TEMAS DE GEOMETRÍA

GEOMETRÍA HIPERBÓLICA , CONTINUACIÓN

Historia [ editar ]

Ver también: Geometría no euclidiana § historia

Desde la publicación de los Elementos de Euclides alrededor del año 300 aC, muchos geometers hicieron intentos de probar el postulado paralelo . Algunos intentaron demostrarlo asumiendo su negación y tratando de derivar una contradicción . Entre ellos se encuentran Proclus , Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám , ^[5]Nasīr al-Dīn al-Tūsī , Witelo , Gersonides , Alfonso y más tarde Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis , Johann Heinrich Lambert y Legendre . ^[6] Sus intentos fueron condenados al fracaso (como sabemos ahora, el postulado paralelo no es demostrable de los otros postulados), pero sus esfuerzos llevaron al descubrimiento de la geometría hiperbólica.

Los teoremas de Alhacen, Khayyam y al-Tūsī sobre cuadriláteros , incluyendo el cuadrilátero Ibn al-Haytham-Lambert y el cuadrilátero Khayyam-Saccheri , fueron los primeros teoremas sobre la geometría hiperbólica. Sus trabajos sobre la geometría hiperbólica tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geometristas europeos posteriores, como Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis y Saccheri. ^[7]

En el siglo XVIII, Johann Heinrich Lambert introdujo las funciones hiperbólicas ^[8] y calculó el área de un triángulo hiperbólico . ^[9]

Desarrollos del siglo XIX [ editar ]

En el siglo XIX, la geometría hiperbólica fue explorada extensivamente por János Bolyai , Nikolai Ivanovich Lobachevsky , Carl Friedrich Gauss y Franz Taurinus . A diferencia de sus predecesores, que solo querían eliminar el postulado paralelo de los axiomas de la geometría euclidiana, estos autores se dieron cuenta de que habían descubierto una nueva geometría. ^[10] [11] Gauss escribió en una carta de 1824 a Franz Taurinus que lo había construido, pero Gauss no publicó su trabajo. Gauss lo llamó " geometría no euclidiana " ^[12]haciendo que varios autores modernos continúen considerando que "geometría no euclidiana" y "geometría hiperbólica" son sinónimos. Taurinus publicó los resultados sobre la trigonometría hiperbólica en 1826, argumentó que la geometría hiperbólica es autoconsistente, pero aún creía en el papel especial de la geometría euclidiana. El sistema completo de geometría hiperbólica fue publicado por Lobachevsky en 1829/1830, mientras que Bolyai lo descubrió independientemente y lo publicó en 1832.

En 1868, Eugenio Beltrami proporcionó modelos (ver más abajo) de geometría hiperbólica, y usó esto para probar que la geometría hiperbólica era consistente si y solo si la geometría euclidiana era.

El término "geometría hiperbólica" fue introducido por Felix Klein en 1871. ^[13] Klein siguió una iniciativa de Arthur Cayley para utilizar las transformaciones de la geometría proyectiva para producir isometrías . La idea usaba una sección cónica o cuádrica para definir una región, y usaba una relación cruzada para definir una métrica . Las transformaciones proyectivas que dejan la sección cónica o cuadrática estable son las isometrías. "Klein demostró que si el absoluto de Cayley es una curva real, entonces la parte del plano proyectivo en su interior es isométrica al plano hiperbólico ..."^[14]

Para más historia, vea el artículo sobre geometría no euclidiana , y las referencias Coxeter ^[15] y Milnor . ^[dieciséis]

Consecuencias filosóficas [ editar ]

El descubrimiento de la geometría hiperbólica tuvo importantes consecuencias filosóficas . Antes de su descubrimiento, muchos filósofos (por ejemplo, Hobbes y Spinoza ) vieron el rigor filosófico en términos del "método geométrico", refiriéndose al método de razonamiento utilizado en los Elementos de Euclides .

Kant en la Crítica de la razón pura llegó a la conclusión de que el espacio (en la geometría euclidiana ) y el tiempo no son descubiertos por los seres humanos como características objetivas del mundo, sino que forman parte de un marco sistemático ineludible para organizar nuestras experiencias. ^[17]

Se dice que Gauss no publicó nada sobre la geometría hiperbólica por temor al "alboroto de los boeotianos ", que arruinaría su condición de princeps mathematicorum (latín, "el Príncipe de los Matemáticos"). ^[18] El "alboroto de los boeotianos" vino y se fue, y dio un impulso a grandes mejoras en el rigor matemático , la filosofía analítica y la lógica . La geometría hiperbólica finalmente se demostró coherente y, por lo tanto, es otra geometría válida.

Geometría del universo (solo dimensiones espaciales) [ editar ]

Artículo principal: Filosofía del espacio y el tiempo.

Ver también: Forma del universo § Curvatura del universo.

Debido a que la geometría euclidiana, hiperbólica y elíptica son todas consistentes, surge la pregunta: ¿cuál es la geometría real del espacio, y si es hiperbólica o elíptica, cuál es su curvatura?

Lobachevsky ya había intentado medir la curvatura del universo midiendo la paralaje de Sirio y tratando a Sirio como el punto ideal de un ángulo de paralelismo . Se dio cuenta de que sus medidas no eran lo suficientemente precisas para dar una respuesta definitiva, pero llegó a la conclusión de que si la geometría del universo es hiperbólica, la longitud absoluta es al menos un millón de veces el diámetro de la órbita terrestre (2 000 000  UA, 10 parsec ). ^[19] Algunos argumentan que sus medidas fueron metodológicamente defectuosas. ^[20]

Henri Poincaré , con su experimento de pensamiento mundo-esfera , llegó a la conclusión de que la experiencia cotidiana no necesariamente descarta otras geometrías.

La conjetura de geometrización da una lista completa de ocho posibilidades para la geometría fundamental de nuestro espacio. El problema para determinar cuál aplica es que, para llegar a una respuesta definitiva, necesitamos poder observar formas extremadamente grandes, mucho más grandes que cualquier cosa en la Tierra o quizás incluso en nuestra galaxia. ^[21]

Geometría del universo (relatividad especial) [ editar ]

La relatividad especial coloca el espacio y el tiempo en igualdad de condiciones, de modo que uno considera la geometría de un espacio-tiempo unificado en lugar de considerar el espacio y el tiempo por separado. ^{[22] [23] La}geometría de Minkowski reemplaza la geometría galileana (que es el espacio euclidiano tridimensional con el tiempo de la relatividad galileana ). ^[24]

En la relatividad, en lugar de considerar las geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, las geometrías apropiadas a considerar son el espacio de Minkowski , el espacio de Sitter y el espacio anti-de Sitter , ^[25] [26]correspondientes a cero, curvatura positiva y negativa respectivamente.

El espacio de velocidades relativistas tiene una geometría hiperbólica tridimensional, donde la función de distancia se determina a partir de las velocidades relativas de los puntos (velocidades) "cercanos". ^[27]

Realizaciones físicas del plano hiperbólico [ editar ]

El plano hiperbólico es un plano donde cada punto es un punto de silla . Existen varias pseudoesferas en el espacio euclidiano que tienen un área finita de curvatura gaussiana negativa constante.

Por el teorema de Hilbert , no es posible sumergir isométricamente un plano hiperbólico completo (una superficie regular completa de curvatura gaussiana negativa constante ) en un espacio euclidiano tridimensional.

Existen otros modelos útiles de geometría hiperbólica en el espacio euclidiano, en los que no se conserva la métrica. Un modelo de papel particularmente conocido basado en la pseudosfera se debe a William Thurston .

Una colección de planos hiperbólicos de ganchillo, en imitación de un arrecife de coral, por el Institute For Figuring

Un coral con geometría similar en la Gran Barrera de Coral.

El arte del ganchillo se ha utilizado (ver Matemáticas y artes de la fibra § Tejido de punto y ganchillo ) para demostrar planos hiperbólicos con el primero hecho por Daina Taimina . ^[28]

En el 2000, Keith Henderson demostró un modelo de papel de fabricación rápida denominado " bola de fútbol hiperbólica " (más precisamente, un mosaico triangular de orden-7 truncado ). ^[29] [30]

Jeff Weeks ha puesto a disposición instrucciones sobre cómo hacer una colcha hiperbólica, diseñada por Helaman Ferguson , ^[31] . ^[32]

Modelos del plano hiperbólico [ editar ]

Hay diferentes superficies pseudoesféricas que tienen para una gran área una curvatura gaussiana negativa constante, siendo la pseudoesfera la mejor conocida de todas.

Pero es más fácil hacer geometría hiperbólica en otros modelos.

Modelo de disco de Poincaré con embaldosado triheptagonal truncado.

Líneas a través de un punto dado y paralelas a una línea dada, ilustradas en el modelo de disco de Poincaré

Hay cuatro modelos que se usan comúnmente para la geometría hiperbólica: el modelo de Klein , el modelo de disco de Poincaré , el modelo de semiplano de Poincaré y el modelo de Lorentz o hiperboloide . Estos modelos definen un plano hiperbólico que satisface los axiomas de una geometría hiperbólica. A pesar de sus nombres, los tres primeros mencionados anteriormente fueron presentados como modelos de espacio hiperbólico por Beltrami , no por Poincaré o Klein . Todos estos modelos son extensibles a más dimensiones.

El modelo de Beltrami-Klein [ editar ]

Artículo principal: modelo de Beltrami-Klein.

El modelo de Beltrami-Klein , también conocido como modelo de disco proyectivo, modelo de disco de Klein y modelo de Klein , lleva el nombre de Eugenio Beltrami y Felix Klein .

Para las dos dimensiones, este modelo utiliza el interior del círculo unitario para el plano hiperbólico completo , y los acordes de este círculo son las líneas hiperbólicas.

Para dimensiones más altas, este modelo utiliza el interior de la bola unitaria , y los acordes de esta bola n son las líneas hiperbólicas.

• Este modelo tiene la ventaja de que las líneas son rectas, pero la desventaja de que los ángulos están distorsionados (la asignación no es conforme ), y los círculos no se representan como círculos.
• La distancia en este modelo es la mitad del logaritmo de la relación cruzada , que fue introducida por Arthur Cayley en geometría proyectiva .

El Disco de Poincaré [ editar ]

Artículo principal: Modelo de disco de Poincaré.

El modelo de disco de Poincaré , también conocido como modelo de disco conforme, también emplea el interior del círculo unitario , pero las líneas están representadas por arcos de círculos que son ortogonales al círculo delimitador, más los diámetros del círculo delimitador.

• Este modelo conserva los ángulos, y por lo tanto es conforme . Todas las isometrías dentro de este modelo son, por lo tanto, transformaciones de Möbius .
• Los círculos completamente dentro del disco siguen siendo círculos aunque el centro euclidiano del círculo está más cerca del centro del disco que el centro hiperbólico del círculo.
• Los horociclos son círculos dentro del disco que son tangentes al círculo del límite, menos el punto de contacto.
• Los hiperciclos son acordes abiertos y arcos circulares dentro del disco que terminan en el círculo delimitador en ángulos no ortogonales.

El modelo de medio plano de Poincaré [ editar ]

Artículo principal: Modelo de medio plano de Poincaré.

El modelo de medio plano de Poincaré toma la mitad del plano euclidiano, delimitado por una línea B del plano, para ser un modelo del plano hiperbólico. La línea B no está incluida en el modelo.

El plano euclidiano puede tomarse como un plano con el sistema de coordenadas cartesiano y el eje x se toma como línea B y el semiplano es la mitad superior ( y > 0) de este plano.

• Líneas hiperbólicas son entonces o semicírculos ortogonales a B o rayos perpendiculares a B .
• La longitud de un intervalo en un rayo está dada por medida logarítmica, por lo que es invariante en una transformación homotética. {\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x, \ lambda y), \ quad \ lambda> 0.}
• Al igual que el modelo de disco de Poincaré, este modelo conserva los ángulos y, por lo tanto, es conforme . Todas las isometrías dentro de este modelo son, por lo tanto, transformaciones de Möbius del plano.
• El modelo de semiplano es el límite del modelo de disco de Poincaré cuyo límite es tangente a B en el mismo punto, mientras que el radio del modelo de disco llega al infinito.

El modelo hiperboloide [ editar ]

Artículo principal: modelo hiperboloide

El modelo hiperboloide o el modelo de Lorentz emplea un hiperboloide de revolución bidimensional (de dos hojas, pero utilizando una) incrustado en el espacio de Minkowski tridimensional . Este modelo generalmente se acredita a Poincaré, pero Reynolds ^[33] dice que Wilhelm Killing usó este modelo en 1885.

• Este modelo tiene aplicación directa a la relatividad especial , ya que Minkowski 3-space es un modelo para el espacio-tiempo , que suprime una dimensión espacial. Uno puede tomar el hiperboloide para representar los eventos que varios observadores en movimiento, que irradian hacia afuera en un plano espacial desde un solo punto, alcanzarán un tiempo adecuado .
• La distancia hiperbólica entre dos puntos en el hiperboloide puede identificarse con la rapidez relativa entre los dos observadores correspondientes.
• El modelo se generaliza directamente a una dimensión adicional, donde la geometría hiperbólica tridimensional se relaciona con el espacio 4 de Minkowski.

El modelo hemisferio [ editar ]

El modelo de hemisferio no se usa a menudo como modelo por sí mismo, pero funciona como una herramienta útil para visualizar transformaciones entre los otros modelos.

El modelo de hemisferio usa la mitad superior de la esfera unitaria : {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, z> 0}

El modelo del hemisferio es parte de una esfera de Riemann , y diferentes proyecciones dan diferentes modelos del plano hiperbólico:

• Proyección estereográfica desde $${\ displaystyle (0,0, -1)} en el avion $${\ displaystyle z = 0} Proyecta los puntos correspondientes en el modelo de disco de Poincaré.
• Proyección estereográfica desde $${\ displaystyle (0,0, -1)} a la superficie {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1, z> 0} Proyecta los puntos correspondientes en el modelo hiperboloide.
• Proyección estereográfica desde$${\ displaystyle (-1,0,0)} en el avion $${\ displaystyle x = 1}Proyecta los puntos correspondientes en el modelo de medio plano de Poincaré.
• Proyección ortográfica sobre un plano.$${\ displaystyle z = C}Proyecta los puntos correspondientes en el modelo de Beltrami-Klein .
• Proyección central desde el centro de la esfera hacia el plano.$${\ displaystyle z = 1}Proyecta los puntos correspondientes en el modelo Gans.

Ver más: Conexión entre los modelos (abajo).

El modelo de Gans [ editar ]

En 1966, David Gans propuso un modelo hiperboloide aplanado en la revista American Mathematical Monthly . ^[34] Es una proyección ortográfica del modelo hiperboloide en el plano xy. Este modelo no se usa tan ampliamente como otros modelos pero, sin embargo, es bastante útil en la comprensión de la geometría hiperbólica.

• A diferencia de los modelos Klein o Poincaré, este modelo utiliza todo el plano euclidiano .
• Las líneas en este modelo se representan como ramas de una hipérbola . ^[35]

El modelo de banda [ editar ]

Artículo principal: modelo de banda

El modelo de banda emplea una porción del plano euclidiano entre dos líneas paralelas. ^{[36] La} distancia se conserva a lo largo de una línea a través de la mitad de la banda. Suponiendo que la banda está dada por{\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: | \ operatorname {Im} z | <\ pi / 2 \}}, la métrica está dada por $${\ displaystyle | dz | \ sec (\ operatorname {Im} z)}.

Conexión entre los modelos [ editar ]

Los modelos de discos de Poincaré, hemisféricos e hiperboloides están relacionados por proyección estereográficade −1. El modelo de Beltrami-Klein es una proyección ortográfica desde un modelo hemisférico. Modelo de medio plano de Poincaré aquí proyectado desde el modelo hemisférico por rayos desde el extremo izquierdo del modelo de disco de Poincaré.

Todos los modelos describen esencialmente la misma estructura. La diferencia entre ellos es que representan diferentes gráficos de coordenadas establecidos en el mismo espacio métrico , es decir, el plano hiperbólico. El rasgo característico del plano hiperbólico en sí es que tiene una curvatura gaussiana negativa constante , que es indiferente a la tabla de coordenadas utilizada. Las geodésicas son igualmente invariantes: es decir, las geodésicas se asignan a las geodésicas bajo la transformación de coordenadas. La geometría hiperbólica generalmente se introduce en términos de las geodésicas y sus intersecciones en el plano hiperbólico.^[37]

Una vez que elegimos un gráfico de coordenadas (uno de los "modelos"), siempre podemos integrarlo en un espacio euclidiano de la misma dimensión, pero la incrustación claramente no es isométrica (ya que la curvatura del espacio euclidiano es 0). El espacio hiperbólico puede representarse por infinitos gráficos diferentes; pero las incrustaciones en el espacio euclidiano debido a estas cuatro tablas específicas muestran algunas características interesantes.

Como los cuatro modelos describen el mismo espacio métrico, cada uno puede transformarse en el otro.

Ver, por ejemplo:

• La relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo hiperboloide .
• la relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo de disco de Poincaré ,
• y la relación del modelo de disco de Poincaré con el modelo hiperboloide .

Isometrías del plano hiperbólico [ editar ]

Ver también: movimiento hiperbólico y geometría de transformación.

Cada isometría ( transformación o movimiento ) del plano hiperbólico a sí mismo puede realizarse como la composición de a lo sumo tres reflexiones . En espacio hiperbólico n- dimensional, hasta n pueden requerir +1 reflexiones. (Esto también es cierto para las geometrías euclidianas y esféricas, pero la clasificación a continuación es diferente).

Todas las isometrías del plano hiperbólico se pueden clasificar en estas clases:

• Orientación preservando
  • La identidad isometría - nada se mueve; cero reflexiones; cero grados de libertad .
  • inversión a través de un punto (media vuelta) : dos reflexiones a través de líneas perpendiculares entre sí que pasan por un punto dado, es decir, una rotación de 180 grados alrededor del punto; Dos grados de libertad .
  • rotación alrededor de un punto normal: dos reflexiones a través de líneas que pasan por un punto dado (incluye la inversión como un caso especial); Los puntos se mueven en círculos alrededor del centro; Tres grados de libertad.
  • "rotación" alrededor de un punto ideal (horolación) - dos reflexiones a través de líneas que conducen al punto ideal; Los puntos se mueven a lo largo de horociclos centrados en el punto ideal; Dos grados de libertad.
  • traslación a lo largo de una línea recta - dos reflexiones a través de líneas perpendiculares a la línea dada; puntos fuera de la línea dada de movimiento a lo largo de los hiperciclos; Tres grados de libertad.
• Orientación inversa
  • reflexión a través de una línea - una reflexión; Dos grados de libertad.
  • la reflexión combinada a través de una línea y la traducción a lo largo de la misma línea - el viaje de la reflexión y la traducción; tres reflexiones requeridas; Tres grados de libertad. ^{[ cita requerida ]}

Geometría hiperbólica en el arte [ editar ]

MC Escher 's Circle Limit III , 1959

Los famosos grabados de MC Escher Circle Limit III y Circle Limit IV ilustran bastante bien el modelo de disco conforme ( modelo de disco de Poincaré ). Las líneas blancas en III no son del todo geodésicas (son hiperciclos ), pero están cerca de ellas. También es posible ver claramente la curvatura negativa. del plano hiperbólico, a través de su efecto sobre la suma de los ángulos en triángulos y cuadrados.

Por ejemplo, en Circle Limit III, cada vértice pertenece a tres triángulos y tres cuadrados. En el plano euclidiano, sus ángulos sumarían 450 °; Es decir, un círculo y un cuarto. De esto podemos ver que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano hiperbólico debe ser menor que 180 °. Otra propiedad visible es el crecimiento exponencial . En Circle Limit III , por ejemplo, se puede ver que el número de peces dentro de una distancia de n desde el centro aumenta exponencialmente. Los peces tienen un área hiperbólica igual, por lo que el área de una bola de radio n debe aumentar exponencialmente en n .

El arte del ganchillo se ha utilizado para demostrar planos hiperbólicos (en la foto de arriba) con la primera obra de Daina Taimina , ^[28] cuyo libro Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes ganó el Premio de la Librería / Diagrama de 2009 por el título más extraño del año . ^[38]

HyperRogue es un juego de roguelike que se desarrolla en varias partes del plano hiperbólico .

Dimensiones superiores [ editar ]

Artículo principal: Espacio hiperbólico.

La geometría hiperbólica no se limita a 2 dimensiones; Existe una geometría hiperbólica para cada número mayor de dimensiones.

Estructura homogénea [ editar ]

El espacio hiperbólico de dimensión n es un caso especial de un espacio simétrico riemanniano de tipo no compacto, ya que es isomorfo al cociente

$${\ displaystyle \ mathrm {O} (1, n) / (\ mathrm {O} (1) \ times \ mathrm {O} (n)).}

El grupo ortogonal O (1, n ) actúa mediante transformaciones que conservan la norma en el espacio R ^{1, n de}Minkowski , y actúa de forma transitoria en el hiperboloide de dos hojas de los vectores de la norma 1. Las líneas de tiempo (es decir, aquellas con tangentes de norma positiva) a través del origen pasan a través de los puntos antípodos en el hiperboloide, por lo que el espacio de dichas líneas produce un modelo de espacio n hiperbólico . El estabilizador de cualquier línea en particular es isomorfo al producto de los grupos ortogonales O ( n ) y O (1), donde O ( n) actúa sobre el espacio tangente de un punto en el hiperboloide, y O (1) refleja la línea a través del origen. Muchos de los conceptos elementales en geometría hiperbólica pueden describirse en términos algebraicos lineales: las trayectorias geodésicas se describen mediante intersecciones con planos a través del origen, los ángulos diédricos entre los hiperplanos se pueden describir mediante productos internos de vectores normales y los grupos de reflexión hiperbólica pueden explicitarse Realizaciones matriciales.

En pequeñas dimensiones, hay isomorfismos excepcionales de los grupos de Lie que brindan formas adicionales de considerar las simetrías de los espacios hiperbólicos. Por ejemplo, en la dimensión 2, los isomorfismos SO ⁺ (1, 2) ≅ PSL (2, R ) PSU (1, 1) permiten a uno interpretar el modelo del semiplano superior como el cociente SL (2, R ) / SO (2) y el modelo de disco de Poincaré como cociente SU (1, 1) / U (1) . En ambos casos, los grupos de simetría actúan por transformaciones lineales fraccionarias, ya que ambos grupos son los estabilizadores que conservan la orientación en PGL (2, C )de los respectivos subespacios de la esfera de Riemann. La transformación de Cayley no solo lleva un modelo del plano hiperbólico al otro, sino que realiza el isomorfismo de los grupos de simetría como conjugación en un grupo más grande. En la dimensión 3, la acción lineal fraccional de PGL (2, C ) en la esfera de Riemann se identifica con la acción en el límite conformal de 3 espacios hiperbólicos inducidos por el isomorfismo O ⁺ (1, 3) PGL (2, C ). Esto permite estudiar isometrías de 3 espacios hiperbólicos considerando propiedades espectrales de matrices complejas representativas. Por ejemplo, las transformaciones parabólicas se conjugan con traducciones rígidas en el modelo del semiespacio superior, y son exactamente aquellas transformaciones que pueden representarse mediante matrices triangulares superiores unipotentes.