TEMAS DE GEOMETRÍA

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Una curva cúbica tropical.

La geometría tropical es un área relativamente nueva en matemáticas , que podría describirse libremente como una versión lineal o esqueletizada de la geometría algebraica , utilizando la semiflexión tropical en lugar de un campo.

Las variedades algebraicas se pueden asignar a una contraparte tropical y, dado que este proceso aún conserva cierta información geométrica sobre la variedad original, se puede usar para probar los resultados clásicos de la geometría algebraica, como el teorema de Brill-Noether , utilizando las herramientas de geometría.

Historia [ editar ]

Las ideas básicas del análisis tropical se han desarrollado de forma independiente en las mismas anotaciones por parte de los matemáticos que trabajan en varios campos (ver ^[2] y las referencias en ellas). Las ideas principales de la geometría tropical habían aparecido en diferentes formas en los trabajos anteriores. Por ejemplo, Victor Pavlovich Maslov introdujo una versión tropical del proceso de integración. También notó que la transformación de Legendre y las soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi son operaciones lineales en el sentido tropical. ^[3] Sin embargo, solo desde finales de la década de 1990 se ha hecho un esfuerzo para consolidar las definiciones básicas de la teoría. Esto ha sido motivado por las aplicaciones a la geometría algebraica enumerativa., con ideas de Maxim Kontsevich ^[4] y obras de Grigory Mikhalkin ^[5] entre otras.

El adjetivo tropical en el nombre del área fue acuñado por matemáticos franceses en honor al científico informático brasileño nacido en Hungría , Imre Simon , quien escribió sobre el campo. Jean-Eric Pin ^[6] atribuye la acuñación a Dominique Perrin, mientras que Simon mismo atribuye la palabra a Christian Choffrut. ^[7]

Fondo de algebra [ editar ]

Más información: semirremolques tropicales.

La geometría tropical se basa en la semicultura tropical . Esto se define de dos maneras, dependiendo de la convención máxima o mínima.

La semired min tropical es semiring (ℝ ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗), con las operaciones:

$${\ displaystyle x \ oplus y = \ min \ {x, y \},}

$${\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}

Las operaciones ⊕ y ⊗ se conocen como suma tropical y multiplicación tropical respectivamente. La unidad para ⊕ es + ∞, y la unidad para ⊗ es 0.

Del mismo modo, el semiringuito máximo es el semiring (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗), con operaciones:

$${\ displaystyle x \ oplus y = \ max \ {x, y \},}

$${\ displaystyle x \ otimes y = x + y.}

La unidad para ⊕ es −∞, y la unidad para ⊗ es 0.

Estos semirings son isomorfos, bajo negación. $${\ displaystyle x \ mapsto -x}y, en general, uno de estos se elige y se conoce simplemente como la semicultura tropical . Las convenciones difieren entre autores y subcampos: algunos usan la convención mínima , otros usan la convención máxima .

Las operaciones de semiringura tropical modelan cómo se comportan las valoraciones en la suma y la multiplicación en un campo valorado .

Algunos campos comunes valorados encontrados en la geometría tropical son:

• Q o C con la valoración trivial, v ( a ) = 0 para todos a ≠ 0,
• Q o sus extensiones con la valoración p-adic , v ( p ⁿ a / b ) = n para a y b coprime to p ,
• el campo de la serie C de Laurent (( t )) (potencias enteras), o el campo de la serie C de Puiseux ( {{ t }} (complejo) , con valoración que devuelve el exponente más pequeño de t que aparece en la serie.

Polinomios tropicales [ editar ]

Un polinomio tropical es una función F : R ⁿ → R que se puede expresar como la suma tropical de un número finito de términos monomiales . Un término monomial es un producto tropical (y / o cociente) de una constante y variables de X ₁ , ..., X _n . Por lo tanto, un polinomio tropical F es el mínimo de una colección finita de funciones afines-lineales en las que las variables tienen coeficientes enteros, por lo que es cóncava , continua y lineal por partes . ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}.\end{aligned}}}$

Dado un polinomio f en el anillo polinomial de Laurent K [x ₁ ^± , ..., x _n ^± ] donde K es un campo valorado, la tropicalización de f es el polinomio tropical obtenido de f al reemplazar la multiplicación y la adición por sus contrapartes tropicales y cada constante en K por su valoración, denotado Trop ( f ).

$${\ displaystyle f = \ sum _ {i = 1} ^ {s} c_ {i} x ^ {A_ {i}} \ quad {\ text {with}} A_ {1}, \ ldots, A_ {s} \ in \ mathbb {Z} ^ {n},}

$${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f) = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {s} v (c_ {i}) \ otimes X ^ {\ otimes A_ {i}}.}

El conjunto de puntos donde un polinomio tropical F no es diferenciable se denomina hipersuperficie tropicalasociada , denotado V ( F ) (en analogía con el conjunto que desaparece de un polinomio). De manera equivalente, V ( F ) es el conjunto de puntos donde el mínimo entre los términos de F se alcanza al menos dos veces. Cuando F = Trop ( f ) para un polinomio de Laurent f , esta última caracterización de V ( F ) refleja el hecho de que en cualquier solución de f = 0, la valoración mínima de los términos de f debe lograrse al menos dos veces para que todos ellos para cancelar.^[9]

Variedades tropicales [ editar ]

Definiciones [ editar ]

Para X, una variedad algebraica en el toro algebraico ( K ^× ) ⁿ , la variedad tropical de X o la tropicalización de X , denominada Trop ( X ), es un subconjunto de R ⁿ que se puede definir de varias maneras. La equivalencia de estas definiciones se denomina Teorema Fundamental de la Geometría Tropical . ^[9]

Intersección de hipersuperficies tropicales [ editar ]

Sea I ( X ) el ideal de los polinomios de Laurent que desaparecen en X en K [x ₁ ^± , ..., x _n ^± ]. Definir

$${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = \ bigcap _ {f \ in \ mathrm {I} (X)} \ mathrm {V} (\ operatorname {Trop} (f)) \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}.}

Cuando X es una hipersuperficie, su ideal de desaparición I ( X ) es un ideal principal generado por un polinomio de Laurent f , y la variedad tropical Trop ( X ) es precisamente la hipersuperficie tropical V (Trop ( f )).

Cada variedad tropical es la intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales. Un conjunto finito de polinomios.$${\ displaystyle \ {f_ {1}, \ ldots, f_ {r} \} \ subseteq \ mathrm {I} (X)}se denomina base tropical para X si Trop ( X ) es la intersección de las hipersuperficies tropicales de$${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (f_ {1}), \ ldots, \ operatorname {Trop} (f_ {r})}. En general, un conjunto generador de I ( X ) no es suficiente para formar una base tropical. La intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales se denomina prevalencia tropical y, en general, no es una variedad tropical. ^[9]

Ideales iniciales [ editar ]

La elección de un vector w en R ⁿ define un mapa de los términos monomiales de K [x ₁ ^± , ..., x _n ^± ] a Renviando el término m a Trop ( m ) ( w ). Para un polinomio de Laurent f = m ₁ + ... + m _s , defina que la forma inicial de f es la suma de los términos m _i de f para los cuales Trop ( m _i ) ( w ) es mínimo. Para ideal I (X ), define su ideal inicial con respecto a w para ser

$${\ displaystyle \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} (X) = (\ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} (f): f \ in \ mathrm {I } (X)).}

Entonces define

$${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = \ {\ mathbf {w} \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ operatorname {in} _ {\ mathbf {w}} \ mathrm {I} ( X) \ neq (1) \}.}

Ya que estamos trabajando en el anillo de Laurent, esto es equivalente a los vectores de peso establecidos para los cuales en _w I ( X ) no contiene un monomio.

Cuando K tiene una valoración trivial, en _w I ( X ) es precisamente el ideal inicial de I ( X ) con respecto al orden monomial dado por el vector de peso w . De ello se deduce que Trop ( X ) es un subfanato del fanático de Gröbner de I ( X ).

Imagen del mapa de valoración [ editar ]

Supongamos que X es una variedad sobre un campo K con valoración v cuya imagen es densa en R (por ejemplo, un campo de la serie Puiseux). Al actuar en forma coordinada, v define un mapa del toro algebraico ( K ^× ) ⁿ a R ⁿ . Entonces define

$${\ displaystyle \ operatorname {Trop} (X) = {\ overline {\ {(v (x_ {1}), \ ldots, v (x_ {n})) :( x_ {1}, \ ldots, x_ { n}) \ en X \}}},}

donde la línea superior indica el cierre en la topología euclidiana . Si la valuación de K no es densa en R , entonces la definición anterior puede adaptarse extendiendo los escalares a un campo más grande que tenga una valuación densa.

Esta definición muestra que Trop ( X ) es la no Arquímedes ameba más de una algebraicamente cerrado campo no Arquímedes K . ^[10]

Si X es una variedad sobre C , Trop ( X ) puede considerarse como el objeto limitante de la ameba$${\ displaystyle \ operatorname {Log} _ {t} (X)}como la base t del mapa logaritmo va al infinito. ^[11]

Compleja poliédrica [ editar ]

La siguiente caracterización describe las variedades tropicales intrínsecamente sin hacer referencia a las variedades algebraicas y la tropicalización. Un conjunto V en R ⁿ es una variedad tropical irreducible si es el soporte de un complejo poliédrico ponderado de dimensión pura d que satisface la condición de tensión cero y está conectado en una dimensión de código. Cuando d es uno, la condición de tensión cero significa que alrededor de cada vértice, la suma ponderada de las direcciones salientes de los bordes es igual a cero. Para una dimensión más alta, se toman sumas alrededor de cada celda de la dimensión d -1 después de calcular el intervalo afín de la celda. ^[8] La propiedad de que V está conectada en codimensión uno significa que para cualquiera de los dos puntos que se encuentran en las celdas de dimensión d , hay una ruta que los conecta y que no pasa a través de ninguna celda de dimensión menor que d -1. ^[12]

Curvas tropicales [ editar ]

El estudio de las curvas tropicales (variedades tropicales de dimensión uno) está particularmente bien desarrollado y está fuertemente relacionado con la teoría de grafos . Por ejemplo, la teoría de los divisores de curvas tropicales está relacionada con los juegos de disparo de chips en los gráficos asociados a las curvas tropicales. ^[13]

Muchos teoremas clásicos de la geometría algebraica tienen equivalentes en la geometría tropical, que incluyen:

• Teorema del hexágono de Pappus , ^[14]
• Teorema de Bézout ,
• la fórmula grado-género ,
• el teorema de Riemann-Roch , ^[15]
• y la ley grupal de los cúbicos . ^[dieciséis]

Oleg Viro utilizó curvas tropicales para clasificar curvas reales en el plano hasta la isotopía del grado 7. Su método de patchworking proporciona un procedimiento para construir una curva real de una clase de isotopía dada a partir de su curva tropical.

Aplicaciones [ editar ]

Una línea tropical apareció en el diseño de las subastas de Paul Klemperer utilizado por el Banco de Inglaterradurante la crisis financiera de 2007. ^[17] Yoshinori Shiozawa definió el álgebra subtropical como máxima o mínima semiring (en lugar de max-plus y min -más). Encontró que la teoría del comercio ricardiano (comercio internacional sin intercambio de insumos) puede interpretarse como álgebra convexa subtropical. ^[18]

Además, varios problemas de optimización que surgen, por ejemplo, en la programación de trabajos, análisis de ubicación, redes de transporte, toma de decisiones y sistemas dinámicos de eventos discretos se pueden formular y resolver en el marco de la geometría tropical. ^[19] Se puede aplicar una contraparte tropical del mapa Abel-Jacobi a un diseño de cristal. ^[20] Las pesas en un transductor de estado finito ponderado a menudo se requieren para ser un semisecado tropical. La geometría tropical muestra un comportamiento de criticidad autoorganizado .