La geometría de los números es la parte de la teoría de los números , que utiliza la geometría para el estudio de los números algebraicos . Por lo general, un anillo de enteros algebraicos se ve como una red eny el estudio de estas celosías proporciona información fundamental sobre los números algebraicos. [1] La geometría de los números fue iniciada por Hermann Minkowski ( 1910 ).
La geometría de los números tiene una relación cercana con otros campos de las matemáticas, especialmente el análisis funcional y la aproximación diofántica , el problema de encontrar números racionales que se aproximan a una cantidad irracional .
Los resultados de Minkowski [ editar ]
Supongamos que Γ es una celosía en el espacio euclidiano n- dimensional R n y K es un cuerpo convexo centralmente simétrico. El teorema de Minkowski , a veces llamado primer teorema de Minkowski, establece que si, entonces K contiene un vector distinto de cero en Γ.
El mínimo sucesivo λ k se define como la inf de los números λ, de modo que λ K contiene k vectores linealmente independientes de Γ. El teorema de Minkowski sobre los mínimos sucesivos , a veces llamado segundo teorema de Minkowski , refuerza su primer teorema y afirma que [3]
La investigación posterior en la geometría de los números [ editar ]
En 1930-1960, la investigación sobre la geometría de los números fue realizada por muchos teóricos de los números (incluidos Louis Mordell , Harold Davenport y Carl Ludwig Siegel ). En los últimos años, Lenstra, Brion y Barvinok han desarrollado teorías combinatorias que enumeran los puntos de la red en algunos cuerpos convexos. [4]
Teorema del subespacio de WM Schmidt [ editar ]
En la geometría de los números, el teorema del subespacio fue obtenido por Wolfgang M. Schmidt en 1972. [5]Indica que si n es un entero positivo, y L 1 , ..., L n son formas lineales linealmente independientes en n variables con coeficientes algebraicos y si ε> 0 es cualquier número real dado, entonces los puntos enteros no nulos x en ncoordenadas con
Influencia en el análisis funcional [ editar ]
La geometría de los números de Minkowski tuvo una profunda influencia en el análisis funcional . Minkowski demostró que los cuerpos convexos simétricos inducen normas en espacios vectoriales de dimensión finita. El teorema de Minkowski fue generalizado a los espacios vectoriales topológicos por Kolmogorov , cuyo teorema establece que los conjuntos convexos simétricos que están cerrados y delimitados generan la topología de un espacio de Banach . [6]
Los investigadores continúan estudiando generalizaciones a conjuntos en forma de estrella y otros conjuntos no convexos .
la geometría hiperbólica (también llamado Bolyai - lobachevskiana geometría o geometría lobachevskiana ) es una geometría no euclidiana . El postulado paralelo de la geometría euclidianase sustituye por:
- Para cualquier dado línea R y el punto P no en R , en el plano que contiene tanto la línea R y el punto P que hay al menos dos líneas distintas a través de P que no se intersecan R .
- (compárese esto con el axioma de Playfair , la versión moderna de Euclides 's postulado paralelo )
La geometría del plano hiperbólico es también la geometría de las superficies de silla de montar y las superficies pseudoesféricas , superficies con una curvatura gaussiana negativa constante .
Un uso moderno de la geometría hiperbólica se encuentra en la teoría de la relatividad especial , particularmente el espacio-tiempo de Minkowski y el espacio de gyrovector .
Cuando los geometers se dieron cuenta por primera vez de que estaban trabajando con algo más que la geometría euclidiana estándar, describieron su geometría con muchos nombres diferentes; Felix Klein finalmente le dio al sujeto el nombre de geometría hiperbólica para incluirlo en la secuencia ahora poco utilizada geometría elíptica ( geometría esférica ), geometría parabólica ( geometría euclidiana ) y geometría hiperbólica. En la antigua Unión Soviética , comúnmente se le llama geometría lobachevskiana, llamada así por uno de sus descubridores, el geómetro ruso Nikolai Lobachevsky .
Esta página trata principalmente sobre la geometría hiperbólica bidimensional (plana) y las diferencias y similitudes entre la geometría euclidiana e hiperbólica.
La geometría hiperbólica se puede extender a tres y más dimensiones; vea el espacio hiperbólico para más información sobre los casos tridimensionales y superiores.
Líneas a través de un punto Pdado y asintóticas a la línea R
Propiedades [ editar ]
Relación con la geometría euclidiana [ editar ]
La geometría hiperbólica está más relacionada con la geometría euclidiana de lo que parece: la única diferencia axiomática es el postulado paralelo . Cuando el postulado paralelo se elimina de la geometría euclidiana, la geometría resultante es una geometría absoluta . Hay dos tipos de geometría absoluta, euclidiana e hiperbólica. Todos los teoremas de la geometría absoluta, incluidas las primeras 28 proposiciones del libro uno de los Elementos de Euclides , son válidos en la geometría euclidiana e hiperbólica. Las proposiciones 27 y 28 del Libro Uno de los Elementos de Euclides demuestran la existencia de líneas paralelas / no intersecantes.
Esta diferencia también tiene muchas consecuencias: los conceptos que son equivalentes en la geometría euclidiana no son equivalentes en la geometría hiperbólica; Se deben introducir nuevos conceptos. Además, debido al ángulo de paralelismo , la geometría hiperbólica tiene una escala absoluta , una relación entre la distancia y las medidas de ángulo.
Líneas [ editar ]
Las líneas simples en geometría hiperbólica tienen exactamente las mismas propiedades que las líneas rectas simples en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dos puntos definen de forma única una línea, y las líneas pueden extenderse infinitamente.
Dos líneas de intersección tienen las mismas propiedades que dos líneas de intersección en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dos líneas pueden cruzarse en no más de un punto, las líneas que se intersecan tienen ángulos opuestos iguales, y los ángulos adyacentes de las líneas que se cruzan son suplementarios .
Cuando agregamos una tercera línea, hay propiedades de las líneas que se intersecan que difieren de las líneas que se cruzan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dadas 2 líneas que se cruzan, hay infinitas líneas que no se intersectan con ninguna de las líneas dadas.
Todas estas propiedades son independientes del modelo utilizado, incluso si las líneas pueden verse radicalmente diferentes.
Líneas no intersecantes / paralelas [ editar ]
Las líneas que no se intersecan en la geometría hiperbólica también tienen propiedades que difieren de las líneas que no se intersecan en la geometría euclidiana :
- Para cualquier línea R y cualquier punto P que no se encuentran en R , en el plano que contiene la línea R y el punto P que hay al menos dos líneas distintas a través de P que no se intersecan R .
Esto implica que no son a través de P un número infinito de líneas coplanares que no se intersecan R .
Estas líneas no intersecantes se dividen en dos clases:
- Dos de las líneas ( x e y en el diagrama) son paralelos limitantes (a veces denominados críticamente paralelos, horoparalelos o simplemente paralelos): hay uno en la dirección de cada uno de los puntos ideales en los "extremos" de R , aproximándose asintóticamente a R Siempre acercándome a R , pero nunca encontrándome.
- Todas las demás líneas que no se intersecan tienen un punto de distancia mínima y divergen desde ambos lados de ese punto, y se llaman ultra paralelas , divergentes paralelas o, a veces, no se intersectan.
Algunos geometers simplemente usan líneas paralelas en lugar de limitar líneas paralelas , con líneas ultra paralelas que no se intersecan .
Estos paralelos límites forman un ángulo θ con PB ; este ángulo depende solo de la curvatura gaussiana del plano y de la distancia PB y se denomina ángulo de paralelismo .
Para líneas ultra paralelas, el teorema ultra paralelo establece que hay una línea única en el plano hiperbólico que es perpendicular a cada par de líneas ultra paralelas.
Círculos y discos [ editar ]
En geometría hiperbólica, la circunferencia de un círculo de radio r es mayor que.
Dejar , dónde Es la curvatura gaussiana del plano. En geometría hiperbólica, es negativo, por lo que la raíz cuadrada es de un número positivo.
Entonces la circunferencia de un círculo de radio r es igual a:
Y el área del disco cerrado es:
Por lo tanto, en geometría hiperbólica, la relación de la circunferencia de un círculo a su radio es siempre estrictamente mayor que , aunque se puede hacer arbitrariamente cerca seleccionando un círculo lo suficientemente pequeño.
Si la curvatura gaussiana del plano es -1, entonces la curvatura geodésica de un círculo de radio r es:[1]
Hyperciclos y horociclo [ editar ]
En la geometría hiperbólica, no hay una línea que permanezca equidistante de otra. En cambio, los puntos que tienen la misma distancia ortogonal desde una línea dada se encuentran en una curva llamada hiperciclo .
Otra curva especial es el horociclo , una curva cuyos radios normales ( líneas perpendiculares ) son todos paralelos entre sí (todos convergen asintóticamente en una dirección hacia el mismo punto ideal , el centro del horociclo).
A través de cada par de puntos hay dos horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la bisectriz perpendicular de la línea-segmento entre ellos.
Dados tres puntos distintos, todos se encuentran en una línea, un hiperciclo, un horociclo o un círculo.
La longitud del segmento de línea es la longitud más corta entre dos puntos. La longitud del arco de un hiperciclo que conecta dos puntos es más larga que la del segmento de línea y más corta que la de un horociclo, conectando los mismos dos puntos. La longitud del arco de ambos horociclos que conectan dos puntos son iguales. La longitud de arco de un círculo entre dos puntos es mayor que la longitud de arco de un horociclo que conecta dos puntos.
Si la curvatura gaussiana del plano es -1, entonces la curvatura geodésica de un horociclo es 1 y la de un hiperciclo está entre 0 y 1 . [1]
Triángulos [ editar ]
A diferencia de los triángulos euclidianos, donde los ángulos siempre suman π radianes (180 °, un ángulo recto ), en geometría hiperbólica la suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico es estrictamente menor que π radians (180 °, un ángulo recto ). La diferencia se conoce como el defecto .
El área de un triángulo hiperbólico está dada por su defecto en radianes multiplicado por R 2 . Como consecuencia, todos los triángulos hiperbólicos tienen un área menor o igual a R 2 π. El área de un triángulo idealhiperbólico en el que los tres ángulos son 0 ° es igual a este máximo.
Como en la geometría euclidiana , cada triángulo hiperbólico tiene un incírculo . En geometría hiperbólica, si los tres vértices se encuentran en un horociclo o hiperciclo , el triángulo no tiene un círculo circunscrito .
Como en la geometría esférica y elíptica , en la geometría hiperbólica si dos triángulos son similares, deben ser congruentes.
Simio regular [ editar ]
Un polígono especial en geometría hiperbólica es el apeirogón regular , un polígono uniforme con un número infinito de lados.
En la geometría euclidiana , la única forma de construir un polígono de este tipo es hacer que las longitudes de los lados tiendan a cero y el apeirogon es indistinguible de un círculo, o hacer que los ángulos interiores tiendan a 180 grados y el apeirogon se aproxima a una línea recta.
Sin embargo, en geometría hiperbólica, un apeirogón regular tiene lados de cualquier longitud (es decir, sigue siendo un polígono).
Las bisectrices laterales y de ángulo , según la longitud del lado y el ángulo entre los lados, serán paralelas limitantes o divergentes (vea las líneas de arriba ). Si las bisectrices están limitadas en paralelo, el apeirogón puede ser inscrito y circunscrito por horociclos concéntricos .
Si las bisectrices son divergentes paralelas, el apeirogon (a veces llamado pseudogon) puede inscribirse y circunscribirse por hiperciclos (todos los vértices están a la misma distancia de una línea, el eje. Además, el punto medio de los segmentos laterales son todos equidistantes al mismo eje. )
Teselaciones [ editar ]
Al igual que el plano euclidiano, también es posible formar un mosaico del plano hiperbólico con polígonos regulares como caras .
Hay un número infinito de inclinaciones uniformes basadas en los triángulos de Schwarz (pqr) donde 1 / p + 1 / q + 1 / r <1 a="" cada="" de="" del="" donde="" en="" font="" n="" nbsp="" p="" puntos="" q="" r="" rdenes="" reflexi="" simetr="" son="" tres="" uno="">dominio fundamental triángulo , el grupo de simetría es un grupo de triángulohiperbólico . También hay infinidad de inclinaciones uniformes que no se pueden generar a partir de triángulos de Schwarz, algunos por ejemplo que requieren cuadriláteros como dominios fundamentales. [2]
Estandarizada curvatura gaussiana [ editar ]
Aunque la geometría hiperbólica se aplica a cualquier superficie con una curvatura gaussiana negativa constante , es habitual asumir una escala en la que la curvatura K es −1.
Esto hace que algunas fórmulas se vuelvan más simples. Algunos ejemplos son:
- El área de un triángulo es igual a su defecto de ángulo en radianes .
- El área de un sector horocíclico es igual a la longitud de su arco horocíclico.
- Un arco de un horociclo de modo que una línea que es tangente en un punto final se limita paralela al radio a través del otro punto extremo tiene una longitud de 1. [3]
- La relación de las longitudes de arco entre dos radios de dos horociclos concéntricos donde los horociclosestán a una distancia de 1 distancia es e : 1. [3]
Cartesiana-como sistemas de coordenadas [ editar ]
En la geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de un cuadrilátero es siempre menor a 360 grados, y los rectángulos hiperbólicos difieren mucho de los rectángulos euclidianos, ya que no hay líneas equidistantes, por lo que un rectángulo euclidiano adecuado debería estar encerrado por dos líneas y dos hiperciclos. Todo esto complica los sistemas de coordenadas.
Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en la elección de un punto (el origen) en una línea dirigida elegida (el eje x ) y, después de eso, existen muchas opciones.
Las coordenadas x y y de Lobachevski se encuentran al colocar una perpendicular sobre el eje x . x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positivo en un lado y negativo en el otro).
Otro sistema de coordenadas mide la distancia desde el punto hasta el horociclo hasta el origen centrado alrededory la longitud a lo largo de este horociclo. [4]
Otros sistemas de coordenadas utilizan el modelo de Klein o el modelo de disco de Poincare que se describe a continuación, y toman las coordenadas euclidianas como hiperbólicas.
Distancia [ editar ]
Construya un sistema de coordenadas tipo cartesiano como sigue. Elija una línea (el eje x ) en el plano hiperbólico (con una curvatura estandarizada de −1) y etiquete los puntos en ella por su distancia desde un punto de origen ( x = 0) en el eje x (positivo en un lado y negativo en el otro). Para cualquier punto en el plano, se puede definir las coordenadas x y y dejando caer una perpendicular a la x eje y. x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positivo en un lado y negativo en el otro). Entonces la distancia entre dos de tales puntos será [cita requerida ]
El tensor métrico correspondiente es: .
En este sistema de coordenadas, las líneas rectas son perpendiculares al eje x (con la ecuación x = una constante) o se describen mediante ecuaciones de la forma
donde A y B son parámetros reales que caracterizan la línea recta.
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