TEMAS DE GEOMETRÍA

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Ocho colores ilustran la línea proyectiva sobre el campo GF de Galois (7)

En matemáticas , la línea proyectiva sobre un anillo es una extensión del concepto de línea proyectiva sobre un campo . Dado un anillo A con 1, la línea proyectiva P ( A ) sobre A consiste en puntos identificados por coordenadas homogéneas . Sea U el grupo de unidades de A ; los pares ( a, b ) y ( c , d ) de A × A están relacionados cuando hay una u en U de tal manera queua = c y ub = d . Esta relación es una relación de equivalencia . Una clase de equivalencia típica se escribe U ( a , b ).

P ( A ) = { U ( un , b ): aA + bA = A }, es decir, T ( un , b ) está en la línea proyectiva si el ideales generada por una y b es todo de A .

La línea proyectiva P ( A ) está equipada con un grupo de homografías . Las homografías se expresan mediante el uso del anillo de matriz sobre A y su grupo de unidades V de la siguiente manera: Si c está en Z ( U ), el centrode U , entonces la acción de grupo de la matriz{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} c & 0 \\ 0 & c \ end {pmatrix}}}en P ( A ) es lo mismo que la acción de la matriz de identidad. Tales matrices representan un subgrupo normal N de V . Los homografías de P ( A ) corresponden a los elementos del grupo del cociente V / N .

P ( A ) se considera una extensión del anillo A, ya que contiene una copia de A debido a la incrustaciónE  : a → U ( a , 1) . El mapeo inverso multiplicativo u → 1 / u , normalmente restringido al grupo de unidades U de A , se expresa mediante una homografía en P ( A ):

{\ displaystyle U (a, 1) {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} = U (1, a) \ thicksim U (a ^ {- 1}, 1).}

Además, para u , v ∈ U , el mapeo de un → uav se puede extender a una homografía:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} v & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} } {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} u & 0 \\ 0 & v \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle U (a, 1) {\ begin {pmatrix} v & 0 \\ 0 & u \ end {pmatrix}} = U (av, u) \ thicksim U (u ^ {- 1} av, 1).}

Ya que u es arbitrario, puede ser sustituido por u ⁻¹ . Las homografías en P ( A ) se llaman transformaciones lineales-fraccionarias ya que

{\ displaystyle U (z, 1) {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} = U (za + b, zc + d) \ thicksim U ((zc + d) ^ {- 1} (za + b), 1).}

Instancias [ editar ]

Seis colores ilustran la línea proyectiva sobre el campo Galois GF (5)

Los anillos finitos tienen líneas proyectivas finitas. La línea proyectiva sobre GF (2) tiene tres elementos: U (0,1), U (1,0) y U (1,1). Su grupo de homografía es el grupo de permutación de estos tres. ^[1] : 29

El anillo Z / 3 Z , o GF (3), tiene los elementos 1, 0 y −1; su línea proyectiva tiene los cuatro elementos U (1,0), U (1,1), U (0,1), U (1, −1), ya que tanto 1 como −1 son unidades . El grupo de homografía en esta línea proyectiva tiene 12 elementos, también descritos con matrices o como permutaciones. ^[1] : 31 Para un campo finito GF ( q ), la línea proyectiva es la geometría Galois PG (1, q ). JWP Hirschfeld ha descrito las tétradas armónicas en las líneas proyectivas para q= 4, 5, 7, 8, 9. ^[2]

Considere P (ℤ / nℤ) cuando n es un número compuesto . Si p y q son primos distintos que dividen n , entonces < p > y < q > son ideales máximosen ℤ / nZ y, según la identidad de Bézout, hay a y b en Z, de manera que$${\ displaystyle ap + bq = 1,}de modo que U ( p, q ) está en P (ℤ / nℤ) pero no es una imagen de un elemento debajo de la incrustación canónica. La totalidad de P (ℤ / nZ) se rellena con elementos$${\ displaystyle U (arriba, vq), \ quad u \ neq v, \ quad u, v \ en U =}las unidades de ℤ / nℤ. Por ejemplo, cuando n = 6 hay U (2,3); cuando n = 10 hay U (2,5). En ℤ / 12ℤ, U = {1, 5, 7, 11} proporcionando más puntos extra que en ℤ / 6ℤ. Los puntos extra pueden asociarse con ℚ ⊂ ⊂ ⊂ ℂ, los racionales en el plano medio superior extendido del complejo . El grupo de homografías en P (ℤ / nℤ) se llama un subgrupo modular . ^[3] [4]

Tablas que muestran las líneas proyectivas sobre anillos. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} para $${\ displaystyle n = 6,10,12}. Los pares ordenados marcados con la misma letra pertenecen al mismo punto.

Linea proyectiva sobre el anillo. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 6 \ mathbb {Z}} 5 segundo sol F mi re do 4 J K H 3 yo L L yo 2 H K J 1 segundo do re mi F sol 0 UNA UNA 0 1 2 3 4 5

Linea proyectiva sobre el anillo. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 10 \ mathbb {Z}} 9 segundo K J yo H sol F mi re do 8 PAG O Q METRO L 7 segundo mi H K re sol J do F yo 6 O L Q PAG METRO 5 norte R norte R R norte R norte 4 METRO PAG Q L O 3 segundo yo F do J sol re K H mi 2 L METRO Q O PAG 1 segundo do re mi F sol H yo J K 0 UNA UNA UNA UNA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Linea proyectiva sobre el anillo. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 12 \ mathbb {Z}} 11 segundo METRO L K J yo H sol F mi re do 10 T U norte T U norte 9 S V W S O W V O 8 R X PAG R X PAG 7 segundo yo re K F METRO H do J mi L sol 6 Q Q Q Q 5 segundo sol L mi J do H METRO F K re yo 4 PAG X R PAG X R 3 O V W O S W V S 2 norte U T norte U T 1 segundo do re mi F sol H yo J K L METRO 0 UNA UNA UNA UNA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

La línea proyectiva sobre un anillo de división da como resultado un solo punto auxiliar ∞ = U (1,0) . Los ejemplos incluyen la línea proyectiva real , la línea proyectiva compleja y la línea proyectiva sobre los cuaterniones . Estos ejemplos de anillos topológicos tienen la línea proyectiva como sus compactaciones de un punto . El caso del campo de número complejo ℂ tiene al grupo de Möbius como grupo de homografía. Para los números racionales.ℚ, la homogeneidad de las coordenadas significa que cada elemento de P (ℚ) puede estar representado por un elemento de P (ℤ). De manera similar, una homografía de P (ℚ) corresponde a un elemento del grupo modular , los automorfismos de P (ℤ).

La línea proyectiva sobre los números duales fue descrita por Josef Grünwald en 1906. ^[5] Este anillo incluye un nilpotente nulo n que satisface nn = 0 . El plano { z = x + yn  : x , y ∈ R } de los números de doble tiene una línea proyectiva incluyendo una línea de puntos de U (1, Xn ), x ∈ R . ^[6] Isaak Yaglom lo ha descrito como un "plano galileo inverso" que tiene la topología de unCilindro cuando se incluye la línea suplementaria. ^{[7] : 149-53} mismo modo, si A es un anillo local , entonces P ( A ) está formada por puntos adyacentes que corresponden a los elementos de la ideal maximal de A .

La línea proyectiva sobre el anillo M de los números de complejo dividido introduce las líneas auxiliares { U (1, x (1 + j )): x ∈ R } y { U (1, x (1 - j )): x ∈ R } . Usando la proyección estereográfica, el plano de los números de complejo dividido se cierra con estas líneas a un hiperboloide de una hoja. ^{[7] : 174–200 [8]} La línea proyectiva sobre MPuede denominarse plano de Minkowski cuando se caracteriza por el comportamiento de las hipérbolas en el mapeo homográfico.

Cadenas [ editar ]

La línea real en el plano complejo se permuta con círculos y otras líneas reales bajo las transformaciones de Möbius , que en realidad permutan la incrustación canónica de la línea proyectiva real en la línea proyectiva compleja . Supongamos que A es un álgebra sobre un campo F , generalizando el caso donde F es el campo de número real y A es el campo de números complejos . La inserción canónica de P ( F ) en P ( A ) es

$${\ displaystyle U_ {F} (x, 1) \ mapsto U_ {A} (x, 1), \ quad U_ {F} (1,0) \ mapsto U_ {A} (1,0).}

Una cadena es la imagen de P ( F ) bajo una homografía en P ( A ). Cuatro puntos se encuentran en una cadena si y sólo si su razón doble está en F . Karl von Staudt explotó esta propiedad en su teoría de "golpes reales" [reeler Zug]. ^[9]

Punto de paralelismo [ editar ]

Dos puntos de P ( A ) son paralelos si no hay una cadena que los conecte. Se ha adoptado la convención de que los puntos son paralelos a ellos mismos. Esta relación es invariante bajo la acción de una homografía en la línea proyectiva. Dados tres puntos no paralelos por pares, existe una cadena única que conecta los tres. ^[10]

Módulos [ editar ]

La línea proyectiva P ( A ) sobre un anillo A también se puede identificar como el espacio de los módulos proyectivos en el módulo $${\ displaystyle A \ oplus A}. Un elemento de P ( A ) es entonces un sumando directo de$${\ displaystyle A \ oplus A}. Este enfoque más abstracto sigue la visión de la geometría proyectiva como la geometría de los subespacios de un espacio vectorial , a veces asociada con la teoría de celosía de Garrett Birkhoff ^[11] o el libro Álgebra lineal y Geometría proyectiva de Reinhold Baer . En el caso del anillo de enteros racionales Z , la definición del sumando de módulo de P ( Z ) limita la atención a la U ( m , n ), m coprime a n, y elimina las incrustaciones que son una característica principal de P ( A ) cuando A es topológica. El artículo de 1981 de W. Benz, Hans-Joachim Samaga y Helmut Scheaffer menciona la definición del sumando directo.

En un artículo "Representaciones proyectivas: líneas proyectivas sobre anillos" ^[3], el grupo de unidades de un anillo de matriz M ₂ ( R ) y los conceptos de módulo y bimódulo se utilizan para definir una línea proyectiva sobre un anillo. El grupo de unidades se denota por GL (2, R ), adoptando la notación del grupo lineal general , donde R se toma generalmente como un campo.

La línea proyectiva es el conjunto de órbitas bajo GL (2, R ) de la libre cíclico submódulo R (1,0) de R × R . Al extender la teoría conmutativa de Benz, la existencia de una inversa multiplicativa derecha o izquierda de un elemento de anillo está relacionada con P ( R ) y GL (2, R ). La propiedad finita de Dedekind se caracteriza. Lo más significativo es que la representación de P ( R ) en un espacio proyectivo sobre un anillo de división K se logra con un ( K , R ) -bimódulo U que es una K izquierda.-vector espacio y un R- modulo derecho . Los puntos de P ( R ) son subespacios de P ( K , U × U ) isomorfos a sus complementos.

Relación cruzada [ editar ]

Una homografía h que lleva tres elementos de anillo particulares a , b , c a los puntos de la línea proyectiva U(0,1), U (1,1), U (1,0) se denomina homografía de relación cruzada . A veces ^[12] [13] la relación cruzada se toma como el valor de h en un cuarto punto x  : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .

Construir h a partir de a , b , c homografías del generador.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix}}}

se utilizan, con atención a los puntos fijos : +1 y −1 se fijan por inversión, U (1,0) se fija por traducción, y la "rotación" con u deja U (0,1) y U (1,0 ) arreglado Las instrucciones son colocar c primero, luego llevar a a U (0,1) con la traducción y, finalmente, usar la rotación para mover b a U (1,1).

Lemma: Si A es un anillo conmutativo y b - a , c - b , c - a son todas las unidades, entonces

$${\ displaystyle {\ frac {1} {bc}} + {\ frac {1} {ca}}} es una unidad

prueba: evidentemente $${\ displaystyle {\ frac {ba} {(bc) (ca)}} = {\ frac {(bc) + (ca)} {(bc) (ca)}}} Es una unidad, según sea necesario.

Teorema: si $${\ displaystyle (bc) ^ {- 1} + (ca) ^ {- 1}}es una unidad, entonces hay una homografía h en G ( A ) tal que

h ( a ) = U (0,1), h ( b ) = U (1,1) y h ( c ) = U (1,0).

prueba: el punto $${\ displaystyle p = (bc) ^ {- 1} + (ca) ^ {- 1}}es la imagen de b después de a se puso a 0 y luego se invirtió a U(1,0), y la imagen de c se lleva a U (0,1). Como p es una unidad, su inverso usado en una rotación moverá p a U(1,1), resultando en que a , b , c se coloquen correctamente. El lema se refiere a condiciones suficientes para la existencia de h .

Una aplicación de relación cruzada define el conjugado armónico proyectivo de un triple a, b, c , como el elemento x que satisface ( x, a, b, c ) = −1. Tal cuádruple es una tétrada armónica . Las tétradas armónicas en la línea proyectiva sobre un campo finito GF ( q ) se usaron en 1954 para delimitar los grupos lineales proyectivos PGL (2, q ) para q = 5, 7 y 9, y demostrar isomorfismos accidentales . ^[14]

Historia [ editar ]

August Ferdinand Möbius investigó las transformaciones de Möbius entre su libro Barycentric Calculus (1827) y su artículo de 1855 "Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung". A Karl Wilhelm Feuerbach y Julius Plücker también se les atribuye el origen del uso de coordenadas homogéneas. Eduard Studyen 1898, y Élie Cartan en 1908, escribieron artículos sobre hipercomplejos para enciclopedias de matemáticasalemanas y francesas , respectivamente, donde utilizan estas aritméticas con transformaciones fraccionarias lineales en imitación de las de Möbius. En 1902Theodore Vahlen contribuyó con un artículo corto pero bien referenciado que explora algunas transformaciones fraccionales lineales de un álgebra de Clifford . ^[15] El anillo de los números duales D le dio a Josef Grünwald la oportunidad de exhibir P ( D ) en 1906. ^[5] Corrado Segre(1912) continuó el desarrollo con ese anillo.

Arthur Conway , uno de los primeros adoptadores de la relatividad a través de las transformaciones biquaternion , consideró la transformación cuaternión-multiplicativa-inversa en su estudio de la relatividad de 1911. ^[16] En 1947, PG Gormley describió algunos elementos de la geometría de cuaternión inverso en su artículo "Proyección estereográfica y el grupo fraccional lineal de transformaciones de cuaterniones". En 1968 , los números complejos de Isaak Yaglom en geometría aparecieron en inglés, traducidos del ruso. Allí usa P ( D ) para describir la geometría de línea en el plano euclidiano y P ( M ) para describirla para el plano de Lobachevski. El texto de Yaglom Una geometría simple no euclidianaapareció en inglés en 1979. Allí, en las páginas 174 a 200, desarrolla la geometría minkowskiana y describe P ( M ) como el "plano inverso de Minkowski". El original rusa del texto de Yaglom fue publicado en 1969. Entre las dos ediciones, Walter Benz (1973) publicó su libro que incluye las coordenadas homogéneas tomados de M .