geometría de incidencia es el estudio de las estructuras de incidencia . Una estructura geométrica como el plano euclidiano es un objeto complicado que involucra conceptos tales como longitud, ángulos, continuidad, separación e incidencia . Una estructura de incidenciaes lo que se obtiene cuando todos los demás conceptos se eliminan y todo lo que queda son los datos sobre qué puntos se encuentran en qué líneas. Incluso con esta severa limitación, los teoremas pueden ser probados y surgen datos interesantes con respecto a esta estructura. Estos resultados fundamentales siguen siendo válidos cuando se agregan conceptos adicionales para formar una geometría más rica. A veces sucede que los autores borran la distinción entre un estudio y los objetos de ese estudio, por lo que no es sorprendente encontrar que algunos autores se refieren a las estructuras de incidencia como geometrías de incidencia. [1]
Las estructuras de incidencia surgen naturalmente y se han estudiado en diversas áreas de las matemáticas. En consecuencia, hay diferentes terminologías para describir estos objetos. En teoría de gráficos se les llama hipergrafías , y en teoría de diseño combinatorio se llaman diseños de bloques. Además de la diferencia en la terminología, cada área aborda el tema de manera diferente y está interesada en preguntas sobre estos objetos relevantes para esa disciplina. El uso del lenguaje geométrico, como se hace en la geometría de incidencia, da forma a los temas y ejemplos que normalmente se presentan. Sin embargo, es posible traducir los resultados de una disciplina a la terminología de otra, pero esto a menudo conduce a afirmaciones incómodas y complicadas que no parecen ser productos naturales de los temas. En los ejemplos seleccionados para este artículo utilizamos solo aquellos con un sabor geométrico natural.
Un caso especial que ha generado mucho interés se relaciona con conjuntos finitos de puntos en el plano euclidiano y lo que se puede decir sobre el número y los tipos de líneas (rectas) que determinan. Algunos resultados de esta situación pueden extenderse a configuraciones más generales ya que solo se consideran las propiedades de incidencia.
Estructuras de incidencia [ editar ]
Una estructura de incidencia ( P , L , I) consiste en un conjunto P cuyos elementos se denominan puntos , un conjunto desunido L cuyos elementos se denominan líneas y una relación de incidencia I entre ellos, es decir, un subconjunto de P × L cuyos elementos son llamadas banderas . [2] Si ( A , l ) es una bandera, decimos que A es incidente con l o que l es incidente con A(la relación es simétrica), y escribe A I l . Intuitivamente, un punto y una línea están en esta relación si y solo si el punto está en la línea. Dado un punto B y una línea m que no forman una bandera, es decir, el punto no está en la línea, el par ( B , m ) se llama anti-bandera .
Distancia en una estructura de incidencia [ editar ]
No existe un concepto natural de distancia (una métrica ) en una estructura de incidencia. Sin embargo, existe una métrica combinatoria en el gráfico de incidencia correspondiente (gráfico Levi) , es decir, la longitud del camino más corto entre dos vértices en este gráfico bipartito . La distancia entre dos objetos de una estructura de incidencia (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) se puede definir como la distancia entre los vértices correspondientes en el gráfico de incidencia de la estructura de incidencia.
Otra forma de definir una distancia de nuevo utiliza una noción teórico-gráfica en una estructura relacionada, esta vez la gráfica de colinealidad de la estructura de incidencia. Los vértices del gráfico de colinealidad son los puntos de la estructura de incidencia y dos puntos se unen si existe una línea incidente con ambos puntos. La distancia entre dos puntos de la estructura de incidencia se puede definir como su distancia en el gráfico de colinealidad.
Cuando se considera la distancia en una estructura de incidencia, es necesario mencionar cómo se está definiendo.
Espacios lineales parciales [ editar ]
Las estructuras de incidencia más estudiadas son aquellas que satisfacen algunas propiedades adicionales (axiomas), como planos proyectivos , planos afines , polígonos generalizados , geometrías parciales y polígonos cercanos . Se pueden obtener estructuras de incidencia muy generales imponiendo condiciones "leves", tales como:
Un espacio lineal parcial es una estructura de incidencia para la cual los siguientes axiomas son verdaderos: [3]
- Cada par de puntos distintos determina como máximo una línea.
- Cada línea contiene al menos dos puntos distintos.
En un espacio lineal parcial, también es cierto que cada par de líneas distintas se encuentran en un punto como máximo. Esta afirmación no debe asumirse ya que se demuestra fácilmente a partir del axioma anterior.
Otras condiciones son proporcionadas por las condiciones de regularidad:
RLk : Cada línea es incidente con el mismo número de puntos. Si finito este número se denota a menudo por k .
RPr : Cada punto es incidente con el mismo número de líneas. Si es finito, este número a menudo se denota por r .
El segundo axioma de un espacio lineal parcial implica que k > 1 . Ninguna condición de regularidad implica la otra, por lo que debe suponerse que r > 1 .
Un espacio lineal parcial finito que satisface ambas condiciones de regularidad con k , r > 1 se denomina configuración táctica . [4] Algunos autores se refieren a estos simplemente como configuraciones , [5] o configuraciones proyectivas . [6] Si una configuración táctica tiene n puntos y m líneas, entonces, al contar dos veces las banderas, se establece la relación nr = mk . Una notación común se refiere a ( n r , m k ) - configuraciones. En el caso especial donde n = m (y, por tanto, r = k ), la notación ( n k , n k ) a menudo se escribe simplemente como ( n k ) .
- Cada par de puntos distintos determina exactamente una línea.
Algunos autores agregan un axioma de "no degeneración" (o "no trivialidad") a la definición de un espacio lineal (parcial), como:
- Existen al menos dos líneas distintas. [8]
Esto se usa para descartar algunos ejemplos muy pequeños (principalmente cuando los conjuntos P o L tienen menos de dos elementos) que normalmente serían excepciones a las afirmaciones generales sobre las estructuras de incidencia. Una alternativa para agregar el axioma es referirse a las estructuras de incidencia que no satisfacen al axioma como trivial y las que lo hacen como no trivial .
Cada espacio lineal no trivial contiene al menos tres puntos y tres líneas, por lo que el espacio lineal no trivial más simple que puede existir es un triángulo.
Ejemplos geométricos fundamentales [ editar ]
Algunos de los conceptos básicos y la terminología surgen de ejemplos geométricos, en particular planos proyectivos y planos afines .
Planos proyectivos [ editar ]
Un plano proyectivo es un espacio lineal en el que:
- Cada par de líneas distintas se encuentran exactamente en un punto,
y que satisface la condición de no degeneración:
- Existen cuatro puntos, no tres de los cuales son colineales .
Hay una bijección entre P y L en un plano proyectivo. Si P es un conjunto finito, el plano proyectivo se denomina plano proyectivo finito . El orden de un plano proyectivo finito es n = k - 1 , es decir, uno menos que el número de puntos en una línea. Todos los planos proyectivos conocidos tienen órdenes que son poderes primarios . Un plano proyectivo de orden n es una configuración (( n 2 + n + 1) n + 1 ) .
El plano proyectivo más pequeño tiene orden dos y se conoce como el plano Fano .
Plano de fano [ editar ]
Esta famosa geometría de incidencia fue desarrollada por el matemático italiano Gino Fano . En su trabajo [9] en demostrar la independencia del conjunto de axiomas para proyectiva n -Espacio que desarrolló, [10]produjo un espacio tridimensional finito con 15 puntos, 35 líneas y 15 aviones, en el que cada línea tenía sólo tres puntos en él. [11] Los planos en este espacio constaban de siete puntos y siete líneas y ahora se conocen como planos de Fano .
El plano Fano no puede representarse en el plano euclidiano utilizando solo puntos y segmentos de línea recta (es decir, no es realizable). Esto es una consecuencia del teorema de Sylvester-Gallai , según el cual cada geometría de incidencia realizable debe incluir una línea ordinaria , una línea que contiene solo dos puntos. El plano Fano no tiene esa línea (es decir, es una configuración de Sylvester-Gallai ), por lo que no es realizable. [12]
Un cuadrángulo completo consta de cuatro puntos, tres de los cuales son colineales. En el plano de Fano, los tres puntos que no están en un cuadrángulo completo son los puntos diagonales de ese cuadrángulo y son colineales. Esto contradice el axioma de Fano , que a menudo se usa como un axioma para el plano euclidiano, que establece que los tres puntos diagonales de un cuadrángulo completo nunca son colineales.
Planos afines [ editar ]
Un plano afín es un espacio lineal que satisface:
- Para cualquier punto A y la línea l no incidente con él (un anti-flag ) hay exactamente una línea m incidente con A (es decir, A I m ), que no cumple l (conocido como el axioma de Playfair ),
y satisfaciendo la condición de no degeneración:
- Existe un triángulo, es decir, tres puntos no colineales.
Las líneas l y m en la declaración del axioma de Playfair se dice que son paralelas . Cada plano afín puede extenderse de manera única a un plano proyectivo. El orden de un plano afín finito es k , el número de puntos en una línea. Un plano afín de orden n es una configuración (( n 2 ) n + 1 , ( n 2 + n ) n ) .
Configuración de Hesse [ editar ]
El plano afín de orden tres es una configuración (9 4 , 12 3 ) . Cuando está incrustado en algún espacio ambiente se llama la configuración de Hesse . No es realizable en el plano euclidiano, pero es realizable en el plano proyectivo complejo como los nueve puntos de inflexión de una curva elíptica con las 12 líneas que inciden con los triples de estos.
Las 12 líneas se pueden dividir en cuatro clases de tres líneas cada una, donde, en cada clase, las líneas se separan mutuamente. Estas clases se llaman clases paralelas de líneas. Al agregar cuatro puntos nuevos, cada uno se agrega a todas las líneas de una sola clase paralela (de modo que todas estas líneas ahora se intersecan), y una nueva línea que contiene solo estos cuatro nuevos puntos produce el plano proyectivo de orden tres, a (13 4 ) configuración. Por el contrario, comenzando con el plano proyectivo de orden tres (es único) y eliminando cualquier línea única y todos los puntos en esa línea produce este plano afín de orden tres (también es único).
Al eliminar un punto y las cuatro líneas que pasan a través de ese punto (pero no los otros puntos sobre ellos) se produce la configuración (8 3 ) de Möbius-Kantor .
Geometrías parciales [ editar ]
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Dado un entero α ≥ 1 , una configuración táctica que satisface:
- Para cada anti-bandera ( B , m ) hay banderas α ( A , l ) tales que B I l y A I m ,
Se llama una geometría parcial . Si hay s + 1 puntos en una línea y t + 1líneas a través de un punto, la notación para una geometría parcial es pg ( s , t , α ) .
Polígonos generalizados [ editar ]
Para n > 2 , [13] un n -gon generalizado es un espacio lineal parcial cuyo gráfico de incidencia Γ tiene la propiedad:
- La circunferencia de Γ (longitud del ciclo más corto ) es el doble del diámetro de Γ (la distancia más grande entre dos vértices, n en este caso).
Un 2-gon generalizado es una estructura de incidencia, que no es un espacio lineal parcial, que consta de al menos dos puntos y dos líneas con cada punto incidiendo con cada línea. El gráfico de incidencia de un 2-gon generalizado es un gráfico bipartito completo.
Un n -gon generalizado no contiene m -gon ordinario para 2 ≤ m < ny para cada par de objetos (dos puntos, dos líneas o un punto y una línea) hay un n -gon ordinario que los contiene a ambos.
Los 3-gons generalizados son planos proyectivos. Los 4-gons generalizados se llaman cuadránulos generalizados . Según el teorema de Feit-Higman, las únicas n- gons generalizadas finitas con al menos tres puntos por línea y tres líneas por punto tienen n = 2, 3, 4, 6 u 8.
Cerca de polígonos [ editar ]
Para un número entero no negativo d una cerca de 2 d -gon es una estructura de incidencia tal que:
- La distancia máxima (medida en el gráfico de colinealidad) entre dos puntos es d , y
- Por cada punto X y la línea l hay un punto único en l que está más cerca X .
A cerca de 0-gon es un punto, mientras que cerca de 2-gon es una línea. El gráfico de colinealidad de un casi 2-gon es un gráfico completo . Un casi 4-gon es un cuadrángulo generalizado (posiblemente degenerado). Cada polígono generalizado finito, excepto los planos proyectivos, es un polígono cercano. Cualquier gráfico bipartito conectado es un polígono cercano y cualquier polígono cercano con exactamente dos puntos por línea es un gráfico bipartito conectado. Además, todos los espacios polares duales están cerca de polígonos.
Muchos polígonos cercanos están relacionados con grupos finitos simples como los grupos de Mathieu y el grupo Janko J2 . Por otra parte, las generalizadas 2 d -gons, que están relacionados con grupos de tipo Lie , son casos especiales de cerca de 2 d -gons.
Aviones de Möbius [ editar ]
Un plano abstracto de Mōbius (o plano inverso) es una estructura de incidencia en la que, para evitar posibles confusiones con la terminología del caso clásico, las líneas se denominan ciclos o bloques .
Específicamente, un plano de Möbius es una estructura de incidencia de puntos y ciclos tal que:
- Cada triple de puntos distintos incide precisamente en un ciclo.
- Para cualquier bandera ( P , z ) y cualquier punto Q que no incida con z, hay un ciclo único z ∗ con P I z ∗ , Q I z ∗ y z ∩ z ∗ = { P }. (Se dice que los ciclos se tocan en P ).
- Cada ciclo tiene al menos tres puntos y existe al menos un ciclo.
La estructura de incidencia obtenida en cualquier punto P de un plano de Möbius tomando como puntos todos los puntos distintos de P y como líneas solo los ciclos que contienen P (con P eliminado) es un plano afín. Esta estructura se denomina residual en P en teoría del diseño.
Un plano finito de Möbius de orden m es una configuración táctica con k = m + 1 puntos por ciclo que es un diseño 3 , específicamente un diseño de bloque 3- ( m 2 + 1, m + 1, 1) .
Teoremas de incidencia en el plano euclidiano [ editar ]
El teorema de Sylvester-Gallai [ editar ]
Una pregunta formulada por JJ Sylvester en 1893 y finalmente resuelta por Tibor Gallai se refería a incidencias de un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano.
Teorema (Sylvester-Gallai) : un conjunto finito de puntos en el plano euclidiano es colineal o existe una línea incidente con exactamente dos de los puntos.
Una línea que contiene exactamente dos de los puntos se llama una línea ordinaria en este contexto. Sylvester probablemente fue conducido a la pregunta mientras reflexionaba sobre la capacidad de integración de la configuración de Hesse.
El teorema de Bruijn-Erdős [ editar ]
Un resultado relacionado es el teorema de Bruijn-Erdős . Nicolaas Govert de Bruijn y Paul Erdős demostraron el resultado en el contexto más general de los planos proyectivos, pero aún se mantiene en el plano euclidiano. El teorema es: [14]
-
- En un plano proyectivo , cada conjunto no colineal de n puntos determina al menos n líneas distintas.
Como los autores señalaron, dado que su prueba era combinatoria, el resultado se mantiene en un entorno más amplio, de hecho, en cualquier geometría de incidencia en la que haya una línea única a través de cada par de puntos distintos. También mencionan que la versión del plano euclidiano puede probarse a partir del teorema de Sylvester-Gallai utilizando la inducción .
El teorema de Szemerédi-Trotter [ editar ]
Un límite en el número de banderas determinado por un conjunto finito de puntos y las líneas que determinan viene dado por:
Teorema (Szemerédi – Trotter) : dados n puntos y m líneas en el plano, el número de banderas (pares de punto-línea incidentes) es:
y este límite no se puede mejorar, excepto en términos de las constantes implícitas.
Este resultado se puede utilizar para probar el teorema de Beck.
Teorema de Beck [ editar ]
El teorema de Beck dice que las colecciones finitas de puntos en el plano caen en uno de dos extremos; una donde una gran fracción de puntos se encuentra en una sola línea, y otra donde se necesita una gran cantidad de líneas para conectar todos los puntos.
El teorema afirma la existencia de las constantes positivas C , K , de modo que, dadas n puntos en el plano, al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
- Hay una línea que contiene al menos nC de los puntos.
- Existen al menos n 2K líneas, cada una de las cuales contiene al menos dos de los puntos.
En el argumento original de Beck, C es 100 y K es una constante no especificada; no se sabe lo que los valores óptimos de C y K son.
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