometristas algebraicos podrían calcular estos números solo para$${\ displaystyle d \ leq 5}.

Ejemplos [ editar ]

Algunos de los ejemplos históricamente importantes de enumeraciones en geometría algebraica incluyen:

• 2 El número de líneas que coinciden con 4 líneas generales en el espacio.
• 8 El número de círculos tangentes a 3 círculos generales (el problema de Apolonio ).
• 27 El número de líneas en una superficie cúbica lisa ( Salmon y Cayley )
• 2875 El número de líneas en un quíntico general triple.
• 3264 El número de cónicas tangentes a 5 cónicas planas en posición general ( Chasles )
• 609250 El número de cónicas en un triple quíntico general
• 4407296 El número de cónicas tangentes a 8 superficies cuadráticas generales Fulton (1984 , p. 193)
• 666841088 El número de superficies cuadráticas tangentes a 9 superficies cuadráticas dadas en posición general en 3 espacios ( Schubert 1879 , p.106) ( Fulton 1984 , p. 193)
• 5819539783680 El número de curvas cúbicas torcidas tangentes a 12 superficies cuadráticas dadas en posición general en 3 espacios ( Schubert 1879 , p.184) (S. Kleiman, SA Strømme & S. Xambó  1987 )