TEMAS DE GEOMETRÍA

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Un ejemplo de congruencia. Los dos triángulos de la izquierda son congruentes, mientras que el tercero es similar a ellos. El último triángulo no es ni similar ni congruente con ninguno de los otros. La congruencia permite la alteración de algunas propiedades, como la ubicación y la orientación, pero deja otras sin cambios, como la distancia y los ángulos . Las propiedades sin cambios se llaman invariantes .

En geometría , dos figuras u objetos son congruentessi tienen la misma forma y tamaño, o si una tiene la misma forma y tamaño que la imagen especular de la otra. ^[1]

Más formalmente, dos conjuntos de puntos se llaman congruentes si, y solo si, uno puede transformarse en el otro mediante una isometría , es decir, una combinación de movimientos rígidos , es decir, una traducción , una rotación y una reflexión . Esto significa que cualquiera de los objetos puede ser reposicionado y reflejado (pero no redimensionado) para coincidir precisamente con el otro objeto. Así que dos figuras planas distintas en una hoja de papel son congruentes si podemos recortarlas y luego unirlas por completo. Se permite voltear el papel.

Este diagrama ilustra el principio geométrico de la congruencia del triángulo del lado del ángulo-ángulo: dado el triángulo ABC y el triángulo A'B'C ', el triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C' si y solo si el ángulo CAB es congruente con C'A'B 'y el ángulo ABC son congruentes con A'B'C' y BC son congruentes con B'C '

En geometría elemental, la palabra congruente se usa a menudo de la siguiente manera. ^[2] La palabra igualse usa a menudo en lugar de congruente para estos objetos.

• Dos segmentos de línea son congruentes si tienen la misma longitud.
• Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
• Dos círculos son congruentes si tienen el mismo diámetro.

En este sentido, dos figuras planas son congruentesimplica que sus características correspondientes son "congruentes" o "iguales", incluyendo no solo sus lados y ángulos correspondientes, sino también sus diagonales, perímetros y áreas correspondientes.

El concepto relacionado de similitud se aplica si los objetos tienen la misma forma pero no necesariamente tienen el mismo tamaño. (La mayoría de las definiciones consideran que la congruencia es una forma de similitud, aunque una minoría requiere que los objetos tengan diferentes tamaños para calificar como similares).

Determinación de congruencia de polígonos.

Los cuadriláteros naranjas y verdes son congruentes; El azul no les es congruente. Los tres tienen el mismo perímetro y área . (El orden de los lados del cuadrilátero azul se "mezcla", lo que da como resultado que dos de los ángulos interiores y una de las diagonales no sean congruentes).

Para que dos polígonos sean congruentes, deben tener un número igual de lados (y, por lo tanto, un número igual, el mismo número, de vértices). Dos polígonos con n lados son congruentes si y solo si cada uno tiene secuencias numéricamente idénticas (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en el contrario para el otro) ángulo lateral-ángulo -... para n lados y n ángulos.

La congruencia de polígonos se puede establecer gráficamente de la siguiente manera:

• Primero, une y etiqueta los vértices correspondientes de las dos figuras.
• En segundo lugar, dibuje un vector desde uno de los vértices de una de las figuras hasta el vértice correspondiente de la otra figura. Traduce la primera figura con este vector para que estos dos vértices coincidan.
• Tercero, rote la figura traducida sobre el vértice emparejado hasta que coincida un par de ladoscorrespondientes.
• Cuarto, refleje la figura girada sobre este lado coincidente hasta que las figuras coincidan.

Si en algún momento no se puede completar el paso, los polígonos no son congruentes.

Congruencia de triangulos

Ver también: solución de triángulos.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son iguales en longitud, y sus ánguloscorrespondientes son iguales en medida.

Si el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF, la relación se puede escribir matemáticamente como:

$${\ displaystyle \ triangle \ mathrm {ABC} \ cong \ triangle \ mathrm {DEF}.}

En muchos casos, es suficiente establecer la igualdad de las tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes resultados para deducir la congruencia de los dos triángulos.

La forma de un triángulo se determina hasta la congruencia especificando dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), dos ángulos y el lado entre ellos (ASA) o dos ángulos y un lado adyacente correspondiente (AAS). Sin embargo, la especificación de dos lados y un ángulo adyacente (SSA) puede producir dos triángulos posibles distintos.

Determinando congruencia

Se puede mostrar evidencia suficiente de la congruencia entre dos triángulos en el espacio euclidiano a través de las siguientes comparaciones:

• SAS (Side-Angle-Side): Si dos pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud y los ángulos incluidos son iguales en la medición, entonces los triángulos son congruentes.
• SSS (lado-lado-lado): si tres pares de lados de dos triángulos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes.
• ASA (ángulo-ángulo-lateral): si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en la medida, y los lados incluidos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes.

El Postulado ASA fue contribuido por Thales de Mileto(griego). En la mayoría de los sistemas de axiomas, los tres criterios (SAS, SSS y ASA) se establecen como teoremas . En el sistema de Grupo de estudio de matemáticas de la escuela , SAS se toma como uno (n. ° 15) de 22 postulados.

• AAS (ángulo-lado-ángulo): si dos pares de ángulos de dos triángulos son iguales en la medida, y un par de lados correspondientes no incluidos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes. AAS es equivalente a una condición ASA, por el hecho de que si se dan dos ángulos, también lo es el tercer ángulo, ya que su suma debe ser 180 °. ASA y AAS a veces se combinan en una sola condición, AAcorrS : dos ángulos cualquiera y un lado correspondiente. ^[3]
• RHS ( lado del ángulo de la hipotenusa), también conocido como HL (pierna de la hipotenusa): si dos triángulos en ángulo recto tienen sus hipotenus iguales en longitud, y un par de lados más cortos tienen la misma longitud, entonces los triángulos son congruentes .

Lado-ángulo lateral

La condición SSA (lado-lado-ángulo) que especifica dos lados y un ángulo no incluido (también conocido como ASS, o ángulo-lado-lado) no es en sí misma una congruencia. Para mostrar la congruencia, se requiere información adicional, como la medida de los ángulos correspondientes y, en algunos casos, las longitudes de los dos pares de lados correspondientes. Hay algunos casos posibles:

Si dos triángulos satisfacen la condición de SSA y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor o igual a la longitud del lado adyacente (SSA, o lado lateral corto-ángulo largo), entonces los dos triángulos son congruentes. El lado opuesto a veces es más largo cuando los ángulos correspondientes son agudos, pero siempre es más largo cuando los ángulos correspondientes son rectos u obtusos. Cuando el ángulo es un ángulo recto, también conocido como postulado de la Hipotenusa-Pierna (HL) o la condición del Ángulo Recto-Hipotenusa (RHS), el tercer lado puede calcularse utilizando el Teorema de Pitágoras permitiendo que el postulado SSS sea aplicado.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es igual a la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Si dos triángulos satisfacen la condición SSA y los ángulos correspondientes son agudos y la longitud del lado opuesto al ángulo es mayor que la longitud del lado adyacente multiplicada por el seno del ángulo (pero menor que la longitud del lado adyacente), entonces no se puede demostrar que los dos triángulos sean congruentes. Este es el caso ambiguo y se pueden formar dos triángulos diferentes a partir de la información dada, pero la información adicional que los distinga puede llevar a una prueba de congruencia.

Ángulo de ángulo de ángulo

En la geometría euclidiana, AAA (ángulo-ángulo-ángulo) (o simplemente AA, ya que en la geometría euclidiana los ángulos de un triángulo suman 180 °) no proporciona información sobre el tamaño de los dos triángulos y, por lo tanto, solo muestra similitud y no Congruencia en el espacio euclidiano.

Sin embargo, en geometría esférica y geometría hiperbólica (donde la suma de los ángulos de un triángulo varía con el tamaño) AAA es suficiente para la congruencia en una curvatura dada de la superficie. ^[4]

CPCTC

Este acrónimo significa partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes y una versión abreviada de la definición de triángulos congruentes. ^[5] [6]

En más detalle, es una forma sucinta de decir que si los triángulos ABC y DEF son congruentes, es decir,

$${\ displaystyle \ triangle ABC \ cong \ triangle DEF,}

con pares de ángulos correspondientes en los vértices A y D ; B y E ; y C y F , y con los pares de lados correspondientes AB y DE ; BC y EF ; y CA y FD , entonces las siguientes afirmaciones son ciertas:

$${\ displaystyle {\ overline {AB}} \ cong {\ overline {DE}}}

$${\ displaystyle {\ overline {BC}} \ cong {\ overline {EF}}}

$${\ displaystyle {\ overline {AC}} \ cong {\ overline {DF}}}

$${\ displaystyle \ angle BAC \ cong \ angle EDF}

$${\ displaystyle \ angle ABC \ cong \ angle DEF}

$${\ displaystyle \ angle BCA \ cong \ angle EFD.}

La declaración se usa a menudo como una justificación en pruebas de geometría elemental cuando se necesita una conclusión de la congruencia de partes de dos triángulos después de que se haya establecido la congruencia de los triángulos. Por ejemplo, si se ha demostrado que dos triángulos son congruentes según los criterios de SSS y se necesita una declaración de que los ángulos correspondientes son congruentes en una prueba, entonces se puede usar CPCTC como justificación de esta declaración.

Un teorema relacionado es CPCFC , en el cual "triángulos" se reemplaza con "figuras", de modo que el teorema se aplica a cualquier par de polígonos o poliedros que sean congruentes.

Definición de congruencia en geometría analítica.

En un sistema euclidiano , la congruencia es fundamental; Es la contraparte de la igualdad para los números. En geometría analítica , la congruencia puede definirse intuitivamente de este modo: dos mapeos de figuras en un sistema de coordenadas cartesiano son congruentes si y solo si, para cualquiera de los dos puntos en el primer mapeo, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los correspondientes Puntos en la segunda cartografía.

Una definición más formal establece que dos subconjuntos A y B del espacio euclídeo R ⁿ se denominan congruentes si existe una isometría f  : R ⁿ → R ⁿ (un elemento del grupo Euclidiano E ( n )) con f ( A ) = B . La congruencia es una relación de equivalencia .

Secciones cónicas congruentes.

Dos secciones cónicas son congruentes si sus excentricidades y otro parámetro distinto que las caracteriza son iguales. Sus excentricidades establecen sus formas, la igualdad de las cuales es suficiente para establecer la similitud, y el segundo parámetro establece el tamaño. Dado que dos círculos , parábolas o hiperbolas rectangulares siempre tienen la misma excentricidad (específicamente 0 en el caso de los círculos, 1 en el caso de las parábolas, y$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}} en el caso de las hiperbolas rectangulares), dos círculos, parábolas o hipérbolas rectangulares necesitan tener otro valor de parámetro común, estableciendo su tamaño, para que sean congruentes.

Poliedros congruentes

Para dos poliedros con el mismo número E de bordes, el mismo número de caras y el mismo número de lados en las caras correspondientes, existe un conjunto de, como máximo, medidas E que pueden establecer si los poliedros son congruentes. ^[7] [8] Para los cubos , que tienen 12 bordes, solo se necesitan 9 medidas.

Triángulos congruentes en una esfera

Artículos principales: Resolver triángulos § Resolver triángulos esféricos , y Trigonometría esférica § Solución de triángulos

Al igual que con los triángulos planos, en una esfera, dos triángulos que comparten la misma secuencia de ángulo de ángulo lateral (ASA) son necesariamente congruentes (es decir, tienen tres lados idénticos y tres ángulos idénticos). ^[9] Esto se puede ver de la siguiente manera: uno puede situar uno de los vértices con un ángulo dado en el polo sur y ejecutar el lado con una longitud dada hasta el meridiano principal. Conocer ambos ángulos en cada extremo del segmento de longitud fija garantiza que los otros dos lados emanen con una trayectoria única determinada, y por lo tanto se encontrarán en un punto determinado de manera única; por lo tanto ASA es válido.

Los teoremas de congruencia lado-ángulo-lado (SAS) y lado-lado-lado (SSS) también se sostienen en una esfera; además, si dos triángulos esféricos tienen una secuencia idéntica de ángulo-ángulo-ángulo (AAA), son congruentes (a diferencia de los triángulos planos). ^[9]

El teorema de congruencia plano-triángulo ángulo-ángulo-lado (AAS) no es válido para triángulos esféricos. ^[10]Al igual que en la geometría plana, el ángulo lateral (SSA) no implica congruencia.

Notación

Un símbolo comúnmente utilizado para congruencia es un símbolo igual con una tilde sobre ella ,, quecorresponde al carácter de Unicode 'aproximadamente igual a' (U + 2245). En el Reino Unido, a veces se usa el signo igual de tres barras ≡ (U + 2261).

Este artículo trata sobre la reflexión en geometría. Para la reflexividad de las relaciones binarias , ver relación reflexiva .

Una reflexión a través de un eje (desde el objeto rojo al verde) seguida de una reflexión (verde a azul) a través de un segundo eje paralelo al primero da como resultado un movimiento total que es una traducción , en una cantidad igual al doble del Distancia entre los dos ejes.

En matemáticas , una reflexión (también escrito reflexión ) ^[1] es una cartografía de un espacio euclidiano a sí mismo que es una isometríacon un hiperplano como un conjunto de puntos fijos ; este conjunto se denomina eje (en dimensión 2) o plano (en dimensión 3) de reflexión. La imagen de una figura por un reflejo es su imagen de espejo en el eje o plano de reflexión. Por ejemplo, la imagen de espejo de la pequeña letra latina p para una reflexión con respecto a un eje vertical se vería como q. Su imagen por reflexión en un eje horizontal se vería como b . Una reflexión es una involución : cuando se aplica dos veces seguidas, cada punto vuelve a su ubicación original y cada objeto geométrico se restaura a su estado original.

El término reflexión se usa a veces para una clase más grande de mapeos desde un espacio euclidiano a sí mismo, a saber, las isometrías de no identidad que son involuciones. Tales isometrías tienen un conjunto de puntos fijos (el "espejo") que es un subespacio afín , pero posiblemente sea más pequeño que un hiperplano. Por ejemplo, una reflexión a través de un punto es una isometría involutiva con un solo punto fijo; la imagen de la letra p debajo de ella se vería como una d . Esta operación también se conoce como inversión central ( Coxeter 1969, §7.2) y muestra el espacio euclidiano como un espacio simétrico . En un espacio vectorial euclidiano., la reflexión en el punto situado en el origen es la misma que la negación del vector. Otros ejemplos incluyen reflexiones en una línea en el espacio tridimensional. Típicamente, sin embargo, el uso no calificado del término "reflexión" significa reflexión en un hiperplano .

Una figura que no cambia al sufrir una reflexión se dice que tiene simetría de reflexión .

Algunos matemáticos usan " flip " como sinónimo de "reflexión".