TEMAS DE GEOMETRÍA

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

El ángulo AOB es un ángulo central.

Los ángulos centrales están subtendidos por un arco entre esos dos puntos, y la longitud del arco es el ángulo central de un círculo de radio uno (medido en radianes ). ^[1] El ángulo central también se conoce como la distancia angular del arco .

El tamaño de un ángulo central Θ es 0 ° <Θ <360 span=""> o 0 <Θ <2 span="">(radianes). Al definir o dibujar un ángulo central, además de especificar los puntos A y B , se debe especificar si el ángulo que se define es el ángulo convexo (<180 el="" ngulo="" o="" reflejo=""> 180 °). De manera equivalente, uno debe especificar si el movimiento desde el punto A al punto B es en sentido horario o antihorario.

Fórmulas [ editar ]

Si los puntos de intersección A y B de las piernas del ángulo con el círculo forman un diámetro , entonces Θ = 180 ° es un ángulo recto . (En radianes, Θ = π .)

Sea L el arco menor del círculo entre los puntos A y B , y sea R el radio del círculo. ^[2]

Ángulo centralConvexo. Está subtendido por arco menor L

Si el ángulo central Θ está subtendido por L , entonces

{\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ Theta <180 circ="" font="" frac="" left="" pi="" r="" right="" theta="\">

Prueba (para grados): La circunferencia de un círculo con radio R es 2π R , y el arco menor L es la ( Θ/360 ° ) parte proporcional de toda la circunferencia (ver arco ). Asi que:

$${\ displaystyle L = {\ frac {\ Theta} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot 2 \ pi R \, \ Rightarrow \, \ Theta = \ left ({\ frac {180L} {\ pi R} } \ right) ^ {\ circ}.}

Ángulo central Reflejo.No está subtitulado porL

Prueba (para radianes): la circunferencia de un círculo con radio R es 2π R , y el arco menor L es la parte proporcional ( Θ/2π ) de toda la circunferencia (ver arco ). Asi que

$${\ displaystyle L = {\ frac {\ Theta} {2 \ pi}} \ cdot 2 \ pi R \, \ Rightarrow \, \ Theta = {\ frac {L} {R}}.}

Si el ángulo central Θ no está subtendido por el arco menor L , entonces Θ es un ángulo reflejo y

{\ displaystyle 180 ^ {\ circ} <\ Theta <360 -="" 2="" circ="" font="" frac="" left="" pi="" r="" right="" theta="\">

Si una tangente en A y una tangente en B se intersecan en el punto exterior P , entonces denotando el centro como O , los ángulos ∠ BOA (convexos) y ∠ BPA son suplementarios (suma a 180 °).

Angulo central de un polígono regular [ editar ]

Un polígono regular con n lados tiene un círculo circunscrito sobre el cual se encuentran todos sus vértices, y el centro del círculo también es el centro del polígono. El ángulo central del polígono regular está formado en el centro por los radios a dos vértices adyacentes. La medida de este ángulo es$${\ displaystyle 2 \ pi / n.}

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

El ángulo inscrito θ es la mitad del ángulo central 2 subt que subtiende el mismo arco en el círculo. Por lo tanto, el ángulo θ no cambia a medida que su vértice se mueve alrededor del círculo.

En geometría , un ángulo inscrito es el ángulo formado en el interior de un círculo cuando dos líneas secantes (o, en un caso degenerado , cuando una línea secante y una línea tangente de ese círculo) se intersecan en el círculo. También se puede definir como el ángulo subtendido en un punto en el círculo por dos puntos dados en el círculo.

De manera equivalente, un ángulo inscrito se define por dos acordes del círculo que comparten un punto final.

El teorema del ángulo inscrito relaciona la medida de un ángulo inscrito con la del ángulo central que subtiende el mismo arco .

Teorema [ editar ]

Declaración [ editar ]

Para los puntos fijos A y B , el conjunto de puntos M en el plano para el cual el ángulo AMB es igual a  α es un arco de círculo. La medida de ∠ AOB , donde O es el centro del círculo, es 2 α .

El teorema del ángulo inscrito establece que un ángulo θ inscrito en un círculo es la mitad del ángulo central 2 subt que subtiende el mismo arcoen el círculo. Por lo tanto, el ángulo no cambia a medida que su vérticese mueve a diferentes posiciones en el círculo.

Prueba [ editar ]

Ángulos inscritos donde un acorde es un diámetro [ editar ]

Caso: un acorde es un diámetro

Sea O el centro de un círculo, como se muestra en el diagrama de la derecha. Elegir dos puntos de la circunferencia, y los llaman V y A . Dibujar línea VO y extendido más allá de O de modo que se cruza con el círculo en el punto B que es diametralmente opuesto al punto V . Dibuje un ángulo cuyo vértice es el punto V y cuyos lados pasan por los puntos A y B .

Dibuja la línea OA . El ángulo BOA es un ángulo central ; llamalo θ . Las líneas OV y OA son radios del círculo, por lo que tienen longitudes iguales. Por lo tanto, el triángulo VOA es isósceles , por lo que el ángulo BVA (el ángulo inscrito) y el ángulo VAO son iguales; dejar que cada uno de ellos se denota como ψ .

Los ángulos BOA y AOV son suplementarios . Agregan hasta 180 °, ya que la línea VB que pasa por O es una línea recta. Por lo tanto, el ángulo AOV mide 180 ° -  θ .

Se sabe que los tres ángulos de un triángulo suman 180 °, y los tres ángulos del triángulo VOA son:

180 ° - θ

ψ

ψ .

Por lo tanto,

$${\ displaystyle 2 \ psi +180 ^ {\ circ} - \ theta = 180 ^ {\ circ}.}

Resta 180 ° de ambos lados,

$${\ displaystyle 2 \ psi = \ theta,}

donde θ es el arco AB que subtiende el ángulo central y ψ es el arco AB que subtiende el ángulo inscrito .

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su interior [ editar ]

Caso: Centro interior a ángulo.

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V , C y D en el círculo. Dibuja las líneas VC y VD : ángulo DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea VO y extenderlo más allá punto O de manera que se cruza con el círculo en el punto E . Subtítulo DVC subtenda arco DCen el círculo.

Supongamos que este arco incluye el punto E dentro de él. Punto E es diametralmente opuesto al punto V . Los ángulos DVE y EVC también son ángulos inscritos, pero ambos ángulos tienen un lado que atraviesa el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ angle DVC = \ angle DVE + \ angle EVC.}

entonces vamos

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ angle DVC,}

$${\ displaystyle \ psi _ {1} = \ angle DVE,}

$${\ displaystyle \ psi _ {2} = \ angle EVC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ psi _ {1} + \ psi _ {2}. \ qquad \ qquad (1)}

Dibuja las líneas OC y OD . El ángulo DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos DOE y EOC , y

$${\ displaystyle \ angle DOC = \ angle DOE + \ angle EOC.}

Dejar

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ angle DOC,}

$${\ displaystyle \ theta _ {1} = \ angle DOE,}

$${\ displaystyle \ theta _ {2} = \ angle EOC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ theta _ {1} + \ theta _ {2}. \ qquad \ qquad (2)}

De la primera parte sabemos que $${\ displaystyle \ theta _ {1} = 2 \ psi _ {1}} y eso $${\ displaystyle \ theta _ {2} = 2 \ psi _ {2}}. Combinando estos resultados con los resultados de la ecuación (2).

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {1} +2 \ psi _ {2}}

por lo tanto, por la ecuación (1),

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {0}.}

Ángulos inscritos con el centro del círculo en su exterior [ editar ]

Caso: Centro exterior a ángulo

El caso anterior puede extenderse para cubrir el caso donde la medida del ángulo inscrito es la diferencia entre dos ángulos inscritos, como se discutió en la primera parte de esta prueba.

Dado un círculo cuyo centro es el punto O , elija tres puntos V , C y D en el círculo. Dibuja las líneas VC y VD : ángulo DVC es un ángulo inscrito. Ahora dibuja la línea VO y extenderlo más allá punto O de manera que se cruza con el círculo en el punto E . Subtítulo DVC subtenda arco DCen el círculo.

Supongamos que este arco no incluye el punto E dentro de él. Punto Ees diametralmente opuesto al punto V . Los ángulos EVD y EVC también son ángulos inscritos, pero ambos ángulos tienen un lado que atraviesa el centro del círculo, por lo que se les puede aplicar el teorema de la Parte 1 anterior.

Por lo tanto,

$${\ displaystyle \ angle DVC = \ angle EVC- \ angle EVD}.

entonces vamos

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ angle DVC,}

$${\ displaystyle \ psi _ {1} = \ angle EVD,}

$${\ displaystyle \ psi _ {2} = \ angle EVC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ psi _ {2} - \ psi _ {1}. \ qquad \ qquad (3)}

Dibuja las líneas OC y OD . El ángulo DOC es un ángulo central, pero también lo son los ángulos EOD y EOC , y

$${\ displaystyle \ angle DOC = \ angle EOC- \ angle EOD.}

Dejar

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ angle DOC,}

$${\ displaystyle \ theta _ {1} = \ angle EOD,}

$${\ displaystyle \ theta _ {2} = \ angle EOC,}

así que eso

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = \ theta _ {2} - \ theta _ {1}. \ qquad \ qquad (4)}

De la primera parte sabemos que $${\ displaystyle \ theta _ {1} = 2 \ psi _ {1}} y eso $${\ displaystyle \ theta _ {2} = 2 \ psi _ {2}}. Combinando estos resultados con los resultados de la ecuación (4).

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {2} -2 \ psi _ {1}}

por lo tanto, por la ecuación (3),

$${\ displaystyle \ theta _ {0} = 2 \ psi _ {0}.}

Corolario [ editar ]

Por un argumento similar, el ángulo entre un acorde y la línea tangente en uno de sus puntos de intersección es igual a la mitad del ángulo central subtendido por el acorde. Ver también Líneas tangentes a círculos .

Aplicaciones [ editar ]

El teorema de ángulo inscrito se usa en muchas pruebas de la geometría euclidiana elemental del plano . Un caso especial del teorema es el teorema de Thales , que establece que el ángulo subtendido por un diámetro es siempre 90 °, es decir, un ángulo recto. Como consecuencia del teorema, los ángulos opuestos de los cuadriláteros cíclicos suman 180 °; a la inversa, cualquier cuadrilátero para el que esto sea cierto puede inscribirse en un círculo. Como otro ejemplo, el teorema de ángulo inscrito es la base de varios teoremas relacionados con la potencia de un punto con respecto a un círculo. Además, permite probar que cuando dos acordes se intersecan en un círculo, los productos de las longitudes de sus piezas son iguales.

Teoremas de ángulos inscritos para elipses, hipérbolas y parábolas [ editar ]

Los teoremas de ángulo inscritos existen también para elipsis, hiperbolas y parábolas. Las diferencias esenciales son las medidas de un ángulo. (Un ángulo se considera como un par de líneas que se cruzan).

• Elipse
• Hipérbola
• Parábola