TEMAS DE GEOMETRÍA

El "ángulo interior" redirige aquí. Para ángulos interiores en el mismo lado de la transversal, vea Línea transversal .

Angulos internos y externos

En geometría , un ángulo de un polígono está formado por dos lados del polígono que comparten un punto final. Para un polígono simple (que no se intersecta por sí mismo), independientemente de si es convexo o no convexo , este ángulo se denomina ángulo interior (o ángulo interno ) si un punto dentro del ángulo está en el interior del polígono. Un polígono tiene exactamente un ángulo interno por vértice.

Si cada ángulo interno de un polígono simple es menor que 180 °, el polígono se llama convexo .

En contraste, un ángulo exterior (o ángulo externo ) es un ángulo formado por un lado de un polígono simple y una línea extendida desde un lado adyacente .

Propiedades [ editar ]

• La suma del ángulo interno y el ángulo externo en el mismo vértice es 180 °.
• La suma de todos los ángulos internos de un polígono simple es 180 ( n –2) ° donde n es el número de lados. La fórmula se puede probar utilizando la inducción matemática y comenzando con un triángulo para el cual la suma del ángulo es de 180 °, luego se reemplaza un lado con dos lados conectados en un vértice, y así sucesivamente.
• La suma de los ángulos externos de cualquier polígono simple convexo o no convexo es 360 °.
• La medida del ángulo exterior en un vértice no se ve afectada por el lado extendido: los dos ángulos exteriores que pueden formarse en un vértice extendiéndose alternativamente un lado o el otro son ángulos verticales y, por lo tanto, son iguales.

Extensión a los polígonos cruzados [ editar ]

El concepto de ángulo interior puede extenderse de manera consistente a polígonos cruzados , como los polígonos en estrella, utilizando el concepto de ángulos dirigidos . En general, la suma del ángulo interior en grados de cualquier polígono cerrado, incluidos los cruzados (auto-intersección), se da entonces por 180 ( n –2 k) ° donde n es el número de vértices y el número no negativo k es El número de revoluciones totales de 360 ​​° se realiza caminando alrededor del perímetro del polígono . En otras palabras, 360 k ° representa la suma de todos los ángulos exteriores. Por ejemplo, para convexos ordinarios ypolígonos cóncavos k = 1, ya que la suma del ángulo exterior es de 360 ​​°, y uno sufre solo una revolución completa caminando alrededor del perímetro.

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Los ángulos pueden ser triseccionados a través de una construcción de neusis utilizando herramientas más allá de una regla no marcada y una brújula . El ejemplo muestra la trisección de cualquier ángulo θ> 3π/4 por una regla con una longitud igual al radio del círculo, dando un ángulo trisectado φ = θ/3 .

La trisección de ángulos es un problema clásico de las construccionesde brújula y regla de las antiguas matemáticas griegas . Se trata de la construcción de un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado, utilizando solo dos herramientas: una regla no marcada y una brújula .

El problema como se indica es imposible de resolver para ángulos arbitrarios, como lo demostró Pierre Wantzel en 1837. Sin embargo, aunque no hay manera de triseclar un ángulo en general con solo una brújula y una regla, algunos ángulos especiales pueden ser triseccionados. Por ejemplo, es relativamente sencillo triseccionar un ángulo recto (es decir, construir un ángulo de medida de 30 grados).

Es posible trisectar un ángulo arbitrario utilizando herramientas distintas de la regla y la brújula. Por ejemplo, la construcción de neusis , también conocida por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y rotación simultáneos de una regla marcada, que no se puede lograr con las herramientas originales. Otras técnicas fueron desarrolladas por los matemáticos a lo largo de los siglos.

Debido a que está definido en términos simples, pero complejo para resultar insoluble, el problema de la trisección de ángulos es un tema frecuente de intentos pseudomatemáticos de solución por parte de entusiastas ingenuos. Estas "soluciones" a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas, o simplemente son incorrectas. 

Antecedentes y declaración del problema [ editar ]

La bisección de ángulos arbitrarios ha sido resuelta durante mucho tiempo.

Usando solo una regla no marcada y una brújula , los matemáticos griegosencontraron medios para dividir una línea en un conjunto arbitrario de segmentos iguales, para dibujar líneas paralelas , para bisecar ángulos , para construir muchos polígonos y para construir cuadrados de igual o dos veces el área de un polígono dado.

Tres problemas demostraron ser esquivos, específicamente, triseccionar el ángulo, doblar el cubo y cuadrar el círculo . El problema de la trisección del ángulo dice:

Construya un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado (o divídalo en tres ángulos iguales), usando solo dos herramientas:

1. una regla no marcada , y
2. una brújula .

Prueba de imposibilidad [ editar ]

Gobernantes . Las que se muestran están marcadas: una regla ideal no está marcada

compases

Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de triseccionar clásicamente un ángulo arbitrario en 1837. ^[2] La prueba de Wantzel, replanteada en la terminología moderna, utiliza el álgebra abstracta de extensiones de campo , un tema que ahora se combina típicamente con la teoría de Galois . Sin embargo, Wantzel publicó estos resultados antes que Galois (cuyo trabajo se publicó en 1846) y no usó la conexión entre extensiones de campo y grupos que es el tema de la teoría de Galois. ^[3]

El problema de construir un ángulo de una medida dada θ es equivalente a construir dos segmentos de modo que la relación de su longitud sea cos  θ . De una solución a uno de estos dos problemas, uno puede pasar a una solución del otro mediante una construcción de compás y regla. La fórmula de triple ángulo da una expresión que relaciona los cosenos del ángulo original y su trisección: cos  θ  =  4 cos ³ θ/3 - 3 cos θ/3. De ello se deduce que, dado un segmento que se define como unidad de longitud, el problema de la trisección del ángulo es equivalente a construir un segmento cuya longitud es la raíz de un polinomio cúbico . Esta equivalencia reduce el problema geométrico original a un problema puramente algebraico.

Cada número racional es constructible. Cada número irracional que se puede construir en un solo paso a partir de algunos números dados es una raíz de un polinomio de grado 2 con coeficientes en el campo generado por estos números. Por lo tanto, cualquier número que sea construible por una secuencia de pasos es la raíz de un polinomio mínimo cuyo grado es una potencia de dos . Tenga en cuenta también que π/3 radianes (60 grados , escritos a 60 °) son construibles. El siguiente argumento muestra que es imposible construir un ángulo de 20 °. Esto implica que un ángulo de 60 ° no puede ser triseccionado, y por lo tanto un ángulo arbitrario no puede ser triseccionado.

Designar el conjunto de los números racionales por Q . Si los 60 ° pudieran ser triseccionados, el grado de un polinomio mínimo de cos 20 ° sobre Q sería una potencia de dos. Ahora vamos a x = cos 20 ° . Nota que cos 60 ° = cos pi/3 = 1/2 . Entonces por la fórmula de triple ángulo, cos pi/3 = 4 x ³ - 3 x y así 4 x ³ - 3 x = 1/2 . Asi 8x ³ - 6 x - 1 = 0 . Defina p ( t ) para que sea el polinomio p ( t ) = 8 t ³ - 6 t - 1 .

Como x = cos 20 ° es una raíz de p ( t ) , el polinomio mínimo para cos 20 ° es un factor de p ( t ) . Debido a que p ( t ) tiene grado 3, si es reducible por Q, entonces tiene una raíz racional . Por el teorema de la raíz racional , esta raíz debe ser ± 1, ± 1/2 , ± 1/4 o ± 1/8 , pero ninguna de ellas es una raíz. Por lo tanto, p (t ) esirreductible por Q , y el polinomio mínimo para cos 20 ° es de grado  3 .

Por lo tanto, un ángulo de medida de 60 ° no puede ser triseccionado.

Angulos que pueden ser triseccionados [ editar ]

Sin embargo, algunos ángulos pueden ser triseccionados. Por ejemplo, para cualquier ángulo construible θ , un ángulo de medida 3 θ se puede triseleccionar de manera trivial ignorando el ángulo dado y construyendo directamente un ángulo de medida θ . Hay ángulos que no son construibles, pero son trisectibles (a pesar de que el ángulo de un tercio no es construible). Por ejemplo, 3 π/7 es tal ángulo: cinco ángulos de medida 3 π/7 se combinan para hacer un ángulo de medida 15 π/7 , que es un círculo completo más el π/7 deseado.

Para un número entero positivo N , un ángulo de medida de 2 π/N es trisectible si y sólo si 3 no divide N . ^[4] [5] En contraste, 2 π/N es construible si y solo si N es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 con el producto de uno o más primos Fermat distintos .

Caracterización algebraica [ editar ]

Una vez más, designar el conjunto de los números racionales por Q .

Teorema : Un ángulo de medida θ puede ser triseccionado si y solo si q ( t ) = 4 t ³ - 3 t - cos ( θ ) es reducible sobre la extensión de campo Q (cos ( θ )) .

La prueba es una generalización relativamente sencilla de la prueba dada anteriormente de que un ángulo de 60 ° no es trisectible. ^[6]

Otros métodos [ editar ]

El problema general de la trisección de ángulos puede resolverse mediante el uso de herramientas adicionales y, por lo tanto, salir del marco griego original de brújula y regla.

Se han propuesto muchos métodos incorrectos de trisección del ángulo general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan a continuación) involucran herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemático Underwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro The Trisectors . ^[1]

Aproximación por bisecciones sucesivas [ editar ]

La trisección se puede aproximar mediante la repetición del método de compás y regla para dividir un ángulo. La serie geométrica 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ o 1/3 = 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯Puede ser utilizado como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación a cualquier grado de precisión en un número finito de pasos. ^[7]

Usando el origami [ editar ]

Artículo principal: Matemáticas de origami § Trisección de un ángulo

La trisección, como muchas construcciones imposibles por regla y compás, puede lograrse fácilmente mediante las operaciones más poderosas de plegado de papel u origami . Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) pueden construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, mientras que la regla y la brújula pueden construir solo extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).

Usando un enlace [ editar ]

Hay una serie de enlaces simples que se pueden usar para hacer un instrumento para triseccionar ángulos, incluyendo el Trisector de Kempe y el Fan de enlace de Sylvester o Isoklinostat. ^[8]

Ventilador de Enlace de Sylvester

Con una regla de triángulo rectángulo [ editar ]

Trisección del ángulo mediante Rechtwinkelhaken según Ludwig Bieberbach, con continuación de la construcción, animación 1 min 35 s, de la cual se rompe al final 30 s.

En 1932, Ludwig Bieberbach publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematiksu trabajo Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . ^[9] Afirma allí (traducción libre):

" Como se sabe ... cada construcción cúbica puede rastrearse hasta la trisección del ángulo y la multiplicación del cubo, es decir, la extracción de la tercera raíz. Solo necesito mostrar cómo estas dos tareas clásicas pueden ser Resuelto mediante el gancho de ángulo recto " .

La siguiente descripción de la construcción adyacente (animación) contiene su continuación hasta la trisección de ángulo completa.

Comienza con el primer círculo unitario alrededor de su centro.$${\ displaystyle A}, la primera extremidad de ángulo $${\ displaystyle {\ overline {BP}}}, y la segunda unidad circula alrededor $${\ displaystyle P}siguiéndolo Ahora el diametro$${\ displaystyle {\ overline {BP}}} desde $${\ displaystyle P} se extiende a la línea circular de este círculo unitario, el punto de intersección $${\ displaystyle O}siendo creado. Siguiendo el arco circular alrededor$${\ displaystyle P} con el radio $${\ displaystyle {\ overline {BP}}} y el dibujo de la segunda extremidad de ángulo desde el ángulo $${\ displaystyle \ delta}, el punto $${\ displaystyle C}resultados Ahora se usa la llamada media de construcción adicional , en el ejemplo ilustrado es el Geodreieck . Este triángulo geométrico, como también se le llama, ahora se coloca en el dibujo de la siguiente manera: el vértice del ángulo recto determina el punto$${\ displaystyle S} en el ángulo de la pierna $${\ displaystyle {\ overline {PC}}}, un cateto del triángulo pasa por el punto.$${\ displaystyle O} y el otro afecta al circulo unitario. $${\ displaystyle A}. Después de conectar el punto$${\ displaystyle O} a $${\ displaystyle S} y dibujando la tangente de $${\ displaystyle S} a la unidad alrededor del círculo $${\ displaystyle A}, se muestra el gancho de ángulo recto mencionado anteriormente, respectivamente Rechtwinkelhaken . El ángulo encerrado por los segmentos.$${\ displaystyle {\ overline {OS}}} y $${\ displaystyle {\ overline {PS}}} es así exactamente $${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {3}}}. Sigue con el paralelo a$${\ displaystyle {\ overline {OS}}} desde $${\ displaystyle P}, el ángulo alternativo $${\ displaystyle {\ frac {\ delta} {3}}} y el punto $${\ displaystyle D}se están creando. Un paralelo más a$${\ displaystyle {\ overline {OS}}} desde $${\ displaystyle A} determina el punto de contacto $${\ displaystyle E} de la tangente con el círculo unitario $${\ displaystyle A}.Finalmente, dibuje una línea recta desde $${\ displaystyle P} mediante $${\ displaystyle E} hasta que intersecte el círculo unitario en $${\ displaystyle F}. Asi el angulo$${\ displaystyle \ delta} tiene exactamente tres partes.

Con una curva auxiliar [ editar ]

Existen ciertas curvas llamadas trisectrices que, si se dibujan en el plano utilizando otros métodos, se pueden usar para triseccionar ángulos arbitrarios. ^[10]

Ejemplo de aplicación [ editar ]

Trisección de ángulo (exacta) con la curva trisectrix de Maclaurin como media auxiliar adicional

Se utiliza la conocida Trisectrix de Colin Maclaurindel año 1742.

En coordenadas cartesianas esta curva se describe con la ecuación.

$${\ displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2}),}

o, en forma implícita ,

$${\ displaystyle 2x ^ {3} + 2xy ^ {2} -a3x ^ {2} + ay ^ {2} = 0.}

Trisección del ángulo [ editar ]

Primero, el diametro $${\ displaystyle {\ overline {AB}}} con su centro $${\ displaystyle M}está determinado. A esto le sigue el semicírculo.$${\ displaystyle MBA}con la generación posterior de la trisectriz como la curva implícita. ^[11] Por lo tanto, la construcción básica para el ángulo de trisección de ángulos{\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha \ leq 180 ^ {\ circ}}esta completado. Ahora, la segunda extremidad de ángulo$${\ displaystyle {\ overline {MC}}} se dibuja de tal manera que encierra con la primera extremidad de ángulo $${\ displaystyle {\ overline {MB}}} el ángulo $${\ displaystyle \ alpha}estar dividido La extremidad angular$${\ displaystyle {\ overline {MC}}} intersecta la trisectriz en $${\ displaystyle D}. A continuación, una línea recta desde$${\ displaystyle A} se dibuja a través de $${\ displaystyle D} Al semicírculo, resultando en la intersección. $${\ displaystyle E}. El ángulo$${\ displaystyle \ beta} generado por $${\ displaystyle {\ overline {BA}}} y $${\ displaystyle {\ overline {AE}}} es el angulo $${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ alpha} buscado

Con una regla marcada [ editar ]

Propiedades del ángulo del triángulo básico

Otro medio para obtener un ángulo arbitrario mediante un "pequeño" paso fuera del marco griego es a través de una regla con dos marcas separadas una distancia determinada. La siguiente construcción se debe originalmente a Arquímedes , llamada construcción de Neusis , es decir, que utiliza herramientas distintas de una regla no marcada . Los diagramas que utilizamos muestran esta construcción para un ángulo agudo, pero de hecho funciona con cualquier ángulo de hasta 180 grados.

Esto requiere tres hechos de la geometría (a la derecha):

1. Cualquier conjunto completo de ángulos en una línea recta se suma a 180 °,
2. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180 °, y ,
3. Cualquiera de los dos lados iguales de un triángulo isósceles se encontrará con el tercero en el mismo ángulo .

Trisección del ángulo utilizando regla marcada.

Sea l la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ángulo a (a la izquierda del punto B ) es el tema de la trisección. En primer lugar, un punto A se dibuja en un ángulo de rayo , una unidad aparte de B . Se dibuja un círculo de radio AB . A continuación, la marcación de la regla entra en juego: una marca de la regla se coloca en A y el otro en B . Mientras mantiene la regla (pero no la marca) tocando A , la regla se desliza y gira hasta que una marca está en el círculo y la otra en la línea l . La marca en el círculo está etiquetada como Cy la marca en la línea está etiquetada D . Esto asegura que CD = AB . Se dibuja un radio BC para que sea obvio que los segmentos de línea AB , BC y CD tienen la misma longitud. Ahora, los triángulos ABC y BCD son isósceles , por lo tanto (según el hecho anterior 3) cada uno tiene dos ángulos iguales.

Hipótesis : Dado que AD es una línea recta, y AB , BC y CD tienen la misma longitud,

Conclusión : ángulo b = a/3 .

prueba :

1. Del hecho 1) arriba, $${\ displaystyle e + c = 180}°.
2. Mirando el triángulo BCD , del hecho 2)$${\ displaystyle e + 2b = 180}°.
3. De las dos últimas ecuaciones, $${\ displaystyle c = 2b}.
4. De hecho 2), $${\ displaystyle d + 2c = 180}°, asi $${\ displaystyle d = 180}°$${\ displaystyle -2c}, desde el pasado, $${\ displaystyle d = 180}°$${\ displaystyle -4b}.
5. Del hecho 1) arriba, $${\ displaystyle a + d + b = 180}°, asi $${\ displaystyle a + (180}°$${\ displaystyle -4b) + b = 180}°.

Compensación, a - 3 b = 0 , o a = 3 b , y se demuestra el teorema .

Una vez más, esta construcción salió del marco de las construcciones permitidas mediante el uso de una regla marcada.

Con una cadena [ editar ]

Thomas Hutcheson publicó un artículo en Mathematics Teacher ^[12] que usaba una cuerda en lugar de una brújula y un borde recto. Una cuerda puede usarse como un borde recto (estirándolo) o como una brújula (fijando un punto e identificando otro), pero también puede envolver alrededor de un cilindro, la clave de la solución de Hutcheson.

Hutcheson construyó un cilindro desde el ángulo para ser triseccionado dibujando un arco a través del ángulo, completándolo como un círculo, y construyendo desde ese círculo un cilindro en el que se inscribió un triángulo equilátero, por ejemplo, un ángulo de 360 ​​grados dividido en tres. ). Esto fue luego "mapeado" en el ángulo a ser triseccionado, con una prueba simple de triángulos similares.

Con un "tomahawk" [ editar ]

Un tomahawk trisectando un ángulo. El asa forma un trisector y la línea azul que se muestra forma el otro.

Un " tomahawk " es una forma geométrica que consiste en un semicírculo y dos segmentos de línea ortogonales, de manera que la longitud del segmento más corto es igual al radio del círculo. La trisección se ejecuta inclinando el extremo del segmento más corto del tomahawk en un rayo, el borde del círculo en el otro, de modo que el "asa" (segmento más largo) cruce el vértice del ángulo; la línea de trisección corre entre el vértice y el centro del semicírculo.

Tenga en cuenta que si bien un tomahawk se puede construir con brújula y regla, generalmente no es posible construir un tomahawk en ninguna posición deseada. Por lo tanto, la construcción anterior no contradice la no susceptibilidad de los ángulos solo con la regla y la brújula.

El tomahawk produce el mismo efecto geométrico que el método de plegado del papel: la distancia entre el centro del círculo y la punta del segmento más corto es el doble de la distancia del radio, lo que garantiza el contacto con el ángulo. También es equivalente al uso de un L-Ruler de arquitectos ( Plaza del Carpintero ).

Con compases interconectados [ editar ]

Un ángulo puede ser triseccionado con un dispositivo que es esencialmente una versión de cuatro brújulas de una brújula, con enlaces entre las puntas diseñadas para mantener iguales los tres ángulos entre puntas adyacentes. ^[13]

Usos de trisección del ángulo [ editar ]

Una animación de una construcción neusis de un heptágono con radio de circunferencia. $${\ displaystyle {\ overline {OA}} = 6}, basado en Andrew M. Gleason , utilizando la trisección de ángulos por medio de tomahawk ^{[14] : p. 186}

Una ecuación cúbica con coeficientes reales puede resolverse geométricamente con brújula, regla y un trisector de ángulo si y solo si tiene tres raíces reales . ^{[14] : Thm. 1}

Un polígono regular con n lados se puede construir con una regla, brújula y ángulo trisector si y solo si$${\ displaystyle n = 2 ^ {r} 3 ^ {s} p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {k},}donde r, s, k ≥ 0 y donde p _ison primos distintos mayores que 3 de la forma$${\ displaystyle 2 ^ {t} 3 ^ {u} +1}(Es decir, los primos de Pierpont sonmayores que 3). ^{[14] : Thm. 2}

Generalización [ editar ]

Para cualquier número entero distinto de cero N , un ángulo de medida de ^2 pi / _N radianes se pueden dividir en n partes iguales con regla y compás si y sólo si n es o bien una potencia de 2 o es una potencia de 2 multiplicado por el producto de una o más distinta Fermat ceba, ninguno de los cuales divide N . En el caso de la trisección ( n = 3 , que es un primo de Fermat), esta condición se convierte en el requisito mencionado anteriormente de que N no sea divisible por 3 .